Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán

Đại học quốc gia Hà Nội trường đại học khoa häc tù nhiªn Nguyễn Thị Thu Quyờn Một số khái niệm đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán Luận văn thạc sĩ khoa học H Ni 2013 Đại học quốc gia Hà Nội trường đại học khoa häc tù nhiªn Nguyễn Th Thu Quyờn Một số khái niệm đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao ho¸n Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 Người hướng dn: PGS.TS Phan Vit Th Luận văn thạc sĩ khoa häc Hà Nội - 2013 MỤC LỤC Mở đầu Chương Đại số Banach, đại số C * , đại số von Neumann Trang 6-11 1.1 Định nghĩa ví dụ 1.2 Đại số C * 1.3 Đại số von Neumann 10 Chương Một số khái niệm đại số von Neumann dùng xác suất khơng giao hốn-hay xác suất lượng tử 12-38 Mở đầu, hoán tập,hoán tập bậc hai- Định lý von Neumann, không gian A-bất biến 12 2.2 Phiếm hàm tuyến tính dương, biểu diễn GNS, trạng thái túy biểu diễn bất khả quy 15 2.3 Biểu diễn GNS Gelfand – Naimark – Segal (GNS – representation) 16 2.4 Phép đẳng cự phận, khai triển cực, tương đương phép chiếu 21 2.5 Tôpô lồi địa phương B(H) 24 2.6 Các lớp toán tử Hilbert – Schmidt toán tử – vết, tiền đối ngẫu đại số von Neumann 26 2.7 Phiếm hàm tuyến tính dương chuẩn tắc, vết, phép metric hóa topo mạnh hình cầu đơn vị đại số von Neumann 31 Chương Xác suất khơng giao hốn 3.1 Nhắc lại số khái niệm xác suất cổ điển 42-57 42 3.2 Các không gian xác suất không giao hốn 43 3.3 Một số dạng khơng gian L p khơng giao hốn 47 3.4 Đại số L  , F ,  , A  49 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 MỞ ĐẦU Luận văn nhằm giới thiệu khái niệm đại số von Neuman xác suất khơng giao hốn, khái niệm đời từ học lượng tử, ta coi xác suất khơng giao hoán xác suất lượng tử Cơ học lượng tử lý thuyết học, nghiên cứu chuyển động gần với vận tốc ánh sáng đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động lượng xung lượng, vật thể nhỏ bé, lưỡng tính sóng hạt ( tính chất sóng tính chất hạt) thể rõ Lưỡng tính sóng hạt giả định tính chất vật chất, học lượng tử coi học Newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tượng vật lý mà học Newton khơng thể giải thích Quan điểm xác suất sử dụng nhiều học lượng tử theo ngun lý Heisenberg ta khơng thể xác định xác đồng thời vị trí vận tốc hạt vi mô, không xác định quỹ đạo hạt chuyển động Thế nên người ta tìm cách tiên đốn xác suất để chúng miền xác định Cơ học lượng tử hình thành vào nửa đầu kỷ 20 Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli số người khác tạo nên Có nhiều phương pháp tốn học mơ tả học lượng tử, chúng tương đương với Một phương pháp dùng nhiều lý thuyết biến đổi, Paul Dirac phát minh nhằm thống khái quát hóa hai phương pháp tốn học trước học ma trận (củaWerner Heisenberg) học sóng (của Erwin Schrưdinger) Theo phương pháp tốn học mơ tả học lượng tử trạng thái lượng tử hệ lượng tử cho thông tin xác suất tính chất, hay gọi đại lượng quan sát (đôi gọi tắt quan sát), đo Các quan sát lượng, vị trí, động lượng (xung lượng), mơ men động lượng Các quan sát liên tục (ví dụ vị trí hạt) rời rạc Nói chung, học lượng tử khơng cho quan sát có giá trị xác định Thay