Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng các đa thức nội suy cổ điển để giải toán phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG CÁC ĐA THỨC NỘI SUY CỔ ĐIỂN ĐỂ GIẢI TỐN PHỔ THƠNG Người thực hiện: Lê Văn Tiến Chức vụ: Tổ trưởng chuyên mơn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC Mục lục…………………………………………………………………….….i Các ký hiệu đề tài………………………………………………………ii Mở đầu…………………………………………………………………….1 1.1 Lí chọn đề tài…………………….…………………………….… 1.2 Mục đích nghiên cứu………….…………………………………….….1 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………….…………………………….……1 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………….………………………….… Nội dung……………………………………………………………….… 2.1 Cơ sở lý thuyết…………….……………………………………….… 2.1.1 Đa thức nội suy Lagrange…………………… ………………………2 2.1.2 Đa thức nội suy Newton…………………………………………….….3 2.2 Một số ứng dụng giải tốn phổ thơng… ……………………… 2.2.1 Ứng dụng đa thức nội suy Lagrange tốn tìm ngun hàm….4 2.2.2 Ứng dụng đa thức nội suy Newton tốn tính tổng hữu hạn.…8 Kết luận, kiến nghị………………….………………………….……… 12 Tài liệu tham khảo………………….………………………………… 13 KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN  �: Tập số phức;  �: Tập số thực;  �: Tập số nguyên;  �: Tập số tự nhiên; * i 0;  � : Tập số tự nhiên lớn  � x  : Tập đa thức nguyên;  � x  : Tập đa thức thực;  AM – GM: Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân;  THPT: Trung học phổ thông;  deg L  x  : Bậc đa thức L  x  ii MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Các đa thức nội suy cổ điển có nhiều ứng dụng giải toán sơ cấp Như đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton có nhiều ứng dụng thường gặp toán xác định biểu thức hàm số, rút gọn biểu thức, tính tổng hữu hạn, Có nhiều trường hợp cần phải xác định biểu thức hàm số y  f  x  , biết giá trị rời rạc y0 , y1 , , yn điểm tương ứng x0 , x1 , , xn Ở số trường hợp biết biểu thức hàm số y  f  x  lại phức tạp Khi đó, cần xây dựng đa thức P  x  thỏa mãn P  xi   f  xi  , i  0, n Đa thức P  x  xây dựng gọi đa thức nội suy f  x  ứng với nút nội suy x0 , x1 , , xn Các điểm xi , i  0, n gọi nút nội suy toán xây dựng đa thức P  x  gọi toán nội suy Trong năm gần đây, nhằm thúc đẩy phát triển nâng cao chất lượng giáo dục, Bộ Giáo dục Đào tạo không ngừng đổi cải cách giáo dục, đổi kiểm tra đánh giá thi tuyển sinh Trong kì thi học sinh giỏi cấp thi THPT quốc gia, thường gặp toán đa thức, toán đặt mức độ khó nhằm phân loại học sinh, giúp tuyển chọn học sinh thực có tài kiến thức tốt mơn tốn Vì vậy, để có thêm phương tiện, cơng cụ giải tốn loại việc hình thành chuyên đề chọn lọc vấn đề toán đa thức, tốn nội suy góc nhìn tốn sơ cấp, đặc biệt ứng dụng đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy