Khai triển tiệm cận các tích phân kỳ dị (toàn văn + tóm tắt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT TRẦN GIA LỘC KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CÁC TÍCH PHÂN KỲ DỊ LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH TOÁN HỌC Đà Lạt – 2014 B GIO DC V ĐO TO TRƯNG ĐI HC Đ LT TRẦN GIA LC KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CC TÍCH PHÂN KỲ DỊ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62.46.01.01 TM TẮT LUẬN N TIẾN SĨ TON HC NGƯI HƯỚNG DẪN KHOA HC 1. GS. TSKH. Lê Dũng Tráng 2. TS. Trịnh Đức Tài Đà Lạt - 2014 LỜI CAM ĐOAN Luận án này được viết bởi chính tôi, các kết quả liên quan đến luận án là của tôi hoặc của tôi làm việc chung với GS.TSKH. Lê Dũng Tráng, PGS.TSKH. Hà Huy Vui, TS. Trịnh Đức Tài. Các kết quả khác được sử dụng để viết luận án đều được trích dẫn đầy đủ. Các kết quả của tôi hoặc của tôi làm việc chung với các nhà toán học trên là mới và chưa công bố trong bất kỳ công trình của ai khác. PGS.TSKH. Hà Huy Vui, TS. Trịnh Đức Tài đã đồng ý cho tôi sử dụng các kết quả nghiên cứu chung của tôi với họ để viết luận án này. Luận án này được viết và hoàn thành tại Viện Toán học và Trường Đại học Đà Lạt, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê Dũng Tráng, PGS.TSKH. Hà Huy Vui và TS. Trịnh Đức Tài; đã được ba nhà Toán học trên đọc, góp ý và sửa chữa. Đà Lạt, ngày 01 tháng 08 năm 2014 Trần Gia Lộc i LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi bày tỏ lòng biết ơn cố PGS.TSKH. Nguyễn Hữu Đức, người đã dạy và hướng dẫn tôi làm luận văn Thạc sĩ, đã dẫn dắt tôi đến với lý thuyết kỳ dị, đã khuyến khích động viên tôi tiếp tục làm nghiên cứu sinh và dành cho tôi sự quan tâm sâu sắc. Đặc biệt, ông đã giới thiệu tôi theo học và làm việc với GS.TSKH. Lê Dũng Tráng để hoàn thành luận án này. Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê Dũng Tráng. Thầy đã đặt ra các bài toán một cách tường minh giúp tôi nhanh chóng định hướng nghiên cứu của mình. Dù bận rộn với công việc và gặp vấn đề về sức khỏe, nhưng Thầy vẫn kiên trì theo dõi và động viên tôi làm việc, đã dành cho tôi một sự quan tâm đặc biệt, đã đề xuất các hướng nghiên cứu và đưa ra các câu hỏi xác đáng, giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận án. Qua kiến thức uyên bác và sự hướng dẫn của Thầy, tôi đã biết và hiểu rõ giá trị của một số lĩnh vực Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến Thầy. Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Trịnh Đức Tài đã dành cho tôi những buổi seminar và những lần trao đổi bổ ích, giúp tôi vượt qua sự bỡ ngỡ ban đầu để giải quyết bài toán của GS. Lê Dũng Tráng đặt ra cho tôi, đã đọc và có những ý kiến xác đáng giúp tôi chỉnh sửa luận án này. Luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ và hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH. Hà Huy Vui. Từ cuối năm 2008, thầy đã quan tâm động viên, khuyến khích và nhẫn nại dành thời gian dạy và hướng dẫn tôi vượt qua những khó khăn ban đầu để đọc các công trình của B. Malgrange liên quan đến các bài toán mà GS. Lê Dũng Tráng đặt ra cho tôi. Đặc biệt từ năm 2011, Thầy đã đặt ra bài toán tìm tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của một tập nửa đại số cho tôi, kiên trì hướng dẫn tôi giải quyết bài toán đó để hoàn thành luận án này. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến Thầy. Tôi trân trọng cảm ơn PGS.TS. Tạ Lê Lợi, PGS.TS. Phạm Tiến Sơn, TS. Đỗ Nguyên Sơn và nhóm seminar lý thuyết kì dị của Khoa Toán - Đại học Đà Lạt đã dành cho tôi những buổi seminar bổ ích, sẵn sàng chia sẽ kiến thức, đã quan tâm ii hỗ trợ vật chất và tinh thần cho tôi trong quá trình nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Đà Lạt, Phòng Đào Tạo Đại học và Sau Đại học, Phòng NCKH-HTQT, Khoa Sau Đại học, Khoa Toán Tin học của trường Đại học Đà Lạt; Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm Đà Lạt đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại học Đà Lạt. Tôi trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Phòng Hình học và