vào đó, tiên đốn phân bố xác suất, tức là, xác suất để thu kết từ phép đo định Trong cơng thức tốn học chặt chẽ học lượng Paul Dirac John von Neumann phát triển, trạng thái hệ học lượng tử biểu diễn véc tơ đơn vị (còn gọi véc tơ trạng thái) thể hàm số phức khơng gian Hilbert (còn gọi khơng gian trạng thái) Khơng gian trạng thái vị trí xung lượng khơng gian hàm bình phương khả tích Mỗi quan sát biểu diễn toán tử tuyến tính Hermit xác định (hay tốn tử tự liên hợp) tác động lên không gian trạng thái Các nguyên tắc học lượng tử khái quát Chúng phát biểu không gian trạng thái hệ không gian Hilbert quan sát tốn tử Hermit tác dụng lên khơng gian Cơ học lượng tử đại đời năm 1925, Heisenberg phát triển học ma trận Schrưdinger sáng tạo học sóng phương trình Schrưdinger Sau đó, Schrưdinger chứng minh hai cách tiếp cận tương đương Heisenberg đưa nguyên lý bất định vào năm 1927 bắt đầu vào năm 1927, Paul Dirac thống lý thuyết tương đối hẹp với học lượng tử Ông người tiên phong sử dụng lý thuyết tốn tử, có ký hiệu Bra-ket hiệu tính tốn mơ tả sách tiếng ông xuất năm 1930 Cũng vào khoảng thời gian John von Neumann đưa sở toán học chặt chẽ cho học lượng tử lý thuyết tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert Nó trình bày sách tiếng ông xuất năm 1932 Các lý thuyết với nghiên cứu khác từ thời kỳ hình thành đứng vững ngày sử dụng rộng rãi Không gian xác suất khơng giao hốn mà đề cập cặp  ,  đại số von Neumann (trên không gian Hilbert khả ly), phiếm hàm tuyến tính liên tục yếu  :    biến đơn vị thành đơn vị, gọi vết thỏa mãn: có tính dương:   X   X phần tử không âm, tức X = Y * Y; trung thành:   X * X   X = 0; có tính vết:  (XY) =  (YX) Mối liên hệ ý tưởng với "xác suất" thông qua định lý sau: Với phân tử tự liên hợp X   , tồn độ đo xác suất Borel  cho   n n  t  X dt    X  X  Như ta có khái niệm xác suất khơng giao hốn tương ứng: - đại lượng quan sát A   : đại lượng ngẫu nhiên (khơng giao hốn); - trạng thái  : kì vọng, có tác dụng xác định phân phối; - đại số von Neumann trang bị trạng thái  thỏa mãn (1-2-3): không gian xác suất (không giao hoán) Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức bổ trợ cho chương 2, bao gồm định nghĩa, ví dụ tính chất mối quan hệ ba dạng đại số định chuẩn: Đại số Banach, đại số C * đại số von Neumann Chương 2: “Một số khái niệm đại số von Neumann dùng xác suất khơng giao hốn - hay xác suất lượng tử ” Chương 3: Trình bày xác suất khơng giao hốn, nhắc lại số khái niệm xác suất cổ điển từ tiếp cận cách tổng quan kết không gian xác suất khơng giao hốn, khơng gian LP khơng giao hốn cho đại số von Neumann; định nghĩa số kết đại số L  , F ,  , A  , đại số giao hoán von Neumann giới thiệu chương Hồn thành luận văn này, trước tiên tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người hướng dẫn khoa học PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy đưa đề tài tận tình bảo, hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Đồng thời xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô thuộc khoa Tốn – Cơ – Tin học, Bộ mơn Xác suất thống kê, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học – trường ĐHKHTN – ĐHQGHN thầy cô bên Viện Tốn học tận tình giảng dạy rèn luyện cho suốt thời gian học tập, nghiên cứu trường Cuối cùng, khả thời gian có hạn luận văn khơng tránh khỏi sai sót, tơi mong nhận bảo, hướng dẫn thầy cô góp ý bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Thu Quyên CHƯƠNG ĐẠI SỐ BANACH, ĐẠI SÔ C * , ĐẠI SỐ VON NEUMANN Chương coi chương trình bày số kiến thức bổ trợ, làm tảng để theo dõi trình bày chương sau Nội dung chương nhằm giới thiệu định nghĩa, số ví dụ tính chất với mối quan hệ ba dạng đại số định chuẩn: Đại số Banach, đại số C * đại số von Neumann Về chất coi chúng khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, có định nghĩa thêm phép nhân (thường khơng giao hốn) “vectơ” tương thích với tơ pơ sinh từ chuẩn 1.1 Định nghĩa ví dụ Ta ln ký hiệu  trường số phức xét khơng gian tuyến tính trường phức 1.1.1 Định nghĩa Giả sử A khơng gian tuyến tính (phức) A có phép nhân: A A  A  x, y   xy thỏa mãn tính chất sau: x(yz) = (xy)z (x+y)z = xz + yz; x(y+z) = xy + xz   xy    x  y  x  y  , x, y, z  A,  Khi đó, A gọi đại số phức Hơn nữa, A không gian Banach (với chuẩn , ) thỏa mãn tính chất sau: xy  x y ; ( x  A, y  B) A chứa phần tử đơn vị cho x.1 = 1.x = x (x  A) 1 A gọi đại số Banach 1.1.2 Nhận xét - Phép nhân nói chung khơng thiết giao hốn Nếu phép nhân giao hốn đại số (đại số Banach) giao hoán - Điều kiện quan trọng nói lên mối liên hệ phép nhân chuẩn Các điều kiện 5, cốt yếu Thật vậy, giả sử A không gian Banach thỏa mãn tính chất – Ta xét Ta đưa vào A cấu trúc tuyến tính thơng thường, phép nhân chuẩn xác định sau:  x,  y,    xy   y   x,   x, y   x   Khi đó, điều kiện – thỏa mãn, phần tử đơn vị = (0,1) Với phép đẳng cấu đẳng cự x  ( x, 0) đại số A với đại số đại số A , ta xem A đại số đại số A đại số Banach -Phép nhân liên tục theo nghĩa: Nếu x  x, y  y x y  xy n n n n 1.1.3 Định nghĩa Giả sử A, B hai đại số phức Ta xét ánh xạ  : A  B Nếu  tuyến tính nhân tính theo nghĩa   xy     x    y   gọi đồng cấu Trường hợp  đồng cấu khả nghịch  gọi đẳng cấu Nếu  thêm tính liên tục, A, B đại số Banach  gọi đồng cấu (đẳng cấu  khả nghịch) hai đại số Banach Chú ý: Trong nhiều trường hợp từ tính chất nhân tính suy tính chất liên tục 1.1.4 Các ví dụ Bản thân trường số phức đại số Banach giao hoán với phép cộng nhân thông thường Giả sử K tập compact không gian tách Ký hiệu: A  C (k )   f : k  liên tục  Ta định nghĩa:  f  g  u  f u   g u   f  u   f  u  f , g C k   f g  u  f  u  g  u  f  max f  u  uK Khi C(k) đại số Banach giao hốn; đặc biệt card(K) = n C (k )  n không gian phức n chiều Giả sử H không gian Hilbert A = B (H,H) = B (H) với phép cộng, nhân tốn tử tuyến tính theo nghĩa thông thường A  sup Ah h 1 Khi đó, A đại số Banach – khơng giao hoán với phép nhân hai toán tử lấy ánh xạ hợp Ký hiệu l không gian dãy số phức khả tổng tuyệt đối x  ( , x , x , , x ) với chuẩn: n n x   x  k k   Khi đó, l1 khơng gian Banach Ta định nghĩa phép nhân chập l1 sau: z  x y với zn   y  x k  nk k Ta có: z  z  x n n n k y   x nk k k k nk y k Ta phải chứng minh tính đầy đủ S Khơng gian mêtric  S , d  đẳng cấu với S ánh xạ: x  A  x Do vậy, ta phải S đầy đủ Nhưng S ảnh S ánh