B Mở đầu về đồng điều đơn hình và đồng điều kỳ dị
1.2 (a) Đa diện Newton của φ, (b) Lược đồ Newton của φ
Ta có supp φ = { (2,7), (8,1), (7,6), (10,0), (0,12) }. Đa diện Newton của
φ là đa diện Γ+(φ) trong hình (a). Các mặt của đa diện Newton là các điểm
(2,7), (8,1), (10,0), (0,12) và các đoạn τ1, . . . , τ5. Lược đồ Newton của φ được xác định bởi Γ+(φ) =τ2∪τ3∪τ4 như trong hình (b).
1.6.3 Đa diện Newton và đánh giá tích phân dao động
Từ những kết quả ban đầu của A.N. Varchenko, nhiều nhà toán học đã ứng dụng và phát triển kết quả đó để đánh giá các tích phân dao động thông qua số chiều của mặt của đa diện Newton của hàm pha, cắt đường phân giác của góc tọa độ dương; và tọa độ của giao điểm của đa diện với đường phân giác đó. Trong mục này chúng tôi chỉ giới thiệu kết quả gần đây của M. Greenblatt.
Định nghĩa 1.6.6 ([Var76; Gre10]). Khoảng cách Newtond của φ(x)được xác định bởi d=inf{t: (t, . . . , t)∈Γ+(φ)}.
Ký hiệu ∆(t) := {(t, . . . , t | {z }
nlần
) : t ∈ R}. Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa chỉ số dao động và khoảng cách Newton của hàm φ tại 0.
Định lý 1.6.2 (Varchenko, [Var76; Gre10]). Giả sử với mỗi mặt compact ∆ của
Γ+(φ), hàm ∇φ∆(x) không triệt tiêu trên (R\ {0})n và khoảng cách Newton của φ
là d > 1. Khi đó chỉ số dao động của φ tại 0 bằng −1
d. Nếu một mặt của Γ+(φ)
(compact hoặc không compact) có chiều là k và cắt đường thẳng ∆(t)tại phần trong của nó thì số bội của chỉ số dao động đó bằng n−k−1.
Nếu đường thẳng ∆(t) cắt Γ+(φ) tại một đỉnh thì ta chok = 0.
Nhận xét 1.6.3. Từ các Định lý1.6.1 và1.6.2ta suy ra số hạng đầu của khai triển tiệm cận của tích phân dao động I(λ) có dạng
Cfλ−d1 (lnλ)n−k−1,
trong đó Cf 6= 0. Do đó tồn tại số C >0 sao cho
Z Rn eiλφ(x)f(x)dx < Cλ−1d(lnλ)n−k−1. (1.15) Bất đẳng thức (1.15) được gọi là đánh giá của Varchenko. Gần đây, M. Greenblatt đã thu được những kết quả thú vị. Ông ta đã mở rộng Định lý Varchenko cho lớp các hàm phaφmà không cần điều kiện∇φ∆(x)6= 0, ∀x∈(R\ {0})n(xem [Gre10]).
1.7 Tích phân dao động phụ thuộc tham số
Cho φ:Rn −→R là một hàm trơn, F :Rn×Rl−→ R là biến dạng của nó (tức là
F là hàm trơn và F(x,0) = φ(x)), và β là chỉ số dao động của hàm φ tại 0. Trong ứng dụng ta thường gặp tích phân dạng
I(λ, t) =
Z
Rn
eiλF(x,t)f(x, t)dx (1.16) trong đó tham sốt ∈Rl. Năm 1973, V.I. Arnold đã đưa ra giả thuyết sau ([Arn73]):
Với mọi biến dạngF(x, t) của φ(x), với mọi dương, tích phân dao động (1.16)
có thỏa đánh giá Z Rn eiλF(x,t)f(x, t)dx ≤ C(f, )λβ+
với mọi hàm f trơn trong một lân cận đủ nhỏ của gốc của Rn×Rl hay không ? Nói cách khác chỉ số dao động của F(x, t) có bằng chỉ số dao động của φ(x), với mọi t hay không ?
Trường hợp n= 1, A.M. Vinogradov đã chứng minh vào năm 1971.
