chuyên đề hàm số 9

Đặt vấn đề Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng trong nhà trờng, là chìa khoá giúp học sinh đi vào thế giới của tri thức khoa học kĩ thuật, giúp các em tiếp cận đợc với n

A Đặt vấn đề

Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng trong nhà trờng, là chìa khoá giúp học sinh đi vào thế giới của tri thức khoa học

kĩ thuật, giúp các em tiếp cận đợc với nền văn minh của nhân loại

Trong những năm gần đây, thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục phổ thông, đổi mới phơng pháp dạy học, đội ngũ giáo viên đạt chuẩn và trên chuẩn cao hơn, trình độ chuyên môn vững vàng hơn cho nên chất ợng dạy học đã có những chuyển biến tích cực Song, ở môn toán chất l-ợng vẫn còn thấp so với yêu cầu của giáo dục Hàng năm, qua các đợt tuyển sinh vào lớp 10 phổ thông trung học, số học sinh bị điểm liệt môn toán còn là con số đáng kể

Là giáo viên dạy toán lớp 9, trong nhiều năm qua tôi đã đặt ra nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những biện pháp để nâng cao chất l-ợng môn toán cho học sinh, tôi đã nghiên cứu, tham khảo các tài liệu, xây dựng, sắp xếp lại thành một hệ thống các chuyên đề rèn kĩ năng giải các dạng bài tập toán trong chơng trình cho mọi đối tợng học sinh

Trong chơng trình Đại số lớp 9, Hàm số là một trong những nội dung rất quan trọng, làm cơ sở để các em tiếp thu kiến thức ở những lớp trên Các bài tập về hàm số thờng gặp trong các đề thi tốt nghiệp THCS

và trong các đề thi vào lớp 10 phổ thông trung học Thực tế giảng dạy ở một số trờng, một số giáo viên có tâm lí ngại dạy phần Hàm số vì học sinh khó tiếp thu, lúng túng khi vận dụng vào giải bài tập

Để giúp cho học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức, có kĩ năng nhận dạng, giải thành thạo các bài tập về hàm số, đồng thời để có tài liệu

trong việc ôn tập phần Hàm số ở lớp 9, tôi đã tham khảo các tài liệu, phân loại các bài tập về hàm số, viết thành chuyên đề” Phân loại các bài tập về Hàm số và đồ thị” ( Trong chơng trình Đại số lớp 9) Tôi đã dạy chuyên đề này cho học sinh trong một số năm, kết quả tốt

Chuyên đề “ Phân loại các bài tập về hàm số” tôi xin đa ra các

dạng bài tập về hàm số thờng gặp trong chơng trình Đại số lớp 9 dành cho mọi đối tợng học sinh, hớng dẫn cách giải, mong muốn khi học sinh gặp các bài tập này các em sẽ vận dụng thành thạo, góp phần nâng cao chất lợng giảng dạy môn toán ở lớp cuối cấp bậc Trung học cơ sở Tôi xin đợc trình bày để đồng nghiệp tham khảo

b Nội dung

I Khái niệm hàm số

Một hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một qui tắc cho tơng ứng với mỗi giá trị x ∈ X có 1 và chỉ 1 giá trị y ∈ Y mà ta kí hiệu là f(x), x là biến số, y=f(x) là giá trị của hàm số f tại x

II Các dạng bài tập.

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Muốn tìm tập xác định của hàm số y = f(x) ta tìm giá trị của x để cho biểu thức f(x) có nghĩa

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số:





 ∈ ≤

⇒

≤

⇔

≥

−

2

1 :

2

1 0

2

1 x x TXD x R x

b y = x− 1 − 3 −x {x ≥ 3 và x≤ 3 ⇔ 1 ≤ x≤ 3}⇒TXĐ: {x∈R1 ≤x≤ 3}

x

−

3

3

1







>

⇒

>

−

≤

1 0

3 3

1

x x

x

⇒TXĐ: ∅

Bài 2: Cho hàm số:

1

1 )

(

−

+

=

=

x

x x f y

a Tìm TXĐ

b Tính f( 4 − 2 3 );f(a2 ) với a <-1

c Tìm x / f(x) = 3

d Tìm x để f(x)=f(x2)

Giải

a TXĐ: {x∈R/x≥0; x≠1}

2 3

3 1

1 3

1 1 3 1 3 2 4

1 3 2 4 ) 3 2

4

−

=

−

−

+

−

=

−

−

+

−

=

−

f

1

1 1

1 )

