B Mở đầu về đồng điều đơn hình và đồng điều kỳ dị
B.1.5 Các số Betti và đặc trưng Euler
Định nghĩa B.1.9. Số bk:=rankHk(X) được gọi là số Betti thứ k của X.
Ví dụ B.1.9. Cho X = S2, ta có H0(S2) = Z do đó b0 = 1, H1(S2) = 0 suy ra
b1 = 0, H2(S2) = Z suy ra b2 = 1.
Cho X là một phức đơn hình n chiều vàCk(X) là nhóm các dây chuyền k chiều. Kí hiệu ak =rankCk(X). Khi đó ak là số các đơn hình k chiều của phức đơn hình X.
Định nghĩa B.1.10. Số Euler của X, kí hiệu là χ(X), được xác định bởi
χ(X) = Σnk=0(−1)kak.
Số Euler còn được gọi là đặc trưng Euler.
Định lý B.1.1. (Định lý Euler-Poincaré) Cho X là một phức đơn hình định hướng n-chiều. Khi đó n X k=0 (−1)kak = n X k=0 (−1)kbk . B.2 Đồng điều kì dị
Ta gọi một đơn hình n chiều chuẩn ∆n ⊂Rn+1 là một đơn hình n chiều với các đỉnh là (1,0, . . . ,1), (0,1, . . . ,0), . . ., (0,0, . . . ,1). Tức là ∆n= ( (x0, . . . , xn)∈Rn:xi ≥0, với mọi i ; n X i=1 xi = 1 ) .
Định nghĩa B.2.1. Một trong không gian tôpô X là ánh xạ liên tục
Hình B.7: Các đơn hình chuẩn
Trong một phức đơn hình K, một đơn hình n chiều có thể được xem như là một ảnh của đơn ánh liên tục ∆n−→K. Một tam giác phân của không gian tôpô X có thể được xem như một danh sách các đơn ánh liên tục từ các đơn hình chuẩn vào X. Ở đây ta chỉ cần xét ánh xạ liên tục, σ có thể là đơn ánh hoặc không đơn ánh. Do vậy σ có thể không bảo toàn tôpô của ∆n.Chẳng hạn như hình B.8 cho ta ảnh của 3 ánh xạ khác nhau từ ∆1 đến R2, không ánh xạ nào trong chúng là đồng phôi
∆1.
Hình B.8: Các đơn hình kỳ dị
Định nghĩa B.2.2.
• Một dây chuyền kì dị n chiều là tổng hình thức hữu hạn
X
i
niσi , với ni ∈Z và σi : ∆n−→X liên tục.
Kí hiệu Cn(X) là tập các dây chuyền kì dị n chiều. • Ánh xạ ∂n :Cn(X)−→Cn−1(X) được xác định bởi
∂n(σ) = X
i
(−1)iσ
[v0,···,vbi,···,vn] ,
được gọi là ánh xạ biên.
Nhận xét B.2.1. Trong công thức trên, ta đồng nhất[v0,· · · ,vbi,· · · , vn] với ∆n−1
sao cho thứ tự của các đỉnh được bảo toàn, do đó σ
[v0,···,vbi,···,vn] được xem như một ánh xạ liên tục ∆n−1 −→X, nói cách khác nó là một đơn hình kỳ dị (n-1) chiều.
Mệnh đề B.2.1.
Kí hiệu Zn(X) = ker∂n, và gọi là nhóm các chu trình kỳ dị n chiều, Bn(X) =
Im∂n+1, và gọi là các biên n chiều của X. Ta định nghĩa
Hn(X) = Zn(X)
Bn(X)
và gọi là nhóm đồng điều kỳ dị n chiều của X, hay là nhóm các lớp tương đương của các chu trình kỳ dị n chiều, với quan hệ tương đương được xác định như sau
γ, γ0 ∈Zn(X) : γ ∼γ0 ⇐⇒γ−γ0 =∂γn+1.
Định nghĩa B.2.3. Không gian tôpô X được gọi không gian liên thông đường nếu với mọi x0, x1 ∈ X, tồn tại một ánh xạ liên tục α : [0,1] −→ X sao cho α(0) =
x0, α(1) =x1.
Mệnh đề B.2.2. Nếu Xα, α∈Λ là các thành phần liên thông đường của X thì
Hn(X)∼= ⊕ α∈Λ
Hn(Xα) .
Mệnh đề B.2.3. Nếu X là không gian liên thông đường và khác rỗng thì H0(X)∼=
Z . Hệ quả B.2.1. H0(X)∼= k z }| { Z⊕ · · · ⊕Z,
với k là số thành phần liên thông đường của X.
Mệnh đề B.2.4. Nếu X là không gian chỉ gồm một điểm, ký hiệu X ={∗}, thì
Hn(X) = 0 nếu n >0, Z nếu n = 0.
