chuyên đề tích phân

Tích phân Kiến thức Công thức Niutơn – Laipnit: Cho F(x) nguyên hàm hàm f(x) đoạn [a; b] Ta có: b ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F (a ) a b ∫ f ( x)dx phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số Chú ý: Tích phân a tích phân Vì ta viết: b b b a a a F(b) – F(a) = ∫ ( f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du = Các tính chất tích phân Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục khoảng K a,b,c ba điểm khoảng K Ta có: a * Tính chất 1: ∫ f ( x)dx =0 a b * Tính chất 2: ∫ a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a b b b a a * Tính chất 3: ∫ kf ( x)dx =k ∫ f ( x)dx, ∀k ∈ R b * Tính chất 4: b a * Tính chất 5: b ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx =∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a a b c b a a c ∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx b * Tính chất 6: Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ a b b a a * Tính chất 8: Nếu f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [a; b ] ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx b * Tính chất 9: Nếu m ≤ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) a Bài toán Tích phân hàm số đa thức hữu tỷ I Kiến thức áp dụng x α +1 + C., α +1 Công thức 1: α ∫ x dx = Công thức 2: ∫ x dx = ln x + C.; II Ví dụ minh hoạ Ví dụ Tính tích phân sau (α ≠ −1) a ) I = ∫ ( x − x + 5)dx 3x + dx x +1 b) I = ∫ Bài giải  x4  13 a) I1 =  − x + x  10 = ;   b) I2 = ∫ (3 + )dx = [3 x + ln( x + 1)] 13 = + ln x +1 Ví dụ Tính tích phân sau: I = ∫x dx −4 Bài giải 1 1 x−2 Ta có: I = ∫ ( − )dx = ln ln = x−2 x+2 x+2 Ví dụ Tính tích phân sau: dx x2 −1 a) I = ∫ b) J = ∫ dx; x + x − ( x + x + )( x + x + ) Bài giải 1 1 x −1 a) I = ∫ ( − )dx = ln ln ; = x −1 x + x+7 1 d (x + 1− 2 1 1 x)  x dx = ∫ = ln( x + + 1) − ln( x + + 3) 12 = (ln − ln 5) b) J = ∫ 1 1 2 2 x x  (x + (x + + 3)( x + + 1) + 3)( x + + 1) x x x x x + 11 Ví dụ ĐHSP.TPHCM-2000:Tính tích phân sau: I = ∫ dx ; x + x + Bài giải 1 4( x + 2) + 1   + 3( − Cách 1: I = ∫ dx = ∫  )dx = = [ln( x + 3) + ln( x + 2)] 10 = ln + ln ( x + 2)( x + 3) x+3 x+2 x+3  0  Cách 2: (Phương pháp hệ số bất định) x + 11 a b Đặt: = + , ∀x ≠ −2;−3 x + x + ·x + x + x + 11 a ( x + 3) + b( x + 2) (a + b) x + 3a + 2b ⇔ = = ( x + 2)( x + 3) x + 