(

2

2 2

−

+

=

−

+

=

a

a a

a a

f

Do a < -1 nên a = −a⇒ f(a2) = a a+−11

c Tìm giá trị để : f(x) = 3

3 4 7 4

12 3 16 16 12 16

) 3 2 4 ( 3 2 4

3 2 4 1 3 2 3

3 3 2 1 1

3

3 1

3 1 ) 3 1 (

3 3 1 3

1 1

2

+

= + +

=

−

+

=

−

+

= +

−

+ +

=

⇔

−

+

=

⇔

−

−

=

−

⇔

−

= +

⇔

=

−

+

⇔

x x

x

x x

x

x

d f(x)=f(x2)

1

1 1

1

2 2

−

+

=

−

+

⇔

x

x x

x

(do x≥0; x≠1 ⇒ x2 =x)

( )

1 1 2

1 1

1

1 1

+

= + +

⇔

+

= +

⇔

−

+

=

− +

x x x

x x

x

x x

x

⇔ 2 x = 0 ⇔x= 0 (Thoả mãn)

Dạng toán này đã có trong SGK, muốn giải quyết đợc tốt thì giáo viên nên cho học sinh luyện kĩ việc giải các phơng trình, bất phơng trình một cách thành thạo

Giáo viên cần lu ý cho học sinh khi tìm điều kiện để một biểu thức f(x) có nghĩa:

- Nếu biểu thức f(x) có chứa biến trong căn hoặc biến ở mẫu thì cho biểu thức trong căn lớn hơn hoặc bằng 0 hoặc cho mẫu khác 0

- Nếu f(x) là biểu thức nguyên thì TXĐ là R

Dạng 2: Xét tính biến thiên của hàm số

- Hàm số y=f(x) là đồng biến trong khoảng (a;b) nếu khi cho x các giá trị bất kỳ x1, x2 trong khoảng (a;b) sao cho x1< x2 thì f(x1)<f(x2)

- Hàm số y=f(x) là nghịch biến trong khoảng (a;b) nếu khi cho x các giá trị bất kỳ x1, x2 trong khoảng (a;b) sao cho x1<x2 thì f(x1) > f(x2)

- Hàm số bậc nhất y= ax+b (a≠0) đồng biến khi a>0, nghịch biến khi a<0

- Hàm số y=ax2 (a≠0)

+ Nếu a>0: Hàm số đồng biến trong R+, nghịch biến trong

R-, bằng 0 khi x=0

+ Nếu a<0: Hàm số đồng biến trong R-, nghịch biến trong

R+, bằng 0 khi x=0

Bài 1: Cho hàm số y=(m-3)x Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến.

Giải

Hàm số: y=(m-3)x là hàm số bậc nhất

- Đồng biến khi m-3>0 ⇔m>3

- Nghịch biến khi m-3<0 ⇔ m<3

Bài 2: Tìm m để hàm số y=(m-2-4)x2

a Đồng biến trong R+

b Nghịch biến trong R+

Giải

a Hàm số có dạng y=ax2với a= m-2-4

Để hàm số y=(m-2-4)x2 đồng biến trong R+ thì m-2-4>0 ⇔

m-2>4

- Nếu m ≥ 2 ⇒ m-2 > 4 ⇒ m > 6

- Nếu m < 2 ⇒2 - m >4 ⇒ m < -2

b Hàm số y=(m-2-4)x2 nghịch biến trong R+

⇔ m-2-4 < 0 ⇔ m-2 < 4

- Nếu m ≥ 2 ⇒ m-2 < 4 ⇒ m < 6 ⇒ 2 ≤m< 6

- Nếu m < 2 ⇒2 - m <4 ⇒ m > -2 ⇒ -2 < m < 2

⇒ -2 < m < 6

- Khi dạy cần cho học sinh nhận dạng hàm số đã cho là hàm số y = ax + b hay y = ax2 rồi vận dụng tính chất của nó để tìm tham số

Bài 3: Cho hàm số:

2 3 ) (

1 2 ) (

−

=

−

=

x x

g

x x f

a Tính: ); ( 4 )

