chuyên đề hàm số 9

A. Đặt vấn đề Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng trong nhà trờng, là chìa khoá giúp học sinh đi vào thế giới của tri thức khoa học kĩ thuật, giúp các em tiếp cận đợc với nền văn minh của nhân loại. Trong những năm gần đây, thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục phổ thông, đổi mới phơng pháp dạy học, đội ngũ giáo viên đạt chuẩn và trên chuẩn cao hơn, trình độ chuyên môn vững vàng hơn cho nên chất l- ợng dạy học đã có những chuyển biến tích cực. Song, ở môn toán chất l- ợng vẫn còn thấp so với yêu cầu của giáo dục. Hàng năm, qua các đợt tuyển sinh vào lớp 10 phổ thông trung học, số học sinh bị điểm liệt môn toán còn là con số đáng kể. Là giáo viên dạy toán lớp 9, trong nhiều năm qua tôi đã đặt ra nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những biện pháp để nâng cao chất l- ợng môn toán cho học sinh, tôi đã nghiên cứu, tham khảo các tài liệu, xây dựng, sắp xếp lại thành một hệ thống các chuyên đề rèn kĩ năng giải các dạng bài tập toán trong chơng trình cho mọi đối tợng học sinh. Trong chơng trình Đại số lớp 9, Hàm số là một trong những nội dung rất quan trọng, làm cơ sở để các em tiếp thu kiến thức ở những lớp trên. Các bài tập về hàm số thờng gặp trong các đề thi tốt nghiệp THCS và trong các đề thi vào lớp 10 phổ thông trung học. Thực tế giảng dạy ở một số trờng, một số giáo viên có tâm lí ngại dạy phần Hàm số vì học sinh khó tiếp thu, lúng túng khi vận dụng vào giải bài tập. Để giúp cho học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức, có kĩ năng nhận dạng, giải thành thạo các bài tập về hàm số, đồng thời để có tài liệu 1 trong việc ôn tập phần Hàm số ở lớp 9, tôi đã tham khảo các tài liệu, phân loại các bài tập về hàm số, viết thành chuyên đề Phân loại các bài tập về Hàm số và đồ thị ( Trong chơng trình Đại số lớp 9). Tôi đã dạy chuyên đề này cho học sinh trong một số năm, kết quả tốt. Chuyên đề Phân loại các bài tập về hàm số tôi xin đa ra các dạng bài tập về hàm số thờng gặp trong chơng trình Đại số lớp 9 dành cho mọi đối tợng học sinh, hớng dẫn cách giải, mong muốn khi học sinh gặp các bài tập này các em sẽ vận dụng thành thạo, góp phần nâng cao chất lợng giảng dạy môn toán ở lớp cuối cấp bậc Trung học cơ sở. Tôi xin đợc trình bày để đồng nghiệp tham khảo. 2 b. Nội dung I. Khái niệm hàm số Một hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một qui tắc cho tơng ứng với mỗi giá trị x X có 1 và chỉ 1 giá trị y Y mà ta kí hiệu là f(x), x là biến số, y=f(x) là giá trị của hàm số f tại x. II. Các dạng bài tập. Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số. Muốn tìm tập xác định của hàm số y = f(x) ta tìm giá trị của x để cho biểu thức f(x) có nghĩa. Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số: a. xy 21 = TXĐ: 2 1 : 2 1 021 xRxTXDxx b. xxy = 31 { 3 x và 313 xx }TXĐ: { } 31 xRx c. x x y + = 1 33 1 >> 1033 1 xx x TXĐ: 3 Bài 2: Cho hàm số: 1 1 )( + == x x xfy a. Tìm TXĐ b. Tính )();324( 2 aff với a <-1. c Tìm x / 3)( = xf d. Tìm x để f(x)=f(x 2 ) Giải a. TXĐ: {xR/x0; x1} b. )23(3 23 3 113 113 1324 1324 )324( += = + = + = f 1 1 1 1 )( 2 2 2 + = + = a a a a af Do a < -1 nên aa = f(a 2 ) = 1 1 + a a c. Tìm giá trị để : 3)( = xf 347 4 1231616 1216 )324( 324 324 1323 3321 13 31 31)31( 3313 1 1 2 += ++ = + = + = + ++ = + = = =+= + xx x xx x x d. f(x)=f(x 2 ) 1 1 1 1 2 2 + = + x x x x (do x0; x1 xx = 2 ) ( ) 112 11 1 1 1 1 2 +=++ +=+ + = + xxx xx x x x x 002 == xx (Thoả mãn) Dạng toán này đã có