Đa tạp hai chiều trong E3 và ứng dụng

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN BÙI TH± NHUNG ĐA TAP HAI CHIEU TRONG E VÀ ÚNG DUNG KHĨA LU¾N TOT NGHI›P ĐAI HOC Chun ngành: HÌNH HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc NGUYEN NĂNG TÂM Hà N®i - 2013 LèI CÁM ƠN Em xin chân thành cám ơn thay to Hình hoc, thay cô ban sinh viên khoa Tốn Trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà N®i 2, ban chn nhi¾m khoa Tốn tao đieu ki¾n cho em hồn thành tot khóa lu¾n Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Nguyen Năng Tâm, thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giỳp em hon thnh khoỏ luắn ny H Nđi, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Th% Nhung LèI CAM ĐOAN Khố lu¾n ket q cna bán thân em q trình hoc t¾p nghiên cúu Bên canh đó, em đưoc sn quan tâm cna thay giáo khoa Tốn, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cna thay Nguyen Năng Tâm Trong nghiên cúu hồn thành khố lu¾n em tham khỏo mđt so ti liắu ó ghi phan tài li¾u tham kháo Em xin khang đ%nh ket cna đe tài “Đa tap hai chieu E3 úng dung” khơng có sn trùng l¾p vói ket q cna đe tài khác Hà N®i, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Th% Nhung Mnc lnc Má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Euclide 1.2 Hàm vectơ 1.2.1 Hàm vectơ 1.2.2 M®t so phép toán đai so ve hàm vectơ 1.2.3 Giói han cna hàm vectơ 1.2.4 Đao hàm cna hàm vectơ m®t bien 1.3 Trưòng vectơ không gian Euclide En 11 1.3.1 Vectơ tiep xúc .11 1.3.2 Trưòng vectơ tiep xúc 11 1.3.3 Trưòng muc tiêu 12 1.4 Cung tham so 12 1.5 Cung cung đ%nh hưóng 15 1.5.1 Cung .15 1.5.2 Cung đ%nh hưóng 15 1.6 Cung quy 16 1.6.1 Điem quy, điem kì d% 16 1.6.2 Cung quy, m®t dìm 16 1.7 Cung song quy 17 1.8 Cung hình hoc 17 1.8.1 Cung hình hoc .17 1.8.2 Cung tham so kieu đo th% .18 1.9 Đưòng hình hoc 20 1.9.1 Đưòng hình hoc .20 1.9.2 Dau hiắu nhắn biet mđt t¾p điem đưòng hình hoc 21 1.10 Đưòng xác đ%nh bói phương trình an 22 1.10.1 Đưòng xác đ%nh bói phương trình an E2 22 1.10.2 Đưòng xác đ%nh bói phương trình an E3 22 1.11 Mánh tham so 23 1.11.1 Mánh tham so 23 1.11.2 Điem quy, điem kì d%, mánh quy .23 1.12 Mánh hình hoc 24 1.12.1 Mánh hình hoc 24 1.12.2 Mánh tham so kieu đo th% 24 Chương Đa tap hai chieu E3 31 2.1 Đa tap .31 2.2 Đa tap hai chieu E3 .32 2.3 Dau hi¾u nh¾n biet mđt iem l a tap hai chieu E3 32 Chương Úng dnng cúa đa tap hai chieu E3 36 3.1 Bài t¾p áp dung dau hi¾u nh¾n biet .36 3.1.1 Áp dung dau hi¾u 36 3.1.2 Áp dung dau hi¾u 45 3.1.3 Áp dung dau hi¾u 57 3.2 Bài t¾p