Khai triển tiệm cận các tích phân kỳ dị (toàn văn + tóm tắt)

Đặc biệt từ năm 2011, Thầy đã đặt ra bàitoán tìm tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của một tập nửa đại số chotôi, kiên trì hướng dẫn tôi giải quyết bài toán đó để hoàn thành l

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

Luận án này được viết bởi chính tôi, các kết quả liên quan đến luận án

là của tôi hoặc của tôi làm việc chung với GS.TSKH Lê Dũng Tráng,PGS.TSKH Hà Huy Vui, TS Trịnh Đức Tài Các kết quả khác được sửdụng để viết luận án đều được trích dẫn đầy đủ

Các kết quả của tôi hoặc của tôi làm việc chung với các nhà toán học trên

là mới và chưa công bố trong bất kỳ công trình của ai khác PGS.TSKH

Hà Huy Vui, TS Trịnh Đức Tài đã đồng ý cho tôi sử dụng các kết quảnghiên cứu chung của tôi với họ để viết luận án này

Luận án này được viết và hoàn thành tại Viện Toán học và Trường Đạihọc Đà Lạt, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Lê Dũng Tráng,PGS.TSKH Hà Huy Vui và TS Trịnh Đức Tài; đã được ba nhà Toánhọc trên đọc, góp ý và sửa chữa

Đà Lạt, ngày 01 tháng 08 năm 2014

Trần Gia Lộc

Trước tiên tôi bày tỏ lòng biết ơn cố PGS.TSKH Nguyễn Hữu Đức, người đãdạy và hướng dẫn tôi làm luận văn Thạc sĩ, đã dẫn dắt tôi đến với lý thuyết kỳ dị,

đã khuyến khích động viên tôi tiếp tục làm nghiên cứu sinh và dành cho tôi sự quantâm sâu sắc Đặc biệt, ông đã giới thiệu tôi theo học và làm việc với GS.TSKH LêDũng Tráng để hoàn thành luận án này

Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH LêDũng Tráng Thầy đã đặt ra các bài toán một cách tường minh giúp tôi nhanhchóng định hướng nghiên cứu của mình Dù bận rộn với công việc và gặp vấn đề vềsức khỏe, nhưng Thầy vẫn kiên trì theo dõi và động viên tôi làm việc, đã dành chotôi một sự quan tâm đặc biệt, đã đề xuất các hướng nghiên cứu và đưa ra các câuhỏi xác đáng, giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận án Quakiến thức uyên bác và sự hướng dẫn của Thầy, tôi đã biết và hiểu rõ giá trị của một

số lĩnh vực Toán học Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến Thầy

Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Trịnh Đức Tài đã dành cho tôi những buổi seminar

và những lần trao đổi bổ ích, giúp tôi vượt qua sự bỡ ngỡ ban đầu để giải quyết bàitoán của GS Lê Dũng Tráng đặt ra cho tôi, đã đọc và có những ý kiến xác đánggiúp tôi chỉnh sửa luận án này

Luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ và hướng dẫn khoahọc của PGS.TSKH Hà Huy Vui Từ cuối năm 2008, thầy đã quan tâm động viên,khuyến khích và nhẫn nại dành thời gian dạy và hướng dẫn tôi vượt qua những khókhăn ban đầu để đọc các công trình của B Malgrange liên quan đến các bài toán

mà GS Lê Dũng Tráng đặt ra cho tôi Đặc biệt từ năm 2011, Thầy đã đặt ra bàitoán tìm tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của một tập nửa đại số chotôi, kiên trì hướng dẫn tôi giải quyết bài toán đó để hoàn thành luận án này Tôixin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến Thầy

Tôi trân trọng cảm ơn PGS.TS Tạ Lê Lợi, PGS.TS Phạm Tiến Sơn, TS ĐỗNguyên Sơn và nhóm seminar lý thuyết kì dị của Khoa Toán - Đại học Đà Lạt đãdành cho tôi những buổi seminar bổ ích, sẵn sàng chia sẽ kiến thức, đã quan tâm

Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Đà Lạt, Phòng Đào Tạo Đại học

và Sau Đại học, Phòng NCKH-HTQT, Khoa Sau Đại học, Khoa Toán Tin học củatrường Đại học Đà Lạt; Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm Đà Lạt đã tạođiều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình làm nghiên cứu sinh tại Trường Đạihọc Đà Lạt

Tôi trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Phòng Hình học và Tôpô, nhóm seminar

kỳ dị của Viện Toán học đã hỗ trợ vật chất và điều kiện làm việc thuận lợi cho tôitrong những lần tôi đến Viện Toán học để học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫncủa PGS TSKH Hà Huy Vui

Tất nhiên luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự hậu thuẫn, cảmthông, chia sẽ và động viên của gia đình tôi trong suốt thời gian tôi làm nghiên cứusinh Lời cảm ơn cuối cùng này tôi xin dành cho gia đình thân yêu của tôi

Đà Lạt, 09 tháng 08 năm 2014

Trần Gia Lộc

LỜI CAM ĐOAN i

Danh sách hình vẽ vii

Danh sách các ký hiệu viii

Các Hội nghị và Seminar có báo cáo kết quả của luận án 5

Các công trình của tác giả liện quan đến luận án 6

1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động 7

1.1 Mở đầu 7

1.2 Phương pháp pha dừng 9

1.2.1 Trường hợp hàm pha không có điểm kỳ dị trong supp(f ) 10

1.2.2 Trường hợp hàm pha có kỳ dị không suy biến 11

1.3 Tích phân dao động trong trường hợp một chiều 13

1.3.1 Địa phương hóa 13

1.3.2 Đánh giá tích phân dao động một chiều 14

1.3.3 Tiệm cận 17

1.4 Tích phân dao động trong trường hợp nhiều chiều 18

1.5 Trường hợp hàm pha là đa thức 21

1.6 Đa diện Newton và tích phân dao động 24

1.6.1 Chỉ số dao động và chỉ số kỳ dị 25

1.6.2 Đa diện Newton 26

1.6.3 Đa diện Newton và đánh giá tích phân dao động 28

1.7 Tích phân dao động phụ thuộc tham số 29

1.8 Tiệm cận thể tích 30

1.8.1 Dạng Gelfand-Leray 30

1.8.2 Thể tích của tập dưới mức 31

1.8.3 Tích phân kiểu Laplace 31

2 Đa thức Bernstein-Sato và hàm gamma suy rộng 33 2.1 Đơn đạo của một kì dị cô lập 33

2.2 Đa thức Bernstein-Sato 35

2.3 Đa thức Bernstein-Sato và thác triển giải tích của hàm fs 40

2.4 Hàm gamma suy rộng 42

2.4.1 Khảo sát giả thuyết 2.4.1 bằng cách sử dụng tính chất của hàm gamma 44

2.4.2 Một điều kiện đủ cho phương trình hàm (2.3) 45

2.5 Hàm gamma ứng với f (t) = tk 46

2.5.1 Tính chất của Γtk 47

2.5.2 Khai triển tiệm cận của Γtk 50

2.5.3 Quan hệ giữa Γtk và Γk 51

2.6 Hàm zeta và hàm beta suy rộng 53

2.6.1 Hàm f −beta và hàm f −zeta 54

2.6.2 Các hàm tk− beta và tk− zeta 55

2.7 Phương trình hàm của Γf với f là đa thức bậc hai 56

3 Tiệm cận số điểm nguyên và tiệm cận thể tích của các tập nửa đại số 58 3.1 Mở đầu 58

3.2 Phát biểu các kết quả 60

3.3 Các chứng minh 64

3.3.1 Chứng minh Định lý 3.2.1 66

3.3.2 Chứng minh Định lý 3.2.2 73

3.3.3 Chứng minh Định lý 3.2.3 76

3.4 Các ví dụ 79

KẾT LUẬN 85 A Các khái niệm cơ bản 87 A.1 Không gian Lp 87

A.2 Không gian L∞ 88

A.3 Các ký hiệu ∼ ,  , o , và O 88

A.4 Tập nửa đại số 88

A.5 Đa thức monic 89

B Mở đầu về đồng điều đơn hình và đồng điều kỳ dị 90 B.1 Nhóm đồng điều đơn hình 90

