Về các nhóm với tính chất hoán vị trên các giao hoán tử

-1- -2- LỜI MỞ ĐẦU Cho G nhóm n  2(n  Z ) Ta nói G  Cn nếu, với ( x1, x2 , , xn )  G , tồn hốn vị khơng tầm thường n  { 1,2,…,n } cho:  x1, x2 , , xn    x (1) , x (2) , , x (n)  Ký hiệu: C  UCn | n  2 Các nhóm G thuộc lớp C2 nghiên cứu I.D MacDonald [6] Ông chứng minh G thuộc lớp C2 C3 (G), C2 (G)  1, G''   (G) exp G '  N.Gupta F.Levin [1] ngiên cứu đa tạp V (n,  , d ) tất nhóm thỏa mãn đồng thức:  x1, x2 , , xn    x (1) , x (2) , , x (n)  Trong đó, d số nguyên (d  Z )  d , hốn vị khơng tầm thường cố định {1,2,…,n} Mở rộng số kết trước H Meier-Wunderly, E.B Kikodze I.D Macdonald, họ chứng minh V (n,  , d ) nilpotent-by-nilpotent   (12) , abelian-by-nilpotent n > 2,  (n)  n , lũy linh lớp cao n+1 1, 2   1 ,    Nội dung đề tài gồm chương : Chương Trình bày lại số khái niệm kết liên quan nhóm, nhóm con, nhóm chuẩn tắc, nhóm thương, nhóm giao hoán tử… để phục vụ cho việc chứng minh bổ đề, mệnh đề, định lý chương sau Chương Sau nhận xét chung nhóm thuộc lớp C, ta nghiên cứu nhóm thuộc lớp C3 Ta chứng minh nhóm hữu hạn cấp lẻ -3- thuộc lớp C3 lũy linh lớp nhỏ 3, lũy linh lớp nhỏ khơng chia hết G Hơn nhóm hữu hạn thuộc lớp C3 p-nilpotent, với số nguyên tố p  2,3 Em xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn truyền thụ kiến thức Toán học quý báu tạo điều kiện cho sinh viên khoa Tốn có mơi trường học tập, nghiên cứu tốt Đồng thời, em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Viết Đức nhiệt tình giúp đỡ, hướng dẫn, góp ý cho em suốt q trình em thực luận văn Cảm ơn động viên, giúp đỡ tất bạn bè, đặc biệt bạn lớp 08_CTT2 Mặc dù cố gắng, nỗ lực trình nghiên cứu bước đầu nghiên cứu trình độ, kinh nghiệm cịn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Vì vậy, em mong nhận lời bảo quý báu quý thầy cô góp ý bạn đọc Đà Nẵng, tháng 05 năm 2012 Tác giả -4- CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1.Nhóm 1.1.1.Nhóm Định nghĩa 1.1 Cho tập G phép tốn hai ngơi G Ký hiệu: (.) (G,.) gọi nhóm nếu: i)x, y, z  G,  xy  z  x  yz  ii)1G  G, x  G,1G x  x1G  x iii)x  G, x1  G, x1x  xx1  1G Nếu x, y  G, xy  yx (G,.) gọi nhóm aben ( nhóm giao hốn) Nếu nhóm G gồm số hữu hạn phần tử G gọi nhóm hữu hạn Khi số phần tử G gọi cấp nhóm, ký hiệu G Nếu nhóm G khơng phải hữu hạn G gọi nhóm ( có cấp ) vơ hạn 1.1.2 Nhóm Định nghĩa 1.2 Cho (G,.) nhóm, H  G Nếu H với phép tốn G tạo thành nhóm, ta gọi H nhóm G Ký hiệu: H  G Mệnh đề 1.1 Ắt có đủ để tập H nhóm (G,.) nhóm nhóm G : i) H   ii)x, y  H , xy  H iii)x  H , x 1  H -5- Hệ 1.1 Ắt có đủ để tập H nhóm (G,.) nhóm (G,.) : i) H   ii)x, y  H , xy 1  H 1.1.3 Nhóm cyclic Mệnh đề 1.2 Giao nhóm nhóm G nhóm nhóm G Định nghĩa 1.3 Cho (G,.) nhóm