áp dung mánh hình hoc đa tap hai chieu 3.3 Mđt so bi khỏc 64 76 Ket luắn 80 Tài li¾u tham kháo 81 Mé ĐAU Lý chon đe tài Đa tap hai chieu E3 m®t máng kien thúc mơn hình hoc vi phân, đóng vai trò quan trong tốn hoc Sau hoc xong chương trình tốn dành cho cú nhân sư pham, đ¾c bi¾t sau hoc xong mơn hình hoc vi phân, em mong muon hoc hói tìm hieu sâu thêm ve đa tap hai chieu E3 úng dung cna Tù đó, xõy dnng mđt hắ thong bi ve a tap hai chieu E3 đay đn nhat cho bán thân theo tùng dang Đong thòi rèn luy¾n tư logic, tính xác can th¾n cho Dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham chun ngành Tốn khn kho cna khố lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóng dan t¾n tình cna thay Nguyen Năng Tâm em chon đe tài “Đa tap hai chieu E3 úng dung” Hy vong, đe tài ny giỳp em cú c hđi hoc tot hn Mnc đích nghiên cNu cúa đe tài Muc đích cna đe tài h¾ thong lai nhung lý thuyet c bỏn v phõn dang cỏc bi mđt cách chi tiet nhat ve đa tap hai chieu E3 Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu đa tap hai chieu E3 Pham vi nghiên cúu lý thuyet t¾p ve đa tap hai chieu E3 Nhi¾m nghiên cNu cúa đe tài H¾ thong lai nhung lý thuyet bán ve đa tap hai chieu E3 H¾ thong dang t¾p ve đa tap hai chieu E3 Phương pháp nghiên cNu Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m, tính chat Cau trúc khóa lu¾n Khóa luắn gom chng: Chng Mđt so kien thỳc chuan b% Chương Đa tap hai chieu E3 Chương Úng dung cna đa tap hai chieu E3 Chương M®t so kien thNc chuan b% Chương trình bày m®t so đ%nh nghĩa đ%nh lý: khơng gian Euclide, hàm vectơ, trưòng vectơ không gian Euclide E n , cung tham so, cung cung đ%nh hưóng, cung quy, cung song quy, cung hình hoc, đưòng hình hoc, đưòng xác đ%nh bói phương trình an, mánh tham so, mánh hình hoc 1.1 Không gian Euclide Đ%nh nghĩa 1.1 Không gian vectơ n−chieu →− trưòng so thnc goi khơng gian vectơ Euclide hi¾u nlà →− E n nneu vói →−n−chieu, kí→− →− moi c¾p có thú tn a, b thuđc E ì E xỏc %nh mđt so thnc vơ hưóng cna hai vectơ →−a , b Kí →−goi tích →− →− hi¾u a b ho¾c a, b thóa mãn tiên đe sau: →− →− →− n Vói moi →−a , b, c ∈ E , ∀λ ∈ R ta có: →−a →−b = →−b →−a , (ii) →−a →−b + →−c = →−a →−b + →−a →−c , (i) (iii) →− →− →− (λ→−a ) b = λ( b a ), (iv) →−a →−a ≥ 0, dau bang xáy chí →−a vectơ khơng Đ%nh nghĩa 1.2 Không gian Euclide n−chieu En→− không gian afin liên ket vói khơng gian vectơ Euclide n−chieu E n Nhắn xột 1.1 Vúi moi iem M thuđc E n , moi →−x vectơ thu®c →− n →− n E ta ln tìm đưoc nhat điem N cna E cho − −→ − −→ →− →− M N= x Neu M N = x