B.2.1 Quan hệ giữa đồng điều đơn hình và đồng điều kì dị
Định lý B.2.1. Nếu X là không gian tôpô đồng phôi với phức đơn hình K, thì với mọi i ≥ 0, nhóm đồng điều kì dị Hi(X) đẳng cấu với nhóm đồng điều đơn hình
Hi(K).
Từ định lý trên ta có
(i) Hn(X) là một bất biến tôpô.
(ii) Ta cóχ(X) =dimC0(X)−dimC1(X) +· · · ,do đó đặc trưng Euler phụ thuộc vào tam giam giác phân. Trong khi đó b0 −b1 +b2 +· · · = rankH0(X)−
rankH1(X) +rankH2(X) +· · · ,không phụ thuộc vào tam giác phân. Từ định lý Euler-Poincaré ta suy ra đặc trưng Euler là một bất biến tôpô.
Định lý đơn đạo, 36
đánh giá của Varchenko, 29
đồng cấu biên, 95
đặc trưng Euler, 97
đơn hình, 91
đơn hình kì dị, 98
đường chéo của góc tọa độ dương của
Rn,63
đa diện Newton, 27
của ánh xạ đa thức f, 61
của ánh xạ đa thức f tại vô cùng,
61
đa diện đầy đủ, 64
đa thức
Bernstein-Sato, 37
monic, 24, 90
điều kiện Mikhailov-Gindikin, 63
điểm kỳ dị, 10
không suy biến, 12
bổ đề Morse, 12
bổ đề Van der Corput, 15
bổ để Riemann-Lebesgue, 15 chỉ số dao động, 26 kỳ dị, 27 chuỗi tiệm cận của hàm Gelfand-Leray, 31 của hàm thể tích, 32
dây chuyền p chiều, 94
dạng Gelfand-Leray, 31 giá của hàm f, 11 giá trị chính, 8 hằng số Euler, 50 hàm f−beta,55 f−zeta, 55 k−gamma, 52 tk−beta, 56 tk−zeta, 56 biên độ, 10 gamma ứng với f,43 Gelfand-Leray, 31 phân bố, 10 pha, 10 zeta Hurwitz, 55 zeta Riemann, 54 hạt nhân dao động, 9 kỳ dị dạng đại số, 9 kỳ dị dạng logarit, 9 khoảng cách Newton, 29 lược đồ Newton, 28 mặt của đơn hình, 91 nguyên lý pha dừng, 11 nhóm đồng điều đơn hình, 96 đồng điều kỳ dị, 99 phức đơn hình, 92
phép biến đổi Hilbert, 8 Laplace, 48 phân thớ Milnor, 34 phương pháp pha dừng, 10 số Betti thứ k, 97 số Milnor, 35 tích phân dao động, 9 loại I, 9, 10,14, 19 loại II, 9 tập dưới mức, 15, 20, 23 tập nửa đại số, 90
tam giác phân, 93
toán tử vi phân, 36
[AGZV88] V. I. Arnold, S. M. Gusein-Zade, and A. N. Varchenko.Singularities of Differentiable Maps. Vol. II. Boston - Basel - Berlin: Birkh¨auser, 1988. [Arn73] V. I. Arnold. “Remarks on the stationary phase method and Coxeter
numders”. In: Uspekhi Mat. Nauk. 28.5 (173) (1973), pp. 17–44.
[Bar02] Barvinok.A course in convexity. American Mathematical Society, 2002. [Bar04] E.W. Barnes. “On the theory of the multiple gamma functions”. In:
Trans. Cambridge Phil. Soc. 19.1 (1904), pp. 374–425.
[Bar99] E.W. Barnes. “The theory of G-function”. In:Quat. J. Math31.1 (1899), p. 264.
[Ber72] I.N. Bernstein. “The analytic continuation of generalized functions with respect to a parameter”. In:Funkts. Analyz. 6.4 (1972), pp. 26–40. [BG69] I.N. Bernstein and S.I. Gelfand. “Meromorphic property of the function
Pλ”. In: Funk. Anal. Pri.3.1 (1969), pp. 84–85.
[Bjo79] J. E. Bjork.Rings of Differential Operators. Amsterdam: North Holland, 1979.
[Bon75] Jean-Michel Bony. “Polynoˆmes de Bernstein et monodromie”. In:Se´minaire N. Bourbaki 459 (1975), pp. 77–110.
[Bro83] A. Brondsted.An Introduction to Convex Polytopes. Springer - Verlag, 1983.
[CCW99] A. Carbery, M. Christ, and J. Wright. “Multidimensional Van Der Cor- put and Sublevel Set Estimates”. In: Journal of The American Mathe- matical Society 12.4 (1999), pp. 981–1015.