trong SGK, muốn giải quyết đợc tốt thì giáo viên nên cho học sinh luyện kĩ việc giải các phơng trình, bất phơng trình một cách thành thạo. Giáo viên cần lu ý cho học sinh khi tìm điều kiện để một biểu thức f(x) có nghĩa: 4 - Nếu biểu thức f(x) có chứa biến trong căn hoặc biến ở mẫu thì cho biểu thức trong căn lớn hơn hoặc bằng 0 hoặc cho mẫu khác 0. - Nếu f(x) là biểu thức nguyên thì TXĐ là R Dạng 2: Xét tính biến thiên của hàm số - Hàm số y=f(x) là đồng biến trong khoảng (a;b) nếu khi cho x các giá trị bất kỳ x 1 , x 2 trong khoảng (a;b) sao cho x 1 < x 2 thì f(x 1 )<f(x 2 ) - Hàm số y=f(x) là nghịch biến trong khoảng (a;b) nếu khi cho x các giá trị bất kỳ x 1 , x 2 trong khoảng (a;b) sao cho x 1 <x 2 thì f(x 1 ) > f(x 2 ) - Hàm số bậc nhất y= ax+b (a0) đồng biến khi a>0, nghịch biến khi a<0 - Hàm số y=ax 2 (a0) + Nếu a>0: Hàm số đồng biến trong R + , nghịch biến trong R - , bằng 0 khi x=0 + Nếu a<0: Hàm số đồng biến trong R - , nghịch biến trong R + , bằng 0 khi x=0 Bài 1: Cho hàm số y=(m-3)x. Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến. Giải Hàm số: y=(m-3)x là hàm số bậc nhất - Đồng biến khi m-3>0 m>3 - Nghịch biến khi m-3<0 m<3 Bài 2: Tìm m để hàm số y=(m-2-4)x 2 a. Đồng biến trong R + b. Nghịch biến trong R + Giải a. Hàm số có dạng y=ax 2 với a= m-2-4 Để hàm số y=(m-2-4)x 2 đồng biến trong R + thì m-2-4>0 m-2>4 - Nếu m 2 m-2 > 4 m > 6 - Nếu m < 2 2 - m >4 m < -2 b. Hàm số y=(m-2-4)x 2 nghịch biến trong R + 5 m-2-4 < 0 m-2 < 4 - Nếu m 2 m-2 < 4 m < 6 62 < m - Nếu m < 2 2 - m <4 m > -2 -2 < m < 2 -2 < m < 6 - Khi dạy cần cho học sinh nhận dạng hàm số đã cho là hàm số y = ax + b hay y = ax 2 rồi vận dụng tính chất của nó để tìm tham số Bài 3: Cho hàm số: 23)( 12)( = = xxg xxf a. Tính: )4(); 2 1 ( gf b. Tìm a / f(a) = g(a) c. Tìm TXĐ của y=g(x) và chứng minh 2 hàm số đồng biến trên TXĐ của nó. Giải a. 4243)4( 2111) 2 1 .(2) 2 1 ( == === g f b. = = = = = ==+ =+== 4 1 1 012 01 0)12)(1( 0)1()1(20122 01222312)()( a a a a aa aaaaaa aaaaaagaf c. TXĐ của g(x): x 0, TXĐ f(x): R * Xét hàm số y = 2x - 1 Cách 1: Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến Cho x 1 , x 2 R/ x 1 < x 2 f(x 1 ) =2x-1 f(x 2 ) = 2x 2 -1 f(x 1 ) - f(x 2 ) = 2x 1 -1-2x 2 +1=2(x 1 -x 2 ) < 0 f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm đồng biến Cách 2: Dựa vào tính chất của hàm số y = ax + b Xét hàm số y = 2x 1. Có a = 2 > 0 hàm số đồng biến * Xét hàm số g(x) 23 x 6 )(3)()( 23)( 23)( , 2121 22 11 21 2 xxxgxg xxg xxg xx Rxx = = = < Vì )()(0 212121 xgxgxxxx <<< Hàm số đồng biến Bài 4: Chứng minh hàm số: xxfy == )( đồng biến trong TXĐ của nó Giải - TXĐ: x 0 - Cho x 1 , x 2 R + /0 x 1 < x 2 0)()( )(;)( 2121 2211 <= == xxxfxf xxfxxf f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số đồng biến trong R + Việc chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến trong TXĐ của nó có thể dựa vào định nghĩa hoặc dựa vào tính chất của các hàm số đã học. Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b và hàm số y = ax 2 a. Vẽ đồ thị hàm số: y = ax + b. Đồ thị là đờng thẳng đi qua 2 điểm - Tìm điểm cắt trục hoành (-b/a; 0) - Tìm điểm cắt trục tung (0; b) b. Vẽ đồ thị hàm số: y= ax 2 . Đồ thị là đờng Parabol đỉnh O - Lập bảng giá trị, lấy ít nhất 5 cặp (x; y) - Xác định các điểm đó trên mặt phẳng toạ độ. Chú ý: a>0: đồ thị nằm phía trên trục hoành a<0: đồ thị nằm phía dới trục hoành. Phần bài tập áp dụng: Làm các bài tập vẽ đồ thị trong SGK trang 46, 49, 78, 79. Dạng 4: Tìm giao điểm của