viet N = M + →− x Đ%nh nghĩa 1.3 Cho không gian vectơ Euclide n−chieu →− α ∈ vectơ →− E n, √ E n , ta goi so α2 đ® dài (chuan/mođun) cna → − Khống cách giua hai điem M , N ∈ E n giá tr% hi¾u − −→ M N αKí d(M, N ) khoáng cách giua hai điem M , N Khi − −→ d(M, N ) = M N Đ%nh nghĩa 1.4 H¾ {→−ei }i=1,n đưoc goi h¾ vectơ trnc chuan neu   i = j →−e →−e =  i j i ƒ= j →−e )n , Muc tiêu (0, só trnc chuan cna i {→−ei } khơng gian i=1,n Ta có r(R2) = E3 = (S) (1) Lai có r r r = (1, 1, v), r = (1, −1, u) u v Xét ma tr¾n 1 v   A= −1 u Ta thay 1 = = − ƒ −1 Suy rankA = Do rr , rr đ®c l¾p tuyen tính vói ∀(u, v) ∈ R2 u v (2) Tiep theo ta chúng minh r : R2 → r(R2) đong phôi Giá sú, r(u, v) = r(uo, vo) ⇒ (u + v, u − v, uv) = (uo + vo, uo + vo, uovo)   u + v = uo + u = u o vo  ⇔ v = v ⇔ u − v = uo − o vo    uv = uo vo Suy (u, v) = (uo, vo) V¾y r đơn ánh M¾t khác, r : R2 → r(R2) tồn ánh r(R2) ánh cna r Do r đơn ánh liên tuc vói ∀(u, v) ∈ R2 (*) Xét ánh xa ngưoc: r−1 : E3 → R2, (x, y, z) ›→ (u, v) Trong đó,   x y u = + x = u +  2 v  ⇒ y=u−v  v= x −y    z = uv x y x y  2 − Vì u hàm liên tuc vói ∀(x, y, z) ∈ E3 + , v = 2 = nên r−1 hàm liên tuc vói ∀(x, y, z) ∈ E3 (**) Tù (*), (**) suy r : R → E phép đong phôi lên ánh (3) Tù (1), (2), (3) suy (S) l mđt mỏnh hỡnh hoc E3 Vắy (S) đa tap hai chieu E3 Bài t¾p 3.37 Trong E3 vúi hắ toa đ trnc chuan Oxyz cho m¾t (S) = (x, y, z) ∈ E3 : 2z = x2 + y2 + Chúng minh (S) đa tap hai chieu Lòi giái     Tham so hóa m¾t (S) x= uy  =v 2  u z= +v +2  Khi (S) có tham so hóa r : R → E , (u, v) ›→ r(u, v) = u,uv, Xét h¾ toa đ® trnc chuan Oxyz ta có + + v2 r(u, v) = u2 + v + x = u, y = v, z = Vì x, y, z hàm vi ∀(u, v) ∈ R2 r hàm vi ∀(u, v) ∈ R2 r liên tuc ∀(u, v) ∈ R2 Ta có r(R2) = E3 = (S) (1) Lai có r r r = (1, 0, u), r = (0, 1, v) u v Xét ma tr¾n 1 u    A= v Ta thay = = ƒ Suy rankA = Do ú rr , rr đc lắp tuyen tớnh vúi ∀(u, v) ∈ R2 u v Tiep theo ta chúng minh r : R2 → r(R2) đong phôi Giá sú, r(u, v) = r(uo, vo) u2 + v2 + u2 + v2 + o o ) ) = (uo; ⇒(u; v; v ; o    u = u  u = uo o ⇔ ⇔ v = vo   2 2 v = vo u +v + uo + v o + 2  =  2 Suy (u, v) = (uo, vo) V¾y r đơn ánh (2) M¾t khác, r : R2 → r(R2) tồn ánh r(R2) ánh cna r Do r song ánh liên tuc vói ∀(u, v) ∈ R2 (*) Xét ánh xa ngưoc r−1 :   x  y  u  z= E3 → R2, (x, y, z) ›→ (u, v) Trong đó, =u =v  u = x ⇒  v=y +v +2 Vì u = x, v = y hàm liên tuc vói ∀(x, y, z) ∈ E3 nên r−1 hàm liên tuc vói ∀(x, y, z) ∈ E3 (**) Tù (*), (**) suy r : R2 → E3 m®t đong phơi lên ánh (3) Tù (1), (2), (3) suy (S) m®t mánh hình hoc E3 V¾y (S) đa