CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN

 CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN A./ C Ơ SỞ LÝ THUYẾT :  !"#$%&'!( )dx C= ∫ *) +, - x x a a dx C a a = + < ≠ ∫ dx x C= + ∫ .! !/xdx x C= + ∫ + * +, + x x dx C α α α α + = + ≠ − + ∫ !/ .!xdx x C= − + ∫ - * ), dx x C x x = + ≠ ∫ 0 .! dx tgx C c x = + ∫ x x e dx e C= + ∫ 0 .# !/ dx gx C x = − + ∫ 1/ ĐỊNH NGHĨA : 1 F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [ ] ba 2 thì tích phân của f(x) trên đoạn [ ] ba 2 được xác đònh bởi: ∫ b a dxxf ,3* = F(x) a b = F(b) - F(a) (1) . Chú ý : Tích phân ∫ b a dxxf ,3* chỉ phụ thuộc vào f , a , b mà không phụ thuộc vào các kí hiệu biến số tích phân, vì vậy mà ta có thể viết : ∫ b a dxxf ,3* = ∫ b a dttf ,3* = ∫ b a duuf ,3* = 2/ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH : ∫ = a a dxxf ),* ; ∫ b a dxxf ,* = - ∫ a b dxxf ,* ; ∫ b a dxxfk ,*3 = k. ∫ b a dxxf ,* ( k là hằng số ) [ ] ∫ ± b a dxxgxf ,*,* = ∫ b a dxxf ,* ± ∫ b a dxxg ,* ; ∫ b a dxxf ,* = ∫ c a dxxf ,* + ∫ b c dxxf ,* ( Với a ≤ c ≤ b ). Nếu f(x) ≥ 0 ∀ x [ ] ba 2 ∈ thì ∫ b a dxxf ,* ≥ 0 . Nếu f(x) ≥ g(x) ∀ x [ ] ba 2 ∈ thì ∫ b a dxxf ,* ≥ ∫ b a dxxg ,* Ta luôn có : ∫ b a dxxf ,* ≤ ∫ b a dxxf ,* . Nếu m ≤ f(x) ≤ M , ∀ x [ ] ba 2 ∈ thì m(b - a) ≤ ∫ b a dxxf ,* ≤ M( b - a) B/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : VẤN ĐỀ 1 : CÁCH TÌM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I./Cơng thức tính tích phân: ∫ b a dxxf ,3* = F(x) a b = F(b) - F(a) VẤN ĐỀ 2 : CÁCH VIẾT VI PHÂN HOÁ TRONG TÍCH PHÂN 1  I./ Phương pháp : Ta đã biết 4#5#67/'8: df(x) = f’(x).dx Do đó muốn tìm tích phân : I = [ ] dxxhxgf 3,*9,* ∫ , ta có thể làm theo các bước sau: +/ Tìm hàm u(x) nào đó mà đạo hàm của u(x) sè có mặt trong các hàm [ ] ,*9,* xhxgf +/ Sau đó xem u(x) là biến số tích phân (khi đó x không còn là biến số nửa ) . Tìm tích phân mới theo biến số mới. II/ Bài tập áp dụng: Câu 1 : Tìm các tích phân sau: a/ ∫ dxxx 3!/3.! : b/ ∫ − ; 0 0x .dx c/ ∫ x dxx3- ĐSỐ : a/ - (1/6).cosx + C b/ 16/3 c/ (1/2).ln 2 x + C. Câu 2 : Tìm các tích phân sau : a/ dx x x 3 -+ ∫ + b/ ∫ cox dxtgx3 c/ ∫ x dxe x 3 ĐSỐ : a/ (1/2).ln 2 x + ln x + C b/ (1/cosx) + C c/ 2. x e + C . BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUN HÀM CƠ BẢN +3 + < ) * +,x x dx+ + ∫ 2. 0 0 + + + * , e x x dx x x + + + ∫ 2. < + 0x dx− ∫ 3. 0 + +x dx+ ∫ 4. 0 < *0!/ < ,x cosx x dx π π + + ∫ 5. + ) * , x e x dx+ ∫ 6. + < ) * ,x x x dx+ ∫ 7. 0 + * +,* +,x x x dx+ − + ∫ 8. 0 < + *<!/ 0 ,x cosx dx x π π + + ∫ 9. + 0 ) * +, x e x dx+ + ∫ 10. 0 0 < + * ,x x x x dx+ + ∫ 11. 0 + * +,* +,x x x dx− + + ∫ 12. < < + = + >=( ). − + ∫ 13. 0 2 2 -1 x.dx x + ∫ 14. 