Từ những kết quả ban đầu của A.N. Varchenko, nhiều nhà toán học đã ứng dụng và phát triển kết quả đó để đánh giá các tích phân dao động thông qua số chiều của mặt của đa diện Newton của hàm pha, cắt đường phân giác của góc tọa độ dương; và tọa độ của giao điểm của đa diện với đường phân giác đó. Trong mục này chúng tôi chỉ giới thiệu kết quả gần đây của M. Greenblatt.
Định nghĩa 1.6.6 ([Var76; Gre10]). Khoảng cách Newtond của φ(x)được xác định bởi d=inf{t: (t, . . . , t)∈Γ+(φ)}.
Ký hiệu ∆(t) := {(t, . . . , t | {z }
nlần
) : t ∈ R}. Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa chỉ số dao động và khoảng cách Newton của hàm φ tại 0.
Định lý 1.6.2 (Varchenko, [Var76; Gre10]). Giả sử với mỗi mặt compact ∆ của
Γ+(φ), hàm ∇φ∆(x) không triệt tiêu trên (R\ {0})n và khoảng cách Newton của φ
là d > 1. Khi đó chỉ số dao động của φ tại 0 bằng −1
d. Nếu một mặt của Γ+(φ)
(compact hoặc không compact) có chiều là k và cắt đường thẳng ∆(t)tại phần trong của nó thì số bội của chỉ số dao động đó bằng n−k−1.
Nếu đường thẳng ∆(t) cắt Γ+(φ) tại một đỉnh thì ta chok = 0.
Nhận xét 1.6.3. Từ các Định lý1.6.1 và1.6.2ta suy ra số hạng đầu của khai triển tiệm cận của tích phân dao động I(λ) có dạng
Cfλ−d1 (lnλ)n−k−1,
trong đó Cf 6= 0. Do đó tồn tại số C >0 sao cho
Z Rn eiλφ(x)f(x)dx < Cλ−1d(lnλ)n−k−1. (1.15) Bất đẳng thức (1.15) được gọi là đánh giá của Varchenko. Gần đây, M. Greenblatt đã thu được những kết quả thú vị. Ông ta đã mở rộng Định lý Varchenko cho lớp các hàm phaφmà không cần điều kiện∇φ∆(x)6= 0, ∀x∈(R\ {0})n(xem [Gre10]).