[Cor34] J.G. Van Der Corput. “Zur methode der stationa¨ren phase”. In: Com- positio Math.1 (1934), pp. 15–38.
[Cro05] Martin D. Crossley.Essential Topology. Springer, 2005.
[Cro78] Fred H. Croom.Basic Concepts of Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1978.
[DB07] L. Debnath and D. Bhatta.Integral Transforms and Their Applications. Boca Raton - London - New York: Chapman & Hall/CRC, 2007.
[DNS05] J. Denef, J. Nicase, and P. Sagos. “Oscillating Integrals and Newton polyhedra”. In:J. Anal. Math. 95 (2005), pp. 147–172.
[DP07] R. Díaz and E. Pariguan. “On hypergeometric functions and Pochham- mer k-symbol”. In: Divulgaciones Matemáticas 15.2 (2007), pp. 179– 192.
[Dun84] Dinh Dung. “Number of Integral Points in a Certain Set and the Ap- proximation of Functions of Several Variables”. In:Matematicheskie Ze- marki 36.4 (1984), pp. 479–491.
[Erd56] A. Erd´elyi.Asymptotic expansions. New York: Dover Publications, Inc., 1956.
[Fed71] M.V. Fedoryuk. “The stationary phase method and pseudodifferential operators”. In: Russ. Math. Surv. 26.1 (1971), pp. 65–115.
[Fed77] M.V. Fedoryuk.The saddle-point method (by Russian). Moscow: Nauka, 1977.
[Fed89] M.V. Fedoryuk. Analysis I. Integral Representations and Asymptotic Methods , Part II: Asymptotic methods in Analysis. Berlin: Springer- Verlag, 1989, pp. 83–191.
[Gin74] S.G. Gindikin. “Energy estimates connected with the Newton polyhe- dron”. In:Trans. Moscow Math. Soc. 31 (1974), pp. 193–246.
[Gra10] M. Granger. “Bernstein-Sato polynomials and functional equations”. In:
Algebraic approach to differential equations. Edited by Lê Dung Trang. World Scientic publishing company (2010), pp. 225–291.
[Gre10] M. Greenblatt. “Oscillatory integral decay, sublevel set growth, and the Newton polyhedron”. In: Math. Ann.346.4 (2010), pp. 857–895.
[Gre11] M. Greenblatt. “Resolution of singularities in two dimensions and the stability of integrals”. In:Advances in Mathematics 226 (2011), pp. 1772– 1802.
[Gre12] M. Greenblatt. “Stability of oscillatory integral asymptotics in two di- mensions”. In:J. Geom. Anal. (2012).
[Gru03] B. Grunbaum.Convex polytopes. Springer, 2003.
[GS94] A. Grigis and J. Sjo¨strand.Microlocal analysis for differential operators. An introduction. Cambridge University Press, 1994.
[GV92] S. Gindikin and L. R. Volevich. The Method of Newton’s Polyhedron in the Theory of Partial Differential Equations. Kluwer Academic Pub- lichers, 1992.
[Kar09] A. I. Karol0. “Newton Polyhedra, Asymptotics of Volumes, and Asymp- totics of Exponential Integrals”. In: Amer. Math. Soc. Transl. 228.2 (2009), pp. 13–30.
[Kar86a] V.N. Karpushkin. “A theorem concerning uniform estimates of oscilla- tory integrals when the phase is a function of two variables”. In:J.Soviet Math.35 (1986), pp. 2809–2826.
[Kar86b] V.N. Karpushkin. “Uniform estimates of oscillatory integrals with parabolic or hyperbolic phases”. In:J.Soviet Math. 33 (1986), pp. 1159–1188.
[Kar98] V.N. Karpushkin. “Uniform estimates for volumes”. In: Tr. Mat. Inst. Stelova 221 (1998), pp. 225–231.
[Kas76] M. Kashiwara. “B-functions and holonomic system”. In: Invent. Math.
38 (1976), pp. 33–53.
[Kou76] A.G. Kouchnirenko. “Polye`dres de Newton et nombres de Milnor”. In:
Invent. math.32.1 (1976), pp. 1–31.
[Kow10] Micheal W. Kowalski. “A Comparative Study of Oscillatory Integral, and Sub-Level Set, Operator Norm Estimates”. PhD thesis. University of Edinburgh, 2010.
[Loc11] Tran Gia Loc. “Bernstein-Sato polynomial and the generalized Gamma functions (Vietnamese)”. In: Jour. Sci. University of Dalat 01 (2011), pp. 23–31.
[LT12] Tran Gia Loc and Trinh Duc Tai. “The generalized Gamma functions”. In:Acta Mathematica Vietnamica 37.02 (2012), pp. 219–230.
