Vi tích phân Itô một chiều

Công thức Itô là chìa khóa để tính và ước lượng tích phân ngẫu nhiên để thực hiện các biến đổi ngẫu nhiên, để chứng minh và giải các phương trình ngẫu nhiên, đặc biệt nó là công cụ rất m

LỜI NÓI ĐẦU

Trong thực tế có rất nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu phải tính toán một loại tích phân, có dạng tạm kí hiệu là

0

( , )

T

ta đã biết là hầu hết mọi quỹ đạo là những hàm không có biến phân giới nội trên bất kì khoảng hữu hạn nào, vì vậy mà ta không thể định nghĩa tích phân Itô như tích phân Stieltjes được Do nhu cầu đó mà vào khoảng năm 1940 – 1942 nhà toán học K.Itô đã đưa ra một cách xây

tích phân này mang tên ông Sau này tích phân Itô đã được các nhà toán học trên thế giới quan tâm, nguyên cứu về nó và đặc biệt là ứng dụng nó trong các lĩnh vực của kinh tế

Công thức Itô là chìa khóa để tính và ước lượng tích phân ngẫu nhiên để thực hiện các biến đổi ngẫu nhiên, để chứng minh và giải các phương trình ngẫu nhiên, đặc biệt nó là công cụ rất mạnh trong tính toán các bài toán kinh tế

Năm 2006, K.Itô đã được hội toán học thế giới trao tặng giải thưởng Gauss (xem thêm ở phần phụ lục)

Để xây dựng tích phân Itô một chiều thì trước tiên ta định nghĩa

Cuốn tiểu luận này được trình bày theo bố cục:

Phần I: TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ MỘT CHIỀU

Phần II: VI PHÂN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU

Phần III: MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Phụ lục: MINH CHỨNG LỊCH SỬ

Tôi viết cuốn tiểu luận VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU này,

nói chung đây chỉ là sự góp nhặt khai triển chẳng mấy là sáng tạo Thỉnh thoảng có đôi lời khen tặng, tôi lấy làm xấu hổ như đã cưỡng chiếm một cái gì đó mà không thuộc về mình

Tác giả xin cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo, TS Dương Tôn Đảm Cảm ơn sự nhiệt tình và tận tâm của thầy trong suốt thời gian Thầy hướng dẫn và giảng dạy môn Quá trình ngẫu nhiên 1 và môn Quá trình ngẫu nhiên 2

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU

MỤC LỤC

BẢNG KÍ HIỆU

Chương 1 TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU 5

1.1 Định nghĩa: lịch sử và tương lai của quá trình Wiener 5

1.2 Định nghĩa: họ thích nghi với bộ lọc 5

1.3 Định nghĩa: quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc 5

1.4 Định nghĩa: không gian hàm bình phương khả tích 5

1.5 Định nghĩa: hàm sơ cấp 6

1.6 Định nghĩa: tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm sơ cấp 6

1.7 Bổ đề: Xấp xỉ một hàm bất kì bằng hàm sơ cấp 6

1.8 Định nghĩa: Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm bất kì 6

1.9 Các tính chất của tích phân Itô một chiều 7

1.9.1 Tính tuyến tính 1.9.2.Tính chất kì vọng bằng không 1.9.3.Tính đẳng cự 1.9.4.Tính chất bảo toàn tích vô hướng Chương 2 VI PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ MỘT CHIỀU 10

2.1 Định nghĩa: Vi phân ngẫu nhiên Itô 10

2.2 Công thức vi phân ngẫu nhiên Itô 10

2.3 Tính chất: 2.3.1 Vi phân của tích hai quá trình ngẫu nhiên 14

2.3.2 Vi phân nghịch đảo của quá trình ngẫu nhiên 15

2.3.3 Vi phân của thương hai quá trình ngẫu nhiên 15

2.3.4 Công thức TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 16

2.4 Tính chất mở rộng : 2.4.1 Vi phân của tích hai quá trình ngẫu nhiên 16

2.4.2 Vi phân của thương hai quá trình ngẫu nhiên 17

Chương 3 MỘT SỐ VÍ DỤ 19

Phụ lục: Minh chứng lịch sử 28

Tài liệu tham khảo 31

MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐẶC BIỆT

( d)

P

( limit in the mean )

Chương 1 TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU

1.1 Định nghĩa: Lịch sử và tương lai của quá trình Wiener

(i) δ – đại số (t):=ℱ(W( ) 0≤ ≤t) được gọi là lịch sử của quá trình

Wiener theo thời gian t

(ii) δ – đại số +(t) :=ℱ(W( )– W(t) ≥t) được gọi là tương lai của quá

trình Wiener theo thời gian t

1.2 Định nghĩa: họ thích nghi với bộ lọc

Họ ℱ(•) của δ – đại số ⊆ℱ được gọi là thích nghi (đối với W(•)) nếu :

1.4 Định nghĩa: không gian hàm bình phương khả tích

(i) Ta kí hiệu L2(0,T) là không gian tất cả các hàm ngẫu nhiên G(•) bình phương khả tích nhận giá trị thực sao cho 2