5x + x + 5x + a + b = a = ⇔ ⇔ ; 3a + 2b = 11 b = 1 )dx = [3 ln( x + 2) + ln( x + 3)] 10 = ln + ln Khi đó: I = ∫ ( + x+2 x+3 x2 Ví dụ ĐHYHN-2000 Tính tích phân sau: I = ∫ dx ; x − x + 12 Bài giải Cách Phân tích: 2 x − x + 12 + 7( x − 3) + 1   + 9( − dx = ∫ 1 + ) dx ∫1 ( x − 3)( x − 4) x−4 x − x −   = [x + 16 ln x − − ln x − ] 12 = + 16 ln − ln Cách (Phương pháp hệ số bất định)  a = −9 x2 a b Đặt: = 1+ + ⇔ ⇔  x·−3 x − x − x + 12 b = 16 (Bạn đọc tự làm) Ví dụ ĐHNT-2000 Tính tích phân sau: x + 3x + x + x + 10 dx b) J = ∫ dx a) I = ∫ x + x + x + x + 0 Bài giải 2x + )dx = x + ln( x + x + 1) 02 = + ln a) I = ∫ (1 + x + x +1 I= [ b) J = ∫ (1 + ] 1 x +1   )dx =  x + ln( x + x + 9) 10 = + ln 2 x + 2x +   Ví dụ 7.ĐHNT-1999 Tính tích phân sau: I = ∫ (x dx + x + 2) Bài giải 1   1 2 I = ∫( − ) dx = ∫  + −  dx 2 x + x + ( x + )( x + ) ( x + ) ( x + )   0 1 4 −1 x +1  −1 =  + − ln + − − ln = − ln = 1−  2 3 3 x + 2  x +1 x + 1+ Ví dụ ĐHTN – 2001 Tính tích phân sau: I = ∫ x2 −1 dx x4 + x2 +1 Bài giải 1+ ∫ Ta có: I = 1 1 1− ) x + −1 1+ 1+ d ( x + x x x = = ln x dx = ∫ dx = ∫ 1 1 (x + (x + x2 + +1 )2 −1 )2 −1 x + +1 x x x x 1− III Bài tập áp dụng x dx 1) A = ∫ ; (1 − x) 2 ( x + x − 2.dx ; x3 + 1 2) A = ∫ C= B= dx ; 2 ( x + 3) ( x + 1) D=∫ −1 dx ; − 3x + x dx ; 10 ( x − 1) B=∫ (2 x − 10 x + 16 x − 1).dx ; ∫ x − 5x + −1 ∫x 1+ = 3) A = ( x − x + x + 6).dx (7 x − 4)dx ∫−1 x − x + x ; B = −∫1 x − 3x + ; 2 dx dx ; B=∫ ; 2 x + 2x + x x + 4x + 4) A = ∫ ( x − x − x − 1).dx x dx 5) A = ∫ ;B = ∫ ; x4 + x3 ( x − 4) dx (1 − x ).dx ; B = ∫1 x.( x + 1) ; x( x + 1) 6) A = ∫ 3x + 7) (CĐSP HN 2000): I = ∫ dx 1+ x 8) (ĐHNL TPHCM 1995) I = ∫ dx x + 5x + x dx (1 + x ) 9) (ĐHKT TPHCM 1994) I = ∫ ( x + x + 10 x + 1).dx x + 2x + 10) (ĐHNT HN 2000) I = ∫ (4 x + 11).dx x + 5x + 11) (ĐHSP TPHCM 2000) I = ∫ 3.dx x3 + 12) (ĐHXD HN 2000) I = ∫ 13) (ĐH MĐC 1995 ) I = ∫ dx x + 4x + 14) (ĐHQG HN 1995) Xác định số A,B,C để I =∫ 3x + 3x + A B C = + + Tính x −1 x + x − x + ( x − 1) 3x + 3x + dx x − 3x + 15) (ĐHTM 1995) I = ∫ x dx x2 +1 (1 − x ).dx 16) (ĐH Thái Nguyên 1997) I = ∫ x4 +1 HD : t = +x x 17) Xác định số A,B để 18 ) A = x dx ∫ x6 − x3 − ; B = 3 ∫ x+2 A B ( x + 2) = + Tính I = ∫ dx 2 x +1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x + x + 13 dx ; ( x − )( x + 1) Bài toán Phương