Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân: Một số dạng tích phân thờng gặp 1
I - Tích phân các hàm đa thức, hàm số luỹ thừa
Chú ý :
1 1
b b
u
u du
với 0 và -1, 1
b
b a a
*
; 0,
m
n um u un n N ,
u
, du = u’(x)dx
I1 =
5
4
0
(3 )
5
x
dx
I2 =
1
0
(1 )
x x dx
I3 =
1
11 0
(1 )
x x dx
I4 =
1
2
0
(1 )n
x x dx
I5 =
5
2
3
x dx
I6 =
2 2 1
x x dx
I7 =
8
3 1
1 (x x )dx
x
I8 =
3 1
1 2 x x
dx x
I9 =
3
1
1
x x
I10 =
3
0.125
1
x x dx
I11 =
2
2 0
max 3x 2;x dx
II- Tích phân các hàm hữu tỉ
-Nguyễn Trung Kiên – THPT Minh Khai Hà Nội Mail: ntkmk2hn@gmail.com
Trang 2I12 =
2
4 1
4
(3 2 ) x dx
I13 =
1
1
2
x
dx
x
I14 =
1
0
3 1
x
dx x
I15 =
1
0
3
1
1
dx x
x
x
I16 =
1
0
3
2
) 1
3
x
I17 =
b
a
dx b x a
x )( )
(
1
I18 = dx
x x
2
0
1
I19 =
1
2
0
4 11
x
dx
I20 =
4
2
2 3
2
1
dx x x
x
I21 =
1
2
1 ( 2)
x dx x
I22 =
1 2 2 2
x x
dx
x x
I23 =
2 4
2
1 2
x dx x
I24 =
1 2 2
x dx
x x
I25 =
3 2
13
dx dx x
I26 =
2 2
0 1
x dx x
I27 =
3 2
x dx x
I28 =
1 3 0
3
1 x dx
I29 =
2009 1
2 1 2
I30 =
3 3 1
1
dx
x x
I31 =
1
4 1
(x x )
dx x
I32 =
1
2 0
( 2)( 1)
x
dx
I33 =
2
2 2
b
a x dx
a x
I34 =
1 0
3
2) 1
x
I35 =
2
1 4
2
1
1
dx x x
I36 =
1 0 6
4
1
1
dx x x
I37 =
2 2
1
1 1
x
dx
x x
I38 =
3
1 ( 5 1)( 3 1)
x
dx
Trang 3III- Tích phân hàm chứa căn thức
Chú ý:
b
a
dx x f x
+) R(x,
x a
x a
) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0 [
+) R(x, 2 2
x
a ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t
+) R(x, n
d cx
b ax
) Đặt t = n
d cx
b ax
+) R(x, f(x)) =
ax ) 2 (
1
Với (x2 x )’ = k(ax+b)
Khi đó đặt t = x2 x , hoặc đặt t =
b
ax
1
+) R(x, a 2 x2 ) Đặt x = a tgt , t ]
2
; 2 [
+) R(x, x 2 a2 ) Đặt x =
x
a
2 {
\ ]
; 0
+) Rn 1 n 2 n i
x ; x ; ; x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni), Đặt x = tk
Trang 4I39 =
1
3
3 2xdx
I40 =
1
0
1
x xdx
I41 =
1
1
1
x x dx
I42 =
2
0
3x 1 x dx
I43=
2
1
1
1 x 2dx
I44 =
4
x
dx
x
I45 =
2
x
dx x
I46 =
7
3
0
2
1
x
dx x
I47 =
0
1
1
x
dx x
I48 =
x
dx x
I49 =
2
2
2
3
1
1dx
x x
I50 =
3
2
5 x x2 4
dx
I51 = x x x dx
4
0
2
3 2
I52 =
3
3 5
1 x dx
x
x
I53 =
1
2
x dx
x x
I54 =
1
3
1
x x
dx x
I55 =
3
0
2
3 10 x dx x
I56 =
2
dx
I57 =
2
2 0
4 x dx
I58 =
2
x dx x
I59 =
1
0
1
x x dx
I60 =
2 2
0 ( 1 x2)3
dx
I61 =
3
2 0
1
1x dx
I62 =
7 2 2
1
3dx
x
I63 =
3 2 2
1
x dx
I64 =
1 2 0
x x dx
I65 =
1
1
2 2
x dx x
I66 =
1
1 3ln
ln
e
x xdx x
I67 =
ln 3
0
1
1 xdx e
I68 =
x
x
e dx e
I69 =
ln 2 2
1
ln
1 ln
x dx
I70 =
2
cos
x xdx
I71 =
2
0
2
cos cos
sin
dx x x
x
I72 =
3
0 2 cos 2 cos
x xdx
I73 =
2
0
5
6 1 cos 3 sin cos
xdx x
x
I74 =
2
sin 2 sin
dx x
x x
I75 =
3
0
2
2
cos
3 2 cos
2 cos
dx x