2

1 ( g

f −

b Tìm a / f(a) = g(a)

c Tìm TXĐ của y=g(x) và chứng minh 2 hàm số đồng biến trên TXĐ của nó

Giải

a

4 2 4 3 ) 4 (

2 1 1 1 ) 2

1 (

2 ) 2

1 (

=

−

=

−

=

−

−

=

−

−

=

−

g f

b









=

=

⇔









=

−

=

−

⇔

=

−

−

=

−

−

−

⇔

= +

−

−

⇔

= +

−

−

⇔

−

=

−

⇔

=

4 1

1 0

1 2

0 1 0

) 1 2

)(

1 (

0 ) 1 (

) 1 (

2 0 1 2

2

0 1 2

2 2 3

1 2 ) ( ) (

a

a a

a a

a

a a

a a

a a

a a a

a a

a g a f

c TXĐ của g(x): x ≥ 0, TXĐ f(x): R

* Xét hàm số y = 2x - 1

Cách 1: Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho x1, x2 ∈ R/ x1< x2 ⇒ f(x1) =2x-1

f(x2) = 2x2-1 f(x1) - f(x2) = 2x1-1-2x2+1=2(x1-x2) < 0

⇒f(x1) < f(x2) ⇒ Hàm đồng biến Cách 2: Dựa vào tính chất của hàm số y = ax + b

Xét hàm số y = 2x – 1

Có a = 2 > 0 ⇒ hàm số đồng biến

* Xét hàm số g(x) 3 x − 2

) (3)

()(

2 3)(

23 )(

,

2 1 2 1 2 2

1 1

2 1

2

xx xg

xg x xg

x

xg xx

Rx

x

−=

−⇒









−=

−=

⇒







<

∈

Vì 0 ≤x1<x2⇒ x1 < x2 ⇒g(x1) <g(x2) ⇒ Hàm số đồng biến

Bài 4: Chứng minh hàm số: y= f(x) = x đồng biến trong TXĐ của nó

Giải

- TXĐ: x ≥ 0

- Cho x1, x2 ∈R+ /0 ≤ x1 < x2

0 )

( ) (

) (

; )

(

2 1 2 1

2 2 1 1

<

−

=

−

⇒

=

=

x x x f x

f

x x f x x

f

⇒ f(x1) < f(x2) ⇒ Hàm số đồng biến trong R+

Việc chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến trong TXĐ của nó có thể dựa vào định nghĩa hoặc dựa vào tính chất của các hàm số

đã học

Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b và hàm số y = ax 2

a Vẽ đồ thị hàm số: y = ax + b Đồ thị là đờng thẳng đi qua 2 điểm

- Tìm điểm cắt trục hoành (-b/a; 0)

- Tìm điểm cắt trục tung (0; b)

b Vẽ đồ thị hàm số: y= ax 2 Đồ thị là đờng Parabol đỉnh O

- Lập bảng giá trị, lấy ít nhất 5 cặp (x; y)

- Xác định các điểm đó trên mặt phẳng toạ độ

∗ Chú ý: a>0: đồ thị nằm phía trên trục hoành

a<0: đồ thị nằm phía dới trục hoành

Phần bài tập áp dụng: Làm các bài tập vẽ đồ thị trong SGK trang

46, 49, 78, 79

Dạng 4: Tìm giao điểm của hai đồ thị

1 Giao điểm của 2 đờng thẳng

Ta đã biết, hai đờng thẳng trên mặt phẳng toạ độ có 3 vị trí tơng đối:

- Hai đờng thẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng có 1 điểm chung duy nhất, điểm chung đó có toạ độ (x0; y0), mà x0, y0 thoả mãn cả hai

ph-ơng trình đờng thẳng đã cho Vì vậy việc tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng quy về việc tìm nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

- Hai đờng thẳng song song khi và chỉ khi hệ vô nghiệm

- Hai đờng thẳng trùng nhau khi và chỉ khi hệ vô số nghiệm

Bài 1: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng: 2x-3y=8 và 5x+4y=-3

Giải

Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của hệ:







−=

+

=

−

3 4 5

8 3

2

y x

y x

Giải hệ ta đợc: x=1; y=-2⇒Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là: (1; -2)

Từ bài toán 1 giáo viên gợi ý: Nếu có 1 đờng thẳng y = ax cũng đi qua giao điểm của hai đờng thẳng trên thì xác định hệ số a nh thế nào? Giáo viên đa ra bài toán 2 nh sau:

Bài 2: Xác định giá trị của a để các đờng thẳng y=ax; y=3x-10;

2x+3y=-8 đồng quy

Giải

- Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng: y=3x-10 và 2x+3y=-8 Giải tơng tự nh trên ta đợc toạ độ giao điểm là: (2, -4)

Thay x=2; y=-4 vào phơng trình y=ax ta đợc a=-2

Bài 3: Cho hai đờng thẳng 2x-y=-6 và x+y=3.

a Tìm toạ độ giao điểm M của hai đờng thẳng trên

b Gọi giao điểm của hai đờng thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A

và B Tính diện tích tam giác MAB

Giải

a Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của hệ:





=

−=

⇔







=+

−=−

4

1 3

6

2

y

x yx

yx

Toạ độ điểm M(-1; 4)

b Vẽ hai đờng thẳng 2x-y=-6 và x+y=3 trên cùng một hệ trục toạ độ

4

4

.