pháp đổi biến số Dạng Đặt x = u(t)  π π * x = sint, t ∈ − ;   2  π π * x = tant, t ∈  − ;   2 ∫ Ví dụ Tính tích phân : I = − x dx; Bài giải  π π Đặt x = 3sint, t ∈ − ;   2 *x=0 ⇒ t=0 *x=3 ⇒ t= ⇒ π − x dx = 9(1 − sin x) cos xdx = cos xdx = (1 + cos x)dx π π 9π 92 ⇒ I = ∫ (1 + cos x)dx = ( x + sin x) 02 = 20 2 Ví dụ Tính tích phân sau: I = ∫ x − x dx Bài giải I= ∫ 4 − ( x − x + 4)dx = ∫ − ( x − 2) dx; 2  π π Đặt x -2 = 2sint, t ∈ − ;   2 *x=0 ⇒ t=0 π *x=3 ⇒ t= ⇒ − ( x − 2) dx = 4(1 − sin x) cos tdt = cos tdt = (1 + cos 2t )dt π ⇒ I = ∫ (1 + cos 2t )dt = = π ⇒ Tổng quát : ∫ a − x dx = a 2π , a > Phương pháp : Đặt x = asint a Ví dụ ĐHSP1-2000 Tính tích phân : I = ∫x Bài giải  π π Đặt x = asint t ∈ − ;   2 *x=0 ⇒ t=0 a − x dx; với a > *x=a ⇒ t= π ⇒ x2 a − x dx = a sin t a (1 − sin t ) a cos tdx = a sin t cos tdx = a4 a4 sin 2tdt = (1 − cos 4t )dt π a 4π ∫0 (1 − cos 4t )dt = 16 a ⇒ I= Ví dụ Tính tích phân : I = ∫5+ x dx Bài giải  π π tant, t ∈  − ;   2 *x=0 ⇒ t=0 Đặt x = *x= ⇒ t= π π ⇒ ∫0 + x dx = π (1 + tan t ) dt = + tan t ∫ ∫ 5π 5dt = a aπ dx = , a > +a Ví dụ Tính tích phân sau ⇒ Tổng quát : ∫x Phương pháp : Đặt x = atant 1 a) I = ∫ dx x + x +1 b) HVTC − 2000 : J = ∫ xdx ; x + x2 +1 Bài giải dx (x + ) +  π π Đặt x+ = tan t t ∈  − ;  2  2 a) I = ∫ *x=0 ⇒ t= π *x=1 ⇒ t= π π π (1 + tan t ) 3 3π dt = dt = ∫ 12 + tan t π dx = π∫ (x + ) + b)Đặt x2 + = tan t (Làm tương tự) ⇒I = ∫ Ví dụ Tính tích phân sau : I = ∫ x dx 1− x4 Bài giải  π π Đặt x2 = sint, t ∈ − ;   2 *x=0 ⇒ t=0 *x= ⇒ xdx = cosxdx ; 1− x4 = 1 − sin x ⇒t = = π ⇒ cos x xdx 1− x4 = dx π ⇒ I= π ∫ dx = 12 b Ví dụ HVKTQS – 2001 Tính tích phân sau: I = a − x2 ∫0 (a + x ) dx; a, b > Hướng dẫn : Đặt x = a tan t a − x2 a (1 − tan t ) cos 2t ⇒ dx = a dt = = dt 2 2 2 (a + x ) a (1 + tan t ) cos t a b ⇒ I = = a + b2 Dạng Đặt t = u(x) Ví dụ Tính tích phân sau : a ) I = ∫ (3 x + 2)( x + 1) dx b) DHL.TPHCM − 2001 : J = ∫ x − x dx 0 Bài giải a) Đặt t = x+1 * x=0 , t = x = 1, t = ⇒ x = t – ⇒ dx = dt 3t t ⇒ I = ∫ (3t − 1)t dt = ( − )1= b) Đặt t = − x * x = ⇒ t = *x=1 ⇒ t=0 ⇒ x =1–t − 2tdt − 2t dt − 5 ⇒ x dx = ⇒ x − x dx = (1 − t ).t = (t − t )dt 3 2 t4 t5 1 ⇒ I = ∫ (t − t )dt = ( − ) = 30 30 Ví dụ Tính tích phân sau: I = dx ∫1+ Bài giải Đặt t = + x *x=1 ⇒ t=2 *x=9 ⇒ t=4 Khi x = t2 -2t + ⇒ dx = (2t -2)dt x dx ⇒ 