Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thơng Lời cảm ơn! Trong q trình làm khóa luận, em nhận giúp đỡ bảo tận tình thầy Vương Thông Em xin chân thành cảm ơn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Em xin cảm ơn giúp đỡ thầy giáo khoa Tốn, thầy tổ Đại số Thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt giúp em hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Đỗ Hồng Thắm Đỗ Hồng Thắm K32B- Tốn Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy Vương Thông với cố gắng thân Trong suốt q trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Đỗ Hồng Thắm Mục lục Trang Mở đầu Chương Những kiến thức liên quan đến đề tài Phần Đa thức ẩn Xây dựng vành đa thức ẩn 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn .2 1.2 Bậc đa thức ẩn Phép chia với dư 3 Nghiệm đa thức .3 3.1 Định nghĩa 3.2 Nghiệm bội .4 3.3 Định lý Bezout 3.4 Công thức Viéte 3.5 Lược đồ Horner Phần tử đại số, phần tử siêu việt 5 Đại số đa thức Phần Đa thức nhiều ẩn Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 1.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 1.2 Bậc đa thức nhiều ẩn Đa thức đối xứng 2.1 Định nghĩa 2.2 Tính chất Chương Những toán đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức 11 Phần Đối với đa thức ẩn 11 Bài toán Trục thức mẫu 11 Bài toán Nhận biết đa thức khơng phân tích 15 Bài toán Chứng minh đa thức chia hết cho 17 Bài toán Sử dụng định lý Viéte .21 4.1 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức đối xứng K nghiệm 21 4.2 Dạng 2: Tìm mối quan hệ hệ số số phương trình bậc ba, bậc bốn biết mối quan hệ nghiệm 24 4.3 Dạng 3: Tìm miền giá trị tham số để nghiệm phương trình f x, m  0 thỏa mãn K điều kiện 30 Bài toán Chứng minh đẳng thức 34 Bài tốn Tìm điểm cố định họ đồ thị hàm số 36 Bài tốn Phân tích đa thức thành nhân tử .40 Phần Đối với đa thức nhiều ẩn 45 Bài toán Trục thức mẫu .45 Bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử .47 Bài toán Chứng minh đẳng thức trường hợp có điều kiện khơng có điều kiện 50 Bài toán Chứng minh bất đẳng thức .52 Bài toán Xác định phương trình bậc hai .56 Bài tốn Giải hệ phương trình 59 Bài tốn Giải phương trình thức .62 Bài tốn Tìm nghiệm ngun phương trình 65 Chương Kết luận 69 Tài liệu tham khảo .70 Lý chọn đề tài Mở đầu Trong nhà trường phổ thơng, mơn tốn giữ vị trí quan trọng Nó giúp học sinh học tốt môn học khác, công cụ nhiều ngành khoa học công cụ để hoạt động đời sống thực tế Mơn tốn có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao tác phẩm chất tư Đại số phận lớn Tốn học, đa thức khái niệm quan trọng sử dụng nhiều khơng đại số mà Giải tích, tốn cao cấp tốn ứng dụng Tuy nhiên nay, vấn đề đa thức trình bày sơ lược, chưa phân loại hệ thống cách chi tiết Tài liệu đa thức ít, chưa hệ thống theo dạng tốn phương pháp giải, việc nghiên cứu đa thức gặp nhiều khó khăn Với lý trên, với lòng say mê nghiên cứu giúp đỡ, bảo tận tình thầy Vương Thông em mạnh dạn chọn đề tài: “Những tốn đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại ,hệ thống số toán đa thức Bên cạnh đó, thấy rõ vai trò đa thức mơn tốn nhà trường phổ thơng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tốn Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức ẩn đa thức nhiều ẩn Đối tượng nghiên cứu Các dạng toán Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa Chương Những kiến thức liên quan đến đề tài Phần Đa thức ẩn Xây dựng vành đa thức ẩn 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A vành giao hốn có đơn vị ( kí hiệu ) Khi đó, ta có tập hợp: p a0 , a1 , , an , /  A, 0 hầu hết, i  , với hai phép toán: - Phép cộng: (a0 , a1 , , an , ) (b0 , b1, , bn , ) ( a0 b0, a1 b1, , an bn, ) - Phép nhân: (a0 , a1 , , an , ).