hai đồ thị 1. Giao điểm của 2 đờng thẳng Ta đã biết, hai đờng thẳng trên mặt phẳng toạ độ có 3 vị trí tơng đối: 7 - Hai đờng thẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng có 1 điểm chung duy nhất, điểm chung đó có toạ độ (x 0 ; y 0 ), mà x 0 , y 0 thoả mãn cả hai ph- ơng trình đờng thẳng đã cho. Vì vậy việc tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng quy về việc tìm nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn - Hai đờng thẳng song song khi và chỉ khi hệ vô nghiệm - Hai đờng thẳng trùng nhau khi và chỉ khi hệ vô số nghiệm Bài 1: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng: 2x-3y=8 và 5x+4y=-3 Giải Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của hệ: =+ = 345 832 yx yx Giải hệ ta đợc: x=1; y=-2Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là: (1; -2) Từ bài toán 1 giáo viên gợi ý: Nếu có 1 đờng thẳng y = ax cũng đi qua giao điểm của hai đờng thẳng trên thì xác định hệ số a nh thế nào?. Giáo viên đa ra bài toán 2 nh sau: Bài 2: Xác định giá trị của a để các đờng thẳng y=ax; y=3x-10; 2x+3y=-8 đồng quy Giải - Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng: y=3x-10 và 2x+3y=-8 Giải tơng tự nh trên ta đợc toạ độ giao điểm là: (2, -4) Thay x=2; y=-4 vào phơng trình y=ax ta đợc a=-2 Bài 3: Cho hai đờng thẳng 2x-y=-6 và x+y=3. a. Tìm toạ độ giao điểm M của hai đờng thẳng trên. b. Gọi giao điểm của hai đờng thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B. Tính diện tích tam giác MAB Giải a. Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của hệ: 8 = = =+ = 4 1 3 62 y x yx yx Toạ độ điểm M(-1; 4) b. Vẽ hai đờng thẳng 2x-y=-6 và x+y=3 trên cùng một hệ trục toạ độ 44 2 1 == = MH ABMHS MAB (đơn vị dài) 633 =+= AB (đơn vị dài) 126.4. 2 1 == MAB S (đơn vị diện tích) 2. Giao điểm của đờng thẳng và Parabol - Đờng thẳng (d): y=ax+b )0( a - Parabol (P): y=mx 2 )0( m Việc tìm giao điểm của (P) và (d) cũng qui về việc giải hệ 2 phơng trình. Cách giải nh sau: Giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ: = += 2 mxy baxy Trừ hai vế của hệ ta đợc: mx 2 =ax+b (1) + Nếu (1) vô nghiệm thì (d) và (P) không có điểm chung + Nếu (1) có nghiệm kép thì (d) và (P) tiếp xúc + Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Bài tập 9 M A H B -1 -2-3 1 2 3 1 2 3 4 O Bài 1: Cho (P): y=x 2 (d): y=-x+2 Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P). Giải - Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là: x 2 =-x+2 x 2 +x- 2=0 - Giải phơng trình ta đợc: x 1 =1; x 2 =-2 x 1 =1y 1 =1 2 =1 x 2 =-2y 2 =(-2) 2 =4 Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: (1; 1); (-2; 4) Bài 2: Cho Parabol (P) y = ax 2 tiếp xúc với đờng thẳng (d): y = x - 1 a. Xác định hệ số a b. Tìm toạ độ tiếp điểm của (d) và (P) Giải a. Phơng trình hoành độ của (P) và (d) ax 2 -x+1=0 =1-4a Vì (P) tiếp xúc (d) = 0 1-4a=0 4 1 = a Phơng trình (P): 2 4 1 xy = b. Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là: 01 4 1 2 =+ xx 12. 4 1 2044 044 2 21 ' 2 == ==== =+ y xx xx Toạ độ tiếp điểm là: (2; 1) Bài 3: Cho Parabol: y=x 2 . Xác định hệ số n để đờng thẳng: y=2x+n tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm Giải - Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d ) là: x 2 -2x-n=0 10 [...]