1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

bai 1 tich phan khong can

6 403 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 6
Dung lượng 314 KB

Nội dung

Математика1; Формула Тейлора и Маклорена.. определенние : Fx называеться первое образное Неопределенный интеграл для fx если F’x=fx Свойства: 1.. ∫dFx =Fx +C C= const 4; Замена переме

Trang 1

Математика

1; Формула Тейлора и Маклорена

!

) (

) (

! 2

) ( '' ) (

! 1

) ( ' ) ( )

(

) (

n

a f a

x a f a x a f a f x

Формула Тейлора f(x)= P(x) - R n (x)

) 1 (

) ( )

+

n

C f

x

R

!

) 0 (

! 2

) 0 ( ''

! 1

) 0 ( ' ) 0 ( ) (

) (

n

f x

f x

f f

x

Формула Маклорена 2; Разложение Многочлена на Множители:

2 2

1

)

n

n n

n

αi ,( i = 1 n ) корени P(x) = 0

n k

k

a x

2

= при k1+k2 + +k n =n

3; Неопределенный пнтеграл Свойства

определенние : F(x) называеться первое образное Неопределенный интеграл для f(x) если F’(x)=f(x)

Свойства:

1 0 ∫αf(x)dx = α∫f(x)dx (α = const)

2 0 ∫(f1(x) ±f2(x))dx =∫f1(x)dx+∫f2(x)dx

3 0 ( ∫f(x)dx)‘ =f (x)

4 0 d( ∫f(x)dx)= f(x)dx

5 0 ∫dF(x) =F(x) +C (C= const )

4; Замена переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы группы четырех

Замена переменной в неопределенном интеграле ;

Вычисление интеграл I =∫f(x)dx

Замена x(t) предлогай дифферензуемая dx=ϕ' (t)dt

I =∫f(x)dx=∫f( ϕ (t)) ϕ ' (t)dt =∫f1(t)dt

Интегрирование по частям :

Пусть u (x) и v (x) дифферензуемые Функции вычисления

d(u.v) = udv + vdu

⇔∫d(u.v) =∫udv+∫vdu

u v =∫udv+∫vdu ⇔∫udv=u.v+∫vdu

Интегралы группы четырех

=∫ ++ + dx

c bx ax

B Ax

c bx ax

B Ax I

2

3

Trang 2

Метод вычисление ;

] ) [(

4

4 ) 2 (

] 4

) 2 [(

) 4 4

2 2 (

) (

2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

q p x

a

a

b ac a

b x

a

a

b c a

b x

a

a

b c a

b x a

b x

a

a

c x a

b x a c bx

ax

+ +

=

− + +

=

− + +

=

− + + +

=

+ +

= + +

a

b p

2

4

4

a

b ac

Выполним x+p = t

5 интегрирование рациональных ;

Пусть P m (x) многчлен m

Q n (x) многчлен n

Рацниональный дробь назваеться Q P ((x x))

n

m

Дробь называеться правило если m < n Вычисление интеграла ∫ dx

x Q

x P n

m

) (

) (

+ Если дробь неправило m > n

Q P ((x x)) F (x) Q R ((x x))

n

s k

n

m = + (s<n) k =mn многчлен

)

(

)

(

dx x

Q

x

R

n

s

при (s<n)

) (

) (

dx x Q

x P

n

m

при (m<n)

+ Если дробь провило (m<n)

p p p

s m

k m

m

1 1

2 1 2

p

p p p

p p s

m k

k m

m n

m

c x b x a

C x B c

x b x a

C x B x

A x

A x

A

x

Q

x

P

) (

) (

) (

) ( ) (

)

(

)

(

2 1

1

2 1

1 1 2

2 1

1

1 2

+ +

+ + +

+ +

− + +

+

=

α α

α

dx c

x b x a

C x B c

x b x a

C x B x

A x

A x

A dx

x

Q

x

P

p

p p p

p p s

m k

k m

m n

) (

) (

) (

) (

) (

[ )

(

)

(

2 1

1

2 1

1 1 2

2 1

1

1 2

1

+ +

+ +

− + +

+

=

α α

α

6; Интегрирование рацпональных выражений :

1 0 I =∫R(xα 1 ;xα 2 ; ;xαs)dx

При

s

s s n

m n

m n

m

=

=

2

2 2 1 1

1 m i (i = 1 s ) Zn j (j = 1 s) ∈N

Trang 3

Замена x=t k Где к общии заменаченый дробей α1,α2, ,αs

2 0 I =∫R (ax+b) α 1 (ax+b) α 2 (ax+b) αs]dx

Замена ax+b=t k Где к общии заменаченый дробей α1,α2, ,αs

3 0 =∫ ++ ++ ++ dx

d cx

b ax d

cx

b ax d cx

b ax

I [( ) α 1 ( ) α 2 ( ) αs]

Замена t k

d cx

b

+

+

Где к общии заменаченый дробей α1,α2, ,αs

4 0 I =∫x m(a+bx n)p dx интеграл от дифференцальный Бинома

Расмотрем x m(a+bx n)p

А) если р – целое число то интеграл можно вычисленния

Вычисление скобкии по формулу Нютона

Б) если

n

m 1+

- целое число то интеграл можно вычисленние замены :

a+bx n =t k к знаминатель числа р

В) если p

n

m+1+ - целое число замены a+bx n =x n t k

к знаминатель числа р

Г) интегралы

R(x, a2 −x2 )dx

замена x =asint или x= acost

R(x, x2 −a2 )dx

замена

t

a x

sin

= или

t

a x

cos

R(x, x2 +a2 )dx

замена x=atgt

7; интегрирование пригономических выражений

1 0 I1 =∫cosn xdx или I2 =∫sinn xdx

Правило 1: если n натуральное число и n четная то интеграл указаного вида можно вычисление

2

2 cos 1 cos

2

2 cos 1 sin

2

2

x x

x x

+

=

=

Правило 2: если n нечетная то интеграл можно вычисленние замены sinx = t или cosx=t

2 0 I =∫sinn xcosm dx

Можно вычисление по правилом 1 если n , m оба четные

По правилом 2 если n,m в случае нечетные

3 0 I1 =∫cosaxcosbxdx I2 =∫cosaxsinbxdx

I3 =∫sinaxcosbxdx I4 =∫sinaxsinbxdx

Использует формулы

] ) cos(

) [cos(

2

1 cos cos

] ) sin(

) [sin(

2

1 cos

sin

x b a x

b a bx

ax

x b a x

b a bx

ax

− +

+

=

− +

+

=

2

1 sin

sinax bx= − a+b xab x

Trang 4

4 0 I =∫tg n xdx

1 I2 =∫cotg n xdx

Замена tgx = t

dx t dt

dx tg

= +

+

= 2 2

1

) 1

(

5 0 I =∫R(sinx, cosx)dx

Замена tg x =t

t

dt

= +

1 2

2

1

2 sin

t

t x

+

=

2 1

1 cos

t

t x

+

1

2

t

t tgx

+

=

6 0 I =∫R(tgx)dx

Замена dx

t dt

tgx t

= +

= 2

1

8; определенные интеграл

1 Если 0 ∃ придел последовательности интеграл суммы S n при махx→0 который независит от способа развидения отрезка [a;b] и выбора точес ξi на частисных [a;b] то его назвают определенный интегралом

f(x) /[a;b] и обазначит f x dx

b

a

∫ ( )

f x f x dx

b

a i n

i

i

) ( )

(

lim

0 max

ξ

2 Функции у=f(x) называется интегрируемой на 0 [a;b] Если на этом отрезке ∃ придел последовательности ее интеграл

Теорема y = f (x) непрерывна на [a;b] то оно интегризуемая на [a;b]

=

=

a

a

a

b

b

a

dx x f

dx x f dx

x f

0 )

(

) ( )

(

9 Свойства 1-6 определенных интегралов

b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x

[

2 0 ∫ = ∫b

a

b

a

dx x f dx

x

3 0 если ϕ(x) ≤ f(x) ∀x∈ (a;b)

⇔∫ ≤∫b

a

b

a

dx x f dx

(

ϕ

4 если m – наименьшее значение0

M – наибольшее значение на [a;b] то

Trang 5

m(b a) f(x)dx M(b a)

b

a

5 0 Теорема о среднее

m – наименьшее значение

M – наибольшее значение на [a;b] и непрерывна на [a;b] то ∃ ξ ∈ [a;b]

f(x)dx f( )(b a)

b

a

=

Доказать

Функции f (x) неирерывна на [a;b] то она достигает на этого на отрезке свое найменьше т свое найбольше M значения

Из свойства 4 0

Пусть

=

b

a

b

a

dx x f a b

M dx x f a b m

) ( 1

) ( 1

µ

m≤ µ ≤M

По теорему промезуточнам значению непрерывна ∃ξ∈ [a;b] такая что f(ξ) =µ

f(x)dx (b a)f(ξ)

b

a

=

6 0 ∫ =∫ +∫b

c

c

a

b

a

dx x f dx x f dx x

10 Интеграл с переменным верхним пределом T1(об интеграле переменным верхним пределом)

Ngày đăng: 06/07/2013, 01:26

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w