Khai triển tiệm cận các tích phân kỳ dị (thông tin đưa lên website)

B GIO DC V ĐO TO TRƯNG ĐI HC Đ LT TRẦN GIA LC KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CC TÍCH PHÂN KỲ DỊ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62.46.01.01 TM TẮT LUẬN N TIẾN SĨ TON HC NGƯI HƯỚNG DẪN KHOA HC 1. GS. TSKH. Lê Dũng Tráng 2. TS. Trịnh Đức Tài Đà Lạt - 2014 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Đà Lạt. Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS. Lê Dũng Tráng Người hướng dẫn khoa học 2: TS. Trịnh Đức Tài Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án Tiến sĩ họp tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường Đại học Đà Lạt vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Trung tâm thông tin - thư viện Đại học Đà Lạt - Website http://www.dlu.edu.vn TÓM TẮT Trong phạm vi của luận án này, chúng tôi dành phần lớn cho việc nghiên cứu dáng điệu tích phân kỳ dị dao động có dạng I(λ) =  R n e iλφ(x) f(x)dx và các bài toán liên quan đến nó; trong đó λ là một số dương đủ lớn, φ là hàm trơn có giá trị thực được gọi là hàm pha, f là hàm trơn có giá trị phức gọi là hàm biên độ. Theo Elias M. Stein, có ba vấn đề cơ bản khi xét dáng điệu của I(λ), khi λ → +∞, là địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận. Có nhiều phương pháp và công cụ để khảo sát dáng điệu của tích phân dao động I(λ), trong đó việc sử dụng các tính chất của đa diện Newton của hàm pha φ là một trong những công cụ hữu hiệu. Luận án này gồm có 3 chương. Trong chương một chúng tôi nghiên cứu tổng quan về tích phân kỳ dị dao động. Trước tiên chúng tôi nghiên cứu phương pháp pha dừng, tiếp theo là nghiên cứu tích phân dao động theo ba vấn đề cơ bản của Elias M. Stein và các học trò. Sau cùng chúng tôi nghiên cứu những kết quả gần đây của E.M. Stein, D.H. Phong, J.A. Sturm, B. Malgrange, V.I. Arnold, A.N. Varchenko, M. Greenblatt, I. Parissis, trong trường hợp hàm pha là đa thức, hoặc là hàm giải tích. Đặc biệt chú ý đến các số mũ trong công thức tiệm cận của tích phân dao động, mối liên hệ giữa chúng với các tính chất của đa diện Newton của hàm pha φ. Những kết quả đó cũng là động cơ và là khởi nguồn của những kết quả của chúng tôi. Trong chương hai, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa đa thức Bern- stein và hàm gamma Euler, trong đó làm rõ mối liên hệ giữa nghiệm của đa thức Bernstein và giá trị riêng của ma trận monodromy của một hàm giải tích thông qua các ví dụ, ban đầu đã nhận được hàm gamma suy rộng Γ f từ hàm gamma Euler ứng với f là một đơn thức, và nhận i được nhiều tính chất tương tự như các tính chất của hàm gamma Euler ([Loc11], [LT12]). Trong chương ba, chúng tôi nghiên cứu tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin. Các số mũ trong các công thức tiệm cận mà chúng tôi thu được, được biểu diễn một cách tường minh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức đó ([VL14]). ii MỞ ĐẦU Tổng quan những vấn đề liên quan đến luận án Tích phân dao động đã thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học và các nhà Vật lý từ khi xuất hiện công trình Théorie Analytique de la Chaleur của Joseph Fourier vào năm 1822. Nhiều bài toán Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết số; các bài toán về quang học, âm học, cơ học lượng tử, đều có thể đưa về việc nghiên cứu các tích phân dao động. Mặc dù bài toán này đã có từ lâu, nhưng do phạm vi ứng dụng rộng lớn của nó, nên đến nay vẫn có nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu nó và đã thu được nhiều kết quả quan trọng. Trong khoảng 40 năm gần đây, lý thuyết kỳ dị cũng đã có quan hệ chặt chẽ với việc nghiên cứu các tích phân tiệm cận. Nhiều bài toán nghiên cứu các điểm tới hạn đã chỉ ra các ứng dụng trực tiếp khi nghiên cứu các tính chất của tích phân tiệm cận. Theo [AGZV88], một trong những bài toán cổ điển của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là bài toán xây dựng nghiệm tiệm cận theo một tham số của bài toán Cauchy với các điều kiện ban đầu dao động nhanh. Sử dụng các phương pháp tiệm cận để giải bài toán trên, người ta đã suy ra kết quả sau (xem [Mas72; Mas76; MF81]): Với mọi số tự nhiên N, trong một lân cận của điểm y 0 nào đó, nghiệm của bài toán Cauchy có thể biểu diễn dưới dạng một tổng hữu hạn các tích phân dao động  e iτF (y,x) ϕ  y, x, (iτ) −1  dx và một số dư có cấp o(τ −N ), khi τ → ∞; trong đó F là một hàm nhận giá trị thực, τ là tham số lớn của bài toán, x là tham số thực, hàm ϕ có giá compact theo x và là một đa thức theo (iτ) −1 . Vậy việc tính toán tiệm cận nghiệm của bài toán Cauchy được đưa về việc tính tiệm cận các tích phân dao động. Trong các công trình của J.F. Nye và M.V. Berry ta có thể tìm thấy nhiều ví dụ của các bài toán Vật lý được đưa về nghiên cứu tích phân kỳ dị dao động. Nhìn chung, cho đến năm 1950 người ta mới biết một ít về bài toán đánh giá tích 1 phân kỳ dị dao động, chỉ có một vài kết quả về phương pháp pha dừng trong trường hợp hàm pha có các điểm kỳ dị cô lập không suy biến. Việc nghiên cứu bài toán này đã có sự tiến bộ quan trọng từ khi xuất hiện các công trình của I. Gelfand và các học trò, J. Bernstein và M. Fedoryuk. Các nhà Toán học này đã đưa ra phương pháp nghiên cứu mối liên hệ giữa đơn đạo của hàm pha và khai triển tiệm cận của các tích phân dao động. Từ đó đã đưa đến sự ra đời của đa thức Bernstein nổi tiếng, đa thức này thỏa mãn mối liên hệ P (x, s, ∂ ∂x )f s = b f (s)f s−1 , trong đó P là một toán tử vi phân, f là đa thức, b f (s) cũng là đa thức và được gọi là đa thức Bernstein ứng với f. Sau đó, J.E. Bj¨ork đã mở rộng đa thức Bernstein cho trường hợp f là một mầm hàm giải tích. Năm 1973, B. Malgrange đã thiết lập mối quan hệ giữa đơn đạo và khai triển tiệm cận các tích phân dao động một cách tường minh. Cũng trong thập niên 1970, V.I. Arnold và A.N. Varchenko đã đưa ra các kết quả lý thú về tốc độ tắt dần (the decay rate) của tích phân dao động thông qua giao điểm của lược đồ Newton của hàm pha với đường phân giác của góc tọa độ dương và chỉ số của tất cả các số hạng của khai triển tiệm cận của tích phân dao động đó chỉ phụ thuộc vào lược đồ Newton của hàm pha. Tiếp theo đó, E.M. Stein, Duong Hong Phong, M. Greenblatt dựa trên định lý Varchenko đã đánh giá tích phân dao động và thể tích của tập dưới mức của hàm pha thông qua các yếu tố của lược đồ Newton của hàm pha và họ đã thu được những kết quả quan trọng. Lý do chọn đề tài Bài toán tìm tiệm cận các tích phân kỳ dị cho đến nay vẫn là bài toán mở, hấp dẫn nhiều nhà Toán học. Do số hạng đầu trong công thức khai triển tiệm cận quyết định dáng điệu tiệm cận của tích phân kỳ dị nên việc nghiên cứu các số mũ xuất hiện trong số hạng đầu tiên đó là một việc rất có ý nghĩa. Hàm gamma Euler có một vị trí rất quan trọng trong Toán học, Vật Lý và Kỹ thuật, do đó việc mở rộng hàm gamma là một việc cần thiết được nhiều nhà Toán học quan tâm như E.L. Post [Pos19], E.W. Barnes [Bar99; Bar04], Díaz và Pariguan [DP07], M.Mansour [Man09], Trong luận án này chúng tôi sử dụng đa thức Bernstein-Sato để mở rộng hàm gamma Euler và hy vọng thông qua sự mở rộng đó sẽ tìm được một số tính chất của tích phân kỳ dị. Mặt khác, bài toán tìm tiệm cận số điểm nguyên trong một tập là một trong những bài toán cơ bản của Lý