Vi tích phân Itô một chiều

VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm LỜI NÓI ĐẦU Trong thực tế có nhiều toán dẫn đến nhu cầu phải tính toán T loại tích phân, có dạng tạm kí hiệu I   f (t ,  ) , f (t ,  ) hàm ngẫu nhiên (hay trình ngẫu nhiên), Wt trình Wiener Tuy quỹ đạo t  Wt hàm liên tục t ta biết hầu hết quỹ đạo hàm biến phân giới nội khoảng hữu hạn nào, mà ta định nghĩa tích phân Itô tích phân Stieltjes Do nhu cầu mà vào khoảng năm 1940 – 1942 nhà toán học K.Itô đưa cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên dựa nguyên tắc " ánh xạ đẳng cự " , tích phân mang tên ông Sau tích phân Itô nhà toán học giới quan tâm, nguyên cứu đặc biệt ứng dụng lĩnh vực kinh tế Công thức Itô chìa khóa để tính ước lượng tích phân ngẫu nhiên để thực biến đổi ngẫu nhiên, để chứng minh giải phương trình ngẫu nhiên, đặc biệt công cụ mạnh tính toán toán kinh tế Năm 2006, K.Itô hội toán học giới trao tặng giải thưởng Gauss (xem thêm phần phụ lục) Để xây dựng tích phân Itô chiều trước tiên ta định nghĩa tích phân Itô cho hàm sơ cấp L2(0,T), ta xấp xỉ hàm ngẫu nhiên L2(0,T) dãy hàm sơ cấp L2(0,T), sau qua phép toán lấy giới hạn ta định nghĩa tích phân Itô chiều hàm số L2(0,T) Cuốn tiểu luận trình bày theo bố cục: Phần I: TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ MỘT CHIỀU Phần II: VI PHÂN NGẪU NHIÊN MỘT CHIỀU Phần III: MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Phụ lục: MINH CHỨNG LỊCH SỬ Tôi viết tiểu luận VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU này, nói chung góp nhặt khai triển chẳng sáng tạo Thỉnh thoảng có đôi lời khen tặng, lấy làm xấu hổ cưỡng chiếm mà không thuộc Trang VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm Tác giả xin cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, TS Dương Tôn Đảm Cảm ơn nhiệt tình tận tâm thầy suốt thời gian Thầy hướng dẫn giảng dạy môn Quá trình ngẫu nhiên môn Quá trình ngẫu nhiên Vì thời gian hạn hẹp mà kiến thức đề tài trừu tượng, tác giả tiếp cận chưa lâu nên chắn có nhiều thiếu sót Tác giả vô biết ơn đóng góp dẫn thầy cô bàn bè để tác giả tiếp thu chỉnh sửa để tiểu luận hoàn thiện Tác giả Trương Văn Kìm Trang VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU Chương TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU 1.1 Định nghĩa: lịch sử tương lai trình Wiener 1.2 Định nghĩa: họ thích nghi với lọc 1.3 Định nghĩa: trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.4 Định nghĩa: không gian hàm bình phương khả tích 1.5 Định nghĩa: hàm sơ cấp 1.6 Định nghĩa: tích phân ngẫu nhiên Itô hàm sơ cấp 1.7 Bổ đề: Xấp xỉ hàm hàm sơ cấp 1.8 Định nghĩa: Tích phân ngẫu nhiên Itô hàm 1.9 Các tính chất tích phân Itô chiều 1.9.1 Tính tuyến tính 1.9.2.Tính chất kì vọng không 1.9.3.Tính đẳng cự 1.9.4.Tính chất bảo toàn tích vô hướng Chương VI PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ MỘT CHIỀU 10 2.1 Định nghĩa: Vi phân ngẫu nhiên Itô 10 2.2 Công thức vi phân ngẫu nhiên Itô 10 2.3 Tính chất: 2.3.1 Vi phân tích hai trình ngẫu nhiên 14 2.3.2 Vi phân nghịch đảo trình ngẫu nhiên 15 2.3.3 Vi phân thương hai trình ngẫu nhiên 15 2.3.4 Công thức TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 16 2.4 Tính chất mở rộng : 2.4.1 Vi phân tích hai trình ngẫu nhiên 16 2.4.2 Vi phân thương hai trình ngẫu nhiên 