B.1.1 Đơn hình 90

B.1.2 Phức đơn hình 91

B.1.3 Hướng của phức đơn hình 92

B.1.4 Nhóm các dây chuyền p chiều 93

B.1.5 Các số Betti và đặc trưng Euler 96

B.2 Đồng điều kì dị 96

B.2.1 Quan hệ giữa đồng điều đơn hình và đồng điều kì dị 98

Tài liệu tham khảo 101

1.1 Đa diện Newton của K 26

1.2 (a) Đa diện Newton của φ, (b) Lược đồ Newton của φ 27

2.1 Phân thớ Milnor 34

3.1 (a) - đa diện Newton của f (b) - đa diện Newton của f tại vô cùng 60

3.2 (a) - đa diện Newton của g (b) - đa diện Newton của g tại vô cùng 61

B.1 Các đơn hình 91

B.2 Các phức đơn hình 91

B.3 Không là phức đơn hình 91

B.4 Tam giác phân của băng M¨obius 92

B.5 Đơn hình 2 chiều định hướng 93

B.6 Đơn hình 3 chiều định hướng 94

B.7 Các đơn hình chuẩn 97

B.8 Các đơn hình kỳ dị 97

Các chuẩn và không gian

k kLp chuẩn Lp .87

k f kLp R Rd | f (x) |p dx
1 p - chuẩn Lp của f 87

k kL∞ chuẩn L∞ .88

k f kL ∞ chuẩn L∞ của f 88

k f kCN (Ω) max x∈Ω P |α|≤N | Dαf (x) | 10

k P k P 0<|α|≤d | aα |, chuẩn của đa thức P (x) = P 0≤|α|≤d aαxα .22

Lp(X,F, µ) ký hiệu tắt Lp(X), hoặc Lp .87

L1(X,F, µ) không gian tất cả các hàm khả tích trên X 87

L∞(X,F, µ) còn ký hiệu tắt là L∞ .88

C∞(Ω, R) Không gian các hàm nhận giá trị thực, khả vi vô hạn trên Ω 10

C0∞(Ω) Không gian các hàm trơn có giá compact trong Ω 9

C∞(Ω) Không gian các khả vi vô hạn trong Ω 9

OX bó các hàm giải tích trên X 34

Các tích phân và phép biến đổi tích phân F(f) R+∞ −∞ eixξf (x)dx, phép biến đổi Fourier của f 30

Hf(x) 1 π R+∞ −∞ f (t) x−tdt, −∞ < x < +∞, phép biến đổi Hilbert của f 7

L{f(t); α} R∞ 0 e−αtf (t)dt, Re(α) > 0 - phép biến đổi Laplace của f 47

s +, ϕ R Rnϕ(x)f+sdx 40

R Rneiλφ(x)f (x)dx tích phân dao động loại I 8

Các số và hằng số đặc biệt

γ = limn→∞ 1 + 12 + · · · + 1n− log n
, hằng số Euler 49

µ = dimCOX,0/∂x∂f 1, , ∂x∂f n  , số Milnor của f tại điểm kỳ dị 0 34

Các hàm đặc biệt và các hàm suy rộng Γ(s) =R0+∞e−tts−1dt, hàm gamma Euler 42

Γf(s) =R0∞f (t)s−1e−tdt - hàm gamma ứng với f 42

Γtk(s) =R0∞tk(s−1)e−tdt , Re(s) > 1 − 1k 47

Γk(s) =R0∞ts−1e−tkkdt, hàm k-gamma 51

B(p, q) =R01tp−1(1 − t)q−1dt, Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm beta 54

Bf(p, q) = Γf(p)Γf(q) Γf(p + q) , Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm f -beta 54

Btk(p, q) = Γtk(p)Γtk(q) Γtk(p + q) , Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm t k− beta 55