(b0 , b1, , bn, ) (c0, c1, , cn, ) với ck ai b j , k 0,1, , n, i j k lập thành vành giao hốn có đơn vị (1, 0, 0, , 0, ) Ta gọi P vành đa thức, phần tử thuộc P gọi đa thức Ta chuyển cách viết đa thức dạng sau: Xét ánh xạ f: A P a  (a, 0, , 0, ) đơn cấu vành Do vậy, ta đồng a  phần tử f (a) (a, 0, , 0, )  Khi đó, A vành P Kí hiệu: Ta có: với x (0,1, 0, , 0, ), x (0, 0,1, 0, , 0, ), x (0, 0, 0,1, 0, , 0, ), … (0, , 0,1, 0, , 0, ) n x   n Khi đó, phần tử  biểu diễn dạng: , a0 a1x n  x   an x Thay cho P viết  gọi vành đa thức ẩn x , lấy hệ tử x A.Mỗi phần tử thuộc  gọi đa thức ẩn x kí hiệu là: f x x  , g x, 1.2 Bậc đa thức Cho f x a0 a1x  an x n  x  - Nếu an  n gọi bậc đa thức f x  Kí hiệu: deg f xn - Nếu f x 0 (đa thức khơng),  ta nói  x f khơng có bậc có bậc Phép chia với dư Cho  x x  , g  x   x  f vành đa thức, với g x 0 , tồn f xg x.q  x Trong đó: - Nếu A trường Khi đó, r  x  q x  , r  x    x  cho: r x  0 ta nói - Nếu r x  x  f x g  x ta có: deg r x deg ta gọi q x  g  x 0 thương, r  dư phép chia f  cho g  x x x   x  Nghiệm đa thức 3.1 Định nghĩa Cho K trường đó, A trường K Một phần tử gọi nghiệm đa thức  x    x f f 0 số Ta nói là nghiệm phương trình đại f x  K Nếu deg f x  n phương trình f x  gọi phương trình đại số 0 bậc n  n 1 3.2 Nghiệm bội Giả sử k số tự nhiên khác Một phần tử gọi nghiệm bội k đa thức f  x    x f x  x k không chia hết cho x k 1 ,  k  3.3 Định lý Bezout  - Định lý Bezout: Cho vành đa thức chia f  cho x   là x f x, f x   x  ,  Khi đó, dư phép  - Hệ quả: Phần tử là nghiệm đa thức f x x  3.4 Công thức Viéte Cho  x  f x   x  , A trường, Bài tốn 7: Giải phương trình thức 7.1 Cơ sở lý luận Một số phương trình thức mà việc giải chuyển việc giải hệ phương trình đối xứng thơng qua việc đặt ẩn phụ 7.2 Thuật toán Bước 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình thức hệ phương trình đối xứng Bước 2: Giải hệ phương trình đối xứng tìm giá trị ẩn phụ Bước 3: Thay giá trị ẩn phụ vào tìm giá trị ẩn ban đầu 7.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình x 8 4 x 2 Giải Điều kiện: x 8 0  8 x 0  8 x 8   Đặt u 4 x 8, v 4 x;u, v 0 Suy ra: u4 x 8, v4 8 x Ta có hệ: u v 2  v 16 u Đặt: u v 1;uv 2 , hệ trở thành: 2   1 2  2 2    2 16  2  2 2   22 16  4  2  2    0  8 1 2    20  2   2 8 Với 1 2 u, v nghiệm   t 2t 0 Phương trình phương trình: 2 u 0  2 x 8 có nghiệm t  , thỏa mãn điều kiện  v 0     u  t 2 x 8 2    v 0 Với 1 2 u, v nghiệm t 2t 8 0 Phương trình phương trình:     vô nghiệm 8 x  x  27 Vậy nghiệm phương trình cho là: Ví dụ 2: Giải phương trình  x 2  x  27 2 3  x 8 x 8  8 x  0 Điều kiện  27 x x 8 27 7 Giải   0 Đặt u 3 x, v 3 x 27;u, v 0 Suy ra: u3 8 x; v3  x 27   u v 2 3uv 7 u v  uv 7 Ta có hệ:  u v 35   u v3 3uv u v 35 Đặt 1 u v;2 uv , hệ trở thành: 2 3 7   3  3    1  35 2 7 2     3  2 7 35  1 2 6    1 5 u, v nghiệm Với   phương trình 2 t 2 t 5t 6 0 phương trình  t 3  u  x 0 2   v  x 15 3    u 3    v 2 Vậy nghiệm phương trình cho là: x 0   x 15 7.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình sau a) x 24 3  x 1 b) x 1 3 2 82 x Bài tập 2: Giải phương trình sau a) 18 5x  5x 4 64 b)  t t   5x23 2  x 2 x 3 x 2  3 Bài tập 3: Giải phương trình sau 0 , nghĩa 1x 1x  1 2 Bài tập 4: Giải phương trình sau a) x 13  x  3 2x b)x 1 2 2x 1 Bài tốn 8: Tìm nghiệm ngun phương trình 8.1 Cơ sở lý luận Với dạng tốn tìm nghiệm ngun phương trình khơng có thuật tốn chung mà tùy thuộc vào loại tốn cụ thể ta lựa chọn giải pháp thích hợp 8.2 Thuật tốn Bước 1: Biểu diễn phương trình ban đầu theo phương trình Rút 2 theo 1 1 , 2 (1) Cách 1: Từ (1) suy x, y nghiệm phương trình t2 t   0 với điều kiện  0 Từ suy điều kiện 1 Cách 2: Do x, y số nguyên nên x, y số thực Do vậy, cần điều kiện: 2 42 0 Kết hợp với (1) để tìm điều kiện 1 Bước 2: Tìm x, y theo 1 , 2 8.