2

1

=

=

=

MH

AB MH

S MAB

(đơn vị dài)

6 3

−

=

AB (đơn vị dài)

12 6

.

4

.

2

1 =

=

MAB

S (đơn vị diện tích)

2 Giao điểm của đờng thẳng và Parabol

- Đờng thẳng (d): y=ax+b (a ≠ 0 )

- Parabol (P): y=mx2 (m≠ 0 )

Việc tìm giao điểm của (P) và (d) cũng qui về việc giải hệ 2 phơng trình Cách giải nh sau:

Giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ:







=

+

=

2

mx y

b ax y

Trừ hai vế của hệ ta đợc: mx2=ax+b (1)

+ Nếu (1) vô nghiệm thì (d) và (P) không có điểm chung

+ Nếu (1) có nghiệm kép thì (d) và (P) tiếp xúc

+ Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt thì (d) và (P) cắt nhau tại hai

điểm phân biệt

Bài tập

M

-1 -2

1 2 3 4

O

Bài 1: Cho (P): y=x2

(d): y=-x+2

Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)

Giải

- Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là: x2=-x+2 ⇔ x2 +x-2=0

- Giải phơng trình ta đợc: x1=1; x2=-2

x1=1⇒y1=12=1

x2=-2⇒y2=(-2)2=4 Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: (1; 1); (-2; 4)

Bài 2: Cho Parabol (P) y = ax2 tiếp xúc với đờng thẳng (d): y = x - 1

a Xác định hệ số a

b Tìm toạ độ tiếp điểm của (d) và (P)

Giải

a Phơng trình hoành độ của (P) và (d)

ax2-x+1=0

∆ =1-4a Vì (P) tiếp xúc (d) ⇒ ∆ = 0 ⇒ 1-4a=0 ⇒a =41

⇒ Phơng trình (P): 2

4

1

x

y =

b Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là: 1 0

4

1 2

= +

−x x

1 2 4 1

2 0

4 4

0 4 4

2

2 1 '

2

=

=

⇒

=

=

⇒

=

−

=

∆

= +

−

y

x x

x x

Toạ độ tiếp điểm là: (2; 1)

Bài 3: Cho Parabol: y=x2 Xác định hệ số n để đờng thẳng: y=2x+n tiếp xúc với (P)

Tìm toạ độ tiếp điểm

Giải

- Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d ) là:

x2-2x-n=0

+

=

∆ ' 1 (P) và (d) tiếp xúc ⇒ ∆ ' = 0 ⇒ 1 +n= 0 ⇒n= − 1

- Lúc đó phơng trình đờng thẳng là: y=2x-1

- Phơng trình hoành độ điểm chung là: x2-2x+1=0

- Giải phơng trình đợc: x1=x2=1

⇒ y=12=1 Toạ độ tiếp điểm là: (1; 1)

Bài 4: Cho Parabol: y=x2 và đờng thẳng (d): y=x+n

a Với giá trị nào của n thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) nếu n=6

Giải

- Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là:

x2-x-n=0

∆=1+4n

- Do (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇒ ∆ > 0

⇒ 1+4n >0 ⇒ n> −41

b Thay n=6 ta đợc: y=x+6 (d)

- Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d ) là:

x2-x-6=0

∆=1+24=25

4

; 9

2 2

5 1

; 3 2

5 1

2 1

2 1

=

=

⇒

−

=

−

=

= +

=

y y

x x

Khi n=6 toạ độ giao điểm là: (3; 9) và (-2; 4)

Dạng 5: Lập phơng trình đờng thẳng.

Bài toán lập phơng trình đờng thẳng ở lớp 9 thờng có các dạng sau:

- Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đờng thẳng cho trớc( hoặc vuông góc với 1 đờng thẳng cho trớc, hoặc tiếp xúc với một Pa ra bôn)

- Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm

Cách giải:

- Bớc 1: Phơng trình đờng thẳng có dạng: y = ax +b (1)

- Bớc 2: Tìm a, b

- Bớc 3: Thay a, b vào (1) và chỉ ra hàm số cần tìm

Sau đây là một số bài tập và hớng dẫn học sinh cách giải

Bài 1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;3) và song song với đờng

thẳng y=x

Giải

- Phơng trình đờng thẳng có dạng: y=ax+b

- Vì đờng thẳng song song với đờng thẳng: y=x ⇒ a=1

- Vì đờng thẳng đi qua A(1;3) ⇔3=1.1+b ⇒ b=2

Phơng trình cần tìm là: y=x+2

Bài 2: Lập phơng trình đi qua B(2;0) và vuông góc với đờng thẳng:

y=2x+3(1)

