Khai triển tiệm cận các tích phân kỳ dị (tóm tắt + toàn văn)

Trong phạm vi của luận án này, chúng tôi dành phần lớn cho việc nghiêncứu dáng điệu tích phân kỳ dị dao động có dạngIλ = Z Rn eiλφxf xdx và các bài toán liên quan đến nó; trong đó λ là m

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Đà Lạt

Người hướng dẫn khoa học 1: GS TS Lê Dũng Tráng Người hướng dẫn khoa học 2: TS Trịnh Đức Tài

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án

Tiến sĩ họp tại Trường Đại học Đà Lạt vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Trung tâm thông tin - thư viện Đại học Đà Lạt

- Website http://www.dlu.edu.vn

Trong phạm vi của luận án này, chúng tôi dành phần lớn cho việc nghiêncứu dáng điệu tích phân kỳ dị dao động có dạng

I(λ) =

Z

Rn

eiλφ(x)f (x)dx

và các bài toán liên quan đến nó; trong đó λ là một số dương đủ lớn, φ

là hàm trơn có giá trị thực được gọi là hàm pha, f là hàm trơn có giátrị phức gọi là hàm biên độ

Theo Elias M Stein, có ba vấn đề cơ bản khi xét dáng điệu của I(λ), khi

λ → +∞, là địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận Có nhiều phươngpháp và công cụ để khảo sát dáng điệu của tích phân dao động I(λ),trong đó việc sử dụng các tính chất của đa diện Newton của hàm pha φ

là một trong những công cụ hữu hiệu

Luận án này gồm có 3 chương Trong chương một chúng tôi nghiên cứutổng quan về tích phân kỳ dị dao động Trước tiên chúng tôi nghiên cứuphương pháp pha dừng, tiếp theo là nghiên cứu tích phân dao động theo

ba vấn đề cơ bản của Elias M Stein và các học trò Sau cùng chúng tôinghiên cứu những kết quả gần đây của E.M Stein, D.H Phong, J.A.Sturm, B Malgrange, V.I Arnold, A.N Varchenko, M Greenblatt, I.Parissis, trong trường hợp hàm pha là đa thức, hoặc là hàm giải tích.Đặc biệt chú ý đến các số mũ trong công thức tiệm cận của tích phândao động, mối liên hệ giữa chúng với các tính chất của đa diện Newtoncủa hàm pha φ Những kết quả đó cũng là động cơ và là khởi nguồn củanhững kết quả của chúng tôi

Trong chương hai, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa đa thức stein và hàm gamma Euler, trong đó làm rõ mối liên hệ giữa nghiệmcủa đa thức Bernstein và giá trị riêng của ma trận monodromy của mộthàm giải tích thông qua các ví dụ, ban đầu đã nhận được hàm gammasuy rộng Γ từ hàm gamma Euler ứng với f là một đơn thức, và nhận

Bern-Trong chương ba, chúng tôi nghiên cứu tiệm cận thể tích và tiệm cận sốđiểm nguyên của các tập nửa đại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đathức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin Các số mũ trong các côngthức tiệm cận mà chúng tôi thu được, được biểu diễn một cách tườngminh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức

đó ([VL14])

Tổng quan những vấn đề liên quan đến luận án

Tích phân dao động đã thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học và cácnhà Vật lý từ khi xuất hiện công trình Théorie Analytique de la Chaleur của JosephFourier vào năm 1822 Nhiều bài toán Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, hìnhhọc đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết số; các bài toán về quang học, âm học, cơhọc lượng tử, đều có thể đưa về việc nghiên cứu các tích phân dao động Mặc dùbài toán này đã có từ lâu, nhưng do phạm vi ứng dụng rộng lớn của nó, nên đếnnay vẫn có nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu nó và đã thu được nhiều kếtquả quan trọng

Trong khoảng 40 năm gần đây, lý thuyết kỳ dị cũng đã có quan hệ chặt chẽ với việcnghiên cứu các tích phân tiệm cận Nhiều bài toán nghiên cứu các điểm tới hạn đãchỉ ra các ứng dụng trực tiếp khi nghiên cứu các tính chất của tích phân tiệm cận.Theo [AGZV88], một trong những bài toán cổ điển của lý thuyết phương trình đạohàm riêng tuyến tính là bài toán xây dựng nghiệm tiệm cận theo một tham số củabài toán Cauchy với các điều kiện ban đầu dao động nhanh Sử dụng các phươngpháp tiệm cận để giải bài toán trên, người ta đã suy ra kết quả sau (xem [Mas72;Mas76; MF81]):

