Mối liên hệ giữa các yếu tố của đa diện Newton và các chỉ số của các số hạng trong khai triển tiệm cận của tích phân dao động do A.N. Varchenko đưa ra, khẳng định một giả thuyết trước đó của V.I. Arnold là tất cả các bất biến rời rạc phù hợp của một hàm giải tích, có thể biểu diễn một cách đơn giản theo lược đồ Newton của các hàm đó.
Cho K là một tập hợp con của tập hợpNk.
Định nghĩa 1.6.3. Đa diện Newton của tập K là bao lồi trong Rk
+ của tập hợp S n∈K n+Rk + .
Nói chung, một đa diện Newton có thể chứa các mặt có chiều khác nhau. Các mặt này hoặc là compact, hoặc là không bị chặn.
Hình 1.1: Đa diện Newton của K
Định nghĩa 1.6.4. Lược đồ Newton của tập K là hợp của tất cả các mặt compact của đa diện Newton của K.
Ký hiệuΓ+(K),Γ+(K)tương ứng là đa diện Newton và lược đồ Newton của tập K. Choφ = P n∈K anxn, với an ∈C, ta định nghĩa supp φ:={n∈Nk :an6= 0}, và φ∆(x) := X α∈∆ aαxα,
trong đó ∆là một mặt compact của f.
Định nghĩa 1.6.5. Đa diện Newton (tương ứng lược đồ Newton) của φ là đa diện Newton (tương ứng lược đồ Newton) của tập supp φ.
Đa diện Newton (tương ứng lược đồ Newton) củaφ được kí hiệu làΓ+(φ)(tương ứng Γ+(φ)), và được gọi là đa diện Newton (tương ứng lược đồ Newton) của φ tại gốc O hay tại0 (theo [Kou76]).
Ví dụ 1.6.2. Xét đa thức
φ(x, y) =x2y7+x8y+x7y6+x10+y12.
Hình 1.2: (a) Đa diện Newton của φ, (b) Lược đồ Newton củaφ
Ta có supp φ = { (2,7), (8,1), (7,6), (10,0), (0,12) }. Đa diện Newton của
φ là đa diện Γ+(φ) trong hình (a). Các mặt của đa diện Newton là các điểm
(2,7), (8,1), (10,0), (0,12) và các đoạn τ1, . . . , τ5. Lược đồ Newton của φ được xác định bởi Γ+(φ) =τ2∪τ3∪τ4 như trong hình (b).