Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức

Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức...11 Phần 1... Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm ... Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông

Em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số và Thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

đã tạo điều kiện tốt nhất giúp em hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, tháng 5 năm

2010 Sinh viên

Đỗ Hồng Thắm

Lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy

nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một

số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của tác giả nào khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên

Đỗ Hồng Thắm

Mục lục

Trang

Mở đầu 1

Chương 1 Những kiến thức liên quan đến đề tài 2

Phần 1 Đa thức một ẩn 2

1.Xây dựng vành đa thức một ẩn 2

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 2

1.2 Bậc của đa thức một ẩn 3

2.Phép chia với dư 3

3.Nghiệm của đa thức 3

3.1 Định nghĩa 3

3.2 Nghiệm bội 4

3.3 Định lý Bezout 4

3.4 Công thức Viéte 4

3.5 Lược đồ Horner 5

4.Phần tử đại số, phần tử siêu việt 5

5.Đại số các đa thức 6

Phần 2 Đa thức nhiều ẩn 8

1.Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 8

1.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 8

1.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn 8

2.Đa thức đối xứng 9

2.1 Định nghĩa 9

2.2 Tính chất 9

Chương 2 Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức 11

Phần 1 Đối với đa thức một ẩn 11

1.Bài toán 1 Trục căn thức ở mẫu 11

2.Bài toán 2 Nhận biết đa thức không phân tích được 15

3.Bài toán 3 Chứng minh các đa thức chia hết cho nhau 17

4.Bài toán 4 Sử dụng định lý Viéte 21

4.1 Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm 21

4.2 Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương trình bậc ba, bậc bốn khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm của nó 24

4.3 Dạng 3: Tìm miền giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình f x, m 0 thỏa mãn K điều kiện nào đó 30

5 Bài toán 5 Chứng minh đẳng thức 34

6 Bài toán 6 Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số 36

7 Bài toán 7 Phân tích đa thức thành nhân tử 40

Phần 2 Đối với đa thức nhiều ẩn 45

1 Bài toán 1 Trục căn thức ở mẫu 45

2 Bài toán 2 Phân tích đa thức thành nhân tử 47

3 Bài toán 3 Chứng minh hằng đẳng thức trong trường hợp có điều kiện hoặc không có điều kiện 50

4 Bài toán 4 Chứng minh bất đẳng thức 52

5 Bài toán 5 Xác định phương trình bậc hai 56

6 Bài toán 6 Giải hệ phương trình 59

7 Bài toán 7 Giải phương trình căn thức 62

8 Bài toán 8 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 65

Chương 3 Kết luận 69

Tài liệu tham khảo 70

1 Lý do chọn đề tài

Mở đầu

Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quantrọng Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiềungành khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế.Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trítuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy.

Đại số là một bộ phận lớn của Toán học, trong đó đa thức là một kháiniệm cơ bản và quan trọng được sử dụng nhiều không những trong đại số

mà còn trong Giải tích, toán cao cấp và toán ứng dụng

Tuy nhiên cho đến nay, vấn đề đa thức mới chỉ được trình bày sơ lược,chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết Tài liệu về đa thức còn

ít, chưa được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải, cho nênviệc nghiên cứu về đa thức còn gặp nhiều khó khăn

Với lý do trên, cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự giúp đỡ,

“Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức” để làm

khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại ,hệ thống một số bài toán về đa thức.Bên cạnh đó, cũng thấy rõ vai trò của đa thức trong môn toán ở nhà trườngphổ thông

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về những bài toán trong Đại số sơ cấp có liên quan đến đathức một ẩn và đa thức nhiều ẩn

3 Đối tượng nghiên cứu

Các dạng toán cơ bản trong Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa

Chương 1 Những kiến thức liên quan đến đề tài

vành đa thức, mỗi phần tử thuộc P gọi là một đa thức

Ta có thể chuyển cách viết đa thức về dạng sau:

x và gọi là vành đa thức của ẩn x , lấy hệ tử trong

Ta cũng có thể nói là nghiệm của phương trình đại

số

trong K

f x 0

đa thức chuẩn tắc và so sánh các hệ số của đa thức

Viéte như sau:



b1x

n

 2

 b0 a0 b1 a1

b0

b n1

4 Phần tử đại số, phần tử siêu việt

c được

gọi là phần tử đại số trên trường A nếu tồn tại đa thức

f x0, f x

Ax:

a.a x i

Ax.Giả sử có K _ không gian vectơ X , hữu hạn chiều, giả sử e1, e2 , , e n làcơ

j

j 0

Bậc của đa thức hợp thành luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích hai bậc.