1+ x ⇒ I = ∫ (2 − )dt = (2t − ln t ) 42 = − ln t = 2t − dt t Ví dụ ĐHK.A-2004 Tính tích phân sau: I = ∫1+ xdx x −1 Bài giải Đặt t = + x − *x=1 ⇒ t=1 *x=2 ⇒ t=2 ⇒ x = t – 2t + ⇒ dx = (2t-2)dt ⇒ I= 2 (t − 2t + 2)(2t − 2) 2t − 6t + 8t − 4 2t 11 dt = dt = ( t − t + − ) dt = ( − 3t + 8t − ln t ) 12 = − ln ∫1 ∫ ∫ t t t 3 1 Ví dụ Tính tích phân sau a)ĐHK.A-2003 : I = ∫ dx b) DHAN − 1999 : J = x x2 + ∫x dx x2 + 2 c) K = ∫ dx x x2 +1 Bài giải a) Đặt t = x2 + ⇒ t=3 *x= * x= ⇒ t = xdx tdt 1 = = ( − ⇒ x2 = t2 -4 ⇒ xdx = tdt ⇒ )dt x x + (t − 4).t t − t + 1 1 t−2 ⇒ I = ∫( − )dt = ln ln 3= t −2 t+2 t+2 b) + c) Làm tương tự ln Ví dụ Tính tích phân sau : I = ∫ dx ex + Bài giải *x=0 ⇒ t=2 * x = ln2 ⇒ t = dx e x dx 2tdt 1 ⇒ ex = t2 – ⇒ exdx = 2tdt ⇒ = = = ( − )dt t− t+ e x + e x e x + (t − 7).t ex + Đặt t = ⇒ I= ∫ 2 ( t− − t+ )dt = ln t− t+ 2 ln Ví dụ ĐHK.B-2006 Tính tích phân sau : I = ∫e ln Bài giải Đặt t = ex x = (ln 3− 3+ − ln dx + 2e − x − * x = ln3 ⇒ t = * x = ln4 ⇒ t = dx e x dx dt 1 ⇒ dt = exdx ⇒ x = = =( − )dt −x e x − 3e x + t − t −1 e + 2e − t − 3t + ⇒I = ∫( 1 t−2 4 − )dt = ln = ln t − t −1 t −1 2− 2+ ) Ví dụ Tính tích phân sau : ln 1− ex a) ĐHTM-97 : I = ∫ dx b) HVQY – 97 : I = x + e Hướng dẫn Đặt t = ex, làm tương tự VD5, VD6 e Ví dụ ĐHHH – 98 Tính tích phân : I = ∫ x Bài giải Đặt t = + ln x ln ∫ ln x + ln x 1+ ex ln dx c) ĐHBK – 2000 : I = ∫ e2x 1+ ex dx dx * x = ⇒t = *x=e ⇒ t= ln x dx t −1 = 2tdt ⇒ ⇒ lnx = t – ⇒ dx = 2tdt = (2t − 2)dt x t x + ln x 2 2t 4−2 − 2t ) = 3 Ví dụ Tính tích phân sau: ⇒ I= ∫ (2t − 2)dt = ( e a) ĐH.K.B – 2004.: I = + ln x ln x dx b) HV CTQG.TPHCM – 1999: J = x ∫ Bài giải a) Đặt t = + ln x *x=1 ⇒ t=1 *t=e ⇒ t=2 t −1 dx 2tdt + ln x ln x t − 2tdt ⇒ lnx = ⇒ = ⇒ dx = t = (t − t )dt x x 3 2 t t 31 116 ⇒ I = ∫ (t − t )dt = ( − ) 12 = ( − ) = ; 91 9 135 b) Làm tương tự Bài tập áp dụng 1) A = ∫ x15 + x dx; B = ∫ x A = ∫ x a − x dx; B = ∫ 2 3) A = dx ∫ x2 + x +1 −1 4) A = 2a − x dx(a > 0) a 2) 2a ; B=∫ dx x(1 + x ) dx ( x + 1)( x + 2) − x dx dx ; B= ∫ x x+2 −1 x − + ∫ 2 5) A = ∫ ( a > 0) dx x x + 2 ; B= ∫ x x + 1.dx e ln x.3 + ln x dx ; ∫1 x 1 6) A = ∫ x3 + −3 7) A = x dx 1− x −8 8) (*) A = ∫ 2x + dx ∫x dx ; B=∫3 ( x + − 2)dx ; (*)B = ∫ x + 2x + + x + x + dx ; x −1 x +1 −1 9) A = ∫ − x dx; B = 0 ∫ x + x + dx −1 2 x −1 dx; D = x C=∫ 1 1− x2 dx x2 ∫ 10) (HVNH THCM 2000) I = ∫ x dx x + x2 +1 11) a)(ĐH BKHN 1995) I = ∫ dx x x − dx ∫1+ x + b) (HVKTQS 1998) I = −1 12) (ĐHAN 1999) I = x2 +1 dx ∫ x x2 + 13) (ĐHQG HN 1998) I = ∫ x + x dx 14) (ĐHSP2 HN 2000) I = ∫ 1 15) (ĐHXD HN 1996) I = ∫ dx x x + ( x − 1).dx 16) (ĐHTM 1997) I = ∫ x +1 x dx 1+ x2 17) (ĐHQG TPHCM 1998) I = ∫ x.dx 2x + Bài toán Phương pháp tích phân phần I Công thức tích phân phần b b a a Ta có: ∫ udv = uv ba − ∫ vdu II Phương pháp giải toán b Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I = ∫ f ( x)dx a Phương pháp chung: b Bước 1: Biến đổi TP dạng: I = ∫ b f ( x)dx = a ∫ f ( x) f ( x)dx a u = f1 ( x) du ⇒  dv = f ( x)dx v Bước 2: Đặt: Bước 3: Khi đó: I = b b a a b ∫ udv = uv a − ∫ vdu Ví dụ ĐHK.D – 2006: Tính tích phân sau: I = ∫ ( x − 2)e x dx Bài giải du = dx u = x −  Đặt:  ⇒ I = ( x − 2) e x ⇒ 2x 2x dv = e dx v = e dx  1 1` x 1 2x − 3e 2 − ∫ e dx = (−e + 2) − e = = 2 Ví dụ Tính tích phân sau: a) DHHH − 99 : I = ∫ (2 x + x + 1)e dx x b)CDGT3 − 2004 : J = ∫ (4 x − x − 1)e x dx 0 Hướng dẫn: Từng phần lần π Ví dụ TN.THPT-2008: Tính tích phân sau: I = ∫ (2 x − 1) cos xdx Bài giải u = x − du = 2dx Đặt:  ⇒ ⇒ I = = ((2x-1)sinx + 2cosx) dv = cos xdx v = sin x π ( )3 ∫ sin Ví dụ ĐH KT – 2001 Tính tích phân sau: I = x dx Bài giải Đặt t = x *x=0 ⇒ t=0 π π * x = ( )3 ⇒ t = 2 π ⇒ x = t ⇒ dx = 3t dt ⇒ I = ∫ 3t sin t.dx Bạn đọc tự giải( Từng phần lần) Ví dụ ĐHK.D-2004 Tính tích phân sau : I = ∫ ln( x − x)dx Bài giải π = π − 2x −1  u = ln( x − x) du = dx Đặt:  ⇒ x −x dv = dx v = x ⇒ I = xln(x2-x) 32 − ∫ 2x − dx = ln − ln − (2 x + ln( x − 1)) 32 x −1 = ln216 - ln4 – – ln2 = ln27 – Ví dụ Tính tích phân : 10 e a)ĐH K.D – 2007: I = ∫ x ln xdx b) ĐHL.TPMCM : J = ∫x lg xdx Bài giải ln x  du = x dx u = ln x a) Đặt :  ⇒ dv = x dx  x4 v =  e x ln x e x ln x e4 ⇒ I= dx = − I1 −∫ 4 1  du1 = dx u1 = ln x e  5e − x ln x e x e4 e4 −1  x  Đặt :  ⇒ I1 = ⇒ I= dx = = − −∫ ⇒ 32 8 32 dv1 = x dx v = x   b) Làm tương tự Ví dụ Tính tích phân sau : π x ∫ e sin xdx a) I = π b) J = ∫ e x cos xdx; 0 Hướng dẫn u = e x a) Từng phần lần, đặt :  ; dv = sin xdx  b) Làm tương tự u1 = e x ;  dv = cos xdx  Ví dụ CĐSP.Tây Ninh – 2003 Tính tích phân sau : eπ e 1 a ) I = ∫ cos(ln x)dx; b) J = ∫ sin(ln x)dx ; Hướng dẫn Đặt : t = lnx phần lần Bài tập áp dụng Tính tích phân sau: e 1/ I = ∫ x2 ln xdx π 2/ (CĐSP Hà Nam A2004) T= π ∫ x tan xdx 3/.