Với mọi số tự nhiên N , trong một lân cận của điểm y0 nào đó, nghiệm của bàitoán Cauchy có thể biểu diễn dưới dạng một tổng hữu hạn các tích phân dao động

Z

eiτ F (y,x)ϕ y, x, (iτ )−1
dx

và một số dư có cấp o(τ−N), khi τ → ∞; trong đó F là một hàm nhận giá trị thực,

τ là tham số lớn của bài toán, x là tham số thực, hàm ϕ có giá compact theo x và

là một đa thức theo (iτ )−1

Vậy việc tính toán tiệm cận nghiệm của bài toán Cauchy được đưa về việc tính tiệmcận các tích phân dao động Trong các công trình của J.F Nye và M.V Berry ta cóthể tìm thấy nhiều ví dụ của các bài toán Vật lý được đưa về nghiên cứu tích phân

kỳ dị dao động

Nhìn chung, cho đến năm 1950 người ta mới biết một ít về bài toán đánh giá tích

này đã có sự tiến bộ quan trọng từ khi xuất hiện các công trình của I Gelfand vàcác học trò, J Bernstein và M Fedoryuk Các nhà Toán học này đã đưa ra phươngpháp nghiên cứu mối liên hệ giữa đơn đạo của hàm pha và khai triển tiệm cận củacác tích phân dao động Từ đó đã đưa đến sự ra đời của đa thức Bernstein nổi tiếng,

đa thức này thỏa mãn mối liên hệ

P (x, s, ∂

∂x)f

s

= bf(s)fs−1 ,

trong đó P là một toán tử vi phân, f là đa thức, bf(s) cũng là đa thức và được gọi

là đa thức Bernstein ứng với f Sau đó, J.E Bj¨ork đã mở rộng đa thức Bernsteincho trường hợp f là một mầm hàm giải tích Năm 1973, B Malgrange đã thiết lậpmối quan hệ giữa đơn đạo và khai triển tiệm cận các tích phân dao động một cáchtường minh

Cũng trong thập niên 1970, V.I Arnold và A.N Varchenko đã đưa ra các kết quả

lý thú về tốc độ tắt dần (the decay rate) của tích phân dao động thông qua giaođiểm của lược đồ Newton của hàm pha với đường phân giác của góc tọa độ dương

và chỉ số của tất cả các số hạng của khai triển tiệm cận của tích phân dao động đóchỉ phụ thuộc vào lược đồ Newton của hàm pha Tiếp theo đó, E.M Stein, DuongHong Phong, M Greenblatt dựa trên định lý Varchenko đã đánh giá tích phân daođộng và thể tích của tập dưới mức của hàm pha thông qua các yếu tố của lược đồNewton của hàm pha và họ đã thu được những kết quả quan trọng

Lý do chọn đề tài

Bài toán tìm tiệm cận các tích phân kỳ dị cho đến nay vẫn là bài toán mở, hấpdẫn nhiều nhà Toán học Do số hạng đầu trong công thức khai triển tiệm cận quyếtđịnh dáng điệu tiệm cận của tích phân kỳ dị nên việc nghiên cứu các số mũ xuấthiện trong số hạng đầu tiên đó là một việc rất có ý nghĩa

Hàm gamma Euler có một vị trí rất quan trọng trong Toán học, Vật Lý và

Kỹ thuật, do đó việc mở rộng hàm gamma là một việc cần thiết được nhiều nhàToán học quan tâm như E.L Post [Pos19], E.W Barnes [Bar99; Bar04], Díaz vàPariguan [DP07], M.Mansour [Man09], Trong luận án này chúng tôi sử dụng đathức Bernstein-Sato để mở rộng hàm gamma Euler và hy vọng thông qua sự mởrộng đó sẽ tìm được một số tính chất của tích phân kỳ dị

Mặt khác, bài toán tìm tiệm cận số điểm nguyên trong một tập là một trongnhững bài toán cơ bản của Lý thuyết số

Trong luận án này chúng tôi tập trung giải quyết các bài toán sau:

• Nghiên cứu tổng quan dáng điệu tiệm cận của các tích phân kì dị dao độngthông qua số hạng đầu tiên trong các công thức tiệm cận tương ứng của chúng

và khảo sát các số mũ xuất hiện trong các công thức tiệm cận đó

• Mở rộng hàm gamma Euler và nghiên cứu các tính chất của hàm gamma suyrộng đó

• Tìm công thức tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửađại số được xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin Các số mũ trong các công thức tiệm cận được tính một cách tườngminh thông qua các yếu tố của đa diện Newton của các ánh xạ đa thức đó

Để giải các bài toán đó, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

• Các phương pháp địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận thường được dùngtrong lý thuyết tích phân kỳ dị