ζ(s) =P∞ n=1 1 ns, Re(s) > 1, hàm zeta Riemann 53

ζH(s, a) = P∞ n=0 1 (n + a)s, Re(s) > 1, a 6= 0, −1, −2, , hàm zeta Hurwitz 54 ζf(s) = 1 Γf(s) R∞ 0 fs−1(1 − e−t)−1e−tdt, Re(s) > 1, hàm f -zeta 54

ζtk(s) = 1 Γtk(s) R∞ 0 tk(s−1)(1 − e−t)−1e−tdt, Re(s) > 1, hàm tk− zeta 55

Các ký hiệu khác bf(s) hoặc b(s), đa thức Bernstein-Sato của f 36

K(x, t) hạt nhân Calderon-Zygmund 8

coneΓ(f ) nón sinh bởi Γ(f ) 62

∆+(d) = {(d1, , dn) ∈ Rn+: d1 = = dn} 62

Eα {x ∈ [a, b] :| φ(x) |≤ α}, tập dưới mức của φ trên [a, b] 15

Gf(r) = {x ∈ Rn: | fi(x) |≤ r, i = 1, , m}, tập dưới mức của ánh xạ đa

thức f = (f1, , fm) : Rn−→ Rm .58

| Gf(r) | hoặc V olume Gf(r), thể tích của tập Gf(r) 58

D∞Γ(f ) điểm xa nhất, tính từ gốc tọa độ, trong các giao điểm của Γ(f ) với đường chéo ∆+(d) 62

Hp(Xt, C) nhóm đồng điều thứ p của thớ Xt .34

J (t) Rφ=tf dx1∧ ∧ dxn/dφ, hàm Gelfand-Leray 30

 ∂2φ ∂xi∂xj  (x0) ma trận Hessian của φ tại x0 .11

Λ∞ mặt có số chiều nhỏ nhất của Γ(f ) cắt ∆+(d) tại D∞Γ(f ) 62

H ma trận của đơn đạo của f đối với một cơ sở 35

Γ+(K) đa diện Newton của tập K ⊂ Nk 27

Γ+(K) lược đồ Newton của tập K ⊂ Nk 27

Γ(f ) = conv m ∪ i=1supp(fi)  , đa diện Newton của ánh xạ đa thức f = (f1, , fm) : Rn−→ Rm 60

Γ∞(f ) = conv∪m i=1supp(fi)∪ {0}, đa diện Newton của ánh xạ đa thức f = (f1, , fm) : Rn−→ Rm tại vô cùng 60

e Γ(f ) đa diện đầy đủ 63

o Rn {(x1, , xn) ∈ Rn: xj 6= 0, j = 1, , n} 63

∇φ(x0)  ∂φ ∂x1(x0), ,

∂φ ∂xn(x0)  9

sgn φ00(x0) dấu của φ00(x0) 10

supp(f ) {x ∈ Ω : f (x) 6= 0}, giá của hàm f 10

supp φ {n ∈ Nk: an 6= 0}, giá của chuỗi φ = P n∈K anxn 27

P (x, s, ∂ ∂x) toán tử đạo hàm riêng 33

P (s)∗ = P β(−1)|β| ∂x∂
βaβ(x, s), toán tử liên hợp của toán tử vi phân P (s) = P a (x, s) ∂
β .41

Trong phạm vi của luận án này, chúng tôi dành phần lớn cho việc nghiêncứu dáng điệu tích phân kỳ dị dao động có dạng

I(λ) =

Z

Rn

eiλφ(x)f (x)dx

và các bài toán liên quan đến nó; trong đó λ là một số dương đủ lớn, φ

là hàm trơn có giá trị thực được gọi là hàm pha, f là hàm trơn có giátrị phức gọi là hàm biên độ

