Cho φ:Rn −→R là một hàm trơn, F :Rn×Rl−→ R là biến dạng của nó (tức là
F là hàm trơn và F(x,0) = φ(x)), và β là chỉ số dao động của hàm φ tại 0. Trong ứng dụng ta thường gặp tích phân dạng
I(λ, t) =
Z
Rn
eiλF(x,t)f(x, t)dx (1.16) trong đó tham sốt ∈Rl. Năm 1973, V.I. Arnold đã đưa ra giả thuyết sau ([Arn73]):
Với mọi biến dạngF(x, t) của φ(x), với mọi dương, tích phân dao động (1.16)
có thỏa đánh giá Z Rn eiλF(x,t)f(x, t)dx ≤ C(f, )λβ+
với mọi hàm f trơn trong một lân cận đủ nhỏ của gốc của Rn×Rl hay không ? Nói cách khác chỉ số dao động của F(x, t) có bằng chỉ số dao động của φ(x), với mọi t hay không ?
Trường hợp n= 1, A.M. Vinogradov đã chứng minh vào năm 1971.
Dựa trên Định lý Lê Dung Trang - Ramanujam ([TR76]), A.N Varchenko đã chứng minh giả thuyết trên của V.I. Arnold trong trường hợp n = 2 (xem [Var76], trang 177-178, 192) .
Định lý 1.7.1 (Varchenko). Cho φt : R2 −→ R là một họ các hàm khả vi vô hạn, phụ thuộc vào tham số t ∈ [0,1], và giải tích tại gốc của R2 với mọi t. Gọi
b
φt= P
k∈N2
akxk là chuỗi Taylor của φt tại gốc, và giả sử số Milnor
µt=dimCC{x1, x2} , ∂φbt ∂x1, ∂φbt ∂x2 !
của hàm φtkhông đổi khi t thay đổi. Khi đó chỉ số dao động của hàmφt cũng không đổi khi t thay đổi.
các giả thiết của Định lý Varchenko thì các đánh giá đúng đối với Tích phân dao động (1.9) cũng đúng đối với Tích phân (1.16). Trường hợp n 6= 2, giả thuyết của Arnold không còn đúng (xem ví dụ của Varchenko, trang 194, [Var76]).
1.8 Tiệm cận thể tích1.8.1 Dạng Gelfand-Leray