X tập khác rỗng G Nhóm G sinh tập X giao tất nhóm G có chứa X Ký hiệu : X      Mô tả : X  x1 x2 xn n / xi  X ,  i  1, n  N Nhận xét : X nhóm nhỏ G có chứa X Nếu X  G ta nói G nhóm sinh X X tập sinh G Định nghĩa 1.4 Cho  G,. nhóm phần tử a  G Nhóm cyclic G sinh phần tử a nhóm G sinh phận X  a Ký hiệu : a   Mô tả : a  a / m  Z m Định nghĩa 1.5 Cấp phần tử a nhóm G cấp nhóm cyclic a số nguyên dương m nhỏ cho a m  Ký hiệu : a Định nghĩa 1.6 Một nhóm G gọi nhóm cyclic G sinh phần tử a  G Phần tử a gọi phần tử sinh G -6- Nhận xét: Nếu G  x G nhóm hữu hạn cấp r, s số nguyên tố với r, x s  G 1.1.4 Nhóm chuẩn tắc, nhóm thương Định nghĩa 1.7 Các phận xA gọi lớp trái nhóm A X Tương tự, lớp phải Ax A X phận mà phần tử có dạng ax với a  A Định lý 1.1 Cấp nhóm H nhóm hữu hạn G chia hết cấp G Mô tả : H \ G Hệ 1.2 Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn G ước cấp G Định nghĩa 1.8 Số lớp trái (phải) H G gọi số h G Ký hiệu : G : H  Nhận xét: Nếu G nhóm hữu hạn G  H G : H Định nghĩa 1.9 Cho  G,. nhóm, H  G H gọi nhóm chuẩn tắc G, Hx  xH , x  G Ký hiệu : H < G Mệnh đề 1.3 Ắt có đủ để nhóm H nhóm chuẩn tắc G,là : i)x  G, xH  Hx ii)x  G, xHx 1  H iii)x  G, xHx 1  H -7- Định nghĩa 1.10 Cho  G,. nhóm, H < G Lúc tập thương : G / H  xH / x  G với phép toán  xH , yH  a  xH  yH   xy.H tạo thành nhóm ta gọi G / H nhóm H G, với 1G / H  1G.H  H  xH 1  x1H , x  G Định lý 1.2 Nếu A nhóm chuẩn tắc của nhóm X, : (i) Quy tắc cho tương ứng với cặp (xA, yA) với lớp trái xyA ánh xạ từ X / A X / A a X / A (ii) X/A với phép tốn hai ngơi ( xA, yA) a xyA nhóm, gọi nhóm thương X A 1.1.5 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.11 Cho nhóm G, H Một tương ứng f : G  H gọi đồng cấu : + f ánh xạ + f ( xy )  f ( x) f ( y), x, y  G Nếu G = H đồng cấu f gọi tự đồng cấu G Định nghĩa 1.12 Cho f : G  H đồng cấu nhóm Lúc : + Nếu f đơn ánh, ta gọi f đơn cấu + Nếu f tồn ánh, ta gọi f toàn cấu + Nếu f song ánh, ta gọi f đẳng cấu + Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu -8- 1.2 Một số khái niệm kết liên quan Định nghĩa 1.13 Tâm nhóm G định nghĩa  (G)  z  G / zg  gz, g  G Tính chất 1.1  (G) < G Định nghĩa 1.14 ( nhóm giao hoán tử ) Cho x, y phần tử thuộc 1 1 nhóm G Phần tử xyx y gọi hoán tử G ký hiệu  x, y Nhóm G sinh tập tất hoán tử gọi nhóm giao hốn tử ( nhóm dẫn xuất ) G Ký hiệu G '  G, G Tính chất 1.2 G ' nhóm chuẩn tắc G Định nghĩa 1.15 Cho a phần tử nhóm G Tâm hóa tử a ( G ) định nghĩa CG (a)  c  G / ca  ac Định nghĩa 1.16 Cho A tập khác rỗng G Tâm hóa tử A ( G ) định nghĩa : CG ( A)  c  G / ca  ac, a  A Tính chất 1.3 Ta có CG ( A) nhóm G Định nghĩa 1.17 Cho X tập khác rỗng g phần tử nhóm G, liên hợp X g tập X g  g 1 Xg  g 1 xg / x  X  Chuẩn hóa