Theo Elias M Stein, có ba vấn đề cơ bản khi xét dáng điệu của I(λ), khi

λ → +∞, là địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận Có nhiều phươngpháp và công cụ để khảo sát dáng điệu của tích phân dao động I(λ),trong đó việc sử dụng các tính chất của đa diện Newton của hàm pha φ

là một trong những công cụ hữu hiệu

Luận án này gồm có 3 chương Trong chương một chúng tôi nghiên cứutổng quan về tích phân kỳ dị dao động Trước tiên chúng tôi nghiên cứuphương pháp pha dừng, tiếp theo là nghiên cứu tích phân dao động theo

ba vấn đề cơ bản của Elias M Stein và các học trò Sau cùng chúng tôinghiên cứu những kết quả gần đây của E.M Stein, D.H Phong, J.A.Sturm, B Malgrange, V.I Arnold, A.N Varchenko, M Greenblatt, I.Parissis, trong trường hợp hàm pha là đa thức, hoặc là hàm giải tích.Đặc biệt chú ý đến các số mũ trong công thức tiệm cận của tích phândao động, mối liên hệ giữa chúng với các tính chất của đa diện Newtoncủa hàm pha φ Những kết quả đó cũng là động cơ và là khởi nguồn củanhững kết quả của chúng tôi

Trong chương hai, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa đa thức stein và hàm gamma Euler, trong đó làm rõ mối liên hệ giữa nghiệmcủa đa thức Bernstein và giá trị riêng của ma trận monodromy của mộthàm giải tích thông qua các ví dụ, ban đầu đã nhận được hàm gammasuy rộng Γ từ hàm gamma Euler ứng với f là một đơn thức, và nhận

Bern-([Loc11], [LT12]).

Trong chương ba, chúng tôi nghiên cứu tiệm cận thể tích và tiệm cận sốđiểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đathức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin Các số mũ trong các côngthức tiệm cận mà chúng tôi thu được, được biểu diễn một cách tườngminh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức

đó ([VL14])

Tổng quan những vấn đề liên quan đến luận án

Tích phân dao động đã thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học và cácnhà Vật lý từ khi xuất hiện công trình Théorie Analytique de la Chaleur của JosephFourier vào năm 1822 Nhiều bài toán Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, hìnhhọc đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết số; các bài toán về quang học, âm học, cơhọc lượng tử, đều có thể đưa về việc nghiên cứu các tích phân dao động Mặc dùbài toán này đã có từ lâu, nhưng do phạm vi ứng dụng rộng lớn của nó, nên đếnnay vẫn có nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu nó và đã thu được nhiều kếtquả quan trọng

Trong khoảng 40 năm gần đây, lý thuyết kỳ dị cũng đã có quan hệ chặt chẽ với việcnghiên cứu các tích phân tiệm cận Nhiều bài toán nghiên cứu các điểm tới hạn đãchỉ ra các ứng dụng trực tiếp khi nghiên cứu các tính chất của tích phân tiệm cận.Theo [AGZV88], một trong những bài toán cổ điển của lý thuyết phương trình đạohàm riêng tuyến tính là bài toán xây dựng nghiệm tiệm cận theo một tham số củabài toán Cauchy với các điều kiện ban đầu dao động nhanh Sử dụng các phươngpháp tiệm cận để giải bài toán trên, người ta đã suy ra kết quả sau (xem [Mas72;Mas76; MF81]):

Với mọi số tự nhiên N , trong một lân cận của điểm y0 nào đó, nghiệm của bàitoán Cauchy có thể biểu diễn dưới dạng một tổng hữu hạn các tích phân dao động

Z

eiτ F (y,x)ϕ y, x, (iτ )−1
dx

và một số dư có cấp o(τ−N), khi τ → ∞; trong đó F là một hàm nhận giá trị thực,

τ là tham số lớn của bài toán, x là tham số thực, hàm ϕ có giá compact theo x và

là một đa thức theo (iτ )−1

Vậy việc tính toán tiệm cận nghiệm của bài toán Cauchy được đưa về việc tính tiệmcận các tích phân dao động Trong các công trình của J.F Nye và M.V Berry ta cóthể tìm thấy nhiều ví dụ của các bài toán Vật lý được đưa về nghiên cứu tích phân

kỳ dị dao động

Nhìn chung, cho đến năm 1950 người ta mới biết một ít về bài toán đánh giá tích

hợp hàm pha có các điểm kỳ dị cô lập không suy biến Việc nghiên cứu bài toánnày đã có sự tiến bộ quan trọng từ khi xuất hiện các công trình của I Gelfand vàcác học trò, J Bernstein và M Fedoryuk Các nhà Toán học này đã đưa ra phươngpháp nghiên cứu mối liên hệ giữa đơn đạo của hàm pha và khai triển tiệm cận củacác tích phân dao động Từ đó đã đưa đến sự ra đời của đa thức Bernstein nổi tiếng,

