Hướng dẫn giảiChuyên đề: HÀM SỐ Toán 9 ƠN THI TS10 Biên soạn: Nguyễn Long Thạnh... 2/ Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị hàm số P tại hai điểm có hoành độ bằng -2 và 3... 1/ Viết
Trang 1Hướng dẫn giải
Chuyên đề: HÀM SỐ
Toán 9
ƠN THI TS10
Biên soạn: Nguyễn Long Thạnh
Trang 2Bài 1 Với giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất.
1/ y = (1 – 4m + 4m2)x – 3
Hàm số trên là hàm số bậc nhất 1 – 4m + 4m2≠0 m 2
1
≠
2/ y = 3−m(x−2)+1
Hàm số trên là hàm số bậc nhất 3−m≠0 3 – m > 0 m < 3
3/ y = (1 – m2)x2 + (m + 1)x – 3
Hàm số trên là hàm số bậc nhất
≠ +
=
−
0 1
0
1 2
m
m
−
≠
±
=
1
1
m
m
=> m = 1
4/ y = 4
2
5 −
+
m
m
Hàm số trên là hàm số bậc nhất
2
5
+
−
m
m
≠ +
≠
−
0 2
0 5
m
m
−
≠ +
≠
2 2
5
m m
Bài 2 Tìm m để các hàm số bậc nhất trong mỗi trường hợp sau:
1/ y = ( m−2−1)x+15nghịch biến trên R
* Điều kiện m−2≥0⇔m≥2
* Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi ( m−2−1) ≠0
( m−2 −)≠1 m−2≠1 m−2≠1 m≠3
* Hàm số trên nghịch biến trên R ( m−2−1) 0< ( m−2)<1 m<3
Vậy để hàm số đã cho nghịch biến trên R thì 3 > m > 2.
2/ y = (3− m)x−2 đồng biến trên R
* Điều kiện: m > 0
* Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi 3− m ≠0 3≠ m m ≠±9
* Hàm số trên đồng biến trên R 3− m>0⇔3> m ⇔m<9
Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R thì 0 < m < 9.
3/ y = ( 2−m)x+2m+1 khi x = 2 thì y = 1
* Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi 2−m≠0 m≠ 2
* Thay x = 2 ; y = 1 vào hàm số đã cho ta được:
1 = ( 2−m) 2+2m+1 ( 2−m) 2+2m+1=1⇔2−m 2+2m+1=1⇔2−m 2+2m=0
) 2 2 ( 2
4 2 2 2
2
2 ⇔ =− +
−
+
=
⇔
−
=
Bài 3 Cho hàm số y = (1− 3)x+3 3
1/ Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
Hàm số đã cho nghịch biến trên R vì a = (1− 3) < 0
2/ Tình giá trị của y khi x = 1:
Thay x = 1 vào hàm số đã cho ta được:
y = (1− 3).1+3 3 = 1− 3+3 3= 1+2 3
3/ Tính giá trị của x khi y = 3:
Thay y = 3 vào hàm số đã cho ta được:
3 = (1− 3)x+3 3 3 = (1− 3)x+3 3 x = 3
Bài 4 Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng:
1/ Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2:
* Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên x = 3, y = 0 Thay vào y = ax + b, ta được:
0 = 3a + b => a =
3
b
−
Trang 3* Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên b = 2 Thay vào a =
3
b
−
ta tìm được: a =
3
2
−
Vậy hàm số cần xác định là y =
3
2
−
x + 2
2/ Song song với đường thẳng y =
2
1
x và đi qua điểm B(1 ;2) :
Vì y = ax + b song song đường thẳng y =
2
1
x nên :
≠
=
0 2 1
b a
Và đi qua điểm B(1 ;2) nên ta thay x = 1 ; y = 2 vào y = ax + b ta được : 2 =
2
1 1 + b b =
2 3
Vậy hàm số cần xác định là y =
2
1
x + 2
3
Bài 5 Cho hàm số bậc nhất (d) : y = m2x + 4 (m≠0) và (d’) : y = 25x + m – 1 Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số (d) và (d’) là hai đường thẳng:
1/ Song song:
(d) // (d’)
≠
−
=
4 1
25
2
m
m
≠
±
=
5
5
m
m
=> m = -5
2/ Trùng nhau:
(d) ≡ (d’)
=
−
=
4 1
25
2
m
m
=
±
=
5
5
m
m
=> m = 5
3/ Cắt nhau:
(d) cắt (d’) m2 ≠ 25 m ≠ ±5
Bài 6 Cho hàm số bậc nhất (d) y = (m – 2)x + 3m + 1 Tìm m để đồ thị của hàm số
1/ Song song với đường thẳng (d’) : y = 3x + 2 :
(d) // (d)
≠ +
=
−
2 1 3
3 2
m
m
≠
=
3 1
5
m m
2/ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3: Ta có b = 3 => 3m + 1 = 3 => m =
3 2
3/ Đi qua điểm A(-2;
2
1
): Theo đề bài ta có x = -2; y =
2
1 , thay vào (d) ta được:
2
1
= (m – 2)(-2) + 3m + 1 4 – 2m + 3m + 1 =
2
1 m =
2
9
Bài 7 Với giá trị nào của m và n thì đồ thị của hai hàm bậc nhất (d): y = mx + n – 1 và (d’) y = (4 + n)x + 3 – n
trùng nhau?