tử X G định nghĩa : NG ( X )   g  G / X g  X  -9- Định nghĩa 1.18 Cho nhóm G, ta ký hiệu  (G) [G,G] nhóm tâm nhóm giao hoán tử G Ký hiệu: C1 (G)  G Ci1 (G)  Ci (G), G, i  1,2, Rõ ràng C2 (G)  G, G ta có: G  C1 (G)  C2 (G)  C3 (G)  Ta gọi dãy dãy tâm giảm nhóm G  0 i 1 i  i  Định nghĩa 1.19 Cho G nhóm, đặt G  G, G  G , G  , i  i  Nhóm G gọi nhóm hốn tử bậc i G Định nghĩa 1.20 Cho G nhóm A nhóm G Nhóm B G gọi phần bù A G G=AB A  B  e Định nghĩa 1.21 Cho G nhóm (i) Nếu G nhóm cấp p n với n số tự nhiên, p số nguyên tố G gọi p – nhóm (ii) Nếu H nhóm G H p –nhóm H gọi p – nhóm G Định nghĩa 1.22 Một nhóm G gọi mêta cyclic G có nhóm chuẩn tắc N cho N G/N cyclic Định nghĩa 1.23 Một nhóm G gọi mêta aben G có nhóm chuẩn tắc N cho N G/N aben Nhận xét: G nhóm mêta aben nhóm giao hốn tử [G,G] aben -10- Định nghĩa 1.24 (Tích trực tiếp tích nửa trực tiếp) G gọi tích trực tiếp K H H < G, K < G, G  HK H  K  Khi đó, H K hạng tử trực tiếp nhóm G Ký hiệu : G  H e K G gọi tích nửa trực tiếp K H K < G, G  KH H  K  Khi đó, K hạng tử nửa trực tiếp G Ký hiệu: G  K < H 1.3 Nhóm giao hốn tử 1 Ta ký hiệu v  y vy với phần tử y v y 1.3.1 Một số tính chất hoán tử Định lý 1.3 Cho x,y,z phần tử nhóm G Khi đồng thức sau thiết lập :  i   x, y    y, x y  ii   xy, z    x, z   y, z  y  iii   z, xy    z, y  z, x 1 Chứng minh  i   x, y  1   x 1 y 1 xy     yx    xy  1 1  xy   yx   y 1 x 1 yx   y, x   1 1 -23- ii) Theo i) ta có a1, a2 , a3   N a , a , a , a , a , a  N Ta  3 1  cần chứng minh a1, a2 , a3    Ta có G ', G có cấp lẻ nên a1, a2 , a3  Bổ đề 2.3 Cho G  A x  C3 , A < G nhóm aben x có cấp lẻ Thì  a, x, x, x   a, x, x   1,với a  A Chứng minh G nhóm mêta aben, với a  A ta có  x,ax,ax2  ax, ax2 , x ax2 , x,ax  Hơn x  x,ax,ax    x, a, x2  , x x x x ax,ax2 , x  a, x2   x,a  , x  a, x2 , x  x,a,x    2 ax , x,ax    a, x, x x2 a, x, x  1hoặc Nếu thỏa hai  x, a, x2   1, kết luận rõ ràng 2 Bây giả sử ax,ax , x  1, a, x , x    a, x, x Thì x2 x a, xx  x2 , a   x, a hội tụ đến x, từ ta có kết Do ta giả sử  x,ax,ax2  , ax,ax , x ax2 , x,ax   Theo bổ đề 2.1 i) ta có  x, a, x2   a, x2 , x   x, a, x  a, x, x x x2 x x2 ( x, a, x2  )2   x, a, x2  a, x2 , x  x, a, x   x, a, x  a, x, x  , x x 2  x, a, x  a, x , x  x x2 x2 x -24- Bởi  x, a, x    a, x, x 3 Hơn a, x, xa, x, xx  a, xa, xx , x   a, x2 , x   a, x, x2    x, a, x2  từ a, x, x    x, a, x    x, a, x  x 1 x 1   x, a, x  ,  a, x, x , x  a, x, x, x  Bổ đề 2.4 Cho G  a, b  nhóm mêta aben hữu hạn cấp lẻ Nếu G thuộc lớp C3 G ', G   Chứng minh Trước hết giả sử a, b, b  ; b G nhóm aben Thật a, b, b  nghĩa b, ba   a a a a a  b , b, a b, a, b  a, b , b  a, b , b  b , a, b Ta lại có b, a , b  b, a, b b,a a ba , a, b  1, b, ba   Bây giả sử   