đa thức này thỏa mãn mối liên hệ

P (x, s, ∂

∂x)f

s = bf(s)fs−1 ,

trong đó P là một toán tử vi phân, f là đa thức, bf(s) cũng là đa thức và được gọi

là đa thức Bernstein ứng với f Sau đó, J.E Bj¨ork đã mở rộng đa thức Bernsteincho trường hợp f là một mầm hàm giải tích Năm 1973, B Malgrange đã thiết lậpmối quan hệ giữa đơn đạo và khai triển tiệm cận các tích phân dao động một cáchtường minh

Cũng trong thập niên 1970, V.I Arnold và A.N Varchenko đã đưa ra các kết quả

lý thú về tốc độ tắt dần (the decay rate) của tích phân dao động thông qua giaođiểm của lược đồ Newton của hàm pha với đường phân giác của góc tọa độ dương

và chỉ số của tất cả các số hạng của khai triển tiệm cận của tích phân dao động đóchỉ phụ thuộc vào lược đồ Newton của hàm pha Tiếp theo đó, E.M Stein, DuongHong Phong, M Greenblatt dựa trên định lý Varchenko đã đánh giá tích phân daođộng và thể tích của tập dưới mức của hàm pha thông qua các yếu tố của lược đồNewton của hàm pha và họ đã thu được những kết quả quan trọng

Lý do chọn đề tài

Bài toán tìm tiệm cận các tích phân kỳ dị cho đến nay vẫn là bài toán mở, hấpdẫn nhiều nhà Toán học Do số hạng đầu trong công thức khai triển tiệm cận quyếtđịnh dáng điệu tiệm cận của tích phân kỳ dị nên việc nghiên cứu các số mũ xuấthiện trong số hạng đầu tiên đó là một việc rất có ý nghĩa

Hàm gamma Euler có một vị trí rất quan trọng trong Toán học, Vật Lý và

Kỹ thuật, do đó việc mở rộng hàm gamma là một việc cần thiết được nhiều nhàToán học quan tâm như E.L Post [Pos19], E.W Barnes [Bar99; Bar04], Díaz vàPariguan [DP07], M.Mansour [Man09], Trong luận án này chúng tôi sử dụng đathức Bernstein-Sato để mở rộng hàm gamma Euler và hy vọng thông qua sự mởrộng đó sẽ tìm được một số tính chất của tích phân kỳ dị

Mặt khác, bài toán tìm tiệm cận số điểm nguyên trong một tập là một trongnhững bài toán cơ bản của Lý thuyết số

Trong luận án này chúng tôi tập trung giải quyết các bài toán sau:

• Nghiên cứu tổng quan dáng điệu tiệm cận của các tích phân kì dị dao độngthông qua số hạng đầu tiên trong các công thức tiệm cận tương ứng của chúng

và khảo sát các số mũ xuất hiện trong các công thức tiệm cận đó

• Mở rộng hàm gamma Euler và nghiên cứu các tính chất của hàm gamma suyrộng đó

• Tìm công thức tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửađại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin Các số mũ trong các công thức tiệm cận được tính một cách tườngminh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức đó

Để giải các bài toán đó, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

• Các phương pháp địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận thường được dùngtrong lý thuyết tích phân kỳ dị

• Sử dụng đa diện Newton để khảo sát dáng điệu tiệm cận của tích phân daođộng, tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số

• Mở rộng hàm gamma Euler và sử dụng đa thức Bernstein-Sato để nghiên cứucác tính chất của hàm gamma suy rộng Phương pháp này hoàn toàn khác vớicác phương pháp mà các nhà Toán học khác đã sử dụng trước đây

• Các phương pháp tính toán trong Giải tích tiệm cận, Hình học đại số, Tôpôđại số, Lý thuyết kỳ dị, Giải tích số và Đại số tuyến tính