(d) ≡ (d’)
−
=
−
+
=
n n
n m
3 1
4
=
=
2
6
n m
Bài 8 Tìm hai số m và n, biết hai đường thẳng mx + 2y = -1 và my – nx = -5 cắt nhau tại M(3;-2)
Vì 2 đường thẳng ấy cắt nhau tại M nên ta thay M(3;-2) lần lượt vào 2 đường thẳng ta được hệ phương trình:
−
=
−
−
−
=
−
5 3
2
1
4
3
n
m
m
=
=
1
1
n m
Bài 9 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-2;-5) và B(1;4):
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (d) đi qua hai điểm A(-2;-5) và B(1;4) nên ta thay lần lượt tọa độ hai điểm ấy vào (d) ta được hệ phương trình:
= +
−
= +
−
4
5 2
b a
b a
−
=
−
= +
−
−
b a
b b
4
5 )
4 ( 2
=
=
3
1
a b
Vậy phương trình đường thẳng là: y = 3x + 1
Trang 4Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng (d1): y = 3x + 2; (d2): y = x – 4; (d3): y = 4x + 5m Tìm giá trị của m để ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng qui
Tọa độ điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ:
−
=
−
=
⇔
+
=
= + +
⇔
−
=
+
=
3
7 4
2 ) 4 ( 3 4
2 3
x
y y
x
y y
x y
x y
Thay x = -3; y = -7 vào (d3) ta được: 4.(-3) + 5m = -7 m = 1
Vậy khi m = 1 thì 3 đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng qui
Bài 11 Cho (P): y = x2 và (d): y = -2x + 3
1/ Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ:
* Bảng giá trị:
x -2 -1 0 1 2
(P): y = x2 4 1 0 1 4
………
………
………
………
………
………
………
………
2/ Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính:
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): x2 = -2x + 3 x2 + 2x – 3 = 0 (1)
* Phương trình (1) có: a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0 Do đó 2 nghiệm của phương trình là: x1 = 1 và x2 = -3
+ Thay x1 = 1 vào (P) ta tìm được y1 = 1 => Tọa độ giao điểm thứ nhất là (1;1)
+ Thay x2 = -3 vào (P) ta tìm được y2 = 9 => Tọa độ giao điểm thứ hai là (-3;9)
Vậy tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là (1;1) và (-3;9)
Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): y =
3
2
x
và đường thẳng (d): y = 2x + m Với giá trị nào để:
1/ (d) không cắt (P):
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d):
3
2
x = 2x + m
3
2
x – 2x – m = 0 x2 – 6x – 3m = 0
∆’ = b’2 – ac = (-3)2 – 1.(-3m) = 9 + 3m
(d) không cắt (P) ∆’ < 0 => 9 + 3m < 0 m < –3
2/ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt: ∆’ > 0 => 9 + 3m > 0 => m > –3.
3/ (d) tiếp xúc (P): ∆’ = 0 => 9 + 3m = 0 m = -3
Bài 13 Cho (P): y =
2
2
x
− và đường thẳng (d): y = mx + n (m ≠ 0).
1/ Xác định m và n để (d) đi qua điểm A(-1;4) và tiếp xúc (P).