b, ba     i  i a b,a  Ta b, a , b   b, a, b  i 1 a a a b, , b  1  b, ai1, ba  ai1, ba , b ba , b, ai1   ai1, ba , b , b hốn i2 ba Thì b, ba   với n  N n vị với Áp dụng bổ đề 2.3 với G  b G a suy b, a, a 3  b, a, a, a   x -25- Ta lại có: b, a, a, b  b, a, b, a   1, G ', G    a, b, a có cấp nhỏ Tương tự ta có kết a, b, a  a, b, ab  a, b, ba  Bây giả sử a, b, b , a, b, a, a, b, ab, a, b, ba  Thì ta có  a, b, ab   a, b, b a, b, a   1, b b, ab, a  b, ab , a  b, a, ab, a, b, a  b, a, ab, a, a, b  b, a, ab  Do G nhóm mêta aben,  x, y, z, t    x, y, t, z  với x, y, z, t  G     Và ab, a, b  b, a, b  Theo bổ đề 2.1 i) ta có:  a, b, b a, b, a   b, a, a b, a, a, b  b, a, b  b Lập luận tương tự với  a, b, ba , b, ba, a ba, a, b , ta được: a, b, aa, b, ba  b, a, bb, a, b, a  b, a, a  Thì b, a, b  b, a, a b, a, a, b  b, a, bb, a, a, b  , từ b, a, a, b  b, a, b  b, a, a Thật vậy, b, a, b   a, b, b a, b, a b, a, bb, a, a   1, b, a, b  (G) G ', G  b, a, b có cấp nhỏ -26- Định lý 2.1 Cho G nhóm hữu hạn có cấp lẻ cho khơng chia hết G ', G  Thì G  C3 G ', G  Chứng minh Trước hết giả sử G nhóm mêta aben xét x, y  G Đặt H  x, y , ta có  H ', H   theo bổ đề 2.4,  H ', H    x, y, y  Bởi G nhóm 2-Engel theo kết F.W.Levi ( xem[5]), G ', G 3  1, ta giả thiết G ', G  Bây ta biện luận quy nạp dẫn xuất độ dài G Cho a, b  G K  a, b K / K '' nhóm mêta aben, K '/ K "   ( K / K ") K '/ K "   a, b K " nhóm cyclic Bằng quy nạp ta K "   ( K ') K nhóm mêta aben Do  K ', K   a, b, b  Nhóm G nhóm 2-Engel lại có G ', G  Chứng minh rõ ràng Nhận xét 2.3 Cho G  A < B , A nhóm chuẩn tắc tối thiểu n G, A  (n  1), A nhóm aben sơ cấp B có cấp nguyên tố q>3 Thì G C3 Chứng minh G nhóm mêta aben có cấp lẻ, 2- phần tử sinh với G ', G  A Thì kết luận rút từ bổ đề 2.4 -27- Định lý 2.2 Cho G nhóm hữu hạn cấp lẻ Nếu G thuộc lớp C3 G nhóm lũy linh Chứng minh Theo định lý 2.1 ta giả sử chia hết G ', G  Bằng phản chứng giả sử kết sai, cho G phản ví dụ tối thiểu Do G có nhóm chuẩn tắc tối thiểu N, G / N lũy linh N số hạng không tầm thường cuối dãy tâm giảm G N nhóm aben sơ cấp, N   (G)  hay G  N < H với H  G , theo kết tiếng W.Gaschutz Bởi H lũy linh N p – nhóm p không chia hết H , mặt khác H  H p  H p , với H p  1, NH p '  G , NH p ' lũy linh N   N , H    N , H p   N  NH p Nếu H  Hq  Hq ' , với H q  Hq '  1(q số nguyên tố), trước NH q NHq ' nhóm lũy linh,  N , H   1, mâu thuẫn Bởi vậy, H là q – nhóm (q số nguyên tố), lập luận tương tự, H có nhóm cực đại Vì dễ dàng ta thấy H nhóm n cyclic, có cấp nguyên tố Do G  N < H , N  H ', N  p , với n số nguyên Bởi p  3, n  G  C3 theo nhận xét 2.3 -28- Mệnh đề 2.1 Cho G nhóm mêta aben Nếu G ', G có cấp 3, G thuộc lớp C3 Chứng minh Cho x, y, z  G G ', G  {1,a,b} Nếu  