tích phân itô – wiener nhiều chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TH ÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI ÊN  NGUYỄN VĂN CẦN TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.DƯƠNG TÔN Đ ẢM TP.HỒ CHÍ MINH – 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TH ÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI ÊN NGUYỄN VĂN CẦN TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU Chuyên ngành: XÁC SU ẤT – THỐNG KÊ Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM TP.HỒ CHÍ MINH – 2009 1 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin dành cho b ậc sinh thành và gia đình, những người đã nuôi dưỡng, giáo dục, động vi ên về tinh thần cũng nh ư vật chất trong suốt quá tr ình học tập. Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn – Tiến Sĩ Dương Tôn Đảm đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo những khó khăn, trở ngại trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám hiệu cùng quý Thầy, Cô trong Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên và đặc biệt là các Thầy: TS Tô Anh Dũng, PGS.TS Nguyễn Bác Văn, GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến , GS.TSKH Nguyễn Văn Thu đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian theo học Cao học tại trường cũng như trong thời gian thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy trong hội đồng chấm luận văn và Thầy phản biện đã đọc và đóng góp cho tôi nh ững ý kiến quý báu. Tôi cũng không thể không kể đến sự giúp đỡ nh iệt tình của các bạn Cao học chuyên ngành Xác Su ất Thống Kê khóa 16. Tp.Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2009 Tác giả Nguyễn Văn Cần 2 LỜI MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng ta chủ yếu nghiên cứu về tích phân ngẫu nhi ên Itô – Wiener một chiều, tích phân ngẫu nhi ên Itô – Wiener nhiều chiều và lớp các tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy . Trong đó tích phân ng ẫu nhiên Itô - Wiener một chiều và tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều được xây dựng dựa trên các tính chất của quá trình Wiener (hay quá trình chuy ển động Brown). Luận văn gồm 3 chương: Chương I: Phần đầu trình bày về các kiến thức cơ sở để chuẩn bị cho việc sử trong các phần tiếp theo của luận văn nh ư là: không gian xác su ất cơ sở, quá trình ngẫu nhiên liên tục, quá trình ngẫu nhiên đo được, các định lý hội tụ trong xác suất, vv… . Phần tiếp theo l à nội dung nghiên cứu của luận văn, trong phần n ày ta đi xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều của một hàm bất kỳ dựa vào việc xấp xỉ hàm bất kỳ đó bởi dãy hàm sơ cấp (hay hàm bậc thang), và trình bày một số tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhi ên Itô – Wiener một chiều. Tiếp theo, ta đi nghiên c ứu một số tính chất của vi phân ngẫu nhi ên Itô, trong phần này ta đưa ra một số công thức vi phân ngẫu nhi ên Itô đặc biệt, nó là công cụ tuyệt vời cho việc tính các tích phân ng ẫu nhiên hay phương trình vi phân ngẫu nhiên thường gặp trong toán t ài chính cũng như trong kĩ thuật bởi ngày nay lý thuyết giải tích ngẫu nhiên đã xâm nhập vào tất cả các lĩnh vực. Chương II: Phần đầu trình bày về việc xây dựng tích phân ngẫu nhi ên Itô – Wiener nhiều chiều dựa vào công thức tích phân Itô lặp nghĩa là giữa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều và tích phân Itô lặp có mối liên hệ qua lại với nhau, nh ư vậy để tính tích phân Itô – Wiener nhiều chiều thực chất là tính tích phân Itô lặp. Tiếp theo, trình bày về cách xác định đa thức Hermite v à các tính chất quan trọng của nó. Phần cuối là một kết quả rất đặc biệt, đó l à mối liên hệ giữa tích phân ngẫu 3 nhiên Itô – Wiener