ia

x i1

f  g x f g x a i

    

i

i

Phần 2

Đa thức nhiều ẩn

1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

1.1 Xây dựng vành đa thức nhiểu ẩn

Cho A là vành giao hoán có đơn vị (ký hiệu là 1), ta xây dựng được vành

đa thức một ẩn

vành:

A1 Ax1

, A1

là vành giao hoán có đơn vị Xây dựng được

A2 A1 x2 Ax1 x2 Ax1 , x2 gọi là vành đa

thức của hai ẩn Tương tự, ta có:

x1 , x2

A3 A2 x3 Ax1

Lặp lại nhiều lần phép dựng trên, ta sẽ được vành:

1.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn

Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó

Đa thức 0 là đa thức không có bậc

Nếu các hạng tử của f x1, x2 , ,

k thì

f x1, x2 , ,

biệt, một dạng bậc nhất gọi là dạng tuyến tính, một dạng bậc hai gọi là dạng toàn phương, một dạng bậc ba gọi là dạng lập phương

2 Đa thức đối xứng

2.1 Định nghĩa

Một đa thức nhiều ẩn đối xứng nếu:

1 1 m 1

với i , i , , i là hoán vị của 1, 2, , n

Nói cách khác, một đa thức là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổikhi thay đổi biến cho nhau trong dạng khai triển của nó

Những đa thức đối xứng sau được gọi là những đa thức đối xứng cơ bản

i i i

Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối xứng

cơ bản (có hai phương pháp):

- Phương pháp với hạng tử cao nhất

- Phương pháp hệ tử bất định

Chương 2

Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến

đa thức Phần 1

Đối với đa thức một ẩn

1 Bài toán 1: Trục căn thức ở mẫu

nguyên tố cùng nhau, nghĩa là tồn

tại đa thức u x, v x xsao cho:

Như vậy để giải được bài toán chỉ cần tìm dạng cụ thể của những đa thức

x 7 2x 13

x 3 5 2x 2 6x 8

1 x  3 22

x 3 5x 12

2x 2 6x 8 5x 17 2x 2 6x  68

25 2 x  4525

Như vậy, để giải được bài toán chỉ cần tìm dạng cụ thể của những đa thức

5x 17

Từ đây ta nhận được:

268 25

268

2x2 6x 85x 172 x 4 25

Bài tập 3: Trục căn thức ở mẫu phân số sau

Bài tập 4: Trục căn thức ở mẫu phân số sau

1

2 Bài toán 2: Nhận biết đa thức không phân tích được

2.1 Cơ sở lý luận

Đa thức bất khả quy là đa thức không phân tích được Một đa thức có

hệ số thuộc trường số phức luôn phân tích được thành tích các nhân tử làcác đa thức bậc nhất như cách biểu diễn đa thức qua các nghiệm Sau đây

ta chỉ xét các đa thức với hệ tử là các số thuộc trường

Ví dụ 1: Chứng minh đa thức sau là bất khả quy trong

4x 6

x theo

tiêu chuẩn Eidenstein

Ví dụ 2: Chứng minh đa thức sau không phân tích được trên tập số hữu

có liên quan đến số nguyên tố nhưng ta chưa thể áp

dụng ngay tiêu chuẩn Eidenstein để chứng minh Tuy nhiên, ta có thể biếnđổi

f 

x

Đặt

để áp dụng được tiêu chuẩn Eidenstein như sau:

Với p=3 , ta kiểm tra 3 điều kiện:

không chia hết cho p =9.

không phân tích được Từ đây ta cũng suy ra được

không phân tích được trên

Bài tập 4: Chứng minh rằng những đa thức sau đây không phân tích

được

a) x p1 x p2  x 1 ( p là số nguyên tố)