xạ liên tục topo  - yếu A topo yếu H  Vì S compact yếu Rõ ràng S lồi Do S đóng topo chuẩn H  đầy đủ Từ kéo theo tính đầy đủ S □ CHƯƠNG XÁC SUẤT KHƠNG GIAO HỐN 3.1 Nhắc lại số khái niệm xác suất cổ điển 3.1.1 Định nghĩa (không gian xác suất) Một không gian xác suất ba (  ,,P) Ω tập gọi không gian mẫu,  - đại số tập Ω gọi - đại số tập đo hay - đại số biến cố P độ đo xác suất , tức P(  ) = Độ đo tập A : P(A)  [0; 1] xác suất để biến cố A xuất 3.1.2 Định nghĩa (biến ngẫu nhiên) Cho không gian xác suất (  ,,P) Một biến ngẫu nhiên nhận giá trị phức ánh xạ đo X: (  , )  (  ,  )   - đại số tập Borel  Biến ngẫu nhiên thực ánh xạ đo X: (  , )  (  ,  ),   - đại số tập Borel  Các biến ngẫu nhiên phức có dạng X    X1    iX   X1 , X biến ngẫu nhiên thực Vì ta xét biến ngẫu nhiên thực Trên không gian xác suất (  ,,P) xác định vố số biến ngẫu nhiên (các ánh xạ đo được) X: (  , )  (  ,  ) cho  B   X 1 (B )   Mỗi biến ngẫu nhiên X (  ,,P) xác định độ đo xác suất PX (  ,  ) công thức: gọi độ đo ảnh độ đo xác suất P ánh xạ X Với PX khơng gian đo ( ,  ) trở thành không gian xác suất (  ,  , PX ) 3.1.3 Định nghĩa (Phân phối xác suất hay luật xác suất) Độ đo xác suất PX (tạo biến ngẫu nhiên X) gọi phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X hay luật xác suất biến ngẫu nhiên X 3.1.4 Định nghĩa kỳ vọng biến ngẫu nhiên Cho X biến ngẫu nhiên không gian xác suất (  ,,P) kỳ vọng X tích phân: E  X    X   dP     tdPX  t    Moment bậc k X  k    kỳ vọng m k  X   E  X k  , k  0,1, Nếu B tập  đo được: B   thì: Ta có E 1  E  X    1 dP  P      1.5 Mệnh đề (Kỳ vọng phiếm hàm tuyến tính) Cho X, Y biến ngẫu nhiên, a, b số thì: E  aX  bY   aE  X   bE  Y  E  X   m1 m1  X  2 Phương sai X   X   E  X  m1    m  X    m1  X     Được coi số đo độ phân tán giá trị X nhận quanh kỳ vọng m1 3.1.6 Mệnh đề Cho X biến ngẫu nhiên phức với luật xác suất PX X có moment m k  X    t k dPX  t   Ngược lại ta có định lý: Các moment biến ngẫu nhiên xác định luật xác suất chúng theo nghĩa sau: 3.1.7 Định lý Hai biến ngẫu nhiên có moment có luật xác suất Ta khơng chứng minh định lý mà xét định lý tương tự tổng quát mục sau 3.2 Các khơng gian xác suất khơng giao hốn Tuy xác suất cổ điển khái niệm không gian xác suất sở (  ,,P) với: không gian mẫu, biến cố, xác suất biến cố…, ta nhận thấy kết nghiên cứu lý thuyết xác suất giải tích ngẫu nhiên tập trung tảng khái niệm: biến ngẫu nhiên X, luật xác suất PX , kỳ vọng E(X) , moment… Đây đối tượng tảng xác suất khơng giao hốn hay xác suất lượng tử Để tiếp cận tổng quát hóa lý thuyết xác suất theo hướng xác suất đại số khơng giao hốn hay đại số tốn tử, ta khái quát kết sau: Xét  không gian mẫu xác suất cổ điển Ta xây dựng đại số     gồm biến ngẫu nhiên phức  Chú ý đại số biến ngẫu nhiên X, Y…  với phép toán đại số quen thuộc:  X  Y    X    Y   (1)  X    X   (2)  XY    X   Y   (3) Đại số giao hoán phép nhân (3) giao hoán Đây  - đại số  tập   (  ,,P) Kỳ vọng biến ngẫu nhiên định nghĩa phiếm hàm tuyến tính , X  E  X  với E 1  Nhớ kỳ vọng tích phân, kỳ vọng xác định moment biến ngẫu nhiên theo định lý 3.1.7 xác định luật xác suất PX biến ngẫu nhiên từ cung cấp thơng tin liên