(CĐ KTKT I - 2005) T = ∫ e3x sin5 xdx e ln x dx 1x 4/.(CĐ KTKT Cần Thơ A2005) T = ∫ π x.sin x dx sin x.cos2 x 5/.(CĐ SP STrB 2005) T= ∫ 6/ .(CĐ SP Vĩnh Long A05) T= e ∫ x ln xdx π2 T = 4∫ 7/ (CĐ CN Hà Nội 2005) x cos x.dx 8/.(CĐ SP QNam05) T = x(e x + x − 1) dx ∫ 9/ (CĐ Y tế ThHoá05) T= ln2 x2 ∫ x e dx π 10/ (ĐH Thuỷ Lợi 2001 - 2002) T104 = ∫ ln(1 + tan x)dx 11/ (ĐH Luật, Dược 01-02) 10 T107 = ∫ x lg xdx 1 2 0 12/ a ) ∫ ( x − 3)e x dx b) ∫ ( x − x)e − x dx c) ∫ ln( x + 10 x)dx d ) ∫ (4 x + 3) ln xdx e) ∫ (6 x − 4) ln xdx Bài toán Tích phân hàm số lượng giác Ví dụ : Tính tích phân sau π π π dx tan x.dx ; B=∫ + sin x + cos x π cos x − sin x.cos x 1) A = ∫ 3) A = ( x + sin x)dx 2 ; B = ∫0 + cos x ∫0 sin x cos x.dx π π 2) A = ∫ tan x.dx ; B = ∫ ( cos x − sin x ).dx cos x π Bài tập π 4) A = x cos x.dx ; x ∫ + sin 1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính : π π 2 sin x.dx sin x.dx ; va J = 4 ∫ + sin x cos x + 2) (ĐHSP TPHCM 1995) sin x Cho f ( x) = sin x + cos x I=∫  cos x − sin x  a) Tìm A,B cho f ( x) = A + B   cos x + sin x  π b) Tính I = ∫ f ( x).dx 3) (ĐHGTVT TPHCM 1999) π π cos x.dx sin x.dx a) CMR ∫ = 4 ∫0 cos x + sin x cos x + sin x π cos x.dx 4 cos x + sin x b) Tính I = ∫ π 4) (ĐHTS 1999) Tính : I = ∫ sin x cos x.(1 + cos x) dx π dx cos x 5) (ĐHTM HN 1995) Tính I = ∫ π sin x.dx ∫0 + cos x 6) (HVKTQS 1999):Tính I = π cos x.dx + cos x 7) (ĐHNN1 HN Khối B 1998) I = ∫ π sin x.dx + cos x 8) (ĐHQGHN Khối A 1997) I = ∫ π + sin x + cos x .dx sin x + cos x π 9) (ĐHNN1 HN 1998) Tính I = ∫ π 10) (ĐHQG TPHCM 1998) I = ∫ cos x sin x.dx π sin x.dx + cos x 11) (HVNH TPHCM 2000) I = ∫ 12) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm số h( x) = sin x (2 + sin x) a) Tìm A,B để h( x) = A cos x B cos x + 2 + sin x (2 + sin x) b) Tính I = ∫π h( x).dx − π 13) (ĐHBK HN 1998) I = ∫ cos x.(cos x + sin x).dx π ( x + sin x).dx cos x 14) (HVNH TPHCM 2000) I = ∫ [...]