Dựa vào định nghĩa chia hết và một số tính chất hoặc hệ quả của định

lý Bezout, và mệnh đề: “Nếu mọi nghiệm đơn và mọi nghiệm bội bậc m

Cách 1: áp dụng hệ quả của định lý Bezout

Giả sử c là nghiệm đơn của

+ Chứng minh quy nạp theo tham số đã chọn.

hợp ta thu được một số bài toán cụ thể hoặc có thể gán cho x những giá trị

áp dụng hệ quả của định lý Bezout

x 4n x 3n x 2n x n 1

chia hết cho đa thức

x4 x3 x2 x 1

4 Bài toán 4: Sử dụng định lý Viéte

4.1 Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm

Bước 1: Thiết lập hệ thức Viéte giữa các nghiệm của phương trình

Bước 2: Biểu diễn thông qua các đa thức đối xứng cơ bản đối với các

nghiệm của phương trình

quan với nhau:

Tương tự ta cộng theo vế các đẳng thức x 4 px 3 qx

2 rx

0, i 1, 2,

3,tìm

i

i n

Giải

x1 , x2 , x3 là độ dài các cạnh của tam giác

y1, y2 ,

S là diện tích tam giác,

là những nghiệm của phương trình

Hãy biểu diễn thông qua

x4 px3 qx2 rx s

0

p, q, r, s những hàm của các biến

Bài tập 3: Cho x

1 , x2 , x3 là ba nghiệm của phương trình

x3 px2 qx r 0 Hãy biểu diễn

4.2 Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương trình

bậc 3, bậc 4 khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm của nó

4.2.2 Thuật toán

Đối với một số phương trình mà các nghiệm của chúng có nhữngmối liên hệ đặc biệt nào đó, ta có thể sử dụng định lý Viéte để tìm ra hệthức liên hệ giữa các nghiệm với các hệ số của phương trình Sau đó sửdụng định lý Bezout đưa phương trình đã cho về phương trình có bậc nhỏhơn

Từ đây, việc giải phương trình ban đầu trở thành việc giải phương trình đơn giản hơn

là 4 nghiệm của phương trình (1) và 4 nghiệm này

x2 ax b 0 .

- Trường hợp 2: Nếu

d  0

26 2 57



2

Ví dụ 2: Giả sử phương trình x4 ax3 bx2

là 4 nghiệm của phương trình (1) và 4 nghiệm này

1 x2 x3 x4 .Theo công thức Viéte ta có:

thì (3) vô nghiệm nên phương trình (1) vô nghiệm.

a=2, b=3, c=2 Nên phương trình có

3 2 5 4

3 2 5 4

Bài tập 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa các hệ số của phương trình:

x3 ax2 bx c 0 Biết rằng phương trình này có 3

nghiệm mà bình phương một nghiệm bằng tổng bình phương

hai nghiệm còn lại

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a) x4 2x3 2x2 10x 25 0

b) 36x3 12x2 5x 1 0

4.3 Dạng 3: Tìm miền giá trị của tham số để các nghiệm của phương

áp dụng công thức Viéte để giải toán.

4.3.2 Thuật toán

Bước 1: Giả sử phương trình có nghiệm, tìm mối liên hệ giữa các

nghiệm

Bước 2: Biểu diễn điều kiện của tham số thông qua điều kiện K.

Bước 3: Tìm miền giá trị của tham số và kết luận.

Vậy với m 1; m 2 thì thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ví dụ 2: Hãy tìm những giá trị của tham số m sao cho những nghiệm

Bài tập 7: Cho phương trình x3 px2 qx

Chứng minh A=B, trong đó A, B là biểu thức

Bước 1: Coi A, B là biểu thức của một biến x nào đó

Bước 2: Biến đổi tương đương đưa đẳng thức A=B về dạng

P xQ x,

 x

Bước 3: Xác định max deg P x, deg Q x m Khi đó sẽ chỉ

ra có

1.Theo nguyên tắc so sánh hệ số ta có

tiếp thấy P xQ x

Nếu những giá trị này đôi một khác nhau thì theo nguyên lý so sánh hệ

số đa thức suy ra

P xQ x.Vậy đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và với mọi số nguyên

C n x

C n x

n n

n n

6 Bài toán 6: Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số

6.3 Ví dụ minh họa

n 0 0

n1 0 0

2

là hai điểm cố định của họ hàm số.