0 ? + @= 0 = : >= = − − ∫ 15. = 0 5 2 dx x 2+ + − ∫ 16. 0 0 + = + >= = = = ( ). ln + + ∫ 17. 0 < < ; = >= = cos . sin π π ∫ 18. A 0 ) #= >= = . cos π ∫ 19. + = = = = ) ? ? ? ? dx − − − + ∫ 20. + = = = ) ? >= ? ? . − + ∫ 21. 0 0 + >= A= B=+ ∫ 22. < = = ) >= ? ? ln . − + ∫ 22. 0 ) >= + =sin π + ∫ VẤN ĐỀ 3 : TÌM TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ( DẠNG ĐƠN GIẢN ) I./ Phương pháp : 2  Cho tích phân : I = [ ] dxxxf b a ,3*C3,* ϕϕ ∫ (1) Để tính tích phân (1) theo cách đổi biến, ta có thể thực hiện theo các bước: Bước 1 : Đặt t = ϕ (x) ⇒ dt = ϕ ’(x).dx Bước 2 : Đổi cận tương ứng +/ x = a thì t = ϕ (a) +/ x = b thì t = ϕ (b) Bước 3 : Khi đó tích phân I được viết lại I = ∫ ,* ,* ,3* b a dttf ϕ ϕ là tích phân cần tìm. II/ Bài tập áp dụng : Câu 1 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ − A A 3 π π dxtgx b/ ( ) dx x x e 3 +-0 + 0 ∫ + c/ ∫ + dxx 3,+<* A Câu 2 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ dxxx 3!/3.! A b/ ∫ − + ) + 0 +x xdx c/ dxxx 3<3 ) + 0 ∫ − + C./ BÀI TẬP Câu 1 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ e x dx + b/ ∫ − + dx xx xx 3 .!!/0 .!0!/ c/ ∫ + + dx x x 3 + + A ĐSỐ : a/ 1 b/ ln xx .!!/0 − + C c/ . Câu 2 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ + + dx x xx 3 < < 0 0 b/ ∫ + dxxtgtgx ,3* < c/ ( ) ∫ + 0- ) 0 3 + 3 dx e dxe x x ĐSỐ : a/ < 0 + x + C b/ (1/2).tg 2 x + C c/ 1/6 . Câu 3 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ A ) A .! π x dx b/ ∫ x dx !/ c/ ( ) ∫ + 0))B + 3 x dxx HD : a/ 4/3 b/ ln 0 x tg + C c/ Phân tích tử . Câu 4 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ +−+ 0<A< 0 xx dx b/ ∫ + x dx <0: c/ ∫ + +− dx x xx 3 + < 0 HD : a/ 2 ( ) < A< + x + .b/ (2/3). x<0: + + C c/ (1/2).x 2 – 2x + ln + + x + C Câu 5 : Tìm các tích phân sau : a/ ( ) ∫ + dxbax m , ( m + ≠ , a ) ≠ ) b/ ∫ − + ) < 0 0 3 x dxx c/ ( ) ∫ + + ) ; 0 + dxxx HD : a/ . b/ (1/3).ln2 c/ 127/14 . Câu 6 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ < ) .! 33!/ π dxex x b/ ∫ + e x dxx + ,3-0* c/ ∫ A ) 0 3 .! π dx x e tgx 3  Câu 7 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ < ) < .! 3!/ π x dxx b/ ∫ + 0 ) 3!/3.!+ π dxxx c/ ( ) ∫ + ; ) 30.!0!/ π dxxx HD : a/ 3/2 b/ (2/3).(2 0 - 1) c/ (1/4)( < + 1) . Câu 8 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ − + − + ) 0 3 < < - D + dx x x x b/ ∫ + 0 -+ e e xx dx c/ ( ) ∫ − + ) : 30< dxx ĐSỐ : a/ 2( 0< − ) b/ (1/2).(ln2) 2 c/ - 7/2 . Câu 9 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ − − + + 0 < 3 dxex x b/ ∫ + + ) < 0 + 0 x dxx c/ ∫ 0 -3 e e xx dx ĐSỐ : a/ (1/3e).(e 2 - 1) b/ (4/3).( 0 - 1) c/ ln2 . ĐSỐ : a/ 2( 0< − ) b/ (1/2).