• Sử dụng đa diện Newton để khảo sát dáng điệu tiệm cận của tích phân daođộng, tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của các tập nửa đại số

• Mở rộng hàm gamma Euler và sử dụng đa thức Bernstein-Sato để nghiên cứucác tính chất của hàm gamma suy rộng Phương pháp này hoàn toàn khác vớicác phương pháp mà các nhà Toán học khác đã sử dụng trước đây

• Các phương pháp tính toán trong Giải tích tiệm cận, Hình học đại số, Tôpôđại số, Lý thuyết kỳ dị, Giải tích số và Đại số tuyến tính

Những đóng góp mới của luận án

Các kết quả chính của luận án bao gồm:

1 Dựa trên kết quả của B Malgrange (xem [Mal74a]), chúng tôi đã làm rõ mốiliên hệ giữa các nghiệm của đa thức Bernstein-Sato và các giá trị riêng của

ma trận đơn đạo của một hàm giải tích thông qua các ví dụ một cách tườngminh

2 Chúng tôi đã mở rộng hàm gamma Euler bởi định nghĩa sau

Γf(s) :=

Z ∞

f (t)s−1e−tdt,

rộng hay "hàm gamma ứng với f" Chúng tôi đã thu được một số kết quả bướcđầu về phương trình hàm kiểu gamma

Γf(s + 1) =B(s)Γf(s),

trong đó B(s) là đa thức Bernstein-Sato của f, như xây dựng được điều kiện

đủ để một đa thức f thỏa phương trình hàm trên Trong trường hợp f (t) = tk,chúng tôi chứng minh được hàm gamma ứng với tk thỏa mãn phương trìnhhàm nói trên và có hầu hết các tính chất của hàm gamma Euler Các tính chất

đó đều có sự tham gia của đa thức Bernstein-Sato của tk và cách mở rộng củachúng tôi hoàn toàn tương thích với cách mở rộng của các nhà Toán học trướcđây

3 Từ những kết quả của GS.TSKH Đinh Dũng về tiệm cận thể tích của đa diệnlôgarit trong lý thuyết xấp xỉ, chúng tôi đã mở rộng các kết đó và nhận đượctiệm cận thể tích của các tập dưới mức của lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãnđiều kiện Mikhailov-Gindikin Các số mũ phát biểu trong Định lý 3.1 đượctính một cách tường minh thông qua đa diện Newton của các ánh xạ đa thứctương ứng và chúng hoàn toàn phù hợp với các kết quả của V.A Vasilev, E.V.Sinitskaya, A.I Karol’, M Greenblatt (xem [Vas77], [Sin04], [Kar09], [Gre10])

4 Cũng từ kết quả của GS Đinh Dũng về tiệm cận số điểm nguyên của đa diệnlôgarit, chúng tôi đã tìm được công thức tiệm cận số điểm nguyên của các tậpnửa đại số xác định bởi lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiện Mikhailov-Gindikin theo các yếu tố của đa diện Newton của lớp các ánh xạ đa thức đó

Để nhận được kết quả đó, chúng tôi đã sử dụng đa diện đầy đủ của chính đadiện Newton của ánh xạ đa thức đó và các số mũ nhận được trong công thứctiệm cận của Định lý 3.2 tương tự như trong công thức tiệm cận thể tích củacác tập dưới mức

5 Bên cạnh đó chúng tôi chỉ ra được lớp các ánh xạ đa thức thỏa mãn điều kiệnMikhailov-Gindikin là một tập con mở của tập các ánh xạ đa thức có cùngmột đa diện Newton

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Thông qua luận án này, tác giả đã đưa ra một số kết quả mới có thể được ápdụng trong một số lĩnh vực như Giải tích tiệm cận, Tích phân dao động, Giải tích

số, Lý thuyết tối ưu,

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại các Hội nghị và cácSeminar sau:

• Seminar ngành Toán Giải tích, Khoa Toán - Tin học, Đại học Đà Lạt

• Hội nghị Khoa học Khoa Sau Đại học, Đại học Đà Lạt - 2009

• Hội nghị Khoa học Trường Đại học Tây Nguyên - 12/2009

• International Conference on Topology of singularities and related topics, I,JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Hanoi, Vietnam, March03/2010

• Hội nghị Tin học và Toán ứng dụng, Đại học Nha Trang 17/6/2011

• Hội nghị toàn quốc về Đại số - Hình học - Tô pô (DAHITO), Đại học TháiNguyên 3-5/11/2011

• International Conference in Mathematics and Applications (ICMA - MU 2011),Mahidol University, Thailand, December 17-19, 2011

• Seminar nhóm kỳ dị, Viện Toán học

• Seminar nhóm kỳ dị, Viện Toán học cao cấp (VIASM - 2012)