(d) đi qua A(-1;4) nên ta thay x = -1; y = 4 vào (d) ta được: -m + n = 4
Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d):
2
2
x
− – mx – n = 0 x2 + 2mx + 2n = 0 (*)
Vì (d) tiếp xúc (P) nên ∆’ = 0 => (m)2 – 1.2n = 0 m2 – 2n = 0
Giải hệ phương trình:
=
−
= +
−
0 2n m
4 n m
2
= +
−
+
=
0 m) 2(4
m
m 4 n
=
−
−
+
=
0 2m 8 m
m 4
n
2 (I)
* Giải phương trình m2 – 2m – 8 = 0 ta tìm được m1 = 4; m2 = -2
(I)
=
+
=
4
m
m 4
n
=
=
8
4
n
m
Hoặc (I)
=
=
2
- m
2
n
x -1 1 (d): y = -2x + 3 5 1
Trang 52/ Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) với các giá trị của m và n vừa tìm được ở câu 1:
* Thay m = 4; n = 8 vào (*) ta được: x2 + 2.4.x + 2.8 = 0 x2 + 8x + 16 = 0
Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x = -4 Tiếp tục thay x = -4 vào (P) ta tìm được y = -8
Tọa độ tiếp điểm thứ nhất là (-4;-8)
* Thay m = -2; n = 2 vào (*) ta được: x2 – 4x + 4 = 0
Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x = 2 Tiếp tục thay x = 2 vào (P) ta được y = -2
Tọa độ tiếp điểm thứ hai là (2;-2)
Vậy tọa độ các tiếp điểm của (P) và (d) với các giá trị m và n vừa tìm được ở câu 1 là (-4;-8) và (2;-2)
Bài 14 Tìm hệ số a của hàm số (P) y = ax2 (a ≠ 0), biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng (d) y = -x + 2 tại điểm có hoành độ bằng 1
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): ax2 + x – 2 = 0 (**)
(P) và (d) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên x = 1 Ta thay x = 1 vào (**) ta được: a2 – 1 = 0 a = 1
Bài 15 Chứng minh các đường thẳng (d): y = 3mx – 1 – m luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
Gọi x0, y0 là điểm cố định mà đường thẳng (d): y = 3mx – 1 – m luôn đi qua
=> y0 = 3mx0 – 1 – m với mọi m 3mx0 – 1 – m – y0 = 0 với mọi m
m(3x0 – 1) = 0 và –(y0 + 1) = 0 ∀m => x0 =
3
1
; y0 = –1
Bài 16 Cho hàm số (P): y =
2
1
x2
1/ Vẽ đồ thị hàm số (P):
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm có hoành độ bằng -2 và 3.
………
………
………
………
x -4 -2 0 2 4
y = 2 1
x2 8 2 0 2 8
Trang 6………
………
………
………
………
………
Bài 17
1/ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 4 (d)
………
………
………
………
………
………
………
………
2/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) y = 6x 2 bằng phép tính:
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): 2x + 4 = 6x2 6x2 – 2x – 4 = 0
Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x1 = 1 và x2 =
3
2
+ Thay x1 = 1 vào (P) ta tìm được y1 = 6 => Tọa độ giao điểm thứ nhất là (1;6)
+ Thay x2 =
3
2
− vào (P) ta tìm được y2 =
3
8 => Tọa độ giao điểm thứ hai là (
3
2
3
8 ) Vậy tọa độ các tiếp điểm của (P) và (d) là (1;6) và (
3
2
3
8 )
3/ Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (d’), biết rằng đồ thị song song với đường thẳng (d) và đi qua Q(3;4).
Vì (d) // (d’) nên
≠
=
4
2
b
a
Và đi qua Q(3;4) nên ta thay x = 3; y = 4 vào (d’) ta được: 3.2 + b = 4 b = -2.
Vậy hàm số cần xác định là y = 2x – 2
Bài 18
1/ Viết phương trình đường thẳng (e) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 và cắt trục tung tại điểm
có tung độ bằng 5.
* Do đường thẳng (e) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 nên x = 5; y = 0
* Ta thay x = 5; y = 0 vào y = ax + b ta được: 5a + b = 0
* Do đường thẳng (e) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên b = 5 Ta thay vào 5a + b = 0 ta được: a = -1
x 0 1
y = 2x + 4 4 6
Trang 7Vậy phương trình đường thẳng cần xác định là y = -x + 5.
2/ Tìm m và n để đường thẳng (f): y = (m + 1)x + n – 3 (m ≠-1) song song với đường thẳng y = -2x + 4 (d).
(f) // (d)
≠
−
=
⇔
≠
−
−
= +
7
3 4
3
2 1
n
m n
m
Bài 19 Cho (P): y =
2
1
x2 và (d1): y = 2mx – 1 – m (m ≠0)
1/ Với m = -2, vẽ (P) và (d 1 ) trên cùng mặt phẳng tọa độ:
Thay m = -2 vào (d1) ta được: y = -4x – 3
2/ Tìm m để đường thẳng (d 1 ), (d 2 ): y = 2x – 1, (d 3 ): y = x đồng qui.
Tọa độ giao điểm của (d3) và (d2) là nghiệm của hệ:
=
=
⇔
−
=
=
⇔
−
=
=
1
1 1
2 1
y x
x
x y x
y
x y
Thay x = 1; y = 1 vào (d1) ta được: 1 = 2.m.1 – 1 – m m = 2
Vậy khi m = 2 thì (d1), (d2), (d30 đồng qui
Bài 20
1/ Trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị các hàm số: y =
2
1
x 2 và y = 2x + 1.
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp xúc với (P): y =
2
1
x 2 :
………
………
………
………
………
x -4 -2 0 2 4
y =
2
1
x2 8 2 0 2 8 y = -4x – 3 1x -1 -30
x -4 -2 0 2 4
y =
2
1
x2 8 2 0 2 8 y = 2x + 1x 01 13