oán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều (LV00476)

i LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thầy đã truyền đạt cho bản thân tôi những kiến thức quý báu và luôn động viên, hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành công việc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sao Đỏ, Khoa Khoa học Cơ bản và đồng nghiệp và đặc biệt gia đình, người thân những người đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả an tâm học tập và bảo vệ thành công luận văn này! Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Tác giả ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Tác giả Mục lục Mở đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Tích phân trong không gian nhiều chiều . . . . . . . . . 5 1.1.1 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Tích phân mặt loại hai . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Tích phân giá trị chính . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (E n ) . 14 1.3.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L 2 (E n ) . 23 2 Toán tử tích phân kỳ dị và các tính chất 26 2.1 Định nghĩa toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Biến đổi Hilbert và kết quả . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Toán tử tích phân kỳ dị với nhân lẻ . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Toán tử tích phân kỳ dị với nhân chẵn . . . . . . . . . . 40 3 Một số ứng dụng của toán tử tích phân kỳ dị 46 3.1 Sự tồn tại vết của hàm vecto trên mặt phẳng . . . . . . 47 3.2 Bất đẳng thức trên biên của hàm điều hòa . . . . . . . . 50 iii 1 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị là một bộ phận của Giải tích điều hòa, là khởi đầu của lý thuyết toán tử giả vi phân và một số phương pháp hiện đại trong Giải tích và Phương trình đạo hàm riêng. Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị đã xuất hiện hơn một thế kỷ qua. Ban đầu lý thuyết này mới chỉ để cập trong các bài toán một chiều đơn giản. Đến những thập niên 50 và 60 của thế kỷ XX thì sự phát triển của lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị đã mở rộng hơn trong các không gian nhiều chiều. Trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng và Lý thuyết hàm, toán tử tích phân kỳ dị đóng một vai trò quan trọng. Nó cho phép mô tả nghịch đảo của các toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính loại elliptic với hệ số hằng và giúp mô tả nhiều tính chất định tính của các không gian hàm số khác nhau. Hơn nữa trong các bài toán của cơ học đàn hồi và của lý thuyết thế vị, một số các đại lượng cần tính toán được biểu diễn dưới dạng toán tử tích phân kỳ dị, do đó có thể được xác định một cách hữu hiệu hơn. Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải nghiên cứu các tính chất của chúng để làm rõ vai trò của lý thuyết này. Trên đây là những lý do để chúng tôi tiến hành nghiên cứu đề tài: "Toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều " 2 3 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại khái niệm, tính chất của toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều. Chỉ ra mối liên hệ giữa toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều với lý thuyết giả vi phân. Đưa ra các ứng dụng của toán tử tích phân kỳ dị vào các bài toán hàm điều hòa. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu chính của luận văn là: Mô tả các khái niệm và tính chất của tích phân kỳ dị và phương trình tích phân kỳ dị cũng như các ứng dụng của chúng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Một số lý thuyết về toán tử tích phân kỳ dị, các không gian hàm liên quan và ứng dụng vào phương trình tích phân. Phạm vi: Nghiên cứu lý thuyết và xây dựng các ứng dụng trên cơ sở các tài liệu chuyên khảo. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận văn chủ yếu dùng các phương pháp nghiên cứu truyền thống của Giải tích hàm: Phân tích, tổng hợp kiến thức. Xuất phát từ toán tử Hilbert trong trường hợp một chiều, luận văn sẽ đưa vào toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều và nghiên cứu các tính chất của chúng. Việc ứng dụng sẽ được mở rộng từ lớp các hàm liên hợp điều hòa và các phương trình tích phân kỳ dị. Ngoài ra luận văn còn nghiên cứu trên các tài liệu liên quan: Giáo trình, tạp chí, 4 6. Giả thuyết khoa học Luận văn được trình bày một cách có hệ thống và khoa học các vấn đề về toán tử tích phân kỳ dị và các ứng dụng của tích phân kỳ dị về sự tồn tại vết của hàm vecto trên mặt phẳng và bất đẳng thức giữa các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến trên biên của gradient hàm điều hòa. Đây sẽ là một đóng góp quan trọng về lý thuyết để giải quyết triệt để các vấn đề về toán tử tích phân kỳ dị và phương trình tích phân kỳ dị trên các không gian nhiều chiều khác. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tích phân trong không gian nhiều chiều 1.1.1 Tích phân suy rộng Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f là hàm xác định trên R n và f khả tích trên mọi tập bị chặn. Nếu tồn tại  R n f(x)dx = lim R→∞  |x|≤R f(x)dx thì ta gọi giới hạn trên là tích phân suy rộng loại 1 của hàm n biến. Tích phân I =  R n f(x)dx được gọi là hội tụ nếu giới hạn là tồn tại và I là hữu hạn. Ngược lại ta nói tích phân là phân kì. Ví dụ 1.1.1. Trong R 1 xét tích phân  +∞ 1 dx x α với α ∈ R. Trường hợp 1) α = 1 thì với mọi b ∈ R ta có:  b 1 dx x = lnb 5 6 và lnb → +∞ khi b → +∞. Do đó  +∞ 1 dx x = +∞ hay tích phân đã cho phân kì. Trường hợp 2) α = 1. Khi đó với mọi b > 1, ta có:  b 1 dx x = x 1−α 1 −α | b 1 = b 1−α 1 −α − 1 1 −α . Khi đó: +Với α < 1 thì lim b→+∞  b 1 dx x α = +∞ do đó  +∞ 1 dx x α = +∞ và tích phân đã cho phân kì. +Với α > 1 thì lim b→+∞  b 1 dx x α = 1 α − 1 Như vậy ta có kết luận: Tích phân  +∞ 1 dx x α với α ∈ R sẽ hội tụ nếu α > 1 và phân kì nếu α ≤ 1. Ví dụ 1.1.2. Trong trường hợp tổng quát thì tích phân  R n dx (1 + |x|) m sẽ hội tụ nếu m > n và phân kì nếu m ≤ n 7 Định lí 1.1.3. Ta có các khẳng định sau: a) Nếu các tích phân suy rộng  R n f(x)dx và  R n g(x)dx hội tụ thì:  R n (f(x)+g(x))dx cũng hội tụ và  R n (f(x)+g(x))dx =  R n f(x)dx+  R n g(x)dx b) Nếu tích phân  R n f(x)dx hội tụ và λ là một số thực thì:  R n λ f(x)dx hội tụ và  R n λ f(x)dx = λ  R n f(x)dx Định lí 1.1.4. Giả sử f là một hàm số xác định trên R n và khả tích trên mọi tập bị chặn. Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R n thì tích phân  R n f(x)dx luôn luôn tồn tại (hữu hạn hoặc bằng +∞). Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Ω là một tập bị chặn, x 0 ∈ Ω và f(x) xác định, liên tục trên Ω \{x 0 }. Khi đó nếu tồn tại:  Ω f(x)dx = lim →0  Ω\B  (x 0 ) f(x)dx thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của hàm f trên Ω Cũng giống như tích phân suy rộng loại 1 được định nghĩa như ở trên, nếu tích phân I =  Ω f(x)dx có giá trị hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ và ngược lại ta nói tích phân phân kì. [...]... tụ nếu k < n và phân kỳ nếu k ≥ n Ví dụ 2.1.8 Trong Rn với n = 1 thì các nhân có dạng K(x) = C , C ∈ R x là nhân thỏa mãn tích phân kỳ dị Trong Rn với n = 2 Xét x = (x1 , x2 ), với K(x1 , x2 ) là hàm lẻ, thuần nhất bậc 2 có dạng: K(x1 , x2 ) = x1 3 |x| hoặc K(x1 , x2 ) = x3 1 5 |x| hoặc K(x1 , x2 ) = x1 x2 4 |x| là những 33 nhân của toán tử tích phân kỳ dị 2.2 Toán tử tích phân kỳ dị với nhân lẻ Mục... Hàm suy rộng u thuộc (L2 , L2 ) nếu và chỉ nếu tồn tại b ∈ L∞ (En ) sao cho u = b Trong trường hợp này b ˆ toán tử B : L2 ∩ S → L2 được định nghĩa bởi Bϕ = u ∗ ϕ, hơn nữa (u ∗ ϕ) = uϕ ˆˆ ∞ là chuẩn của Chương 2 Toán tử tích phân kỳ dị và các tính chất 2.1 2.1.1 Định nghĩa toán tử tích phân kỳ dị Biến đổi Hilbert và kết quả Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm f (x) ∈ Lp (−∞, +∞), 1 ≤ p < ∞ Khi đó ta định nghĩa... Trong R1 xét tích phân trong Rn : 0 √ −1 Ta có dx 1 − x2 0 dx √ = lim 1 − x2 c→(−1)+ −1 0 √ c dx 1 − x2 và ta dễ dàng có kết quả 0 √ −1 dx π = 2 1 − x2 như vậy tích phân là hội tụ Ví dụ 1.1.6 Trong trường hợp tổng quát, xét tích phân dx |x|≤1 |x|k Khi đó tích phân sẽ hội tụ nếu k < n và phân kì khi k ≥ n Nhận xét 1.1.7 Tích phân suy rộng loại 2 cũng có các tính chất và kết quả giống với tích phân suy rộng... Hilbert trong Mục (2.1.1) ta có được toán tử: (Hf )(x) = f (x − t)K(t)dt lim δ≥|t|≥ >0 (2.3) Rn được xác định với f ∈ Lp (En ), 1 < p < ∞ và ánh xạ này là bị chặn và vào chính nó Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra trong trường hợp đặc biệt khi Ω là khả tích khi hạn chế mặt cầu đơn vị n−1 |Ω(t )| dt < ∞) Vì vậy toán tử này được biết như một (nếu n−1 toán tử tích phân kỳ dị với nhân lẻ Một cách tổng quát... ở đây dSx là phần tử diện tích trên |x| = 1 Khi đó 32 K(x − y)g(y)dy P g = (K ∗ g)(x) = Rn K(y) [g(x − y) − g(x)] dy = lim →0 |y|> K(y) [g(x − y) − g(x)] dy = Rn được gọi là tích phân kỳ dị với nhân là hàm K(x) Ta có ∞ K(rω)rn−1 drdS K(y)dy = Rn 0 S1 (0) với y = rω, 0 ≤ r < ∞, ω ∈ S1 (0) và ở đây ta xét với K(x) ∈ L1 (Rn ) / Định lí 2.1.6 Trong trường hợp toán tử (Hg)(x) là toán tử Hilbert thì ta luôn... + 2 dt ≤ mf (x) Nhưng bất đẳng thức này lại là kết quả của Định lí 2.1.2 ở trên và kết hợp với Bổ đề 2.1.3 ta có được định lí 2.1.2 Toán tử tích phân kỳ dị Định nghĩa 2.1.3 Cho f (x) và g(x) ∈ L1 (Rn ) Khi đó: (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dy Rn được gọi là toán tử tích phân với nhân là hàm f (x) Khi đó ta có: f ∗ g ∈ L1 (Rn ) Định lí 2.1.5 Nếu f ∈ L1 (Rn ), g ∈ L1 (Rn ) thì: f ∗g L1 ≤ f L1 g L1 31 và... , g(x) ∈ C0 (R) Ta có định nghĩa toán tử tích phân kỳ dị: (f ∗ g)(x) = lim →0 f (x − y)g(y)dy |x−y|> f (y)g(x − y)dy = lim →0 |y|> ∞ − f (y)g(x − y)dy + = lim →0 f (y)g(x − y)dy −∞ +∞ g(x − y) − g(x + y) dy →0 y +∞ g(x − y) − g(x + y) = dy y 0 = lim Trong trường hợp này nếu H = f (x) = 1 (Hg)(x) = ∗ g = x 1 x thì: +∞ −∞ g(y) dy x−y và toán tử này được gọi là toán tử Hilbert b Với n ≥ 1 Giả sử xét nhân... Nếu f và g thuộc L1 (En ) thì tích chập của f và g ký hiệu f ∗ g được xác định như sau: (f ∗ g)(x) := f (y)g(x − y)dy := En f (x − y)g(y)dy En 13 trong đó tích phân trên là tồn tại hầu khắp nơi theo x ∈ En và khi đó f (x − y)g(y) là hàm đo được của hai biến x và y Định lí 1.2.1 Nếu tích chập f ∗ g tồn tại thì tích chập g ∗ f cũng tồn tại và: f ∗ g = g ∗ f Mệnh đề 1.2.2 Tích chập của mọi hàm suy rộng... ∈ C0 ⊂ L∞ (En ) Định lí 1.3.13 Nếu φ và biến đổi Fourier của nó ϕ = φ là các hàm khả tích và En ϕ(x)dx = 1 thì φ trung bình của tích phân En f (t)e2πitx dt hội tụ tới f (x) trong chuẩn L1 Ngoài ra trung bình Abel và Gauss của tích phân này hội tụ tới f (x) trong chuẩn L1 Hệ quả 1.3.3 Nếu cả f và f là các hàm khả tích thì: f (t)e2πitx dt f (x) = En với hầu hết x Hệ quả 1.3.4 Nếu f1 và f2 thuộc L1... lẻ Mục đích của chúng ta trong phần này là mở rộng kết quả của tích phân kỳ dị tới n chiều Đầu tiên chúng ta phải tìm một biến đổi Hilbert tổng quát thích hợp Ta có thể giả sử nhân của nó có dạng: K(t) = Ω(t) , t = 0, |t|n (2.2) ở đây Ω là một hàm lẻ, thuần nhất bậc không (Ω(at) = Ω(t) cho mọi số thực dương a) Khi n = 1 và Ω(t) = sgnt π là tích chập của f với K (theo hướng giá trị chính) tới biến đổi . tài: "Toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều " 2 3 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại khái niệm, tính chất của toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều. Chỉ ra mối liên hệ giữa toán tử tích phân kỳ dị. về toán tử tích phân kỳ dị và phương trình tích phân kỳ dị trên các không gian nhiều chiều khác. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tích phân trong không gian nhiều chiều 1.1.1 Tích phân. Toán tử tích phân kỳ dị và các tính chất 26 2.1 Định nghĩa toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Biến đổi Hilbert và kết quả . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Toán tử tích phân