cổ điển khác để giải tốn kì thi cần thiết Hơn nữa, đề tài dùng cho giáo viên ôn luyện thi THPT quốc gia ôn thi học sinh giỏi cấp Do đó, tơi chọn vấn đề “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng Đa thức nội suy cổ điển để giải tốn phổ thơng” làm đề tài nghiên cứu khoa học 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu ứng dụng số đa thức nội suy cổ điển giải toán sơ cấp; hệ thống lại số dạng tốn chương trình phổ thơng toán nâng cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các đa thức nội suy cổ điển, tốn tổng qt lớp tốn tìm ngun hàm tính tích phân, tính tổng hữu hạn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp nội suy, khái quát, đặc biệt, tương tự tổng hợp chương trình tốn phổ thơng Nghiên cứu thực tiễn ứng dụng đa thức nội suy cổ điển chương trình tốn phổ thơng NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Đa thức nội suy Lagrange a Bài toán nội suy Lagrange i �j  i, j  1, 2, , N  Cho số thực xi , , với xi �x j , với Hãy xác định đa thức L  x  có bậc deg L  x  �N  thỏa mãn điều kiện L  xi   , i  1, 2,L , N b Đa thức nội suy Lagrange Kí hiệu Li ( x)  x  xj N � x x j 1, j �i i (1.1) ; i  1, 2,L , N j N L( x)  �ai Li ( x) i 1 Khi đó, đa thức đa thức thỏa mãn điều kiện toán nội suy Lagrange đa thức gọi đa thức nội suy Lagrange Chứng minh Dễ dàng nhận thấy hay Li  x j    ij � Li  x j   � � i  j i �j , deg L( x) �N  N N j 1 j 1 L  xi   �a j L j  xi   �a j ij Mặt khác , hay L  xi   , i  1, 2,�, N Hoàn toàn chứng minh được, có đa thức L* ( x ) , mà có bậc deg L* ( x) với deg L* ( x ) �N  thỏa mãn điều kiện tốn (1.1) đa thức P( x)  L( x)  L* ( x) tức P  x có bậc deg P ( x ) �N  thoả mãn P  xi   0, i  1, 2,�, N , đa thức có bậc deg P( x) �N  mà lại có N nghiệm phân biệt x1 , x2 ,�, xN nên P( x ) �0 Do L( x)  L* ( x) Vậy toán chứng minh Bài toán Cho a1 , a2 ,�, an n số đôi khác deg f ( x) �n  ta phân tích An f ( x) A A2    � x  an  x  a1   x  a2  � x  am  x  a1 x  a2 Trong A1 , A2 ,�, An số thích hợp Lời giải Áp dụng đa thức nội suy Lagrange mốc nội suy ak , k  1, n , ta có  x  a2   x  a3  � x  an   a1  a2   a1  a3  � a1  an   x  a1   x  a3  � x  an   f  a2   a2  a1   a2  a3  � a2  an   x  a1   x  a2  � x  an1   �  f  an   an  a1   an  a2  � an  an 1  f ( x)  f  a1  Khi f  a1  f ( x)   x  a1   x  a2  � x  an   a1  a2   a1  a3  � a1  an   x  a1    f   Ai  n � a a  i f  a2  �  a2  a1   a2  a3  � a2  an   x  a2  f  an   an  a1   an  a2  � an  an 1   x  an  , i  1, n j Trong 2.1.2 Đa thức nội suy Newton a Bài toán nội suy Newton j 1, i �j Cho số thực xi , , với i  1, 2,L , N Hãy xác định đa thức deg N ( x) �N  thỏa mãn điều kiện N i 1  xi   , i  1,L , N N  x có bậc b Đa thức nội suy Newton