nhiều chiều và đa thức Hermite nghĩa là đa thức Hermite được biểu diễn thành tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều. Chương III: Phần đầu trình bày về tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy, để xây dựng tích phân này trước hết ta đưa ra các khái niệm, tính chất của quá tr ình Lévy sau đó ta tiến hành xây dựng tích phân ngẫu nhi ên theo quá trình Lévy và đưa ra các tính ch ất cơ bản của tích phân n ày. Tiếp theo là trình bày phần ứng dụng của quá trình Lévy trong tài chính b ằng việc sử dụng biến đổi Esscher (biến đổi Esscher là sự biến đổi từ độ đo xác suất c ơ sở P tương đương địa phương độ đo Q theo quá trình mật độ t t dQ Z dP  F ). 4 Mục luc Trang Lời cảm ơn……………………………………………………………………… …1 Lời nói đầu………………………………………………………………… ………2 Mục lục…………………………………………………………………… ……….4 Bảng ký hiệu……………………………………………………………… ……….8 Chương I: Tích Phân Itô – Wiener Một Chiều……………………. …… 10 §1.1. Những khái niệm cơ bản……………………………………………… ……10 1.1.1. Định nghĩa   đại số………………………………………… … 10 1.1.2. Định nghĩa không gian xác suất……… …………………………… 10 1.1.3. Định nghĩa biến ngẫu nhiên…………………………………… … 11 1.1.4. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên……………………………… …….11 1.1.5. Định nghĩa liên tục ngẫu nhiên………………………………… ……12 1.1.6. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên đo được……………………… … 12 1.1.7. Định nghĩa bộ lọc……………………………………………… ……12 1.1.8. Định nghĩa matingale…………………………………………… … 13 1.1.9. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên đo được dần…………………… …13 1.1.10.Định nghĩa hội tụ theo xác suất………………………………… … 14 1.1.11.Định nghĩa hội tụ hầu chắc chắn………………………………… ….14 1.1.12.Định lý hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội)………………………… …… 14 §1.2. Tích phân Itô – Wiener một chiều………… ……………………… … 15 1.2.1. Định nghĩa lịch sử và tương lai của quá trình Wiener… ………… 15 1.2.2. Định nghĩa……………………………………………… ………… 16 1.2.3. Định nghĩa…………………………………………… …………… 16 1.2.4. Định nghĩa không gian hàm bình ph ương khả tích ……………… 16 1.2.5. Định nghĩa hàm sơ cấp.………………………… ………………… 17 1.2.6. Định nghĩa tích phân ngẫu nhi ên Itô của hàm sơ cấp……………… 17 5 1.2.7. Bổ đề xấp xỉ một hàm bất kỳ bằng hàm sơ cấp………………… 17 1.2.8. Định nghĩa tích phân ngẫu n hiên Itô của hàm bất kỳ……………… 18 1.2.9. Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên Itô……………………… … 18 1.2.10.Ví dụ……………………………………………………… …………21 §1.3. Vi phân ngẫu nhiên Itô………………… ……………………………… … 23 1.3.1. Định nghĩa………………………………………………… ……… 23 1.3.2. Định lý công thức vi ph ân Itô một chiều………………………… ….24 1.3.3. Ví dụ…………………………………………………… ……………28 1.3.4. Tính chất công thức vi phân của tíc h hai quá trình ngẫu nhiên…… 28 1.3.5. Ví dụ………………………………………………………… ………30 1.3.6. Tính chất công thức vi phân ……………………………………… …31 1.3.7. Ví dụ…………………………………………………………… ……31 1.3.8. Tính chất công thức vi phân ……………………………………… …32 1.3.9. Ví dụ……………………………………………………………… …33 1.3.10.Tính chất công thức tích phân từng phần………………………… …34 1.3.11.Ví dụ………………………………………………………… ………34 1.3.12.Tính chất công thức vi phân vec tơ – Itô………………………… ….34 1.3.13.Tính chất công thức vi phân Itô nhiều chiều…………………… … 35 §1.4. Ứng dụng trong tài chính………………………………………………… 36 1.4.1. Đạo hàm bậc nhất của công thức Black – Scholes……………… 37 1.4.2. Ví dụ…………………………………………………………… ……39 1.4.3. Kỳ vọng và phương sai của quá trình Cox – Ingersoll – Ross………41 Chương II: Tích Phân Itô - Wiener Nhiều Chiều…………………… 44 §2.1. Tích phân ng ẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều… …………………… 44 2.1.1. Định nghĩa hàm đối xứng…………… …………………………… …44 2.1.2. Định nghĩa………………………………………………………… 44 2.1.3. Ví dụ………………………………………………………… ………45 6 2.1.4. Định