x, y, z  1,  y, x, z    x, y, z    y, x, z  Bây giả sử  x, y, z   đặt a   x, y, z  1 Do  y, x, z    x, y, z   a  b 1 Nếu  y, z, x  { y, z, x, z, y, x}  {a,b};  y, z, x    x, y, z  y, z, x z, x, y    x, y, z  z, x, y   x, y, z    x, z, y  Bởi G thuộc lớp C3 Định lý 2.3 Cho G  a, b 3- nhóm hữu hạn Thì G thuộc lớp C3 G ', G  Chứng minh G / G '' nhóm mêta aben, G ', G  / G ''  theo bổ đề 2.4 Do từ G '/ G "   a, b G ", G ', G  / G " ta có G '/ G " 2- phần tử sinh G ' 2- phần tử sinh Bởi G nhóm mêta aben ( xem [3SS], định lý III 7.9) theo bổ đề 2.4 suy G ', G   Đảo lại, G ', G   3, G lũy linh lớp nhỏ G nhóm mêta aben Thì ta rút kết luận từ mệnh đề 2.1 -29- Bổ đề 2.5 Cho G  x, y, z 3- nhóm hữu hạn lớp nhỏ Nếu G thuộc lớp C3 G ', G   Chứng minh G nhóm mêta aben với G ', G   (G) Nếu G nhóm 2Engel,  x, y, z    x, z, y  1 G ', G   1, nghĩa G ', G    x, y, z  có cấp nhỏ Bây giả sử G nhóm 2- Engel Thì ta giả sử  x, y, y  Thật vậy, G nhóm 2- Engel, có phần tử sinh, ta nói x khơng phải nhóm Engel sơ cấp Nếu  x, y, y    x, z, z    x, xy, xy    x, xz, xz ,  x, y, x    x, z, x Bởi ta có  x, yz, yz   1, mặt khác  x, y, z    x, z, y 1 ,  x, x n y m z t , x n y m z t    x, y, z  mt  x, z, y mt  với số nguyên n, m, t  x, a, a  với a  G , mâu thuẫn  x, y, x  Nếu  x, y, x  1, ta có  yx, y, yx   x, y, y x, y, x   x, y, y   yx, y, y   x, y, y  1, Ta giả sử ta thay x yx Giả sử  x, y, z  ,  y, z, x ,  z, x, y  Nếu  x, y, z    x, y, xz   x, y, z x, y, x   x, y, x  1, ta thay z xz Bây giả  y, z, x  sử  y, zx , x    y, x, x   Ta có  y, zx, x   y, x, x  -30- Hơn nữa,  x, y, zx   x, y, x x, y, z   x, y, zx    x, y, x   x, y, z  , có hai giao hoán tử  x, y, zx  x, y, zx  không tầm thường Do ta thay z hai zx zx2 Thật giả sử  z, x, y   zy, x, y   y, x, y  Ta  zy , x, y    y, x, y   Hơn nữa,  x, y, zy    x, y, y  x, y, z   x, y, zy    x, y, y   x, y, z  , có số  Thật  y, zy, x   y, z, x   y, zy , x    y, z, x   1, ta thay x hai zy zy2 Thì theo bổ đề 2.1 ta  x, y, z    y, z, x   z, x, y    x, y, z   Bây ta chứng minh G ', G    x, y, z  , nghĩa ta kết yêu cầu Xét  x, y, yz    x, y, z  x, y, y  x, y, y    x, y, z  Bây giả  x, y, yz   1, Nếu  x, y, yz   1, sử  x, y, yz    x, y, yz 1   y, x, yz  Ta lại có  x, y, yz    x, yz, y    x, y, y  x, z, y  mặt khác  x, y, z    x, z, y    z, x, y    x, y, z  1 1 Hơn  x, y, yz    y, yz, x   y, z, x   x, y, z ,  x, y, y  1, mặt khác  x, y, y    y, x, y    x, y, y  Thì từ G  C3 , suy 1  x, y, yz   yz, y, x   z, y, x,  x, y, y   y, z, x 2   x, y, z  -31- Tương tự, lập luận  y, zx, x ,  x, yz, z  ,  z, x, xy  ,  y, z, xz   z, xy, y, ta  y, x, x ,  x, z, z  ,  z, x, x ,  y, z, z  ,  z, y, y    x, y, z  Định lý 2.4 Cho G  x, y, z 3- nhóm