(ln2) 2 c/ - 7/2 . Câu 10 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ + dxebea xmx 3,3* ,(a ≠ 0 ,m ≠ 1) b/ ∫ − − 0 0 +dxx c/ ( ) dxxxx 3A0+ 0 ∫ +++ d/ ∫ ,-*-3- xxx dx e/ ∫ + tgxx dx +.! 0 f/ dx x xx 3 .! .!3!/3<A A A 0 0 ∫ − − π π HD : a/ Đặt t = . b/ 5 c/ d/ Đặt . f/ 8 . VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: 4#5#6'8#E'F * ,7C*=, = * , * , * , C* , b b b a a a x d u x v x v x u x dx= − ∫ ∫ hay ∫ ∫ −= b a b a b a vduudv uv                GDa ̣ ng 1 !/ * , ax ax f x cosax dx e β α           ∫ &# * , C* , !/ !/ .! ax ax u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx e e = =           ⇒       = =                   ∫ GDa ̣ ng 2: * ,-* ,f x ax dx β α ∫ H I # -* , * , * , dx du u ax x dv f x dx v f x dx  = =   ⇒   =   =  ∫ GDa ̣ ng 3: !/ 3       ∫ ax ax e dx cosax β α  J K > I #J K ( K #J K '8!( 4 (L + 0 0 ) * +, x x e dx x + MH I # 0 0 * +, x u x e dx dv x = = + NL < B A < 0 * +, x dx x MH I # : < A < * +, u x x dx dv x = = L + + + + 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ) ) ) + *+ , *+ , + *+ , dx x x dx x dx dx I I x x x x + = = = + + + + J K O + + 0 ) + dx x = + NH P '$Q'( K 'M4 R /N/ K !4 K J K O 0 S + 0 0 0 ) *+ , x dx x+ NH P '$Q'( K '#$ P '8 P MH I # 0 0 *+ , u x x dv dx x = = + VAN ẹE 5 : TCH PHN HM Vễ T: b a dxxfxR ,,*9* Trong đó R(x, f(x)) có các dạng: +) R(x, xa xa + ) Đặt x = a cos2t, t T 0 2)U ; +) R(x, 00 xa ) Đặt x = ta !/ hoặc x = ta .! +) R(x, n dcx bax + + ) Đặt t = n dcx bax + + ; +) R(x, f(x)) = +++ xxbax 0 ,* + Với ( ++ xx 0 ) = k(ax+b) Khi đó đặt t = ++ xx 0 , hoặc đặt t = bax + + +) R(x, 00 xa + ) Đặt x = tgta , t T 0 2 0 U ; +) R(x, 00 ax ) Đặt x = x a .! , t V 0 WXT2)U +) R ( ) + 0 / = = =; ; .; Gọi k = BCNH(n 1 ; n 2 ; .; n i ) Đặt x = t k VAN ẹE 6: MT S TCH PHN C BIT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: += aa a dxxfxfdxxf ) ,T*,*U,* Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 0 < 2 0 < ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = x0.!00 , Tính: 0 < 0 < ,* dxxf ; Tính + + + + 0 A + !/ dx x xx Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: a a dxxf ,* = 0. Ví dụ: Tính: ++ + + 0 ,+-* dxxx ++ 0 0 0 ,+-*.! dxxxx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: a a dxxf ,* = 2 a dxxf ) ,* 5 Ví dụ: Tính + + + 0A +xx dxx 0 0 0 .! A !/ + x x dx x Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: = + aa a x dxxfdx b xf ) ,* + ,* (1 b>0, a) Ví dụ: Tính: + + < < 0 0+ + dx x x + 0 0 + :.!<!/!/ dx e xxx x Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; 0 ], thì = 0 ) 0 ) ,*.!,*!/ dxxfxf Ví dụ: Tính + 0 ) 0))D0))D 0))D .!!/ !/ dx xx x + 0 ) .!!/ !/ dx xx x Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: = )) ,*!/ 0 ,*!/ dxxfdxxxf Ví dụ: Tính + ) !