1.5 Định nghĩa: hàm sơ cấp

Hàm G⊂L2(0,T) được gọi là hàm sơ cấp nếu tồn tại khoảng

P={0=t0<t1<…<tm=T } sao cho G(t) = Gk, tk≤t<tk+1 ( k=0, 1, 2, …,m-1)

Thì mỗi Gk là biến ngẫu nhiên đo được ℱ(tk) bởi vì G thích nghi

1.6 Định nghĩa: tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm sơ cấp

Cho G  L2(0,T) là hàm sơ như trên (1.5) thì ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều như sau :

   

1

1 0

, k = 0, 1, 2, …, nT

1.8 Định nghĩa: Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm bất kì

Ta xét lớp các hàm ngẫu nhiên bình phương khả tích và F(t) đo được Đối với một hàm bất kì trong lớp nêu trên sẽ tồn tại dãy hàm ngẫu nhiên cơ bản hội tụ về nó, khi đó ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều bởi biểu thức :

GdW:= lim G dW

n n

  tồn tại trong L2(0,T)

1.9 Các tính chất của tích phân Itô một chiều

Ta thấy rằng Gk là ℱ(tk) – đo được và ℱ(tk) độc lập với +(t) – đo được

1 , 0

1 , 0

Chương 2 VI PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ MỘT CHIỀU

2.1 Định nghĩa: Vi phân ngẫu nhiên Itô

Cho quá trình ngẫu nhiên Xt có vi phân ngẫu nhiên Itô :

là hàm một lần khả vi liên tục theo t, hai lần khả vi liên tục theo x

Khi đó quá trình ngẫu nhiên Kt t X, t có vi phân Itô tính theo công thức sau :

(2.6)

         

2 2

             

2 2





 ,

2 2

n x

10,

Và

2 2

12.14

2

t

L P

ds x

Trước tiên, ta đặt    

2

2 2

Nếu i = j, khi đó đại lượng trên chỉ còn lại (2.16) :

dY

dY

     

2

* 2

dY

Giải : Chú ý : Ta có Wt là một hàm ngẫu nhiên đo được dần trên 0;T x  , 

t   và

2 2

2

ax ( ) 0 0

2 0

2

t t



Nên theo công thức Itô, ta được

X e X

X te

Ví dụ 3.7

Sử dụng công thức Itô, hãy tính các vi phân  iWt

d e ? ( trong đó i là đơn vị ảo số phức : i   ) 2 1

Giải : Chọn t X, e iX Suy ra   iW

iX e X

Khi đó

X t

dY a b Y dtbY d

Giải :

at bX

b e X

Kiyosi Ito

( 07.09.1915 – 10.11.2008 )

(Nhật Bản)

Nước Anh (và châu Âu) có Newton

để tự hào là ông tổ của phép tính vi tích phân (Calculus, hay Analysis), thì nước Nhật (và châu Á) có Kiyosi Ito để tự hào là cha để của phép tính

vi tích phân ngẫu nhiên (Stochastic) Calculus hay Stochastic Ananlysis

Kiyosi Ito sinh ngày 07 tháng 09 năm 1915, tại Hokusei (nay là Inabe),

Nhật Bản Ông học toán tại Đại học Hoàng Đế (Imperial Univesity) ở Tokyo

và tốt nghiệp năm 23 tuổi Sau đó ông làm việc tại cơ quan thống kê Quốc gia và công bố hai bài báo về xác suất và quá trình ngẫu nhiên (năm 1942) Năm 1945, Kiyosi Ito bảo vệ thành công luận án Tiến sĩ và giành được giải thưởng nhờ các kết quả xuất sắc của luận án này Năm 1952, ông được phong danh hiệu Giáo sư của Đại học Tokyo, và làm việc ở đây cho tới lúc

về hưu, (năm 1979) Ngoài ra, ông còn được phong chức danh Giáo sư tại các trường Đại học Aarhus (Đan Mạch) từ 1966 đến 1969, Đại học Cornell (Hoa Kỳ) từ 1960 đến 1975 Ông được công nhận là Viện sĩ của Nhật (Japan Academy of Sciences) vào năm 1991, của Viện khoa học Pháp (Académie des Sciences ò France) vào năm 1989, và Viện khoa học Hoa Kỳ (the US Academy of Sciences) năm 1998

Năm 2008, Kiyosi Ito vinh dự được nhận Huân chương Văn hoá Nhật Bản tại Cung điện Hoàng đế (Nhật) Ông còn nhận được nhiều giải thưởng cao quý như: Giải thưởng Viện Hàn lâm Nhật Bản (1978); Giải thưởng Wolf (1987); Giải thưởng Kyoto (1998) Đặc biệt, ông là người đầu tiên nhận Giải thưởng Gauss tại Đại hội Toán học Quốc tế ở Madrid vào 2006 (lúc đó ông

đã 91 tuổi, không thể đến Madrid để nhận giải, con gái út của ông, bà Junko Ito, giáo sư ngôn ngữ, đã thay mặt ông nhận giải thưởng này do Vua Tây Ban Nha, Joan Carlos, trao tặng) Ngoài ra, K Ito còn được tặng học vị tiến

sĩ danh dự của trường Đại học Paris (1981), Viện Kĩ thuật Liên bang Zurich (1987), và Đại học Warwick (1992)