hữu hạn Thì G  C3 G ', G   Chứng minh Giả sử G C3 Ta chứng minh quy nạp G G lớp nhỏ 3, yêu cầu sau khẳng định từ bổ đề 2.5 Cho N nhóm chuẩn tắc G, với N  G ' N  Thì ta có G / N  xN , yN , zN , G ', G  / N  3; giả sử G / N có lớp Ta có  x, y N  (G / N ) G '/ N   (G / N ) ta có ngay,  x, y, z ,  x, y, xz,  x, y, yz   N , lại có  x, y, x Nếu  x, y, y  thuộc N, mâu thuẫn với  x, y  N  (G / N ) Do đó, thay lần cuối z hai xz yz, ta giả sử G ', G   x, y, z  , N  x, y, z, x  đến Bây ta chứng minh  x, y, z, x  Theo định lý 2.3 ta có  a, x, x, x  1, với b, x, x  N ,  x, y, z   N , dẫn a  G Nếu tồn b  G cho b, x, x N  G ', G  / N   x, y, z  N , từ -32- Bởi ta giả sử  a, x, x  N với  z, x, y  N , ta  x, y, z N   z, y, x N G/ N a  G Nếu  x, y, xz  N   xz, y, x N , nhóm mêta aben Do theo bổ đề 2.2 ta có  x, y, z    z, y, x  x, y, xz   xz, y, x Nhưng  x, y, xz   x, y, z x, y, x  xz, y, x   x, y, x x, y, z, x z, y, x ,  y, x, x  N   (G);  x, y, z, x  Bây giả sử  z, x, y  N  {1,-1} thích hợp ta có Thì với  x, y, z  N   x, z, y  N ,  x, y, zx N   x, zx, y   N,  x, y, xz  N   x, xz, y  N , G nhóm lũy linh lớp nhỏ 4,  x, y, z,  x, y    x, y, z 1   y, x, z  với x, y, z  G, Và theo bổ đề 2.2 ta có  x, y, z    x, z, y  ,  x, y, zx   x, zx, y     x, y, xz    x, xz, y  Bởi ta :  x, y, z    x, z, y    x, xz, y    x, y, xz   x, y, zx   x, zx, y    x, z, y  ,   từ  x, y, xz    x, y, zx  x, y, z    x, y, z  x Lập luận tương tự ta chứng minh rằng:  y, x, z, y    z, x, y, z    z, y, x, z  Bởi  x, y, z    y, x, z  1 với y lại với z, từ  x, y, z y, z, x z, x, y N  N   x, y, z  y, z, x N , aben Do  x, y, z  N   z, y, x N Ta có hai hốn vị  z, x, y  N , G / N nhóm mêta -33- G ', G  N  z, x, y  G ', G   N  z, y, x  Vì G ', G   (G) G nhóm lũy linh lớp nhỏ Hệ 2.1 Cho G nhóm hữu hạn cấp lẻ Nếu G  C3 G nhóm lũy linh lớp nhỏ Chứng minh G nhóm lũy linh theo định lý 2.2 Ta giả sử G 3- nhóm (xem định lý 2.1) Với 3- phần tử sinh nhóm G nhóm lũy linh lớp nhỏ theo định lý 2.4, G có lớp nhỏ 2.3 Các nhóm hữu hạn C3 b 1 Bổ đề 2.6 Cho G  a, b \ a  a Nếu G C3 , cấp chia hết 48 Chứng minh: Ta có b, ab, a 2b   b, a, b  a , ab, a2b, b  a, b, b b, a2 , b  a4a8  a4 b b b b 2 8 a b, b, ab  a , b, b  a Từ G nhóm mêta aben G  C3 ta có   8 4 8 hai a  a  a , a , a Do ta có hai a16  a12  a 48  (Đpcm) □ -34- Định lý 2.5 Cho G nhóm hữu hạn Nếu G C3 , G p – lũy linh với số nguyên tố p  2,3 Chứng minh Cho P p – nhóm G với p  2,3 Ta chứng minh NG (P) / CG (P) p – nhóm Nếu tồn x  NG (P) / CG (P) cho x số nguyên tố khác p, x  2, ta có p x  P  x ( xem định lý 2.1 định lý 2.2) mâu thuẫn với x CG (P) Vì giả sử x  Nếu a  P, ta a, x  P,  a, x    a, x a, x x  a, xx  a, x1 Do theo bổ đề 2.6 ta có  a, x48  a, x  