Ký hiệu x t t1 x1 x2 x3 R i  x1 , x2 ,L , xi , x   � ��L ti2 �dt xi i 1 �dt2 dt1.dt  i  1, 2,L , N  Khi đó, đa thức N N ( x)  �ai R i 1  x1 , x2 ,�, xi 1 , x  i 1  a1  a2 R  x1 , x   a3 R  x1 , x2 , x   L  aN R N 1  x1 ,L , xN 1 , x  đa thức thỏa mãn điều kiện toán nội suy Newton đa thức gọi đa thức nội suy Newton Nhận xét Với xi  x0 , với i  1, 2,L , N , � � � R  x0 , x1 ,L , xi 1 , x   R x0 ,L , x0 , x � �14 2ˆ 43 � � i lan � i i x t t1 x0 x0 x0  ��� L ti2 �dt x0 i 1 �dt2 dt1.dt  x  x0   i i! ; i  1, 2,L , N � � N N ( x)  �ai R i �x0 ,L , x0 , x � �14 43 � i 1 � i lan � Khi  a0  a1 R  x0 , x   a2 R  a0  a1  x  x0   a2 N 1  �ai  x  x0  i 0 i!  x0 , x0 , x   L  x  x0   a N 1 R  L  aN 1 N 1  x  x0  � � �x0 ,L , x0 , x � �14 43 � � N 1 lan � N 1 ( N  1)! i �T ( x) Bài toán Cho P  x  đa thức bậc n  trường số K n phần tử x1 , x2 ,�, xn �K Khi đo tồn phần tử  , 1 ,�,  n thuộc K để P ( x )    1  x  x1     x  x1   x  x2   �   n  x  x1  � x  xn  Công thức (2.1) cách viết khác công thức nội suy Newton Lời giải (2.1) Nhận thấy đa thức 1, x  x1 ,  x  x1   x  x2  , �,  x  x1  � x  xn  lập thành sở K - vectơ đa thức có bậc khơng vượt q n K Do đó, với đa thức P  x  có bậc khơng vượt n tồn phần tử  , 1 ,�,  n thuộc K để biểu diễn P  x  (2.1) Trong  , 1 , �,  n xác định sau: Nhận thấy   P  x1  ; Đặt P  x1 ; x   P( x)  P  x1   1    x  x2   �   n  x  x2  � x  xn  x  x1 1  P  x1 ; x2  ; Đặt P  x1; x2 ; x   P  x1 ; x   P  x1 ; x2       x  x3   �   n  x  x3  � x  xn  x  x2   P  x1 ; x2 ; x3  ; Một cách tổng quát, ta có P  x1 ;�; xi ; x   P  x1 ;�; xi 1; x   P  x1 ; �; xi 1; xi  x  xi  i  P  x1 ;�; xi  , i  0,1, , n 2.2 Một số ứng dụng giải tốn phổ thơng 2.2.1 Ứng dụng đa thức nội suy Lagrange toán tìm ngun hàm Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số  x  1  x   Lời giải Cách giải thông thường giáo viên hướng dẫn học sinh Thông thường gặp toán này, giáo viên thường hướng dẫn học sinh sử dụng đồng thức để xác định hệ số phân tích Cụ thể Giả sử  x  1  x   Suy  A B  x 1 x  A  x    B  x  1  A  B  x  A  B A B    x 1 x   x  1  x    x  1  x   �A  B  �A  1 �� � Đồng thức, ta �2 A  B  �B  1 � �1 dx  � dx �  � � x  1  x   x 1 x  �  � Khi   ln x   ln x   C Sau tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange Áp dụng toán 1, chọn hai nút nội suy x  1, x  f  x   1 ta phân tích  x  1  x    1   x  1      1  x    1  x 1 x  � �1 dx  � dx �  � �  x  1  x  2 �x  x  � Suy   ln x   ln x   C Nhận xét: Với ứng dụng đa thức nội suy Lagrange, thấy việc phân tích trở nên đơn giản nhiều Sau xét ví dụ phức tạp hơn, để thấy rõ ưu điểm Đa thức Lagrange phân tích biểu thức x2  x Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số ( x  2)( x  2)( x  3) Lời giải Cách giải