nghĩa tích phân Itô lặp……………………………………… …45 2.1.5. Định nghĩa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều ……………………47 §2.2. Đa thức Hermite………………………………………………………… ….48 2.2.1. Tính chất công thức đa thức hermite……………………………… 48 2.2.2. Tính chất đệ qui…………………………………………………… 49 2.2.3. Tính chất………………………………………………………… 50 2.2.4. Tính chất trực giao………………………………………………… 52 2.2.5. Tính chất đa thức Hermite bi ểu diễn thành tích phân Itô – Wiener nhiều chiều………………………………………………… …… 55 Chương III: Khái Niệm Mở Rộng Về Tích Phân Ngẫu Nhi ên…………58 §3.1. Quá trình Levy…………………………………………………………… 58 3.1.1. Định nghĩa quá trình Levy……………………………………… … 58 3.1.2. Định lý các tính chấ t của quá trình Levy………………………… ….58 3.1.3. Định lý biểu diễn Levy – Khintchine…………………………… … 60 §3.2. Tính chất Markov mạnh của quá trình Levy……………………………… 60 3.2.1. Định nghĩa thời điểm dừng………………………………………… 61 3.2.2. Bổ đề…………………………………………………………… ……61 3.2.3. Bổ đề……………………………………………………… …………62 3.2.4. Tính chất………………………………………………… ………… 63 3.2.5. Tính chất……………………………………………… …………… 64 3.2.6. Định lý……………………………………………… ……………….65 §3.3. Tích phân ng ẫu nhiên theo quá trình Levy………………………………… 66 3.3.1. Định nghĩa tích phâ n hàm bậc thang……………………………… 66 3.3.2. Tính chất……………………………………………… …………… 67 3.3.3. Định nghĩa tích phân ngẫu nhi ên theo quá trình Levy…………… …69 3.3.4. Tính chất……………………………………………………… …… 69 3.3.5. Tính chất công thức tích phân từng phần…………………………… 70 7 3.3.6. Ví dụ…………………………………………………………… ……71 §3.4. Ứng dụng trong tài chính………………………………………………… 71 3.4.1. Định nghĩa biến đổi Esscher………………………………………… 72 3.4.2. Tính chất…………………………………………………………… 73 3.4.3. Tính chất………………………………………………………… … 74 3.4.4. Tính chất……………………………………………………… …… 76 3.4.5. Tính chất…………………………………………………… ……… 78 Kết luận………………………………………………………………………… 80 Tài liệu tham khảo 81 8 BẢNG KÝ HIỆU d  không gian Euclide d  chiều   d B Borel   đại số của d  P  hội tụ theo xác suất . .h c c hầu chắc chắn d  bằng nhau theo phân phối   exp x x e   1 A x hàm chỉ tiêu: = 1 nếu x A = 0 nếu x A X t F   trường sinh bởi biến ngẫu nhiên     , ,0 X t t s X X s t    F  toán tử Laplace: 2 2 d i i f f x       toán tử Gradient: 1 , , d f f f x x                0 o t t hàm vô cùng bé có b ậc cao hơn bậc của 0 t t  B F   trường tích nhỏ nhất chứa các tập có dạng   0,t A với ,t A    F  chuẩn trong không gian Banach [...]... ánh xạ đẳng cự “, và tích phân này mang tên ông Sau này tích phân ngẫu nhiên Itô đã được các nhà toán học trên thế giới quan tâm, nghiên cứu về nó và đặc biệt là ứng dụng của nó trong lĩnh vực tài chính, chứng khoán, vv… Năm 2006, K Itô đã được hội toán học thế giới tặng giải thưởng Gauss Để xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều thì trước tiên ta định nghĩa tích phân Itô cho một hàm sơ... → ∞ (1.12) §1.2 TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER MỘT CHIỀU Trong thực tế có rất nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu phải tính toán một loại tích b phân có dạng tạm ký hiệu là I = ∫ f ( t , ω ) dWt , trong đó f ( t , ω ) là một hàm ngẫu a nhiên (hay quá trình ngẫu nhiên), còn Wt là một quá trình Wiener Do nhu cầu đó mà vào khoảng năm 1940 – 1941, nhà toán học K Itô đã đưa ra một cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên... 1.2.8: Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm bất kỳ Ta xét lớp các hàm ngẫu nhiên bình phương khả tích và F (t ) đo được Đối với một hàm bất kỳ trong lớp nêu trên sẽ tồn tại dãy hàm ngẫu nhiên cơ bản hội tụ về nó, khi đó ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều bởi biểu thức: T T ∫ G dW := lim ∫ G 0 n →∞ n dW tồn tại trong L2 ( 0, T ) (1.19) 0 Định lý 1.2.9: Các