Những đóng góp mới của luận án

Các kết quả chính của luận án bao gồm:

1 Dựa trên kết quả của B Malgrange (xem [Mal74a]), chúng tôi đã làm rõ mốiliên hệ giữa các nghiệm của đa thức Bernstein-Sato và các giá trị riêng của

ma trận đơn đạo của một hàm giải tích thông qua các ví dụ một cách tườngminh

2 Chúng tôi đã mở rộng hàm gamma Euler bởi định nghĩa sau

Γf(s) :=

Z ∞

f (t)s−1e−tdt,

rộng hay "hàm gamma ứng với f" Chúng tôi đã thu được một số kết quả bướcđầu về phương trình hàm kiểu gamma

Γf(s + 1) =B(s)Γf(s),

trong đó B(s) là đa thức Bernstein-Sato của f, như xây dựng được điều kiện

đủ để một đa thức f thỏa phương trình hàm trên Trong trường hợp f (t) = tk,chúng tôi chứng minh được hàm gamma ứng với tk thỏa mãn phương trìnhhàm nói trên và có hầu hết các tính chất của hàm gamma Euler Các tính chất

đó đều có sự tham gia của đa thức Bernstein-Sato của tk và cách mở rộng củachúng tôi hoàn toàn tương thích với cách mở rộng của các nhà Toán học trướcđây

3 Từ những kết quả của GS.TSKH Đinh Dũng về tiệm cận thể tích của đa diệnlôgarit trong lý thuyết xấp xỉ, chúng tôi đã mở rộng các kết đó và nhận đượctiệm cận thể tích của các tập dưới mức của lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãnđiều kiện Mikhailov-Gindikin Các số mũ phát biểu trong Định lý 3.2.1 đượctính một cách tường minh thông qua đa diện Newton của các ánh xạ đa thứctương ứng và chúng hoàn toàn phù hợp với các kết quả của V.A Vasilev, E.V.Sinitskaya, A.I Karol’, M Greenblatt (xem [Vas77], [Sin04], [Kar09], [Gre10])

4 Cũng từ kết quả của GS Đinh Dũng về tiệm cận số điểm nguyên của đa diệnlôgarit, chúng tôi đã tìm được công thức tiệm cận số điểm nguyên của các tậpnửa đại số xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin theo các yếu tố của đa diện Newton của lớp các ánh xạ đa thức đó

Để nhận được kết quả đó, chúng tôi đã sử dụng đa diện đầy đủ của chính đadiện Newton của ánh xạ đa thức đó và các số mũ nhận được trong công thứctiệm cận của Định lý 3.2.2 tương tự như trong công thức tiệm cận thể tíchcủa các tập dưới mức

5 Bên cạnh đó chúng tôi chỉ ra được lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiệnMikhailov-Gindikin là một tập con mở của tập các ánh xạ đa thức có cùngmột đa diện Newton

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Thông qua luận án này, tác giả đã đưa ra một số kết quả mới có thể được ápdụng trong một số lĩnh vực như Giải tích tiệm cận, Tích phân dao động, Giải tích

số, Lý thuyết tối ưu,

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại các Hội nghị và cácSeminar sau:

• Seminar ngành Toán Giải tích, Khoa Toán - Tin học, Đại học Đà Lạt

• Hội nghị Khoa học Khoa Sau Đại học, Đại học Đà Lạt - 2009

• Hội nghị Khoa học Trường Đại học Tây Nguyên - 12/2009

• International Conference on Topology of singularities and related topics, I,JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Hanoi, Vietnam, March03/2010

• Hội nghị Tin học và Toán ứng dụng, Đại học Nha Trang 17/6/2011

• Hội nghị toàn quốc về Đại số - Hình học - Tô pô (DAHITO), Đại học TháiNguyên 3-5/11/2011

• International Conference in Mathematics and Applications (ICMA - MU 2011),Mahidol University, Thailand, December 17-19, 2011

• Seminar nhóm kỳ dị, Viện Toán học

• Seminar nhóm kỳ dị, Viện Toán học cao cấp (VIASM - 2012)