[Mal74a] B. Malgrange. “Inte´grales asymptotiques et monodromie”. In: Annales scientifiques de l’E´.N.S. 7.3 (1974), pp. 405–430.
[Mal74b] B. Malgrange. “Sur les polynoˆmes de I.N. Bernstein”. In:Uspekhi Mat. Nauk.29.4 (1974), pp. 81–88.
[Man09] M. Mansour. “Determining the k-generalized gamma functionΓk(x) by functional equations”. In:Int. J. Contemp. Math. Sciences 4.21 (2009), pp. 1037–1042.
[Mas72] V.P. Maslov.The´orie des perturbations et me´thodes asymptotiques. Dunod - Paris, 1972.
[Mas76] V.P. Maslov. Operator methods. Mir Publishers - Moscow, 1976. [MF81] V.P. Maslov and M.V. Fedoryuk.Semi-classical approximation in quan-
tum mechanics. Nauka - Moscow, 1981.
[Mil63] J. Milnor.Morse Theory. New Jersey: Princeton University Press, 1963. [Mil68] J. Milnor. “Singular points of complex hypersurfaces”. In:Anal. of Math.
stud.61 (1968).
[Mur74] J. D. Murray.Asymptotic analysis. Oxford: Clarendon Press, 1974. [Par07] Ioannis Parissis. “Oscillatory Integrals with Polynomial Phase”. PhD
thesis. Department of Mathematics, University of Crete, 2007.
[Pos19] E.L. Post. “The Generalized Gamma Functions”. In: Ann. Math. 20.3 (1919), pp. 202–217.
[PS92] D. H. Phong and E. M. Stein. “Oscillatory Integrals with Polynomial Phases”. In:Invent. math.110.1 (1992), pp. 39–62.
[PS97] D. H. Phong and E. M. Stein. “The Newton polyhedron and oscillatory integral operators”. In: Acta Math. 179 (1997), pp. 105–152.
[PSS01] D. H. Phong, E. M. Stein, and J. A. Sturm. “Multilinear level set oper- ators, oscillatory integral operators, and Newton polyhedra”. In:Math. Ann.319 (2001), pp. 573–596.
[PSS99] D. H. Phong, E. M. Stein, and J.A. Sturm. “On the growth and stability of real analytic functions”. In: Amer.J.Math. 121 (1999), pp. 519–554. [Rai60] E.D. Rainville. Special Functions. The Macmillan Company, 1960. [RS05] O. Robert and P. Sargos. “A General Bound for Oscillatory Integrals
with a Polynomial Phase of Degree k”. In: Math. Res. Lett. 4 (2005), pp. 531–537.
[See98] A. Seeger. “Radon transforms and finite type conditions”. In: J. of the AMS.11.4 (1998), pp. 869–897.
[Sin04] E.V. Sinitskaya. “Newton’s Polyhedron and Weyl’s Formula for the spectrum of the Schro¨dinger operator with polynomial potential”. In:
Journal of Mathematical Sciences 124.3 (2004), pp. 5036–5053.
[Ste93] Elias M. Stein. Harmonic Analysis : Real-Variable Methods, Orthogo- nality, and Oscillatory Integrals. Princeton, New Jersey: Princeton Uni- versity Press, 1993.
[TM83] Lê Dung Trang and Z. Mebkhout. “Introduction to linear differential systems”. In: Proccedings of symposia in Pure Mathematics 40 (1983), part 2.
[TR76] Lê Dung Trang and C.P. Ramanujam. “The invariance of Milnor’s num- ber implies the invariance of the topological type”. In:American Journal of Mathematics 98 (1976), pp. 67–78.
[Var76] A.N. Varchenko. “Newton polyhedra and estimation of oscillatory inte- grals”. In:Functional Anal. Math. 10.3 (1976), pp. 175–196.
[Vas77] V. A. Vassiliev. “The asymptotics of exponential integrals, Newton di- agram, and classification of minimal points”. In:Func. Anal. Math. 11 (1977), pp. 163–172.
[Vas79] V. A. Vassiliev. “Asymptotic behavior of exponential integrals in the complex exponent”. In:Funkt. Anal. Prilozh. 18.4 (1979), pp. 239–247. [Vig79] M.F. Vignéras. “L’ équation fonctionalie de la fonction zeta de selberg de groupe modulaire PSL(2,Z)”. In: Asterisque 61 (1979), pp. 235–249. [VL14] Ha Huy Vui and Tran Gia Loc. “On the volume and the number of
lattice points of some semialgebraic sets”. In: (2014), (Submitted). [Wat22] G. N. Watson.A Treatise on the Theory of Bessel Functions. London:
Cambridge University Press, 1922.
[Won01] R. Wong.Asymptotic Approximations of Integrals. Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia: SIAM, 2001.