• International Conference on Topology of singularities and related topics, III,JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Dalat, Vietnam, March26-30, 2012

• Hội nghị khoa học, Viện Toán học - 12/2012 (PGS.TSKH Hà Huy Vui báocáo)

• Đại hội Toán Học Toàn Quốc Lần thứ 8, Nha Trang 10-14/08/2013

• Trường CIMPA và Hội nghị quốc tế Hình học và Tô pô của các đa tạp kỳ dị

Hà Nội, 02 - 14/12/2013 (PGS.TSKH Hà Huy Vui báo cáo)

Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động

có thể xét tích phân trên theo nghĩa giá trị chính (principal value - pv.)

|x−t|>

f (t)

x − tdt.

Ta có hai bài toán sau

(i) Sự tồn tại củaH(f)

(ii) Mối quan hệ giữa f và H(f), tức là những tính chất nào của f được giữ lạibởi H(f)

x − t, gọi là hạt nhân của phép biến đổi Hilbert, thỏa mãn

các tính chất sau

|K(x, t)| ≤ C

|x − t| , x, t ∈ R ,

∂

∂xK(x, t)

+

≤ C

|x − t|n+1 , x, t ∈ Rn ,trong đó C là hằng số thì ta gọi K(x, t) là hạt nhân Calderon-Zygmund Trường hợpK(x, t) = eiλφ(x) hoặc K(x, t) = eiλϕ(x,t), với λ là tham số lớn và dương, ta thườnggặp các tích phân dạng

I(λ) =

Z

Rn

eiλφ(x)f (x)dx ,còn gọi là tích phân dao động loại I hay tích phân dao động, và

Tλ(f )(x) =

Z

Rn

eiλϕ(x,t)ψ(x, t)f (t)dt ,

còn gọi là tích phân dao động loại II

Đối với tích phân dao động loại I, bài toán được nhiều nhà toán học quan tâm

là đánh giá I(λ) và khảo sát dáng điệu tiệm cận của nó khi tham số λ → ∞ Trongchương này, chúng tôi trình bày tóm tắt các kết quả của một số nhà Toán học vềcác đánh giá, các khai triển tiệm cận của các tích phân dao động loại I Do lĩnh vựcnày rất rộng, nên chúng tôi chỉ đề cập đến một số kết quả liên quan đến nghiên cứucủa mình

1.2 Tích phân dao động trong trường hợp một

chiều

Xét tích phân dao động sau

I(λ) =

Z b a

1.2.1 Địa phương hóa

Giả sử φ có giá compact trong khoảng mở (a, b) Dáng điệu tiệm cận của I(λ) đượcxác định bởi các điểm kỳ dị của hàm pha φ Khi đó, từ dáng điệu địa phương củaI(λ) tại các điểm này ta có thể suy ra dáng điệu tiệm cận toàn cục của I(λ)

Bổ đề 1.1 (Riemann-Lebesgue, [Ste93]) Giả sử φ và f là các hàm trơn sao cho f

có giá compact trong khoảng mở (a, b) và φ0(x) 6= 0, với mọi x ∈ [a, b] Khi đó

I(λ) = O(λ−N), khi λ → ∞, với mọi N ≥ 0

Bổ đề 1.1 chính là trường hợp một chiều của nguyên lý pha dừng (Định lý ??)

1.2.2 Đánh giá tích phân dao động một chiều

Bổ đề 1.2 (Van der Corput, [Ste93]) Giả sử φ : [a, b] −→ R là một hàm thuộc lớp

Ck và φk(x) ≥ 1, với k ≥ 1 nào đó và với mọi x ∈ [a, b] Nếu k = 1 thì giả thiết

thêm φ0 đơn điệu Khi đó với mọi λ > 0 ta có

Z b a

eiλφ(x)dx

... tiệm cận tham số λ → ∞ Trongchương này, chúng tơi trình bày tóm tắt kết số nhà Toán học v? ?các đánh giá, khai triển tiệm cận tích phân dao động loại I Do lĩnh vựcnày rộng, nên đề cập đến số kết... giá compact khoảng mở (a, b) Dáng điệu tiệm cận I(λ) đượcxác định điểm kỳ dị hàm pha φ Khi đó, từ dáng điệu địa phương củaI(λ) điểm ta suy dáng điệu tiệm cận toàn cục I(λ)

Bổ đề 1.1 (Riemann-Lebesgue,... dương, ta thườnggặp tích phân dạng

I(λ) =

Z

Rn

eiλφ(x)f (x)dx ,cịn gọi tích phân dao động loại I hay tích phân dao động,

Tλ(f