17 Chương MỘT SỐ VÍ DỤ 19 Phụ lục: Minh chứng lịch sử 28 Tài liệu tham khảo 31 Trang VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐẶC BIỆT KÍ HIỆU  ( d ) (t) + (t) ℱ(•) G(•) L2(0,T) , L () G⊂L2(0,T) T  GdW ĐỊNH NGHĨA Borel   đại số d Lịch sử trình Wiener Tương lai trình Wiener Họ thích nghi với lọc Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc Không gian hàm bình phương khả tích Hàm sơ cấp G Tích phân ngẫu nhiên Itô t 1A(x) P   h.c.c d Xt   t,    t,   L.i.m Lim Hàm tiêu tập A Hội tụ theo xác suất Hầu chắn Bằng theo phân phối Quá trình ngẫu nhiên Xt Tham số dịch chuyển Tham số tán xạ Giới hạn bình phương trung bình ( limit in the mean ) Giới hạn thường ( limit ) Trang VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Chương TÍCH Trương Văn Kìm PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU 1.1 Định nghĩa: Lịch sử tương lai trình Wiener (i) δ – đại số (t):=ℱ(W( ) 0≤ ≤t) gọi lịch sử trình Wiener theo thời gian t (ii) δ – đại số +(t) :=ℱ(W( )– W(t) ≥t) gọi tương lai trình Wiener theo thời gian t 1.2 Định nghĩa: họ thích nghi với lọc Họ ℱ(•) δ – đại số ⊆ℱ gọi thích nghi (đối với W(•)) : (i) ℱ(t) ⊆ ℱ( ) , ∀ t≥ ≥0 (ii) ℱ(t) ⊇ ( ), ∀t≥0 (iii) ℱ(t) độc lập +(t) 1.3 Định nghĩa: trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc Quá trình ngẫu nhiên độc lập thực G(•) gọi thích nghi ( ℱ(•)) t≥ 0, G(•) ℱ(t) đo 1.4 Định nghĩa: không gian hàm bình phương khả tích (i) Ta kí hiệu L2(0,T) không gian tất hàm ngẫu nhiên G(•) bình T  phương khả tích nhận giá trị thực cho E   G dt    0  (ii) Ngược lại, lấy L1(0,T) hàm tất hàm F(•) đo liên tục T  nhận giá trị thực cho E   G dt    0  Trang VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm 1.5 Định nghĩa: hàm sơ cấp Hàm G⊂L2(0,T) gọi hàm sơ cấp tồn khoảng P={0=t0[...]... Trang 27 VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm Ví dụ 3.16 Cho quá trình ngẫu nhiên X t  e aWt , trong đó Wt là quá trình Wiener một 1 chiều, có vi phân ngẫu nhiên dX t  a 2eaWt dt  aeaWt dWt 2 Wt ln a Cho quá trình ngẫu nhiên Yt  e , trong đó Wt là quá trình Wiener 2 1  một chiều, có vi phân ngẫu nhiên dYt    ln a  Yt  dt  Yt ln a  dWt (xem 2  ví dụ 3.12) X Hãy tính vi phân ngẫu... Ví dụ 3.3 Sử dụng công thức Itô, hãy tính các vi phân d (Wtn ) ? Giải : n Chọn   t , X   X Suy ra   t , Wt   Wtn Ta có    2 n 1  0,  nX ,  n( n  1) X n 2 2 t X X Nên theo công thức Itô, ta được Trang 21 VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm 1 d  Wtn   nWtn1dWt  n(n  1)Wtn 2 dt 2 Ví dụ 3.4  ? Sử dụng công thức Itô, hãy tính các vi phân d e Wt Giải : Chọn  ... sĩ danh dự của trường Đại học Paris (1981), Vi n Kĩ thuật Liên bang Zurich (1987), và Đại học Warwick (1992) Kiyosi Ito đã có những đóng góp lớn tới sự tiến bộ khoa học toán học bằng vi c đặt nền tảng của lí thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên và tích phân ngẫu nhiên (năm 1942) Ông cũng đóng góp một vai trò hàng đầu trong Trang 29 VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm sự phát triển những phần... suất hiện đại, được biết như là tích phân ngẫu nhiên Từ đầu những năm 1950, Lí thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được áp dụng vào những nhánh khác nhau của toán học như phương trình đạo hàm riêng, lí thuyết thế vị, tích phân, hình học vi phân và tích phân điều hoà Đặc biệt, lí thuyết này đã có nhiều ứng dụng vượt ra ngoài các phạm vi của toán học, chẳng hạn như phân tích hiện tượng ngẫu nhiên trong... 