B Mở đầu về đồng điều đơn hình và đồng điều kỳ dị
B.1.2Phức đơn hình
Định nghĩa B.1.3. Một phức đơn hình là một họ K hữu hạn các đơn hình nào đó trong không gian Euclide Rn thỏa các điều kiện sau :
(i) Nếu ∆ thuộc K thì mọi mặt của ∆ cũng thuộc K.
(ii) Giao của hai đơn hình tùy ý của K hoặc bằng rỗng, hoặc là một mặt chung của hai đơn hình đó.
Các đỉnh của các các đơn hình của K cũng gọi là các đỉnh của K. Chiều của K là số chiều cực đại của các đơn hình thuộc K.
Hợp của tất cả các đơn hình của K với tôpô cảm sinh từRn là một không gian tôpô con của Rn, kí hiệu là |K| và gọi là một khối đa diện ứng với K.
Ví dụ B.1.3. Hình B.2 là các phức đơn hình và hình B.3 không là các phức đơn hình.
Hình B.2: Các phức đơn hình
Hình B.3: Không là phức đơn hình
Định nghĩa B.1.4. Cho X là một không gian tôpô. Nếu tồn tại một phức đơn hình K sao cho khối đa diện |K| tương ứng của nó đồng phôi với X thì X được gọi là một không gian tam giác phân và phức K được gọi là một tam giác phân của X.
Định nghĩa B.1.5.
(i) Một phức đơn hình L được gọi là phức đơn hình con của phức đơn hình K nếu mọi đơn hình của L đều là đơn hình của K.
(ii) Bao đóng của một k-đơn hình ∆k, kí hiệu là Cl(∆k), là một phức chứa ∆k và tất cả các mặt của nó.
Cho phức đơn hình K và r là một số nguyên thỏar ≤dimK. Kí hiệu
Kr ={∆∈K : dim∆≤r} .
Khi đó Kr là một phức đơn hình con của K.
Định nghĩa B.1.6. Kr được gọi là r-khung của K.
Ví dụ B.1.4.
(i) Xét phức 3 chiều ∆3 = [v0v1v2v3]. 2-khung của bao đóng của ∆3 là phức K mà các đơn hình của nó là các mặt riêng của ∆3.|K|là biên của một khối tứ diện, do đó nó đồng phôi với mặt cầu 2 chiều
S2 =n(x1, x2, x3)∈R3 :
3
X
i=1
x2i = 1o.
Vậy S2 là tam giác phân được, với K là một tam giác phân.
(ii) Hình B.4 cho một tam giác phân của băng Mo¨bius, bằng cách cho 2 đỉnh có nhãn a0 đồng nhất với nhau, hai đỉnh có nhãn a3 đồng nhất với nhau, các điểm tương ứng của đoạn thẳng [a0a3] đồng nhất với nhau.
Hình B.4: Tam giác phân của băng M¨obius