thuyết số. 2 Mục đích, phương pháp và đối tượng nghiên cứu Trong luận án này chúng tôi tập trung giải quyết các bài toán sau: • Nghiên cứu tổng quan dáng điệu tiệm cận của các tích phân kì dị dao động thông qua số hạng đầu tiên trong các công thức tiệm cận tương ứng của chúng và khảo sát các số mũ xuất hiện trong các công thức tiệm cận đó. • Mở rộng hàm gamma Euler và nghiên cứu các tính chất của hàm gamma suy rộng đó. • Tìm công thức tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov- Gindikin. Các số mũ trong các công thức tiệm cận được tính một cách tường minh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức đó. Để giải các bài toán đó, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp sau: • Các phương pháp địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận thường được dùng trong lý thuyết tích phân kỳ dị. • Sử dụng đa diện Newton để khảo sát dáng điệu tiệm cận của tích phân dao động, tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số. • Mở rộng hàm gamma Euler và sử dụng đa thức Bernstein-Sato để nghiên cứu các tính chất của hàm gamma suy rộng. Phương pháp này hoàn toàn khác với các phương pháp mà các nhà Toán học khác đã sử dụng trước đây. • Các phương pháp tính toán trong Giải tích tiệm cận, Hình học đại số, Tôpô đại số, Lý thuyết kỳ dị, Giải tích số và Đại số tuyến tính. Những đóng góp mới của luận án Các kết quả chính của luận án bao gồm: 1. Dựa trên kết quả của B. Malgrange (xem [Mal74a]), chúng tôi đã làm rõ mối liên hệ giữa các nghiệm của đa thức Bernstein-Sato và các giá trị riêng của ma trận đơn đạo của một hàm giải tích thông qua các ví dụ một cách tường minh. 2. Chúng tôi đã mở rộng hàm gamma Euler bởi định nghĩa sau Γ f (s) :=  ∞ 0 f(t) s−1 e −t dt, 3 trong đó f là đa thức một biến không âm. Γ f (s) được gọi là hàm gamma suy rộng hay "hàm gamma ứng với f". Chúng tôi đã thu được một số kết quả bước đầu về phương trình hàm kiểu gamma Γ f (s + 1) = B(s)Γ f (s), trong đó B(s) là đa thức Bernstein-Sato của f, như xây dựng được điều kiện đủ để một đa thức f thỏa phương trình hàm trên. Trong trường hợp f(t) = t k , chúng tôi chứng minh được hàm gamma ứng với t k thỏa mãn phương trình hàm nói trên và có hầu hết các tính chất của hàm gamma Euler. Các tính chất đó đều có sự tham gia của đa thức Bernstein-Sato của t k và cách mở rộng của chúng tôi hoàn toàn tương thích với cách mở rộng của các nhà Toán học trước đây. 3. Từ những kết quả của GS.TSKH. Đinh Dũng về tiệm cận thể tích của đa diện lôgarit trong lý thuyết xấp xỉ, chúng tôi đã mở rộng các kết đó và nhận được tiệm cận thể tích của các tập dưới mức của lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin. Các số mũ phát biểu trong Định lý 3.1 được tính một cách tường minh thông qua đa diện Newton của các ánh xạ đa thức tương ứng và chúng hoàn toàn phù hợp với các kết quả của V.A. Vasilev, E.V. Sinitskaya, A.I. Karol’, M. Greenblatt (xem [Vas77], [Sin04], [Kar09], [Gre10]). 4. Cũng từ kết quả của GS. Đinh Dũng về tiệm cận số điểm nguyên của đa diện lôgarit, chúng tôi đã tìm được công thức tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov- Gindikin theo các yếu tố của đa diện Newton của lớp các ánh xạ đa thức đó. Để nhận được kết quả đó, chúng tôi đã sử dụng đa diện đầy đủ của chính đa diện Newton của ánh xạ đa thức đó và các số mũ nhận được trong công thức tiệm cận của Định lý 3.2 tương tự như trong công thức tiệm cận thể tích của các tập dưới mức. 5. Bên cạnh đó chúng tôi chỉ ra được lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin là một tập con mở của tập các ánh xạ đa thức có cùng một đa diện Newton. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Thông qua luận án này, tác giả đã đưa ra một số kết quả mới có thể được áp dụng trong một số lĩnh vực như Giải tích tiệm cận, Tích phân dao động, Giải tích số, Lý thuyết tối ưu, 4 CÁC HỘI NGHỊ VÀ SEMINAR CÓ BÁO CÁO KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại các Hội nghị và các Seminar sau: • Seminar ngành Toán Giải tích, Khoa Toán - Tin học, Đại học Đà Lạt. • Hội nghị Khoa học Khoa Sau Đại học, Đại học Đà Lạt - 2009. • Hội nghị Khoa học Trường Đại học Tây Nguyên - 12/2009. • International Conference on Topology of singularities and related topics, I, JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Hanoi, Vietnam, March 03/2010. • Hội nghị Tin học và Toán ứng dụng, Đại học Nha Trang 17/6/2011. • Hội nghị toàn quốc về Đại số - Hình học - Tô pô (DAHITO), Đại học Thái Nguyên 3-5/11/2011. • International Conference in Mathematics and Applications (ICMA - MU 2011), Mahidol University, Thailand, December 17-19, 2011. • Seminar nhóm kỳ dị, Viện Toán học. • Seminar nhóm kỳ dị, Viện Toán học cao cấp (VIASM - 2012). • International Conference on Topology of singularities and related topics, III, JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Dalat, Vietnam, March 26-30, 2012. • Hội nghị khoa học, Viện Toán học - 12/2012 (PGS.TSKH. Hà Huy Vui báo cáo). • Đại hội Toán Học Toàn Quốc Lần thứ 8, Nha Trang 10-14/08/2013. • Trường CIMPA và Hội nghị quốc tế Hình học và Tô pô của các đa tạp kỳ dị. Hà Nội, 02 - 14/12/2013 (PGS.TSKH. Hà Huy Vui báo cáo). 5 Chương 1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động 1.1 Mở đầu Tích phân kỳ dị phát triển một cách mạnh mẽ trong khoảng 60 năm gần đây, thông qua các công trình mở đầu của S.G. Mikhlin, A.P. Calderon và A. Zygmund. Nó có vai trò quan trọng trong nghiên cứu nghiên cứu chuỗi Fourier, phương trình đạo hàm riêng và nhiều ngành khác của giải tích. Một ví dụ cổ điển của tích phân kỳ dị là phép biến đổi Hilbert Hf(x) = 1 π  +∞ −∞ f(t) x − t dt , −∞ < x < +∞ , trong đó f ∈ L 2 (R). Biểu thức dưới dấu tích phân có kỳ dị tại t = x. Tuy nhiên, ta có thể xét tích phân trên theo nghĩa giá trị chính (principal value - pv.). Hf(x) = pv. 1 π  +∞ −∞ f(t) x − t dt = lim →0 + 1 π  |x−t|> f(t) x − t dt. Ta có hai bài toán sau (i) Sự tồn tại của H(f). (ii) Mối quan hệ giữa f và H(f), tức là những tính chất nào của f được giữ lại bởi H(f). Ở đây ta có thể viết Hf(x) = pv.  R K(x, t)f(t)dt, trong đó K(x, t) = 1 π . 1 x − t , gọi là hạt nhân của phép biến đổi Hilbert, thỏa mãn 6 [...]... tôi trình bày tóm tắt các kết quả của một số nhà Toán học về các đánh giá, các khai triển tiệm cận của các tích phân dao động loại I Do lĩnh vực này rất rộng, nên chúng tôi chỉ đề cập đến một số kết quả liên quan đến nghiên cứu của mình 7 Chương 1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động 1.2 Tích phân dao động trong trường hợp một chiều Xét tích phân dao động sau b eiλφ(x) f (x)dx , I(λ) = (1.1) a trong... của tập số thực Vậy nếu biết chuỗi tiệm cận của hàm Gelfand-Leray ta có thể xác định chuỗi tiệm cận của tích phân dao động và ngược lại tiệm cận của tích phân dao động cho ta thông tin về tiệm cận của hàm Gelfand-Leray 1.5.2 Thể tích của tập dưới mức Giả sử hàm pha φ có một cực tiểu cô lập và giá trị cực tiểu của hàm pha bằng không Giả sử rằng f ≡ 1 trong một lân cận của điểm cực tiểu Ta kí hiệu J... điệu tiệm cận của Card Z f (r), trong đó f là một ánh xạ đơn 27 Chương 3 Tiệm cận số điểm nguyên và tiệm cận thể tích của các tâp nửa đại số thức, đã được tính và ứng dụng trong lý thuyết xấp xỉ Đối với tập Gf (r), các bài toán sau được đặt ra một