... m để đồ thị của các hàm số y=2x-1; y=-3x+4 và y=(m+2)x+m-3 đồng qui (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2000-2001) Bài 6: Cho hàm số: y=(m-1)x+m+3 a Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đồ thị y=-2x+1 b Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm (1;-4) c Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m d Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung... của m (Đề thi thử tốt nghiệp THCS) Bài 9: Cho hàm số y=-2x2 có đồ thị là (P) a Các điểm A(3;-18); B( 3 ; ) 6 ; C(-2;8) có thuộc đồ thị (P) hay không b Xác định các giá trị của m để điểm D có toạ độ (m;m-1) thuộc đồ thị (P) (Đề tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2001-2002) 17 Bài 10: Cho hàm số y=(a2-5a+6)x2+(a2+ab-6b2)x+3 (a, b là các số thực xác định) Hãy tìm a và b để hàm số trên là hàm số bậc nhất (Đề thi... có thuộc đồ thị của hàm số không? (Đề thi vào lớp 10 THPT năm học 2003 2004 Hải Dơng ngày 11/7/2003) 18 C kết luận Chuyên đề Phân loại các bài tập về hàm số và đồ thị đã đợc sử dụng trong việc ôn luyện cho học sinh lớp 9 ở trờng tôi đối với mọi đối tợng học sinh Qua việc thực hiện chuyên đề tôi thấy hầu hết học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và tỏ ra hào hứng khi học phần hàm số, các em đã nắm đợc... thẳng: y=2x-1; y=-3x+4 và y=(m+2)x+m+1 đồng qui 15 (Đề kiểm tra chất lợng học kỳ năm học 2001-2002-PGD Nam Sách) Bài 4: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1;2) và (-1;-4) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành (Đề tuyển sinh vào lớp 10 năm học 199 92000) Bài 5: Cho hàm số: y=(m+2)x+m-3 a Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến b Tìm điều kiện của m để... giỏi huyện năm học 2001-2002- PGD-ĐT Nam Sách) Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = 1 2 x 2 1 Với giá trị nào của x hàm số nhận các giá trị: 1 0; ; ,3 2 16 2 A và B là 2 điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ lần lợt là -1 và 2 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và B (Đề thi vào lớp 10 THPT năm học 2003 2004 Hải Dơng ngày 10/7/2003) Bài 12: Cho hàm số: y = f ( x) = 1 Hãy tính: f(-2); f(3); 3 2 x 2 f ( 3... đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của k b Gọi xA, xB lần lợt là hoành độ của A, B Xác định k để: x2A+xB2+2xAxB(xA+xB) đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị ấy (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 199 8 199 9) Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y=(m+2)x+m+1 a Với m=1 Vẽ đờng thẳng (d) b Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến c Với giá trị... hợp một số dạng bài tập đa ra bài toán có tính mở rộng hơn để học sinh thấy đợc mối liên quan giữa các kiến thức với nhau trong việc giải toán, có nh vậy mới phát triển đợc t duy cho học sinh Bằng kinh nghệm giảng dạy nhiều năm, với sự giúp đỡ của đồng nghiệp, chuyên đề Phân loại các bài tập về hàm số và đồ thị chỉ là một vấn đề nhỏ, nhng đã giúp cho học sinh nâng cao chất lợng học phần hàm số và đồ... giao điểm của đờng thẳng AB và đồ thị hàm số: y=x-2 Tìm toạ độ điểm C c Đờng thẳng AB và đồ thị y=x-2 cắt trục hoành lần lợt tại hai điểm P và Q Tính diện tích tam giác CPQ Đáp số: a Phơng trình y=2x-1 b Toạ độ điểm C(-1;-3) 9 c S = 4 (đơn vị diện tích) CPQ Một số bài tập áp dụng Bài 1: Tìm m để giao điểm của hai đờng thẳng mx y = 2; 3x+my=5 nằm trong góc IV Đáp số: Bài 2: Cho (P): y= 1 2 x 2 5 6 . chuyên đề Phân loại các bài tập về Hàm số và đồ thị ( Trong chơng trình Đại số lớp 9) . Tôi đã dạy chuyên đề này cho học sinh trong một số năm, kết quả tốt. Chuyên. < f(x 2 ) Hàm đồng biến Cách 2: Dựa vào tính chất của hàm số y = ax + b Xét hàm số y = 2x 1. Có a = 2 > 0 hàm số đồng biến * Xét hàm số g(x) 23