Kiyosi Ito đã có những đóng góp lớn tới sự tiến bộ khoa học toán học bằng việc đặt nền tảng của lí thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên và tích phân ngẫu nhiên (năm 1942) Ông cũng đóng góp một vai trò hàng đầu trong

sự phát triển những phần này vào trong chương cốt lõi của lí thuyết xác suất hiện đại, được biết như là tích phân ngẫu nhiên

Từ đầu những năm 1950, Lí thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được áp dụng vào những nhánh khác nhau của toán học như phương trình đạo hàm riêng, lí thuyết thế vị, tích phân, hình học vi phân và tích phân điều hoà

Đặc biệt, lí thuyết này đã có nhiều ứng dụng vượt ra ngoài các phạm vi của toán học, chẳng hạn như phân tích hiện tượng ngẫu nhiên trong nhiều lĩnh vực đa dạng như Vật lí, Sinh học, Kinh tế học và Kĩ thuật Bài toán học (filtering) của Kalman đã không thể phát triển tới giai đoạn hiện nay nếu không có phương trình vi phân ngẫu nhiên

Trong nghiên cứu của F Black, R Merton và M Scholes, nhờ áp dụng lí thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên đã giúp Merton và Scholes nhận được giải thưởng Nobel Kinh tế năm 1997

Ito đã đóng góp to lớn tới nhiều lĩnh vực khác như: sự phân giải hỗn loạn Wiener-Ito (The Wienerr – Ito chaos decomposition), quá trình khuếch đại một chiều, lí thuyết quá trình Markov và quá trình khuếch tán hữu hạn chiều trong lí thuyết xác suất trên không gian Banach, ông và Nisio đã đưa ra kết quả quan trọng về sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập (năm 1968)

Ông là đại diện tiêu biểu cho khoa học toán học thế kỷ XX, có ảnh hưởng mạnh mẽ tới nhiều nhánh khác nhau của toán học và khoa học Có lẽ vì vậy

mà cả '' thế giới ngẫu nhiên '' đều ngưỡng mộ và xem ông là cha đẻ của tính toán ngẫu nhiên

Năm 2005, Hội nghị về Giải tích ngẫu nhiên và Ứng dụng đã được tổ chức tại Oslo (Nauy) để mừng thọ Kiyosi Ito 90 tuổi (tại hội nghị này ông

còn đọc báo cáo: “Memoiry of My Research on Stochastic Analysis” Kiyosi

Ito mất ngày 10 tháng 11 năm 2008, tại Tokyo

Ra đời vào năm 1960, xác suất thống kê của Việt Nam chịu ảnh hưởng lớn của Ito, dù ông chưa đến Việt Nam bao giờ Năm 1961, Igor Girsanov, một chuyên gia người Nga, đã giảng về quá trình ngẫu nhiên cho cán bộ bộ môn Xác suất và Thống kê tại khoa Toán Đại học Tổng hợp Hà Nội Trước đó (1961), Girsanov đã có kết quả hết sức quan trọng trong lí thuyết phương

trình vi phân ngẫu nhiên: Định lí Girsanov nổi tiếng và càng ngày càng có

nhiều ứng dụng, đặc biệt, trong ngành tài chính Tiếp theo, thầy Huỳnh Sum (1936 – 1986) là giảng viên người Việt đầu tiên dạy quá trình ngẫu nhiên và hướng dẫn sinh viên viết luận văn tốt nghiệp đại học về tích phân ngẫu nhiên Ito Thế rồi, nhiều nhà toán học ở Việt Nam đã nghiên cứu và trở thành những chuyên gia về toán tài chính và điều khiển sử dụng phương trình Ito,

về ổn định của phương trình vi phân Ito, tích phân Ito, hệ động lực ngẫu

nhiên…Những nghiên cứu chính của ông chủ yếu liên quan đến chuyển động Brownian, phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương trình khuyết tán

và được ứng dụng hết sức rộng rãi trong các lĩnh vực sinh học, điện kỹ thuật, phản ứng hóa học, vật lí lượng tử

Với những điều trên, ta có thể gọi Ito là Ông, là Cha của những ai đang nghiên cứu Tính toán Ito, một Newton của Giải tích ngẫu nhiên

Tài liệu tham khảo:

[1] Dương Tôn Đảm Quá trình ngẫu nhiên – Phần mở đầu NXB

Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2006

[2] Dương Tôn Đảm Quá trình ngẫu nhiên – Phần I: Tích phân và

phương trình vi phân ngẫu nhiên NXB Đại học Quốc gia TP Hồ

Chí Minh, 2007

[3] Dương Tôn Đảm Quá trình ngẫu nhiên – Phần II: Các phép

toán Malliavin NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2010

[4] Dương Tôn Đảm Một số công thức vi phân hàm ngẫu nhiên

Tạp chí phát triển KH&CN tập 12 số 7-2009

[5] Trần Hùng Thao Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu

nhiên NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2000

[6] Đặng Hùng Thắng Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi

phân ngẫu nhiên NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội, 2006