/+ dx x x + ) .!0 !/ dx x xx Bài toán 6: =+ b a b a dxxfdxxbaf ,*,* = bb dxxfdxxbf )) ,*,* Ví dụ: Tính + ) 0 .!+ !/ dx x xx + A ) ,+-*A!/ dxtgxx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì: = + TTa a dxxfdxxf ) ,*,* = TnT dxxfndxxf )) ,*,* Ví dụ: Tính 0))B ) 0.!+ dxx Các bài tập áp dụng: 1. + + + 0 0+ + dx x x 2. ++ A A A <:@ .! + dx x xxxx 3. ++ + + 0 ,+,*+* xe dx x 4. + 0 0 0 !/A .! dx x xx 5. + 0 + 0 + , + + -*0.! dx x x x 6. dxnx,=!/*!/ 0 ) + 7. + 0 0 : .!+ !/ dx x x 8. + ,+*+ .# + 0 + 0 = + + + ga e tga e xx dx x xdx (tga>0) Tính các tích phân sau: 6  1.(A2004): T 1 = 0 + + + x dx x ∫ + − 2.(B2004): T 2 = + <- 3- + e x x dx x + ∫ 3.(D2004): T 3 = ( ) < 0 - 0 x x dx− ∫ 4.(A2005): T 4 = 0 !/ 0 !/ + <.! ) x x dx x π + ∫ + 5.(B2005): T 5 = 0 !/ 0 3.! + .! ) x x dx x π ∫ + 6.(D2005): 0 !/ .! .! ) x e x xdx π    ÷   + ∫ 7. T 7 = < 0 !/ #( ) x xdx π ∫ 8. T 8 = 0 .! !/ 0 ) x e xdx π ∫ 9. T 9 = A 0 + 0 A ) x x dx x − + ∫ + 10. T 10 = @ 0 < + ) x dx x + ∫ + 11. T 11 = A !/ *#( 3.! , ) x x e x dx π + ∫ 12. T 12 = 0 - + e x xdx ∫ 13. T 13 = < 0 0 + x x m dx− + ∫ a. TÝnh T 13 víi m = 1. b. TÝnh T 13 theo m víi m < -3. 14.(C§SPA04) T 14 = : < < 0 0 ) + x x dx x + ∫ + 15.(C§SP B¾c Ninh 2004) T 15 = < #( 0 .! + .! A x dx x x π π ∫ + 16. (C§SP B×nh Phíc 2004) T 16 = 0 !/ 0 + .! ) x x dx x π ∫ + 17. (C§SP Kon Tum 2004) T 17 = + + ) dx x e ∫ + 18. (C§SP Hµ Nam A2004) T 18 = + x dx x + ∫ 19. (C§SP Hµ Nam A2004) T 19 = A 0 #( ) x xdx π ∫ 20. (C§ GTVT 2004) T 20 = : * 0 0 , < x x dx+ − − ∫ − 21. (C§ KTKT I A2004) T 21 = A 0 : ) + x dx x ∫ + 22. (C§ A2004) T 22 = + 0 0 : 0 ) dx x x ∫ + + 23. (C§ KTKH §µ N½ng 2004) T 23 = 3 < 0 0 + ) x x dx+ ∫ 24. (C§ 2005) T 24 = + < 0 <3 ) x x dx+ ∫ 25. (C§ XD sè 3- 2005) T 25 = < < < + < + x dx x x − ∫ + + + − 26. (C§ GTVT 2005) T 26 = + : 0 + ) x x dx− ∫ 27. (C§ KTKT I - 2005) T 27 = 0 < : !/ ) x e xdx π ∫ 28. (C§ TCKT IV - 2005) T 28 = < 0 : +3 ) x x dx+ ∫ 7 29. (CĐ Truyền hình A2005) T 29 = 0 A + 0!/ + !/0 ) x dx x + 30. (CĐ SP TP. HCM 2005) T 30 = ) 0 0 A + dx x x + + 31. (CĐ KTKT Cần Thơ A2005) T 31 = - 0 + e x dx x 32. (CĐ Sp Vĩnh Long 2005)T 32 = @ < + < < + ) x dx x + + 33. (CĐ SP Bến Tre 2005) T 33 = 0 .!< !/ + ) x dx x + 34. (CĐ SP Sóc Trăng A2005)T 34 = 0 !/ 0 0 ) !/ 0.! 3.! 0 xdx x x x + 35. (CĐ SP Sóc Trăng 2005) T 35 = 0 < 3!/ 0 !/ 0 3.! ) x x dx x x 36.(CĐ Cộng đồng Vĩnh Long A05) T 36 = - + e x xdx 37. (CĐ Công Nghiệp Hà Nội 2005)T 37 = 0 A 3.! 3 ) x x dx 38. (CĐ SP Hà Nam 2005)T 38 = < 0 0 0 A D 0 A ) x x x dx x + + + + 39. (CĐ KT TC 2005)T 39 = + < * <, ) xdx x + 40. (CĐ SP Vĩnh Phúc 2005) T 40 = 0 + + - e dx x x 41. (CĐ SP Hà Nội 2005) T 41 = 0))A A !