Dựa trên Định lý Lê Dung Trang - Ramanujam ([TR76]), A.N Varchenko đã chứng minh giả thuyết trên của V.I. Arnold trong trường hợp n = 2 (xem [Var76], trang 177-178, 192) .
Định lý 1.7.1 (Varchenko). Cho φt : R2 −→ R là một họ các hàm khả vi vô hạn, phụ thuộc vào tham số t ∈ [0,1], và giải tích tại gốc của R2 với mọi t. Gọi
b
φt= P
k∈N2
akxk là chuỗi Taylor của φt tại gốc, và giả sử số Milnor
µt=dimCC{x1, x2} , ∂φbt ∂x1, ∂φbt ∂x2 !
của hàm φtkhông đổi khi t thay đổi. Khi đó chỉ số dao động của hàmφt cũng không đổi khi t thay đổi.
các giả thiết của Định lý Varchenko thì các đánh giá đúng đối với Tích phân dao động (1.9) cũng đúng đối với Tích phân (1.16). Trường hợp n 6= 2, giả thuyết của Arnold không còn đúng (xem ví dụ của Varchenko, trang 194, [Var76]).
1.8 Tiệm cận thể tích1.8.1 Dạng Gelfand-Leray 1.8.1 Dạng Gelfand-Leray
Xét tích phân dao động sau:
Z
Rn
eiλφ(x)f(x)dx. (1.17) Theo Định lý Fubini, bằng cách thực hiện phép đổi biến φ = t, ta đưa Tích phân (1.17) về dạng Z +∞ −∞ eiλt Z φ=t f dx1∧. . .∧dxn/dφ dt . (1.18)
(n−1)-dạng ψ =f dx1∧. . .∧dxn/dφ được gọi là dạng Gelfand-Leray của n-dạng
ω, với dφ∧ψ =ω. Ta ký hiệu ψ :=ω/dφ.
Nhận xét 1.8.1. Trong công thức biểu diễn (1.18) ta có tích phân dao động là biến đổi Fourier của hàm
J(t) =
Z
φ=t
f dx1∧. . .∧dxn/dφ.
Hàm này được gọi là hàm Gelfand-Leray.
Hàm Gelfand-Leray trơn tại các giá trị khác giá trị tới hạn của hàm pha. Trong một lân cận của giá trị tới hạn t0 của hàm pha, hàm Gelfand-Leray có thể biểu diễn thành một chuỗi tiệm cận có dạng (xem [AGZV88])
X α n−1 X k=0 ak,α(t−t0)α(ln(t−t0))k, t→t0.
Vậy nếu biết chuỗi tiệm cận của hàm Gelfand-Leray ta có thể xác định chuỗi tiệm cận của tích phân dao động và ngược lại tiệm cận của tích phân dao động cho ta thông tin về tiệm cận của hàm Gelfand-Leray.
1.8.2 Thể tích của tập dưới mức
Giả sử hàm pha φ có một cực tiểu cô lập và giá trị cực tiểu của hàm pha bằng không. Giả sử rằngf ≡1trong một lân cận của điểm cực tiểu. Ta kí hiệuJ là hàm Gelfand-Leray và xét hàm
V(t) =
Z t
0
J(s)ds .
Rõ ràng với giá trị dương đủ nhỏ của đối số, hàm V(t) bằng thể tích của tập dưới mức của hàm pha. Do đó tiệm cận của hàm thể tích của tập dưới mức xác định tiệm cận của tích phân dao động trong trường hợp hàm pha có một cực tiểu cô lập và hàm biên độ bằng hằng số trong một lân cận của điểm cực tiểu đó của hàm pha.
Định lý 1.8.1 ([AGZV88]). Giả sử φ là một hàm giải tích có một cực tiểu cô lập và giá trị cực tiểu bằng không. Khi đó ta có, hàm thể tích V(t) của tập mức dưới được khai triển thành chuỗi tiệm cận
X α n−1 X k=0 ak,αtα(lnt)k khi t→0+.
Ở đây α chạy khắp một số hữu hạn các cấp số cộng gồm các số hữu tỉ dương.