Hớng dẫn: Hai đờng thẳng vuông góc thì aa' = - 1

Giải: Phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (2)

Vì hai đờng thẳng (1) và (2) vuông góc nên 2a = - 1 ⇒ a = −12

Vì đờng thẳng (2) đi qua B (2; 0) nên 0 = 2 (−21) + b ⇒ b = 1

Phơng trình tìm đợc: 1

2

1

+

−

= x y

Bài 3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;2) và B(2;3)

Giải:

Phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b

Vì đờng thẳng đi qua A(1;2) và B(2;3) ta có hệ







=

+

=

+

3

2

2

b

a

b

a

Giải hệ ta đợc: a = 1; b = 1

Hàm số cần tìm là : y = x + 1

Bài 4: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua giao điểm của hai đờng thẳng:

x-3y=8 và 5x+4y=-3 và song song với đờng thẳng: y=2x-1

Hớng dẫn

- Tìm giao điểm của hai đờng thẳng: 2x-3y=8 và 5x+4y=-3

- Lập phơng trình đi qua giao điểm trên và song song với: y=2x-1

Đáp số: - Giao điểm: M(1;-2)

- Phơng trình đờng thẳng: y = 2x - 4

Bài 5: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm M(3;5); N(-1;-7).

Tìm toạ độ giao điểm của các đờng thẳng với các trục toạ độ

Đáp số: y=3x-4

Đôi khi bài toán lập phơng trình đờng thẳng vận dụng chứng minh các

điểm trong mặt phẳng toạ độ thẳng hàng Ví dụ bài tập sau:

Bài 6: Cho 3 điểm A(3;5); B(-1;-7); C(1;-1) Chứng minh 3 thẳng hàng.

Hớng dẫn: Lập phơng trình đờng thẳng AB Thay toạ độ điểm C vào

phơng trình ta đợc hai vế bằng nhau và kết luận 3 điểm thẳng hàng

(Đáp án: Phơng trình đờng thẳng là: y = 3x - 4)

Bài 7: Cho (P): y = x2 lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với đ-ờng thẳng (d1): y = 2x và tiếp xúc với (P)

Giải

- Phơng trình có dạng: y=ax+b

- Vì (d) song song d1 ⇒ a=2

- Vì (d) tiếp xúc (P) ⇒ Phơng trình hoành độ điểm chung của (d) và (P) là:

x2-2x-b = 0

∆'=1+b

- Vì tiếp xúc ⇒ ∆'=0 ⇒b = -1

Bài 8: Cho (P): y=x2 lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(1;0) và tiếp xúc với (P)

Giải

- Phơng trình có dạng: y=ax+b

- Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d):

x2-ax-b=0

∆=a2+4b Vì (P) và (d) tiếp xúc ⇒∆=0 ⇒ a2+4b=0 (1)

(d) đi qua điêmr A (1;0) ⇒ a+b=0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:







= +

=

+

0 4

0

2 b a

b a

Giải hệ ta đợc:







−=

=







=

=

4

4

; 0

0

b

a b

a

Phơng trình đờng thẳng (d) là: y=0; y=4x-4

Bài 9: Cho (P): y = x42 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(-1;-2)

và tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm

Đáp số: y=x-1 toạ độ tiếp điểm là: (2;1)

y = -2x - 4 toạ độ tiếp điểm là: (-4;4)

Ta có thể vận dụng bài toán lập phơng trình đờng thẳng và bài toán tìm giao điểm của hai đồ thị để giải bài toán sau

Bài 10: Cho (P): 2

2

1

x

y = và điểm M(-1;2) Chứng minh đờng thẳng đi qua điểm M có hệ số góc là k luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi k

Giải

- Phơng trình đờng thẳng có dạng: y=ax+b

- Vì hệ số góc là k ⇒ a=k

- Vì đờng thẳng đi qua M(-1;2) ⇒ -k+b=2 ⇒ b=2+k

- Đờng thẳng đã cho là: y=kx+2+k (d)

- Phơng trình hoành độ điểm chung của (d) và (P) là:

k k

k k k k

k kx

x

k kx x

∀

>

+ +

= + + +

= + +

=

∆

=

−

−

−

⇔

+ +

=

0 3 ) 1 ( 3 1 2 2

4

0 2 4 2

2 2

1

2 2

2 ' 2 2

Do ∆'>0 ⇒ (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Bài 11: Trên mặt phẳng toạ độ oxy, cho hai điểm A(1;1); B(0;-1)

a Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A;B