Tôpô, nhóm seminar kỳ dị của Viện Toán học đã hỗ trợ vật chất và điều kiện làm việc thuận lợi cho tôi trong những lần tôi đến Viện Toán học để học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH. Hà Huy Vui. Tất nhiên luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự hậu thuẫn, cảm thông, chia sẽ và động viên của gia đình tôi trong suốt thời gian tôi làm nghiên cứu sinh. Lời cảm ơn cuối cùng này tôi xin dành cho gia đình thân yêu của tôi. Đà Lạt, 09 tháng 08 năm 2014 Trần Gia Lộc iii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Danh sách hình vẽ vii Danh sách các ký hiệu viii Tóm tắt xii Mở đầu 1 Các Hội nghị và Seminar có báo cáo kết quả của luận án 5 Các công trình của tác giả liện quan đến luận án 6 1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động 7 1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Phương pháp pha dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Trường hợp hàm pha không có điểm kỳ dị trong supp(f) . . . 10 1.2.2 Trường hợp hàm pha có kỳ dị không suy biến . . . . . . . . . 11 1.3 Tích phân dao động trong trường hợp một chiều . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Đánh giá tích phân dao động một chiều . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Tích phân dao động trong trường hợp nhiều chiều . . . . . . . . . . . 18 1.5 Trường hợp hàm pha là đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Đa diện Newton và tích phân dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.1 Chỉ số dao động và chỉ số kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.2 Đa diện Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.3 Đa diện Newton và đánh giá tích phân dao động . . . . . . . . 28 1.7 Tích phân dao động phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iv MỤC LỤC 1.8 Tiệm cận thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8.1 Dạng Gelfand-Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8.2 Thể tích của tập dưới mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8.3 Tích phân kiểu Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Đa thức Bernstein-Sato và hàm gamma suy rộng 33 2.1 Đơn đạo của một kì dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Đa thức Bernstein-Sato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Đa thức Bernstein-Sato và thác triển giải tích của hàm f s . . . . . . 40 2.4 Hàm gamma suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.1 Khảo sát giả thuyết 2.4.1 bằng cách sử dụng tính chất của hàm gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.2 Một điều kiện đủ cho phương trình hàm (2.3) . . . . . . . . . 45 2.5 Hàm gamma ứng với f(t) = t k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.1 Tính chất của Γ t k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.2 Khai triển tiệm cận của Γ t k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.3 Quan hệ giữa Γ t k và Γ k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.6 Hàm zeta và hàm beta suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6.1 Hàm f−beta và hàm f−zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6.2 Các hàm t k − beta và t k − zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.7 Phương trình hàm của Γ f với f là đa thức bậc hai . . . . . . . . . . 56 3 Tiệm cận số điểm nguyên và tiệm cận thể tích của các tập nửa đại số 58 3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Phát biểu các kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Các chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.1 Chứng minh Định lý 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3.2 Chứng minh Định lý 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.3 Chứng minh Định lý 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 KẾT LUẬN 85 A Các khái niệm cơ bản 87 A.1 Không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.2 Không gian L ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 A.3 Các ký hiệu ∼ ,  , o , và O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 v MỤC LỤC A.4 Tập nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 A.5 Đa thức monic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 B Mở đầu về đồng điều đơn hình và đồng điều kỳ dị 90 B.1 Nhóm đồng điều đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 B.1.1 Đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 B.1.2 Phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 B.1.3 Hướng của phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 B.1.4 Nhóm các dây chuyền p chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 B.1.5 Các số Betti và đặc trưng Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 B.2 Đồng điều kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 B.2.1 Quan hệ giữa đồng điều đơn hình và đồng điều kì dị . . . . . . 98 Các thuật ngữ 99 Tài liệu tham khảo 101 vi Danh sách hình vẽ 1.1 Đa diện Newton của K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2 (a) Đa diện Newton của φ, (b) Lược đồ Newton của φ . . . . . 27 2.1 Phân thớ Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1 (a) - đa diện Newton của f (b) - đa diện Newton của f tại vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 (a) - đa diện Newton của g (b) - đa diện Newton của g tại vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 B.1 Các đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 B.2 Các phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 B.3 Không là phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 B.4 Tam giác phân của băng M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 B.5 Đơn hình 2 chiều định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 B.6 Đơn hình 3 chiều định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 B.7 Các đơn hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 B.8 Các đơn hình kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 vii Danh sách các ký hiệu Các chuẩn và không gian  .  L p chuẩn L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87  f  L p   R d | f(x) | p dx  1 p - chuẩn L p của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87  .  L ∞ chuẩn L ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88  f  L ∞ chuẩn L ∞ của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88  f  C N (Ω) max x∈Ω  |α|≤N | D α f(x) | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10  P   0<|α|≤d | a α |, chuẩn của đa thức P(x) =  0≤|α|≤d a α x α . . . . . . . . . . . . . .22 L p (X, F, µ) ký hiệu tắt L p (X), hoặc L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 L 1 (X, F, µ) không gian tất cả các hàm khả tích trên X . . . . . . . . . . . . 87 L ∞ (X, F, µ) còn ký hiệu tắt là L ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 C ∞ (Ω, R) Không gian các hàm nhận giá trị thực, khả vi vô hạn trên Ω. . . . .10 C ∞ 0 (Ω) Không gian các hàm trơn có giá compact trong Ω. . . . . . . . . . . . . . . . .9 C ∞ (Ω) Không gian các khả vi vô hạn trong Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 O X bó các hàm giải tích trên X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Các tích phân và phép biến đổi tích phân F(f)  +∞ −∞ e ixξ f(x)dx, phép biến đổi Fourier của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 Hf(x) 1 π  +∞ −∞ f(t) x−t dt, −∞ < x < +∞, phép biến đổi Hilbert của f 7 L{f(t); α}  ∞ 0 e −αt f(t)dt, Re(α) > 0 - phép biến đổi Laplace của f 47  f s + , ϕ   R n ϕ(x)f s + dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40  R n e iλφ(x) f(x)dx tích phân dao động loại I . . . . . . . . . . . . 8 viii [...]