quan đến biến ngẫu nhiên Như ta không ý tới không gian sở (  ,,P) mà xuất phát từ đại số biến ngẫu nhiên với tích phân  3.2.1 Định nghĩa Một khơng gian xác suất khơng giao hốn cặp  ,   đại số C có đơn vị trường số phức  phiếm hàm tuyến tính  cho  1  Các phần tử  gọi biến ngẫu nhiên Phiếm hàm tuyến tính  gọi vết   xy     yx  với biến ngẫu nhiên x, y   (ta dùng chữ nhỏ x, y… để phần tử đại số  ) 3.2.2 Ví dụ Cho  khơng gian tôpô với  - đại số Borel độ đo xác suất Khi ta xét tập hợp C    biến ngẫu nhiên liên tục  , lập thành C* đại số giao hoán với phép toán đại số thông thường hàm f  g, f fg Ngồi phép tốn * (đối hợp) phép lấy liên hợp f *  t   f  t  , f  C    , t   Kỳ vọng trạng thái (state), tức phiếm hàm tuyến tính liên tục cho E 1  thỏa mãn E  f *f   với biến ngẫu nhiên f  C    C* - đại số C    tác động khơng gian Hilbert L2    tốn tử nhân tử bên trái ta có biểu diễn GNS faithful: tốn tử tuyến tính bị chặn từ L2    vào L2    ) ( không gian 3.2.3 Định nghĩa Tôpô yếu khơng gian tốn tử bị chặn bởi: Nói dãy toán tử  x n  có giới hạn x ∈ dãy  x n f ,g  n định nghĩa có giới hạn xf , g , n   với f , g  L2    C* - đại số C    khơng đóng khơng gian theo tơpơ yếu Bao đóng đại số von Neumann L    gồm tất hàm đo bị chặn  Kỳ vọng liên tục tôpô yếu 3.2.4 Định nghĩa Cho  ,  không gian xác suất khơng giao hốn Ta gọi cặp  ,  C* - không gian xác suất đại số  C* - đại số phiếm hàm  trạng thái (state) Ta gọi cặp  ,  W* - không gian xác suất đại số  đại số von Neumann phiếm hàm  trạng thái liên tục yếu Định lý von Neumann hốn tập kép cơng cụ hữu hiệu nghiên cứu W* - không gian xác suất 3.2.5 Định nghĩa Cho đại số   B  H  (khơng gian tốn tử bị chặn từ không gian Hilbert H vào H) Ta định nghĩa hoán tập  tập  '  '  x  B  H  | xy  yx, y   3.2.6 Định lý von Neumann (hoán tập kép) Một đại số    ' đóng yếu (do đại số von Neumann) 3.2.7 Ví dụ: Cho (  ,,P) không gian xác suất cho X ij |1  i, j  n tập hợp biến ngẫu nhiên Khi ta xây dựng ma trận ngẫu nhiên với Mn    kí hiệu tập tất ma trận phức nxn Đại số ma trận ngẫu nhiên liên tục C* - đại số M n  C     Phép nhân rõ ràng nhân ma trận khơng giao hốn, phép đối hợp định nghĩa bởi: Như phép lấy chuyển vị liên hợp phức Phiếm hàm  vết định nghĩa cơng thức Khi ta nhận C* - không gian xác suất ma trận ngẫu nhiên liên tục Ta định nghĩa W* - không gian xác suất ma trận ngẫu nhiên bị chặn 3.2.8 Định nghĩa (luật xác suất) Cho  ,  không gian xác suất không giao hoán cho biến ngẫu nhiên x   Khi moment bậc k x số k = 0,1,2,… Luật xác suất biến ngẫu nhiên x phiếm hàm tuyến tính nghĩa cơng thức: với đa thức *- đại số sinh phần tử x   định Do tính tuyến tính, luật xác suất biến ngẫu nhiên x xác định moment 3.2.9 Định lý Cho  ,  C* - không gian xác suất cho x   toán tử tự liên hợp A (x có phổ số thực-tương ứng với biến ngẫu nhiên thực) tức x *  x Khi tồn độ đo Px đường thẳng thực cho với đa thức Chứng minh Ta định nghĩa luật xác suất cho đa thức D Theo định lý Stone- Weierstrass ta thác triển phiếm hàm tuyến tính Px cách thành phiếm hàm tuyến tính liên tục theo chuẩn (chuẩn sup) hạn chế lên tập compact  Theo định lý biểu diễn Riesz ta định nghĩa độ đo Px