tgx x
x
Trang 5IV- TÝch ph©n hµm sè lîng gi¸c
Chó ý: C¸c c«ng thøc lîng gi¸c
TÝch thµnh tæng : 2sinax.cosbx = sin(a+b)x + cos(a-b)x
2cosax.cosbx = cos(a+b)x + cos(a-b)x 2sinax.sinbx = cos(a-b)x – cos(a+b)x H¹ bËc: 2sinax.cosax = sin2ax; 2sin2ax =1- cos2ax; 2cos2ax = 1+ cos2ax
BiÓu diÔn theo t = tan
2
x
; sinx = 2 2
1
t t
; cosx =
2 2
1 1
t t
; tanx = 2 2
1
t t
C¸c vi ph©n: d(sinx) = cosxdx; d(cosx) = -sinxdx; d(tanx) = dx2
cos x=(1+tan
2x)dx
I76 = 2 x 4 xdx
0
sin
I77 =
2
0
3
sin
xdx x
I78 = 4
4
0
1
dx
cos x
I79 = 2 5
0
sin xdx
I80 =
2
0
4
(sin
2
cos
dx x x
x
I81 =
2
3
sin
1
dx x
I82 =
2
0
2 3
cos
1
sin
dx x x
I83 =
3
6
sin
dx
I84 =
4
0
2
sin
x x
x x
dx
I85 =
2
0
3
cos
1
cos
dx x x
I86 = 6 tan4
2
x
dx
cos x
I87 =
2
3
2
) cos 1 ( cos
xdx
I88 =
2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
dx x x
x x
I89 =
4 0 3
xdx tg
I90 = g x dx
4
6
3
cot
I91 =
4
0 1 1
dx tgx
I92 =
4
4 cos(
cos
x x dx
I93 =
2
6 cos 7 sin
dx x x
x x
I94 =
4
0
4
3
cos 1
sin 4
dx x x
I95 =
2
2 sin 2 cos 1
dx x x
x x
I96 =
2
3 sin
dx x x
I97 =
2
4
sin 2
sin
dx
I98 =
4
0 2
3
cos sin
dx x x
I99 =
2
0
3
sin 1 ( 2 sin
dx x x
I100 =
3
4
3
sin
sin sin
dx xtgx
x x
I101 =
3
6 sin(
sin
dx
I102 = tgxtg x )dx
6 (
3
6
I103 =
3
0
3
) cos (sin
sin 4
x x
xdx
I104 =
4
6
2 cot
4 sin 3 sin
dx x g tgx
x x
I105 =
2
0
sin
2 sin
x x
xdx
I106 =
4
0
2
) cos 2 (sin
x x
dx
Trang 6I107 =
2
6
1
3 sinx cosx dx
0
sin 4 sin cos
xdx
3
6
tan x cot x 2dx
I110 = 3 2 0
sin xtanxdx
V- TÝch ph©n tæng hîp c¸c hµm sè
Chó ý : C«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn:
b a
Trang 7I111 =
1
2
0
x
xe dx
I112 = 2
0
(2 x inxdx)s
I113 =
2
0
sin xdx
I114 =
1 2 1
(x 1)e dxx
I115 = 2
1
ln
e
x xdx
I116 =
3 2 2
ln(x x dx)
I117 =
2 2 1
ln(1 x)
dx x
I118 =
3
1
1 ln
e
x
xdx x
I119 = 4
0 ln(1 tan )x dx
I120 =
1
(ln )
e
cos x dx
I121=
0
1
( x 1)
x e x dx
I122 = 2
ln 3
1
x x
e e dx
I123 =
3
6
2 cos
) ln(sin
dx x x
I124 =
2
4 ln(1 cot )x dx
Trang 8VI – Một số tích phân đặc biệt
I125.
1
1
2 ) 1
ln(x x dx
I126
1
1
2
4
1
sin
dx x
x
x
I127.
2
2
2
cos
4 sin
x
I128.
3
3
2
2
1
1dx
x
x
I129.
2
2
1
5 cos 3 sin sin
dx e
x x x
x
I130.
2
sin
dx x x
x
I131.
0 2 cos
sin
dx x
x x
I132.
0
2
cos 1
sin
dx x
x x
I133
4 0
) 1 ln(
4 sin
dx tgx x
I134
1 1
2 ) 1 )(
1
dx
x
I135
2
2
5
cos 1
sin
dx x x
CMR Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], thì
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)]
( ) ( [ )
liên tục trên
[-2
3
; 2
3
] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2 2 cos 2x, Tính: I 136=
2 3
2 3
) (
dx x
VII – Bài tập bổ sung