thông thường giáo viên hướng dẫn học sinh x2  x A B C    Giả sử ( x  2)( x  2)( x  3) x  x  x  A B C A( x  2)( x  3)  B ( x  2)( x  3)  C ( x  2)( x  2)    ( x  2)( x  2)( x  3) Ta có x  x  x  A  B  C  x   A  B  x  A  B  4C   ( x  2)( x  2)( x  3) � A   � �A  B  C  � � A  B   � B   � � � � 21 A  B  4C  � � C � Đồng thức, ta � 21 � x2  4x     dx � dx � �  x    x    x  3 � � � ( x  2)( x  2)( x  3) � � Suy 21   ln x   3ln x   ln x   C 5 Sau tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange Áp dụng toán 1, chọn hai nút nội suy x  2, x  2, x  3 f  x   x  x Ta có x2  x ( x  2)( x  2)( x  3)  2   4. 2    3   3 22  4.2   ( x  2)(2  2)(2  3) (2  2)( x  2)(2  3) (3  2)(3  2)( x  3) 21     x    x    x  3 2 � 21 � x2  4x �    dx � dx �  x    x    x  3 � � � ( x  2)( x  2)( x  3) � � Suy 21   ln x   3ln x   ln x   C 5 Nhân xét: Trong ví dụ này, thấy rõ ưu điểm Đa thức nội Lagrange phân tích biểu thức x2  Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số ( x  1) ( x  3)( x  4) Lời giải Cách giải thông thường giáo viên hướng dẫn học sinh x2  A B C D     2 Giả sử ( x  1) ( x  3)( x  4) ( x  1) x  x  x  A B C D    Ta có ( x  1) x  x  x  A( x  3)( x  4)  B ( x  1)( x  3)( x  4)  C  x  1 ( x  4)  D  x  1 ( x  3)  ( x  1)2 ( x  3)( x  4) 2 � �A  10 � �B  11 � 200 � � C � � 17 �D   25 Đồng thức, ta � � � x2  11 17 dx  �    dx � � 2 � ( x  1) ( x  3)( x  4) 10( x  1) 200( x  1) 8( x  3) 25 ( x  4) � � Suy  1 11  ln x   ln x   17 ln x   C 10( x  1) 200 25 Sau tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange Bước x2  Trước tiên ta phân tích biểu thức ( x  1)( x  3)( x  4) Áp dụng toán 1, chọn hai nút nội suy x  1, x  3, x  4 f  x   x  Ta x2  17    ( x  1)( x  3)( x  4) 5( x  4) 2( x  3) 10( x  1) Bước x2  17    2 Do ( x  1) ( x  3)( x  4) 5( x  4)( x  1) 2( x  3)( x  1) 10( x  1) Áp dụng tốn 1, ta lại phân tích phân thức sau 17 17 17   Biểu thức 5( x  4)( x  1) 25( x  4) 25( x  1) ; 5   Biểu thức 2( x  3)( x  1) 8( x  3) 8( x  1) 17 x2  1 11     2 Khi ( x  1) ( x  3)( x  4) 10( x  1) 200( x  1) 8( x  3) 25( x  4) � � x2  11 17 dx  �    dx � � 2 � ( x  1) ( x  3)( x  4) 10( x  1) 200( x  1) 8( x  3) 25 ( x  4) � � Suy  1 11  ln x   ln x   17 ln x   C 10( x  1) 200 25 3 x f  x  ( x  1)  x  1 Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số Lời giải Cách giải thông thường giáo viên hướng dẫn học sinh Với trường hợp mẫu thức chứa đa thức bậc hai vơ nghiệm việc phân tích khó khăn với học sinh Giả sử Lại có 3 x A Bx  C   2 ( x  1)  x  1 x  x  A Bx  C A  x  1   Bx  C   x  1   x 1 x2 1 ( x  1)  x  1 Đồng thức, ta �A  � �B  2 � C  1 � 3 x 2x dx  �  x  � dx  � dx  �2 dx  �2 dx � � � � ( x  1)  x  1 x  x  x  x  x  � � Suy Sau tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange Ta có 3 x 3 x  ( x  1)  x  1 ( x  1)( x  i )( x  i ) Áp dụng toán 1, chọn hai nút nội suy x  1, x  i, x  i f  x   x  3 x 3i 3i    ( x  1)  x  1 x  2  2i x  i 2  2i x  i Ta có 2  i 2  i   x 1 xi x i 2x 1   x 1 x 1  3 x � ( x  1)  x 2 2x dx  �  x  � dx  � dx  �2 dx  �2 dx � � �  1 x 1 x 1 x 1 �x  x  � Suy Các tập tương tự Tìm nguyên hàm hàm số sau 2x2 f  x  ( x  1)( x  1)( x  2) ; Bài tập x  3x  f  x  ( x  1)( x  1)( x  2)( x  3) ; Bài tập x2  x  f  x  24 x3  10 x  3x  ; Bài tập x3 f  x  x  5x2  Bài tập 2.2.2 Ứng dụng đa thức nội suy Newton tốn tính tổng hữu hạn Ví dụ Cho đa thức P( x) , biết P( x) đa thức bậc hai thoả mãn �P (0)  � �P ( x)  P( x  1)  x , x �� (1) a) Tìm đa thức P  x  ; * b) Suy giá trị tổng S      n, n �� Lời giải x a) Thay 1; 2; vào (1), ta �P (1)  P(0)  �P(1)  � � �P (2)  P(1)  � �P(2)  �P (3)  P(2)  �P(3)  � � P ( x )    1 x   x ( x  1)   x( x  1)( x  2) Đặt x Thay ; ; ; vào (2), ta (2) 0  � �P     � � 1  � �P  1    1 � �� � 2  �P      21  2 � �P    3  6  6 �   � 3  � x x x( x  1) P( x)  x  x( x  1)  x    2 2 Vậy, đa thức cần tìm có dạng P  n       n, n ��* b) Xét đa thức n  n  1 n  n  1 S      n  , n ��* 2 Theo câu a) ta có , suy P ( x ) P ( x ) Ví dụ Cho đa thức , biết đa thức bậc ba thoả mãn P (0)  � � �P ( x )  P ( x  1)  x , x �� P  x P  n  a) Tìm đa thức (3) ; 2 2 * b) Suy giá trị tổng S      n , n �� Lời giải x a) Thay 1; 2; vào (3), ta �P(1)  P(0)  �P(1)  � � �P(2)  P(1)  � �P(2)  �P(3)  P(2)  �P(3)  14 � � Đặt P( x)    1 x   x( x  1)   x( x  1)( x  2)   x( x  1)( x  2)( x  3) Thay x ; ; ; vào (4), ta (4) 0  � �P     � 1  � � �P  1    1 � �� � 2  �P      21  2 � �P    3  6  6 � 1 �  3  � � Vậy, đa thức cần tìm có dạng x x x x( x  1)  x  1 P( x )  x  x ( x  1)  x ( x  1)( x  2)     3 6 2 2 * P  n       n , n �� b) Xét đa thức n  n  1  2n  1 Theo câu a) ta có , suy n  n  1  2n  1 S  12  2  32   n  P  n  Ví dụ Cho đa thức bậc bốn P  x  , thỏa mãn �P (1)  � �P ( x)  P( x  1)  x( x  1)(2 x  1), x �� (5) a) Xác định P  x  ; * b) Suy giá trị tổng S  1.2.3  2.3.5  K  n(n  1)(2n  1), n �� Lời giải x a) Thay – 1; 0; 1; vào (5), ta �P(1)  P( 2)  �P(2)  �P(0)  P(1)  �P(0)  � � �� � �P(1)  P (0)  1.2.3 �P(1)  � � �P(2)  P(1)  2.3.5 �P(2)  36 Đặt P( x)    1 ( x  1)   ( x  1) x   ( x  1) x( x  1)   ( x  1) x( x  1)( x  2) Thay x 2 ; 1 ; ; ; vào (6), ta (6) � �P  1   � 0  � � 1  �P      1 � � � �� 2  �P  1    21  2 � �  3 �P      31  6  6 �3 �P  2       2  6  24 � 1 4  � � � Vậy, đa thức cần tìm có dạng 1 P ( x )  3( x  1) x  3( x  1) x ( x  1)  ( x  1) x ( x  1)( x  2)  x( x  1) ( x  2) 2 * b) Xét đa thức P  n   1.2.3  2.3.5  K  n(n  1)(2n  1), n �� Theo câu a) ta có P  n  n(n  1) (n  2) , n ��* , suy