cách tự nhiên (i) Khi nào thì các đại lượng Gf (r) và Card Z f (r) hữu hạn (ii) Nếu chúng hữu hạn thì các số mũ xuất hiện trong các công thức tiệm cận của... hàm biên độ có giá trong lân cận đó và trong lân cận này hệ số ak,β của chuỗi tiệm cận (1.6) khác không Định nghĩa 1.2 Chỉ số kỳ dị của một hàm pha giải tích n biến tại một điểm tới n hạn là chỉ số dao động tại điểm tới hạn này cộng thêm Số bội của chỉ số kỳ dị là 2 số bội của chỉ số dao động Nhận xét 1.2 Chỉ số kỳ dị và số bội của hàm pha giải tích bằng không tại điểm kỳ dị không suy biến của nó 1.4.2... thường gặp các tích phân dạng eiλφ(x) f (x)dx , I(λ) = Rn còn gọi là tích phân dao động loại I hay tích phân dao động, và eiλϕ(x,t) ψ(x, t)f (t)dt , Tλ (f )(x) = Rn còn gọi là tích phân dao động loại II Đối với tích phân dao động loại I, bài toán được nhiều nhà toán học quan tâm là đánh giá I(λ) và khảo sát dáng điệu tiệm cận của nó khi tham số λ → ∞ Trong chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt các kết... trong một lân cận đủ bé của điểm x0 Trong đó α chạy khắp một tập hữu hạn các cấp số cộng không phụ thuộc vào f và các cấp số cộng này được lập bởi các số hữu tỉ âm Các hệ số ak,α là các hàm suy rộng của hàm biên độ 11 Chương 1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động 1.4.1 Chỉ số dao động và chỉ số kỳ dị Định nghĩa 1.1 • Tập chỉ số của một hàm pha giải tích tại một điểm tới hạn là tập tất cả các số α có... tiểu cô lập và giá trị cực tiểu bằng không Khi đó ta có, hàm thể tích V (t) của tập mức dưới được khai triển thành chuỗi tiệm cận n−1 ak,α tα (ln t)k α khi t → 0+ k=0 Ở đây α chạy khắp một số hữu hạn các cấp số cộng gồm các số hữu tỉ dương 15 Chương 1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động 1.5.3 Tích phân kiểu Laplace Gọi D0 = (d, , d) ∈ Rn là điểm giao của Γ+ (φ) và đường thẳng ∆(t), p là số bậc... là thể tích của tập Gf (r) và Card Z f (r) là số phần tử của tập Z f (r) hay số điểm nguyên của tập Gf (r) Trong chương này chúng tôi quan tâm đến việc tính toán một cách tường minh các số mũ xuất hiện trong các công thức tiệm cận của |Gf (r)| và Card Z f (r), khi r → ∞ Dáng điệu tiệm cận của thể tích của tập hợp {x ∈ U : |f (x)| < r}, khi r → 0, trong đó U là một lân cận đủ nhỏ của một điểm kỳ dị, liên... ta cũng có thể nói rằng giữa các đánh giá thể tích tập dưới mức và các đánh giá tích phân dao động trong trường hợp nhiều chiều có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Trường hợp hàm pha φ có một kỳ dị không suy biến tại điểm x0 , ta nhận được công thức tiệm cận sau Định lý 1.4 ([Ste93]) Giả sử φ(x0 ) = 0 và φ có một điểm kỳ dị không suy biến tại x0 Nếu f có giá trong một lân cận đủ nhỏ của x0 , thì ∞ iλφ(x)... kiện Mikhailov-Gindikin , Theo thứ tự từ điển trên tập hợp các đơn thức, ta có thể đồng nhất MΓ với một không gian hữu hạn chiều trên R Khi đó NΓ và DΓ là các tập hợp con của không gian này 31 Chương 3 Tiệm cận số điểm nguyên và tiệm cận thể tích của các tâp nửa đại số Định lý 3.3 Với các giả thiết trên, DΓ là tập mở trong NΓ 3.3 Các ví dụ Chúng tôi kết thúc chương này bằng một số ví dụ minh họa các . tiệm cận các tích phân kỳ dị cho đến nay vẫn là bài toán mở, hấp dẫn nhiều nhà Toán học. Do số hạng đầu trong công thức khai triển tiệm cận quyết định dáng điệu tiệm cận của tích phân kỳ dị nên. và Tô pô của các đa tạp kỳ dị. Hà Nội, 02 - 14/12/2013 (PGS.TSKH. Hà Huy Vui báo cáo). 5 Chương 1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động 1.1 Mở đầu Tích phân kỳ dị phát triển một cách mạnh mẽ. cứu tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin. Các số mũ trong các công thức tiệm cận