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau 2 x y x  (1) y xy Giải (1) x y 2 3xy x y 0 Đặt x y 1 , xy 2 Khi đó, ta có phương trình sau: 2 3   0  2     1 x y 1 1   xy      1  x, y nghiệm phương trình t t  0 Để phương trình 2  1 4 2 có nghiệm 0      0 1 3  Do x, y nguyên 2   0 3 0 1 4  1 , nguyên x y 0  x 0 1 0  y 0 2 0  xy 0   x 0   y 1    x y 1  1 1 2 0  x 1   xy 0  y 0 1 2 2  loại 2  xy 2  3   2 x  y 3   4    x y 4 xy 4  x 1  y 2   x 2    y 1  x 2  y 2 Vậy nghiệm nguyên phương trình là: 0; , 0;1, 1; , 1; , 2;1, 2;  Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau 3 x y 1 3xy (2) (2) Giải x y 3 3xy 3xy x y 1 Đặt x y 1 , xy 2 Khi ta có phương trình sau:  31 13 0     1 1 1 32 1 0 Vì x 0, y 0 1 x y 0 1 1 0 Ta có 2 1   0    3   1  x y 1    xy  1      Do ta phải tìm số nguyên dương x, y cho Suy 10 x, y nghiệm phương trình t t     1 1 2 4 2 Ta có:     3 4   1 Vậy ta phải có 1 x y 2 Khi ta có 1 2 2 0  x y x 1 2   xy  y 1 1 Vậy nghiệm nguyên phương trình là: 1;1 8.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau  a)7 x y 3 x xy y 2 b)x y x y 8  2  Bài tập 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau a) 2 3 x y x xy y 2 b)x y 4xy y x 2 y 3 Bài tập 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau  a)39x y 7 x xy y 3 b)x y xy 25  Chương Kết luận Đa thức có vị trí quan trọng Tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu chủ yếu Đại số mà cơng cụ đắc lực Giải tích Nó phần kiến thức quan trọng giới thiệu từ năm đầu bậc phổ thông dạng đơn giản mà ta thường gọi biểu thức chứa chữ đại diện cho số Ngoài ra, lý thuyết đa thức sử dụng nhiều tốn cao cấp, toán ứng dụng Và thường xuyên gặp toán đa thức kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán học trường phổ thơng Tuy khóa luận trình bày kiến thức đa thức toán đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức nhỏ so với lượng kiến thức đa thức Khóa luận thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu, giúp việc dạy học học tập mơn tốn trường phổ thơng Từ khóa luận giúp bạn đọc nghiên cứu sâu hơn, rộng đa thức Do lần làm quen với công tác nghiên cứu, thời gian lực hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! ************************************** Tài liệu tham khảo Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học tập 3, NXB Giáo dục Nguyễn Tiến Quang (1987), Bài tập đại số số học tập 3, NXB Giáo dục Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Trần Phương, Lê Hồng Đức (2002), Tuyển tập chun đề luyện thi đại học mơn tốn đại số sơ cấp, NXB Hà Nội Tạp chí toán học tuổi trẻ ... Những toán đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức 11 Phần Đối với đa thức ẩn 11 Bài toán Trục thức mẫu 11 Bài tốn Nhận biết đa thức khơng phân tích 15 Bài tốn Chứng minh đa thức. .. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tốn Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức ẩn đa thức nhiều ẩn Đối tượng nghiên cứu Các dạng toán Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức Phương pháp nghiên cứu Tham... pháp đưa đa thức đối xứng đa thức đa thức đối xứng (có hai phương pháp): - Phương pháp với hạng tử cao - Phương pháp hệ tử bất định Chương Những tốn đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức Phần