Vậy mọi đồ thị của họ hàm số trên luôn đi qua hai điểm cố định

 0

Chứng minh họ hàm số trên không có điểm cố định nhưng họ tiệm cận xiêncủa chúng có điểm cố định.

Bài tập 2: Chứng minh rằng họ đường cong

đường cong này đi qua một điểm cố định.

Bài tập 4: Cho họ đường cong xác định bởi họ hàm số

x2 mx 2

y 

x m , m 1

Tìm tất cả các điểm cố định của họ đường cong đó

Bài tập 5: Xác định các giá trị , sao cho đồ thị hàm số

của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định

thẳng y kx k 1 luôn cắt đường cong (1) tại một điểm cố định.

7 Bài toán 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

f xg x.h x,

ta đi tìm

7.2 Thuật toán

g x, h x

Bước 1: Giả sử f xg x.h x, deg g xdeg f x, deg h

3, 9 cũng không phải là nghiệm của f x.

Vậy phương trình không có nghiệm hữu tỉ

thì f x0

7.4 Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a)6x4 3x3 2x2 3x 9

b)x5 x4 4x3 9x2 6x 6 Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a)x4 3x3 2x2 3x 9

b)x5 2x4 6x3 3x2 42x 48 Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Phần 2

Đối với đa thức nhiều ẩn

1 Bài toán 1: Trục căn thức ở mẫu

1.1 Cơ sở lý luận

Để khử căn thức ở mẫu số, người ta có thể dùng hằng đẳng thức hoặc

có thể nhân các biểu thức liên hợp ở mẫu số Nhưng đó là trường hợp mẫu

n b

ba(hay nhiều hơn) căn thức thì vận dụng các đa thức đối xứng

được đưa ra làm thừa số thì ta sẽ

2.1 Cơ sở lý luận

Đa thức đã cho là đa thức đối xứng nên đưa được về đa thức của các

đa thức đối xứng cơ bản, ở dạng này việc phân tích nó thành tích dễ dànghơn

Bước 3: Thay trở lại, sau đó xét các nhân tử mới Cứ tiếp tục quá trình

này đến khi không phân tích được nữa thì dừng lại

f x, y 2 x y 2 xy5x y 2 36xy

2x2 5xy 2 y2 5x2 26xy 5y2 

f1 x f2 x

+) Nhân tử thứ nhất: f x2x2 5xy 2 y2

1

Vậy f x, yx 2 y 2x y x 5y 5x y .

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

f x, y, z x y z .x y z .x

y z . x y z .g

So sánh bậc của hai vế ta thấy g là một đa thức bậc

b)g x, y x3 3x3 y 2x2 y 3x2 y2 2xy2 3xy3 y3

Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

b)g x, y, z x2 yz 3 y2 zx 3 z 2 xy 3 3x2 yz

y 2 zx z 2 xy 

3 Bài toán 3: Chứng minh hằng đẳng thức trong trường hợp có điều

kiện hoặc không có điều kiện

3.1 Cơ sở lý luận

Các vế của đẳng thức là các đa thức đối xứng nên đưa được về đa thứccủa các đa thức đối xứng cơ bản ở dạng này việc chứng minh sẽ dễ dànghơn vì nó gọn hơn.

3.2 Thuật toán

Bước 1: Biểu diễn các đa thức đối xứng ở vế trái và vế phải của đẳng

thức theo các đa thức đối xứng cơ bản

Bước 2: ở dạng đa thức đối xứng cơ bản ta có hằng đẳng thức.

Suy ra: vế trái = vế phải.

Ta có điều phải chứng minh

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Bài tập 2: Chứng minh rằng:

a) x y4 x4 y4 2x2 xy y2 2

b) x y5 x5 y5 5xy x2 xy y2 

Bài tập 3: Chứng minh rằng x, y, z  ,

ta có:

x y3 y z3 z x3 3x yy z z xx

y z  x2 y2 z2 xy yz zx

Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu xy yz

Bước 1: Biểu diễn các đa thức về đa thức của các đa thức đối xứng cơ

bản

Bước 2:Sử dụng định lý và chú ý sau để dẫn đến bất đẳng thức cần

chứng minh