cho: Với ( không gian hàm liên tục  ) □ Trường hợp định lý 1.7 hệ định lý này; trường hợp phức dễ dàng suy 3.2.10 Hệ Hai biến ngẫu nhiên cổ điển có moment có luật xác suất □ 3.3 Một số dạng khơng gian Lp khơng giao hốn Như ta biết độ đo tích phân có mối liên hệ mật thiết: cho độ đo chẳng hạn độ đo xác suất P định nghĩa tích phân hàm đo X- trường hợp kỳ vọng E(X): Và ngược lại có tích phân: E(X) ta xác định độ đo P: với A tập đo xác định độ đo P(.) Và ta xác định khơng gian hàm lũy thừa p-khả tích Lp Trong xác suất khơng giao hốn lý thuyết đại số tốn tử nói chung hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết xác suất cổ điển Sau xin giới thiệu cách tóm tắt ý tưởng định lý khơng gian Lp khơng giao hốn cho đại số von Neumann Chúng ta theo dõi phần trình bày Nelson: Cho A đại số von Neumann với vết  nửa hữu hạn, chuẩn tắc, trung thành   Cho M  x  A :   x* x    Ta M ideal hai phía A  x y : x , y  M , m    m Do đó: M  * i i i i ideal Có thể M gồm i 1 tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn phần tử x A với   x    phần tử tạo thành M  A Do đó,  mở rộng thành phiếm hàm tuyến tính M (ta kí hiệu mở rộng  )   xy     yx  với   x, y  M Với  p   x  M ta đặt x p   x x, y  M p p Có thể chứng minh rằng, với 1   , ta có bất đẳng thức Holder: p q   xy   x p y q Tất nhiên, điểm chủ yếu định lý không gian Lp khơng giao hốn Từ bất đẳng thức Holder ta thu bất đẳng thức Minkowski: x  y p  x p  y p , x, y  M Do M khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn Gọi Lp  A,  khơng gian Banach bổ sung Chúng ta ý rằng,  x  M với biểu diễn phổ: p  x   e  d   thì, với   , ta có:   p  x p    x       e  d         e  d     p  e   ,       p p p p Từ suy rằng:  x n  M dãy Cauchy chuẩn p dãy Cauchy độ đo Do có ánh xạ tự nhiên liên tục Lp  A,  vào A Ta chứng minh ánh xạ đơn ánh, Lp  A,   coi khơng gian tốn tử đo luỹ thừa p, khả tích  Ta đồng 1 A với L  A,  Hơn nữa, với  p   ,   , đối ngẫu Lp Lq Ta có p q thể đồng L1  A,  với tiền đối ngẫu A* A A với đối ngẫu L1  A,  (so sánh với định nghĩa 2.7.6 Điều hồn tồn tương tự với trường hợp cổ điển 3.4 Đại số L  , F,  , A  3.4.1 Định nghĩa Cho A đại số von Neumann với tiền đối ngẫu khả ly (điều tương đương với giả thiết A tác động không gian Hilbert khả ly) Cho  , F ,   không gian đo hữu hạn Một hàm F :   A gọi  - đo  - yếu với x*  A* , hàm số    F   , x*  x*  F     - đo Kí hiệu L  , F ,  , A  không gian gồm tất hàm bị chặn cốt yếu  - đo  - yếu F :   A với chuẩn: F   sup ess F   ωΩ A Tích ten-xơ đại số L  , F ,    A đồng với tập hợp hàm số: F k  xk   Fk   xk , k Fk  L  , F ,   xk  A , tức với tập L  , F ,  , A  Ta chứng minh ánh xạ F  x  F     F  L  , F ,   , x  A  mở rộng thành * - đẳng cấu tích ten-xơ đại số von Neumann L  , F,   A lên L  , F,  , A  Trường hợp đặc biệt, L  , F,  , A  đại số von Neumann (dưới phép nhân theo điểm) Tiền đối ngẫu L1  , F ,  , A*  , không gian Banach tất hàm A* - giá trị Bochner  - khả tích  , đối ngẫu cho công thức: x, y   x   , y     d  , x  L  , F ,  , A  , y  L1  , F ,  , A*   Để chứng minh xem ví dụ Sakai Đại số giao hốn von Neumann 3.4.2 Định nghĩa Cho A đại số von Neumann giao hoán