S  1.2.3  2.3.5  K  n(n  1)(2n  1)  n(n  1)2 (n  2) , n ��* Bài tập tương tự Bài tập Cho đa thức bậc ba P  x  , thỏa mãn 10 �P (0)  � �P ( x)  P( x  1)  x( x  1), x �� a) Xác định P  x  ; � �  n( n  1), n ��* b) Suy giá trị tổng Sn  1.2  2.3  3.4  � Bài tập Cho đa thức bậc ba P  x  , thỏa mãn �P (0)  � �P ( x)  P ( x  1)  x(3x  1), x �� a) Xác định P  x  ; � �  n  3n  1 , n ��* b) Suy giá trị tổng S  1.2  2.5  3.8  � Bài tập Cho đa thức bậc bốn P  x  , thỏa mãn �P (2)  � �P ( x )  P ( x  1)  x ( x  1)  x   , x �� a) Xác định P  x  ; � �  n  n  1  n   , n ��* b) Suy giá trị tổng S  1.2.3  2.3.4  3.4.5  � Bài tập Cho đa thức bậc ba P  x  , thỏa mãn �P (0)  � �P ( x )  P ( x  1)  x , x �� a) Xác định P  x  ; 2 * b) Suy giá trị tổng Sn       2n  , n �� Bài tập Cho đa thức bậc ba P  x  , thỏa mãn � �P(1)  � �P( x)  P( x  1)   x  1 , x �� P  x a) Xác định ; 3 * b) Suy giá trị tổng Sn       2n  1 , n �� 11 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Nội dung chủ yếu luận văn nghiên cứu số đa thức nội suy cổ điển ứng dụng giải tốn phổ thơng Những kết đạt trình nghiên cứu Trình bày lý thuyết đa thức nội suy cổ điển tính chất Trình bày toán tổng quát ứng dụng tổng qt giải tốn Trình bày ứng dụng số đa thức nội suy cổ điển ứng dụng tốn phổ thơng Đặc biệt, kết đạt luận văn là: Phương pháp sử dụng đa thức nội suy cổ điển giải toán phát triển toán xác định đa thức, phân tích biểu thức để tìm ngun hàm, rút gọn biểu thức, tính tổng hữu hạn Do khả thời gian nghiên cứu có hạn, nên luận văn chưa đầy đủ khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp thầy, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 12 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Văn Tiến TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, Các toán nội suy áp dụng, NXB giáo dục, 2007 [2] Trịnh Đào Chiến, Huỳnh Minh Thuận, Một số ứng dụng công thức nội suy Lagrange, NXB trường Đại học KHTN-ĐHQGHN, 2007 [3] Nguyễn Văn Mậu, Nội suy đa thức – Định lý áp dụng, NXB trường Đại học KHTN-ĐHQGHN, 2016 [4] Tạp chí tốn học tuổi trẻ 13 ... ? ?Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng Đa thức nội suy cổ điển để giải tốn phổ thơng” làm đề tài nghiên cứu khoa học 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu ứng dụng số đa thức. .. Trung học phổ thông;  deg L  x  : Bậc đa thức L  x  ii MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Các đa thức nội suy cổ điển có nhiều ứng dụng giải toán sơ cấp Như đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy. .. cứu Trình bày lý thuyết đa thức nội suy cổ điển tính chất Trình bày toán tổng quát ứng dụng tổng qt giải tốn Trình bày ứng dụng số đa thức nội suy cổ điển ứng dụng tốn phổ thơng Đặc biệt, kết