/ 0))A 0))A !/ .! ) x dx x x + 42. (CĐ SP Kon Tum 2005) T 42 = < 0 A!/ + .! ) x dx x + 43. (CĐ KTKH Đà Nẵng 2005) T 43 = A *!/ .! ,.! ) dx x x x + 44. (CĐ SP Quảng Nam 2005) T 44 = + 0 < ) * +, x x e x dx+ 45. (CĐ Y tế Thanh Hoá 2005) T 45 = -0 0 : ) x x e dx 8  46. (C§ SP Qu¶ng B×nh 2005) T 46 = 0 + 0 < ) * +, x x dx x + ∫ + 47. (C§ SP Qu¶ng Ng·i 2005) T 47 = A ) *+ #( #( ,!/ 0 x x xdx π + ∫ 48. T 48 = < < + dx x x ∫ + 49. T 49 = -B 0 +3 -< x x e e dx+ ∫ 50. T 50 = 0 3!/ ) x xdx π ∫ 51. T 51 = + + ) x xdx− ∫ 52. T 52 = < 0 - - + + e x dx x x ∫ + 53. T 53 = 0 0 *0 +,.! ) x xdx π − ∫ 54. (2002) T 54 = < + 0 ) + x dx x ∫ + 55. (2002) T 55 = -< < ) * +, x e dx x e ∫ + 56.(2002)T 56 = ) 0 < * +, + x x e x dx+ + ∫ − 57.T 57 = 0 ; < : + .! 3!/ .! ) x x xdx π − ∫ 58. (2002) T 58 = 0 < 0 : A dx x x ∫ + 59. T 59 = A + .!0 ) x dx x π ∫ + 9  60. T 60 = + < 0 + ) x x dx− ∫ 61. (B2003) T 61 = 0 A + 0!/ + !/ 0 ) x dx x π − ∫ + 62. T 62 = 0 -: + -0 x e dx x e ∫ − 63.T 63 = + < .! + x dx x x   + ∫  ÷ + −   Dôc hµnh viÔn, tÊt tù nhÜ 64. T 64 = + 0 < ) x x e dx ∫ 65. (D2003) T 65 = 0 0 ) x x dx− ∫ 66. T 66 = 0 + * +, + ) x dx x x ∫ + + 67. (C§ SP VÜnh Phóc A2002) T 67 = 0 !/ !/ 0 !/< ) x x xdx π ∫ 68. (C§ SP Hµ TÜnh A, B2002) T 68 = 0 A A .!0 *!/ .! , ) x x x dx π + ∫ 69. (C§ SP Hµ TÜnh AB2002) T 69 = 0 : .! ) xdx π ∫ 70. (C§ SP KT I 2002) Cho I n = + 0 0 *+ , ) n x x dx− ∫ vµ J n = + 0 *+ , ) n x x dx− ∫ Víi n nguyªn d¬ng a. TÝnh J n vµ chøng minh bÊt ®¼ng thøc I n + 0* +,n ≤ + 10 [...]... - Lâm 2003) 2 x3 dx T86 = 2 x + 2x + 1 0 87 (CĐ SP Phú Thọ A2003) 1 T87 = ln(1 + x) dx 1 + x2 0 88 (CĐ SP KonTum A2003) Bằng cách đặt x = T88 = 2 t , hãy tích tích phân: 2 sin x sin x + cos x dx 0 89 (CĐ SP Tây Ninh 2003) e a Tính tích phân: T89= cos(ln x)dx 1 b Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(t) định bởi: t F(t) = x cos x dx 2 0 90 (CĐ SP Trà Vinh D2003) 12 GV: TRN TH DN CHUYấN... CHUYấN TCH PHN 83 (CĐ TCKT IV 2003) Cho 2 số nguyên dơng m, n với m là số lẻ Tính theo m, n tích phân: T83 = 2 sin n x.cos m xdx 0 84 (CĐ TCKT IV tham khảo 2003) a Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0 ; 1] Chứng minh rằng: 2 2 0 0 f (sin x)dx = f (cos x)dx b Bằng cách đặt x = 2 t , hãy tính các tích phân: 2 sin 2003 xdx sin 2003 x + cos 2003 x 0 I= và 2 cos 2003 xdx J = 2003 sin x + cos . VẤN ĐỀ 1 : CÁCH TÌM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I./Cơng thức tính tích phân: ∫ b a dxxf ,3* = F(x) a b = F(b) - F(a) VẤN ĐỀ 2 : CÁCH VIẾT VI PHÂN HOÁ TRONG TÍCH PHÂN. u(x) là biến số tích phân (khi đó x không còn là biến số nửa ) . Tìm tích phân mới theo biến số mới. II/ Bài tập áp dụng: Câu 1 : Tìm các tích phân sau: a/