• International Conference on Topology of singularities and related topics, III,JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Dalat, Vietnam, March26-30, 2012

• Hội nghị khoa học, Viện Toán học - 12/2012 (PGS.TSKH Hà Huy Vui báocáo)

• Đại hội Toán Học Toàn Quốc Lần thứ 8, Nha Trang 10-14/08/2013

• Trường CIMPA và Hội nghị quốc tế Hình học và Tô pô của các đa tạp kỳ dị

Hà Nội, 02 - 14/12/2013 (PGS.TSKH Hà Huy Vui báo cáo)

[Loc11] Tran Gia Loc, Đa thức Bernstein-Sato và hàm Gamma suy rộng, Tạp

chí Khoa học Đại học Đà Lạt, Số 01 (2011)

[LT12] Tran Gia Loc and Trinh Duc Tai, The Generalized Gamma Functions,

Acta Mathematica Vietnamica, Vol 37, no 2 (2012), pp 219-230.[VL14] Ha Huy Vui and Tran Gia Loc, On the volume and the number of

lattice points of some semialgebraic sets, 2014 Đang gửi đăng ở tạpchí IJM (International Journal of Mathematics)

Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động

có thể xét tích phân trên theo nghĩa giá trị chính (principal value - pv.)

|x−t|>

f (t)

x − tdt.

Ta có hai bài toán sau

(i) Sự tồn tại củaH(f)

(ii) Mối quan hệ giữa f và H(f), tức là những tính chất nào của f được giữ lạibởi H(f)

x − t, gọi là hạt nhân của phép biến đổi Hilbert, thỏa mãn

các tính chất sau

|K(x, t)| ≤ C

|x − t| , x, t ∈ R ,

∂

∂xK(x, t)

+

≤ 3

λ.Điều này chứng tỏ mệnh đề đúng với c1 = 3 Để chứng minh mệnh đề đúng trongtrường hợp k > 1, ta cần bổ đề sau

Bổ đề 1.3.3 Cho φ : [a, b] −→ R là một hàm thuộc lớp Ck, giả sử φ(k)(x) ≥ 1,với k ≥ 1 và với mọi x ∈ [a, b] Khi đó

|{x ∈ [a, b] : |φ(x)| ≤ α}| ≤ 2kαk1

Chứng minh Đặt Eα = {x ∈ [a, b] : |φ(x)| ≤ α} Khi đó Eα là hợp hữu hạn cáckhoảng đóng Dịch chuyển các đoạn đóng này sát lại với nhau ta được một đoạnđóng I có độ dài |Eα| Phân hoạch đoạn I thành k đoạn con bằng nhau bởi cácđiểm chia x0, x1, , xk, sau đó dời các đoạn đóng trên về vị trí cũ Khi đó

Do vậy, tồn tại k điểm ξ1, ξ2, , ξk thỏa x0 < ξ1 < x1 < ξ2 < < ξk < xk sao cho

F0(ξ1) = F0(ξ2) = = F0(ξk) = 0

Lý luận tương tự, sau k lần, tồn tại một điểm ξ ∈ (a, b) sao cho F(k)(ξ) = L(k)(ξ) −

Ta chứng minh Bổ đề1.3.2 trong trường hợp k > 1.

Với α > 0 (ta sẽ xác định sau) ta có

≤

Z

{x∈[a,b]:|φ 0 (x)|≥α}

eiλφ(x)dx

+Z

αλ Vậy ... thuyết kỳ dị có quan hệ chặt chẽ với việckhảo sát tích phân dao động Nguyên nhiều tốn lý thuyết kỳ dị phátsinh từ việc tìm hiểu chất dáng điệu tích phân, mặt khác nhiềunghiên cứu điểm kỳ dị tìm... đánh giá I(λ) khảo sát dáng điệu tiệm cận tham số λ → ∞ Trongchương này, chúng tơi trình bày tóm tắt kết số nhà Toán học v? ?các đánh giá, khai triển tiệm cận tích phân dao động loại I Do lĩnh vựcnày... dụng trực tiếp vào khai triển tiệm cậncủa tích phân dao động

Đối với tích phân dao động loại