Bởi x CG (P), mâu thuẫn Vì NG (P) / CG (P) p – nhóm theo định lý Frobenius’, G có p – phần bù chuẩn tắc -35- KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu đề tài này, tác giả thu kết sau: (1) Đưa số điều kiện đủ nhóm thuộc lớp C (2) Chứng minh nhóm hữu hạn G cấp lẻ thuộc lớp C3 lũy linh lớp nhỏ 3, lũy linh lớp nhỏ không chia hết G (3) Chứng minh nhóm hữu hạn thuộc lớp C3 p-nilpotent, với số nguyên tố p  2,3 -36- TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Patrizia Longobardi, ‘On groups with a permutational property on commutator’, proceedings of “groups – Korea (1988), 110 – 116 [2] N Gupta and F.Levin, ‘Some symmetric varieties of groups’, Bull Autral Math Soc., 3(1970), 97 – 105 [3] B Huppert, ‘Endliche Gruppen I’, Springer – Verlag, Berlin, 1967 [4] E.B Kikodze, ‘Some indentities in groups’, Math USSR Izvestija, 1(1967), 253 – 258 [5] F.W Levi, ‘Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraic conditions’, J Indian Math Soc., 6(1942), 87 – 97 [6] I.D Macdonald, ‘On certain varieties of groups’, Math Zeitschr., 76(1961), 270 – 282 [7] H Meier-Wunderli, ‘ U ber die Gruppen mit der identischen Relation (x1 ,…,xn ) = (x2 ,…,xn ,x1) n  ’, Vjschr, naturf Ges Zurich, 94(1949), 211 – 218 [8] S.J.Tobin, ‘Groups with exponent 4’, Proceedings of Groups – St Andrews 1981, L.M.S Lecture Note Series 71, Cambridge Universitity Press, 1982 [9] Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục [10] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2004), Đại số đại cương Các website: - www baigiang violet - www nsh hcmus.edu.vn -37- MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1.Nhóm 1.1.1.Nhóm 1.1.2 Nhóm 1.1.3 Nhóm cyclic 1.1.4 Nhóm chuẩn tắc, nhóm thương 1.1.5 Đồng cấu nhóm 1.2 Một số khái niệm kết liên quan 1.3 Nhóm giao hốn tử 10 1.3.1 Một số tính chất hốn tử 10 1.3.2 Nhóm giao hốn tử hai nhóm 11 1.3.3 Nhóm giao hốn tử cấp cao 13 1.3.4 Nhóm lũy linh 15 CHƯƠNG 2: VỀ CÁC NHĨM VỚI TÍNH CHẤT HOÁN VỊ TRÊN CÁC GIAO HOÁN TỬ 18 2.1 Các nhận xét chung 18 2.2 Các nhóm hữu hạn cấp lẻ C3 21 2.3 Các nhóm hữu hạn C3 33 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 ... hoán tử 10 1.3.2 Nhóm giao hốn tử hai nhóm 11 1.3.3 Nhóm giao hoán tử cấp cao 13 1.3.4 Nhóm lũy linh 15 CHƯƠNG 2: VỀ CÁC NHĨM VỚI TÍNH CHẤT HỐN VỊ TRÊN CÁC GIAO HOÁN... m (G)  G với m -18- CHƯƠNG 2: VỀ CÁC NHĨM VỚI TÍNH CHẤT HỐN VỊ TRÊN CÁC GIAO HỐN TỬ 2.1 Các nhận xét chung Trong phần ta đưa số điều kiện đủ nhóm thuộc lớp C Nhận xét 2.1 : Cho G nhóm Nếu tồn... hiệu  x, y Nhóm G sinh tập tất hốn tử gọi nhóm giao hốn tử ( nhóm dẫn xuất ) G Ký hiệu G '  G, G Tính chất 1.2 G ' nhóm chuẩn tắc G Định nghĩa 1.15 Cho a phần tử nhóm G Tâm hóa tử a ( G )