Chứng minh định lý trên có thể xem ở [AGZV88], trang 257-258.
1.8.3 Tích phân kiểu Laplace
Gọi D0 = (d, . . . , d)∈Rn là điểm giao của Γ+(φ)và đường thẳng ∆(t), plà số bậc tự do của siêu phẳng tựa của Γ+(φ) tại điểm D0.
Định nghĩa 1.8.1. Lược đồ Newton của một hàm được gọi là lược đồ cực tiểu nếu nó cắt tất cả các trục tọa độ, và tất cả các đỉnh của nó chỉ có các tọa độ chẵn.
Năm 1977, V.A. Vassiliev đã xét dáng điệu tiệm cận của tích phân Laplace dạng
I(λ) =
Z
Rn
e−φ(hx)f(x)dx, khi h→+0, (1.19) trong đóφ :Rn−→Rlà hàm trơn có 0là điểm cực tiểu duy nhất, vàf là hàm trơn có giá compact. Ông ta đã đưa ra các công thức tiệm cận thể tích của tập dưới mức của hàm φ và tiệm cận của tích phân Laplace một cách tường minh thông qua lược đồ Newton của hàm φ tại 0. Các kết quả đó được phát biểu bởi các định lý sau
Định lý 1.8.2 (Vassiliev, [Vas77]). Cho φ: (Rn,0)−→(R,0) là một hàm giải tích có một cực tiểu cô lập tại 0. Nếu với mọi mặt ∆ của Γ+(φ) ta có φ∆(x)>0 thì
|{x∈Rn:φ(x)< φ(0) +h}| h1d|lnh|p, khi h→+0.
Định lý 1.8.3 (Vassiliev, [Vas77]). Cho φ : (Rn,0)−→ (R,0) là một hàm trơn có điểm cực tiểu duy nhất là 0, và f : (Rn,0)−→(R,0) là hàm trơn có giá compact và
f(0) = 0. Gọi Γ(φ−φ(0)) là lược đồ Newton cực tiểu của hàm φ−φ(0). Nếu với mọi mặt ∆ của Γ+(φ−φ(0)) ta có (φ−φ(0))∆(x)≥0 thì Z Rn e−φ(hx)f(x)dx e−φ(0)h h1d|lnh|p, khi h→+0.
Nhận xét 1.8.2. Theo V.A. Vassiliev, từ Định lý1.6.2 ta suy ra số bội của chỉ số dao động của điểm cực tiểu chính là số bậc tự do của siêu phẳng tựa của Γ+(φ) tại điểm D0 (xem [Vas77]). Nói cách khác
Đa thức Bernstein-Sato và hàm gamma suy rộng
Giả sử f ∈C{x1, ..., xn}là một mầm hàm giải tích có một điểm kì dị cô lập tại gốc. I.N. Bernstein and J.E. Bj¨ork đã chứng minh được sự tồn tại một đa thức b(s) và một toán tử đạo hàm riêng P(x, s, ∂
∂x) sao cho : P(x, s, ∂
∂x)f
s =b(s)fs−1 .
Trong chương này chúng tôi giới thiệu kết quả của B. Malgrange, chỉ ra một quan hệ trực tiếp giữa các nghiệm của đa thức b(s) và đơn đạo của f, tìm ví dụ minh họa cho kết quả đó. Mặt khác, với một đa thức f, chúng tôi mở rộng hàm gamma Euler và gọi nó là hàm gamma ứng với f hay hàm gamma suy rộng. Sử dụng đa thức Bernstein-Sato ứng với f, chúng tôi thiết lập được một phương trình hàm đối với hàm gamma suy rộng đó trong một số trường hợp.
2.1 Đơn đạo của một kì dị cô lập
Cho f là một mầm hàm giải tích trong một lân cận mở của 0 ∈ Cn, thỏa mãn
f(0) = 0 và 0∈Cn là điểm kì dị cô lập của f. Cho >0, η >0và đặt
T ={t∈C : |t|< η} , T∗ =T \ {0} ,
X ={x∈Cn : |x|< và|f(x)|< η} , X∗ ={x∈X : f(x)6= 0} , Xt ={x∈X : f(x) = t} .