... kỳ dị có quan hệ chặt chẽ với việc khảo sát tích phân dao động Nguyên do là nhiều bài toán của lý thuyết kỳ dị phát sinh từ việc tìm hiểu bản chất của dáng điệu của các tích phân, mặt khác nhiều nghiên cứu các điểm kỳ dị đã tìm thấy ứng dụng trực tiếp vào khai triển tiệm cận của tích phân dao động 8 Chương 1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động Đối với tích phân dao động loại I, bài toán được nhiều... thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức đó Để giải các bài toán đó, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp sau: • Các phương pháp địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận thường được dùng trong lý thuyết tích phân kỳ dị • Sử dụng đa diện Newton để khảo sát dáng điệu tiệm cận của tích phân dao động, tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số • Mở rộng hàm gamma Euler... chúng và khảo sát các số mũ xuất hiện trong các công thức tiệm cận đó • Mở rộng hàm gamma Euler và nghiên cứu các tính chất của hàm gamma suy rộng đó • Tìm công thức tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện MikhailovGindikin Các số mũ trong các công thức tiệm cận được tính một cách tường minh thông qua các yếu tố của... đưa về việc tính tiệm cận các tích phân dao động Trong các công trình của J.F Nye và M.V Berry ta có thể tìm thấy nhiều ví dụ của các bài toán Vật lý được đưa về nghiên cứu tích phân kỳ dị dao động Nhìn chung, cho đến năm 1950 người ta mới biết một ít về bài toán đánh giá tích 1 phân kỳ dị dao động, chỉ có một vài kết quả về phương pháp pha dừng trong trường hợp hàm pha có các điểm kỳ dị cô lập không... quan về tích phân kỳ dị dao động 1.1 Mở đầu Tích phân kỳ dị phát triển một cách mạnh mẽ trong khoảng 60 năm gần đây, thông qua các công trình mở đầu của S.G Mikhlin, A.P Calderon và A Zygmund Nó có vai trò quan trọng trong nghiên cứu nghiên cứu chuỗi Fourier, phương trình đạo hàm riêng và nhiều ngành khác của giải tích Một ví dụ cổ điển của tích phân kỳ dị là phép biến đổi Hilbert Hf (x) = 1 π + −∞... của khai triển tiệm cận của tích phân dao động đó chỉ phụ thuộc vào lược đồ Newton của hàm pha Tiếp theo đó, E.M Stein, Duong Hong Phong, M Greenblatt dựa trên định lý Varchenko đã đánh giá tích phân dao động và thể tích của tập dưới mức của hàm pha thông qua các yếu tố của lược đồ Newton của hàm pha và họ đã thu được những kết quả quan trọng Lý do chọn đề tài Bài toán tìm tiệm cận các tích phân kỳ dị. .. số tính chất của tích phân kỳ dị Mặt khác, bài toán tìm tiệm cận số điểm nguyên trong một tập là một trong những bài toán cơ bản của Lý thuyết số 2 Mục đích, phương pháp và đối tượng nghiên cứu Trong luận án này chúng tôi tập trung giải quyết các bài toán sau: • Nghiên cứu tổng quan dáng điệu tiệm cận của các tích phân kì dị dao động thông qua số hạng đầu tiên trong các công thức tiệm cận tương ứng của... lớp này ta thường gặp các tích phân dạng eiλφ(x) f (x)dx , I(λ) = Rn còn gọi là tích phân dao động loại I hay tích phân dao động, và eiλϕ(x,t) ψ(x, t)f (t)dt , Tλ (f )(x) = Rn còn gọi là tích phân dao động loại II (ii) Hạt nhân kỳ dị dạng logarit K(x, t) = log |t − x| (iii) Hạt nhân kỳ dị dạng đại số K(x, t) = |t − x|α , với α > −1 Trong khoảng vài thập niên gần đây, lý thuyết kỳ dị có quan hệ chặt chẽ... với cách mở rộng của các nhà Toán học trước đây 3 Từ những kết quả của GS.TSKH Đinh Dũng về tiệm cận thể tích của đa diện lôgarit trong lý thuyết xấp xỉ, chúng tôi đã mở rộng các kết đó và nhận được tiệm cận thể tích của các tập dưới mức của lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin Các số mũ phát biểu trong Định lý 3.2.1 được tính một cách tường minh thông qua đa diện Newton của các. .. đánh giá I(λ) và khảo sát dáng điệu tiệm cận của nó khi tham số λ → ∞ Trong chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt các kết quả của một số nhà Toán học về các đánh giá, các khai triển tiệm cận của các tích phân dao động loại I Do lĩnh vực này rất rộng, nên chúng tôi chỉ đề cập đến một số kết quả liên quan đến nghiên cứu của mình 1.2 Phương pháp pha dừng Xét tích phân eiλφ(x) f (x)dx, I(λ) = (1.1) Ω . tiệm cận các tích phân kỳ dị cho đến nay vẫn là bài toán mở, hấp dẫn nhiều nhà Toán học. Do số hạng đầu trong công thức khai triển tiệm cận quyết định dáng điệu tiệm cận của tích phân kỳ dị nên. cứu tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin. Các số mũ trong các công thức tiệm cận. thuyết kỳ dị cũng đã có quan hệ chặt chẽ với việc nghiên cứu các tích phân tiệm cận. Nhiều bài toán nghiên cứu các điểm tới hạn đã chỉ ra các ứng dụng trực tiếp khi nghiên cứu các tính chất của tích