Một character  A ánh xạ tuyến tính khác 0,  : A   A vào tập số phức  cho:   xy     x   y  , x, y  A Tập tất character A ký hiệu   A  gọi phổ A 3.4.3 Bổ đề Nếu  đặc số đại số von Neumann giao hoán A với x  A ,   x     x  - phổ x Chứng minh Giả sử     x  Khi    x  y  với     x    y    1  ;      x    y   vài y hệ   x       x     x  3.4.4 Bổ đề Một trạng thái  đại số von Neumann giao hoán A túy   xy     x    y  Chứng minh Theo định lý 2.3.5, biểu diễn cyclic   A liên kết với  bất khả quy  trạng thái túy Nhưng    A      A  ' (do A giao hốn) Vì  H  ,   bất khả quy H  chiều (vì dim H   tồn phép chiếu không tầm thường p    A  ' cho theo định lý 2.1.2 p  H   A – bất biến) Trong trường hợp   xy     x    y     x    y  (đpcm) 3.4.5 Bổ đề Cho  phiếm hàm tuyến tính khác đại số giao hoán von Neumann A Các điều kiện sau tương đương: 10,  đặc số A 20,  trạng thái túy A Chứng minh 10  20: Theo bổ đề 3.4.3  phần tử A* với chuẩn   Nhưng  1   trạng thái Theo bổ đề 3.4.4  trạng thái túy 20  10: Suy từ bổ đề 3.4.3 3.4.6 Định lý Cho x phần tử tùy ý đại số von Neumann A Tồn trạng thái túy  A cho:   x * x   x Chứng minh Kí hiệu E tập tất trạng thái  A với tính chất   x * x   x Theo định lý Hahn – Banach E không rỗng (ta mở rộng phiếm hàm     x x      x  Hơn nữa, E tập lồi, yếu * - đóng tập tất * trạng thái A Do E yếu * - compact Theo định lý Krein – Milman, E có điểm cực biên Coi  điểm cực biên Giả sử   1  1    2 với    Nhưng i  x * x   x thể 1  x * x   2  x * x   x x  1  x * x   1    2  x * x  Điều có 1 , 2  E Vì  điểm cực biên E kéo theo 1  2   Do  điểm cực biên tập tất trạng thái A Do  trạng thái túy 3.4.7 Định lý Cho A đại số von Neumann giao hoán Phổ   A  A trang bị topo* yếu kế thừa từ đối ngẫu A* không gian Hausdorff compact A * - đẳng cấu với đại số C   A   hàm liên tục   A  Chứng minh Tính compact yếu *   A  suy từ kết giới hạn yếu *  tập hợp đặc số  có tính chất nhân Để chứng minh phần thứ hai định lý, với x  A ,     A  , đặt: x  x      x      x   y   Hơn nữa: Rõ ràng ta có xy 2 x  sup x    sup x * x    x   A (theo định lý 3.4.6)   A Do x  x xác định đồng cấu A vào khơng gian hàm phức x Tính liên tục x  x   suy từ   A  trang bị topo yếu * từ định nghĩa x     x  Rõ ràng, hàm x tách điểm   A  Do tập hàm x cho toàn C   A   định lý Stone – Weierstrass 3.4.8 Định lý Cho A đại số von Neumann nửa hữu hạn giao hốn Khi A * - đẳng cấu với đại số von Neumann L   A  ,   ,  độ đo Radon C   A   Chứng minh Theo định lý 2.7.14 tồn trạng thái  chuẩn tắc trung thành A Theo định lý 3.4.7, A đẳng cấu với C   A   Theo định lý biểu diễn Riesz, trạng thái  xác định độ đo Radon   cho:   x    x    d   , x  A  Ta coi  : x  x   ;     A  ánh xạ từ A vào L   A  ,   Từ  trung thành chuẩn tắc,  xác định * - đẳng cấu A lên L   A  ,   3.4.9 Chú ý Tất vấn đề nói đến mục trước định lý cuối chứng minh (khơng có thay đổi nào) lớp tổng quát C * - đại số giao hoán Từ chứng minh định lý cuối ta thấy rõ tập compact   A  đặc biệt Thật vậy,   A  trường hợp gọi không gian siêu Stonean Nếu A không nửa hữu hạn ta chứng minh A * - đẳng cấu với L khơng gian khả địa phương (tích trực tiếp không gian độ đo hữu hạn) KẾT LUẬN