2 t X X Áp dụng công thức Itô, ta được Trang 25 VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm  1  dYt  e Wt dWt  1  e Wt  dt  2  Vậy  1 dYt  1  e Wt  2  Wt   e dWt  Ví dụ 3.13 Cho Xt, Yt là các quá trình ngẫu nhiên thực có các vi phân dXt, dYt vi t dưới dạng chuẩn Chứng minh rằng : d  X t Yt   X t dYt  Yt dXt  dXt dYt Từ đó rút ra công thức tích phân từng phần : t t  X dY s...  t Y 2   t    Phụ lục: Minh chứng lịch sử Trang 28 VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm Kiyosi Ito ( 07.09.1915 – 10.11.2008 ) (Nhật Bản) Nước Anh (và châu Âu) có Newton để tự hào là ông tổ của phép tính vi tích phân (Calculus, hay Analysis), thì nước Nhật (và châu Á) có Kiyosi Ito để tự hào là cha để của phép tính vi tích phân ngẫu nhiên (Stochastic) Calculus hay Stochastic Ananlysis... những chuyên gia về toán tài chính và điều khiển sử dụng phương trình Ito, về ổn định của phương trình vi phân Ito, tích phân Ito, hệ động lực ngẫu Trang 30 VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm nhiên…Những nghiên cứu chính của ông chủ yếu liên quan đến chuyển động Brownian, phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương trình khuyết tán và được ứng dụng hết sức rộng rãi trong các lĩnh vực sinh học,... là Ông, là Cha của những ai đang nghiên cứu Tính toán Ito, một Newton của Giải tích ngẫu nhiên Trang 31 VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm Tài liệu tham khảo: [1] Dương Tôn Đảm Quá trình ngẫu nhiên – Phần mở đầu NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2006 [2] Dương Tôn Đảm Quá trình ngẫu nhiên – Phần I: Tích phân và phương trình vi phân ngẫu nhiên NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2007 [3]... Tính chất: Cho X = Xt , Y = Yt là các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị dương, có vi phân ngẫu nhiên tương ứng là : Trang 14 VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm d X t  1dt  1dWt và d Yt   2 dt   2 dWt với 1  1  t ,   , 1  1  t ,    2   2 t ,  ,  2  2  t ,  Khi đó : 2.3.1 Vi phân của tích hai quá trình ngẫu nhiên (2.19) d  XY   XdY  YdX  1 2 dt Chứng minh... X 2 Nên theo công thức Itô, ta được 1 d (cos Wt )   sin Wt dWt  cosWt dt 2 Trang 22 VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm Ví dụ 3.7   Sử dụng công thức Itô, hãy tính các vi phân d eiWt ? ( trong đó i là đơn vị ảo số phức : i 2  1 ) Giải : iX Chọn   t , X   e Suy ra   t , Wt   eiWt Ta có    2 iX  0,  ie ,  eiX 2 t X X Nên theo công thức Itô, ta được 1 d eiX  ieiX ... PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Trương Văn Kìm T T  T   E   GdW. HdW   E   GHdt  0  0  Vậy tính chất tích phân Itô chiều chứng minh Trang 10 VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Chương VI Trương... 10 2.1 Định nghĩa: Vi phân ngẫu nhiên Itô 10 2.2 Công thức vi phân ngẫu nhiên Itô 10 2.3 Tính chất: 2.3.1 Vi phân tích hai trình ngẫu nhiên 14 2.3.2 Vi phân nghịch đảo trình... trung bình ( limit in the mean ) Giới hạn thường ( limit ) Trang VI – TÍCH PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU Chương TÍCH Trương Văn Kìm PHÂN ITÔ MỘT CHIỀU 1.1 Định nghĩa: Lịch sử tương lai trình Wiener (i) δ –