tính chất của tích phân Itô. .. chất tuyến tính của tích phân Itô: T T T 0 0 0 ∫ ( a G + b H ) dW = a ∫ G dW + b ∫ H dW (1.20) ii Tính chất kỳ vọng bằng không của tích phân Itô: ⎡T ⎤ E ⎢ ∫ G dW ⎥ = 0 ⎣0 ⎦ (1.21) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 19 iii Tính chất đẳng cự của tích phân Itô: 2 ⎡⎛ T ⎞ ⎤ ⎡T ⎤ E ⎢⎜ ∫ G dW ⎟ ⎥ = E ⎢ ∫ G 2 dt ⎥ ⎢⎝ 0 ⎠ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣ ⎦ (1.22) iv Tính chất bảo toàn tích vô hướng của tích phân Itô: T ⎡T ⎤ ⎡T ⎤ E... Gk là biến ngẫu nhiên đo được F ( tk ) bởi vì G là thích nghi Định nghĩa 1.2.6: Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm sơ cấp Cho G ∈ L2 ( 0, T ) là hàm sơ cấp như trên, thì ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều như sau: T m −1 0 k =0 ∫ G dW := ∑ Gk (W ( tk +1 ) − W ( tk ) ) (1.15) là tích phân ngẫu nhiên Itô của G trên khoảng ( 0,T ) Bổ đề 1.2.7: Xấp xỉ một hàm bất kỳ bằng hàm sơ cấp... sau đó qua phép toán lấy giới hạn ta sẽ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều của một hàm bất kỳ trong L2 ( 0, T ) Cho W ( • ) là quá trình Wiener xác định trên không gian xác suất ( Ω, F , P ) Định nghĩa 1.2.1: Lịch sử và tương lai của quá trình Wiener (i) σ − đại số W ( t ) := F (W ( s ) | 0 ≤ s ≤ t ) gọi là lịch sử của quá trình Wiener theo thời gian t Chương I (ii) 16 Luận văn... 1.3.5: Cho quá trình ngẫu nhiên X t = Wt 2 , trong đó Wt là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: dX t = dt + 2Wt dWt (1.65) Cho quá trình ngẫu nhiên Yt = 2 + t + eWt , trong đó Wt là quá trình Wiener một ⎛ 1 ⎞ chiều, có vi phân ngẫu nhiên: dYt = ⎜1 + eWt ⎟ dt + eWt dWt ⎝ 2 ⎠ (1.66) Khi đó ta tìm vi phân ngẫu nhiên Itô của tích X t ⋅ Yt Giải Ta có: d ( X tYt ) = X t dYt + Yt dX t + β1 (... 0⎝ 0 t t Ví dụ 1.3.3: Sử dụng công thức vi phân Itô để tính tích phân ∫ Ws dWs 0 Giải 1 Xét hàm f (Wt , t ) = Wt 2 , theo công thức vi phân Itô ta có: 2 df (Wt , t ) = t 1 dt + Wt dWt 2 t (1.58) t 1 ⇒ ∫ df (Wt , t ) = ∫ dt + ∫ Ws dWs 2 0 0 0 (1.59) t 1 1 ⇒ Wt 2 = t + ∫ Ws dWs 2 2 0 (1.60) t 1 1 ⇒ ∫ Ws dWs = Wt 2 − t 2 2 0 (1.61) Tính chất 1.3.4: Vi phân của tích hai quá trình ngẫu nhiên Điều kiện: Cho... sĩ toán học • Trong giải tích ngẫu nhiên ta sẽ có các đẳng thức sau: i dWt dWt = dt với Wt là quá trình Wiener ii dWi ,t dW j ,t = 0, i ≠ j với Wi ,t ,W j ,t là độc lập iii dWt dt = 0 iv dt.dt = 0 §1.3 VI PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ Công thức Itô là chìa khóa để tính và ước lượng tích phân ngẫu nhiên, để thực hiện các biến đổi ngẫu nhiên, để chứng minh và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên, đặc biệt... quá trình ngẫu nhiên X t = e aW , trong đó Wt là quá trình t Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: dX t = 1 2 aWt a e dt + a e aWt dWt 2 (1.77) Cho quá trình ngẫu nhiên Yt = eWt ln a , trong đó Wt là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: dYt = 1 2 ( ln a ) Yt dt + Yt ln a dWt 2 (1.78) Xt Yt Khi đó ta tìm vi phân ngẫu nhiên Itô của thương Giải ⎞ Yt dX t − X t dYt β ( t , ω ) X t − β1 . trình bày về việc xây dựng tích phân ngẫu nhi ên Itô – Wiener nhiều chiều dựa vào công thức tích phân Itô lặp nghĩa là giữa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều và tích phân Itô lặp có mối liên hệ. về tích phân ngẫu nhi ên Itô – Wiener một chiều, tích phân ngẫu nhi ên Itô – Wiener nhiều chiều và lớp các tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy . Trong đó tích phân ng ẫu nhiên Itô - Wiener một. à mối liên hệ giữa tích phân ngẫu 3 nhiên Itô – Wiener nhiều chiều và đa thức Hermite nghĩa là đa thức Hermite được biểu diễn thành tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều. Chương III: