Математика1; Формула Тейлора и Маклорена.. определенние : Fx называеться первое образное Неопределенный интеграл для fx если F’x=fx Свойства: 1.. ∫dFx =Fx +C C= const 4; Замена переме
Trang 1Математика
1; Формула Тейлора и Маклорена
!
) (
) (
! 2
) ( '' ) (
! 1
) ( ' ) ( )
(
) (
n
a f a
x a f a x a f a f x
Формула Тейлора f(x)= P(x) - R n (x)
) 1 (
) ( )
+
n
C f
x
R
!
) 0 (
! 2
) 0 ( ''
! 1
) 0 ( ' ) 0 ( ) (
) (
n
f x
f x
f f
x
Формула Маклорена 2; Разложение Многочлена на Множители:
2 2
1
)
n
n n
n
−
−
αi ,( i = 1 n ) корени P(x) = 0
n k
k
a x
2
−
= при k1+k2 + +k n =n
3; Неопределенный пнтеграл Свойства
определенние : F(x) называеться первое образное Неопределенный интеграл для f(x) если F’(x)=f(x)
Свойства:
1 0 ∫αf(x)dx = α∫f(x)dx (α = const)
2 0 ∫(f1(x) ±f2(x))dx =∫f1(x)dx+∫f2(x)dx
3 0 ( ∫f(x)dx)‘ =f (x)
4 0 d( ∫f(x)dx)= f(x)dx
5 0 ∫dF(x) =F(x) +C (C= const )
4; Замена переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы группы четырех
Замена переменной в неопределенном интеграле ;
Вычисление интеграл I =∫f(x)dx
Замена x=ϕ(t) предлогай дифферензуемая dx=ϕ' (t)dt
I =∫f(x)dx=∫f( ϕ (t)) ϕ ' (t)dt =∫f1(t)dt
Интегрирование по частям :
Пусть u (x) и v (x) дифферензуемые Функции вычисления
d(u.v) = udv + vdu
⇔∫d(u.v) =∫udv+∫vdu
⇔u v =∫udv+∫vdu ⇔∫udv=u.v+∫vdu
Интегралы группы четырех
=∫ ++ + dx
c bx ax
B Ax
c bx ax
B Ax I
2
3
Trang 2Метод вычисление ;
] ) [(
4
4 ) 2 (
] 4
) 2 [(
) 4 4
2 2 (
) (
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
q p x
a
a
b ac a
b x
a
a
b c a
b x
a
a
b c a
b x a
b x
a
a
c x a
b x a c bx
ax
+ +
=
− + +
=
− + +
=
− + + +
=
+ +
= + +
a
b p
2
4
4
a
b ac
Выполним x+p = t
5 интегрирование рациональных ;
Пусть P m (x) многчлен m
Q n (x) многчлен n
Рацниональный дробь назваеться Q P ((x x))
n
m
Дробь называеться правило если m < n Вычисление интеграла ∫ dx
x Q
x P n
m
) (
) (
+ Если дробь неправило m > n
Q P ((x x)) F (x) Q R ((x x))
n
s k
n
m = + (s<n) k =m−n многчлен
)
(
)
(
dx x
Q
x
R
n
s
при (s<n)
) (
) (
dx x Q
x P
n
m
при (m<n)
+ Если дробь провило (m<n)
p p p
s m
k m
m
1 1
2 1 2
−
p
p p p
p p s
m k
k m
m n
m
c x b x a
C x B c
x b x a
C x B x
A x
A x
A
x
Q
x
P
) (
) (
) (
) ( ) (
)
(
)
(
2 1
1
2 1
1 1 2
2 1
1
1 2
+ +
+ + +
+ +
− + +
−
+
−
=
α α
α
dx c
x b x a
C x B c
x b x a
C x B x
A x
A x
A dx
x
Q
x
P
p
p p p
p p s
m k
k m
m n
) (
) (
) (
) (
) (
[ )
(
)
(
2 1
1
2 1
1 1 2
2 1
1
1 2
1
∫
+ +
+ +
− + +
−
+
−
=
⇒
α α
α
6; Интегрирование рацпональных выражений :
1 0 I =∫R(xα 1 ;xα 2 ; ;xαs)dx
При
s
s s n
m n
m n
m
=
=
2
2 2 1 1
1 m i (i = 1 s ) Z∈ n j (j = 1 s) ∈N
Trang 3Замена x=t k Где к общии заменаченый дробей α1,α2, ,αs
2 0 I =∫R (ax+b) α 1 (ax+b) α 2 (ax+b) αs]dx
Замена ax+b=t k Где к общии заменаченый дробей α1,α2, ,αs
3 0 =∫ ++ ++ ++ dx
d cx
b ax d
cx
b ax d cx
b ax
I [( ) α 1 ( ) α 2 ( ) αs]
Замена t k
d cx
b
+
+
Где к общии заменаченый дробей α1,α2, ,αs
4 0 I =∫x m(a+bx n)p dx интеграл от дифференцальный Бинома
Расмотрем x m(a+bx n)p
А) если р – целое число то интеграл можно вычисленния
Вычисление скобкии по формулу Нютона
Б) если
n
m 1+
- целое число то интеграл можно вычисленние замены :
a+bx n =t k к знаминатель числа р
В) если p
n
m+1+ - целое число замены a+bx n =x n t k
к знаминатель числа р
Г) интегралы
∫R(x, a2 −x2 )dx
замена x =asint или x= acost
∫R(x, x2 −a2 )dx
замена
t
a x
sin
= или
t
a x
cos
∫R(x, x2 +a2 )dx
замена x=atgt
7; интегрирование пригономических выражений
1 0 I1 =∫cosn xdx или I2 =∫sinn xdx
Правило 1: если n натуральное число и n четная то интеграл указаного вида можно вычисление
2
2 cos 1 cos
2
2 cos 1 sin
2
2
x x
x x
+
=
−
=
Правило 2: если n нечетная то интеграл можно вычисленние замены sinx = t или cosx=t
2 0 I =∫sinn xcosm dx
Можно вычисление по правилом 1 если n , m оба четные
По правилом 2 если n,m в случае нечетные
3 0 I1 =∫cosaxcosbxdx I2 =∫cosaxsinbxdx
I3 =∫sinaxcosbxdx I4 =∫sinaxsinbxdx
Использует формулы
] ) cos(
) [cos(
2
1 cos cos
] ) sin(
) [sin(
2
1 cos
sin
x b a x
b a bx
ax
x b a x
b a bx
ax
− +
+
=
− +
+
=
2
1 sin
sinax bx= − a+b x− a−b x
Trang 44 0 I =∫tg n xdx
1 I2 =∫cotg n xdx
Замена tgx = t
dx t dt
dx tg
= +
+
= 2 2
1
) 1
(
5 0 I =∫R(sinx, cosx)dx
Замена tg x =t
t
dt
= +
1 2
2
1
2 sin
t
t x
+
=
2 1
1 cos
t
t x
+
−
1
2
t
t tgx
+
=
6 0 I =∫R(tgx)dx
Замена dx
t dt
tgx t
= +
⇔
= 2
1
8; определенные интеграл
1 Если 0 ∃ придел последовательности интеграл суммы S n при махx→0 который независит от способа развидения отрезка [a;b] и выбора точес ξi на частисных [a;b] то его назвают определенный интегралом
f(x) /[a;b] и обазначит f x dx
b
a
∫ ( )
f x f x dx
b
a i n
i
i
→
∆
) ( )
(
lim
0 max
ξ
2 Функции у=f(x) называется интегрируемой на 0 [a;b] Если на этом отрезке ∃ придел последовательности ее интеграл
Теорема y = f (x) непрерывна на [a;b] то оно интегризуемая на [a;b]
∫
∫
∫
=
−
=
a
a
a
b
b
a
dx x f
dx x f dx
x f
0 )
(
) ( )
(
9 Свойства 1-6 определенных интегралов
b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x
[
2 0 ∫ = ∫b
a
b
a
dx x f dx
x
3 0 если ϕ(x) ≤ f(x) ∀x∈ (a;b)
⇔∫ ≤∫b
a
b
a
dx x f dx
(
ϕ
4 если m – наименьшее значение0
M – наибольшее значение на [a;b] то
Trang 5m(b a) f(x)dx M(b a)
b
a
−
≤
≤
5 0 Теорема о среднее
m – наименьшее значение
M – наибольшее значение на [a;b] и непрерывна на [a;b] то ∃ ξ ∈ [a;b]
f(x)dx f( )(b a)
b
a
−
=
Доказать
Функции f (x) неирерывна на [a;b] то она достигает на этого на отрезке свое найменьше т свое найбольше M значения
Из свойства 4 0
Пусть
∫
∫
−
=
≤
−
≤
⇒
b
a
b
a
dx x f a b
M dx x f a b m
) ( 1
) ( 1
µ
m≤ µ ≤M
По теорему промезуточнам значению непрерывна ∃ξ∈ [a;b] такая что f(ξ) =µ
f(x)dx (b a)f(ξ)
b
a
−
=
6 0 ∫ =∫ +∫b
c
c
a
b
a
dx x f dx x f dx x
10 Интеграл с переменным верхним пределом T1(об интеграле переменным верхним пределом)