Trong học lượng tử, C * - đại số biết đến đối tượng toán học hàng đầu để mơ hình hóa đại số đối tượng vật lý quan sát Bắt đầu cho hướng nghiên cứu Heisenberg với học ma trận, phát triển dạng toán học Pascual Jordan năm 1933, sau John von Neumann tiếp tục phát triển mạnh mẽ hướng nghiên cứu xây dựng lớp đặc biệt C * - đại số, gọi đại số von Neumann Từ khái niệm đại số dùng học lượng tử dẫn đến ý tưởng xây dựng không gian xác suất không giao hốn gọi C* - khơng gian xác suất hay W* - không gian xác suất Luận văn trình bày số khái niệm đại số von Neumann dùng xác suất không giao hốn Ngồi ra, tương ứng với khái niệm như: biến ngẫu nhiên X, luật xác suất PX , kỳ vọng E(X) , moment, độ đo – tích phân xác suất cổ điển, luận văn trình bày số khái niệm kết xác suất khơng giao hốn Vấn đề đề cập đến luận văn tương đối khó xác suất đại, mối quan hệ chặt chẽ đại số toán tử, vật lý lượng tử xác suất Vì tơi cố gắng để tìm hiểu, tổng hợp hệ thống vấn đề có liên quan đến nội dung đề tài luận văn chắn không tránh khỏi hạn chế Tôi mong muốn nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn để đề tài bổ sung hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Viết Yên – Nguyễn Duy Tiến (2001), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Viết Phú – Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Duy Tiến (2000), Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất đại học Quốc gia Hà Nội Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất thống kê, Nhà xuất đại học Quốc gia Hà Nội Ryszard Jajte (1985), Strong Limit Theorems in Non – Commutative Probability, Springer – Verlag, Berlin New York Tokyo R.V.Kadison (1952), A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras, Ann Math 56,(494 – 503) E.Nelson (1974), Notes on non – commutative, J.Funct Anal.15 (103 – 116) S.Sakai (1971), “ C* - algebras and W* - algebras”, Berlin – Heidelberg – New York: Springer – Verlag I.E Segal (1953), A non – commutative extension of abstract integration, Ann Math 57 (401 – 457) 10 S.Stratila and L.Zsido (1979), “Lectures on von Neumann algebras”, Bucharest, Editura Academici 11 M.Takesaki (1979), “Theory of operator algebras I” Berlin – Heidelberg – New York: Springer – Verlag 12 F.J Yeadon (1975), Non – commutative Phil.Soc.77 (91 – 102) - spaces, Proc Cambridge 13 Cơ học lượng tử http://www4.hcmut.edu.vn/~huynhqlinh/project/VatlyLuongtuDC/chuong3A.htm#I-1 14 Quantum mechanics –Wikipedia The free encyclopedia en.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics ... tính chất mối quan hệ ba dạng đại số định chuẩn: Đại số Banach, đại số C * đại số von Neumann Chương 2: Một số khái niệm đại số von Neumann dùng xác suất khơng giao hốn - hay xác suất lượng tử... 1.2 Đại số C * 1.3 Đại số von Neumann 10 Chương Một số khái niệm đại số von Neumann dùng xác suất khơng giao hốn-hay xác suất lượng tử 12-38 Mở đầu, hoán tập ,hoán tập bậc hai- Định lý von Neumann, ... xác suất CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ VON NEUMANN DÙNG TRONG XÁC SUẤT KHƠNG GIAO HỐN – HAY XÁC SUẤT LƯỢNG TỬ Mở đầu, hoán tập ,hoán tập bậc hai- Định lý von Neumann, không gian A-bất