... tương tự Ví dụ 6 Tính tích phân sau : π 2 x ∫ e sin xdx a) I = π 2 b) J = ∫ e x cos xdx; 0 0 Hướng dẫn u = e x a) Từng phần 2 lần, đặt :  ; dv = sin xdx  b) Làm tương tự u1 = e x ;  dv = cos xdx  1 Ví dụ 7 CĐSP.Tây Ninh – 2003 Tính tích phân sau : eπ e 1 1 a ) I = ∫ cos(ln x)dx; b) J = ∫ sin(ln x)dx ; Hướng dẫn Đặt : t = lnx và từng phần 2 lần Bài tập áp dụng Tính các tích phân sau: e 1/ I = ∫... TN.THPT-2008: Tính tích phân sau: I = ∫ (2 x − 1) cos xdx 0 Bài giải u = 2 x − 1 du = 2dx Đặt:  ⇒ ⇒ I = = ((2x-1)sinx + 2cosx) dv = cos xdx v = sin x π ( )3 2 ∫ sin Ví dụ 4 ĐH KT – 2001 Tính tích phân sau: I = 3 x dx 0 Bài giải Đặt t = 3 x *x=0 ⇒ t=0 π π * x = ( )3 ⇒ t = 2 2 π 2 ⇒ x = t ⇒ dx = 3t dt ⇒ I = ∫ 3t 2 sin t.dx 3 2 0 Bạn đọc tự giải( Từng phần 2 lần) 3 Ví dụ 5 ĐHK.D-2004 Tính tích phân sau : I... tích phân sau: I = ∫ ( x − 2)e 2 x dx 0 Bài giải du = dx u = x − 2 1  Đặt:  ⇒ I = ( x − 2) e 2 x ⇒ 1 2x 2x 2 dv = e dx v = e dx 2  1 1 0 1` 2 x 1 1 2x 1 5 − 3e 2 2 − ∫ e dx = (−e + 2) − e 0 = = 2 0 2 4 2 Ví dụ 2 Tính tích phân sau: 1 a) DHHH − 99 : I = ∫ (2 x + x + 1)e dx 2 x 1 b)CDGT3 − 2004 : J = ∫ (4 x 2 − 2 x − 1)e 2 x dx 0 0 Hướng dẫn: Từng phần 2 lần π 2 Ví dụ 3 TN.THPT-2008: Tính tích. .. = ∫ x lg 2 xdx 1 1 2 2 0 0 1 12/ a ) ∫ ( x − 3)e 3 x dx b) ∫ ( x 2 − 3 x)e − x dx c) ∫ ln( x 2 + 10 x)dx 2 d ) ∫ (4 x + 3) ln xdx 1 3 e) ∫ (6 x 2 − 4) ln 2 xdx 1 Bài toán 4 Tích phân của hàm số lượng giác Ví dụ : Tính các tích phân sau π π π 2 3 4 dx tan x.dx ; B=∫ 2 1 + sin x + cos x π cos x − sin x.cos x 0 1) A = ∫ 3) A = 6 2 ( x + sin x)dx 2 2 ; B = ∫0 1 + cos x ∫0 sin x cos 2 x.dx π 2 π 3 2) A... −1  u = ln( x 2 − x) du = 2 dx Đặt:  ⇒ x −x dv = dx v = x 3 ⇒ I = xln(x2-x) 32 − ∫ 2 2x − 1 dx = 3 ln 6 − 2 ln 2 − (2 x + ln( x − 1)) 32 x −1 = ln216 - ln4 – 2 – ln2 = ln27 – 2 Ví dụ 6 Tính tích phân : 10 e a)ĐH K.D – 2007: I = 3 2 ∫ x ln xdx b) ĐHL.TPMCM : J = 1 ∫x lg 2 xdx 1 Bài giải 2 ln x  du = x dx u = ln 2 x a) Đặt :  ⇒ dv = x 3 dx  x4 v =  4 e 4 2 3 x ln x e x ln x e4 ⇒ I= ... x + ln( x + 1)] 13 = + ln x +1 Ví dụ Tính tích phân sau: I = ∫x dx −4 Bài giải 1 1 x−2 Ta có: I = ∫ ( − )dx = ln ln = x−2 x+2 x+2 Ví dụ Tính tích phân sau: dx x2 −1 a) I = ∫ b) J = ∫ dx; x... 3)] 10 = ln + ln Khi đó: I = ∫ ( + x+2 x+3 x2 Ví dụ ĐHYHN-2000 Tính tích phân sau: I = ∫ dx ; x − x + 12 Bài giải Cách Phân tích: 2 x − x + 12 + 7( x − 3) + 1   + 9( − dx = ∫ 1 + ) dx ∫1 (... Tính tích phân : I = ∫5+ x dx Bài giải  π π tant, t ∈  − ;   2 *x=0 ⇒ t=0 Đặt x = *x= ⇒ t= π π ⇒ ∫0 + x dx = π (1 + tan t ) dt = + tan t ∫ ∫ 5π 5dt = a aπ dx = , a > +a Ví dụ Tính tích phân