tap hai chieu E3 Bài t¾p 3.38 Trong E3 vúi hắ toa đ trnc chuan Oxyz cho mắt (S)  x2 = quanh truc đoi xúng cna Chúng tao bói parabol P : z y=0 minh (S) đa tap hai chieu E3 Lòi giái  x=u   Tham so hóa m¾t (S) y=0, :    z = u2 truc đoi xúng (P) Oz nên u ƒ=  x = ucosv   Quay (S) quanh truc Oz: y = usinv   z = u Kí hi¾u J = (u, v) ∈ R2 : u ƒ= 0, v ƒ= Khi (S) có tham so hóa r : J → E3 , (u, v) ›→ r(u, v) = (ucosv, usinv, u2) Xột hắ toa đ trnc chuan Oxyz ta cú r(u, v) = x = ucosv, y = usinv, z = u2 Khi r(J ) = (x, y, z) ∈ E3 : y ƒ= 0, z > Vì x, y, z hàm vi ∀(u, v) ∈ J nên r hàm vi ∀(u, v) ∈ J r liên tuc ∀(u, v) ∈ J Ta có r(J ) = (S) (1) Lai có r r r = (cosv, sinv, 2u), r = (−usinv, ucosv, 0) u v Xét ma tr¾n  A =  cosv 2u  −usinv ucosvu cosv sinv Ta thay = ucos2v+usin2v = u = (u, v) J 0, ƒ ∀ ∈ −usinv ucosv Suy rankA = Do ú rr , rr đc lắp tuyen tớnh vúi ∀(u, v) ∈ J (2) u sinv v Tiep theo ta chúng minh r : J → r(J ) đong phôi Giá sú, r(u, v) = r(uo, vo) ⇒(ucosv, usinv, u2) = (uocosvo, uosinvo, u2) o  ⇔ usinv = ucosv = uocosvo uosinvo    u = u o ⇔  u2 = uo2 v = v o Suy (u, v) = (uo, vo) V¾y r đơn ánh M¾t khác, r : J → r(J ) tồn ánh r(J ) ánh cna r Do r song ánh liên tuc vói ∀(u, v) ∈ J (*) −1 Xét ánh xa ngưoc: r : r(J ) → J, (x, y, z) ›→ (u, v) Trong đó,   x = ucosv   u = √z x , (vì y ƒ= 0, z > 0)   y = usinv ⇒ Vì u =    z= v = arccot u2 √ x z, v = arccot y hàm liên tuc ∀(x, y, z) ∈ r(J ) nên y r hàm liên tuc vói ∀(x, y, z) ∈ r(J ) Tù (*), (**) suy r : J → E3 phép đong phôi lên ánh −1 (**) (3) Tù (1), (2), (3) suy (S) l mđt mỏnh hỡnh hoc E3 Vắy (S) đa tap hai chieu E3 3.3 M®t so t¾p khác Bài t¾p 3.39 Hãy chúng tó rang m¾t (S) E3 cho bói phương trình an ϕ(x, y, z) = m®t đa tap hai chieu chí moi điem cna đeu điem quy Chúng minh Vói ∀p = (xo, yo, zo) ∈ S ((S) đa tap hai chieu), nên ton tai lân c¾n mó U ∈ E3 cho U ∩ S đo th% hàm so z = Ψ(x, y) vói Ψ hàm vi Đ¾t ϕ(x, y, z) = z − ψ(x, y), ∀(x, y, z) ∈ U Vì r r r r r ϕ −ψ x, ϕy , ϕz x, −ψy, ƒ= (0, 0, 0) p nên = r p rank r r = ϕ x , ϕy , ϕz p Suy p điem quy Do p điem kì d% nên moi điem cna (S) đeu điem quy Ngưoc lai, vói ∀p ∈ (S) : p = ϕ(xo, yo, zo) Do p điem quy nên ϕr r x(xo, zo ) r yo, zo), ϕy(xo, yo, zo), ϕz (xo, yo, ƒ= (0, 0, 0) Giá sú ϕrz (p) ƒ= Theo đ%nh lí hàm an ton tai lõn cắn o ì Vyo Ux cna (xo, yo) l lõn cắn Wzo cna zo cho (Uxo ì Vyo × Wzo ) ∩ (S) = {(x, y, z) ∈ (Uxo × Vyo × Wzo ) : z = ψ(x, y)} Suy (Uxo × Vyo × Wzo ) ∩ (S) đo th% hàm so z = ψ(x, y) V¾y (S) đa tap hai chieu E3 Bài t¾p 3.40 Xét ánh xa r : R2 → E , (u, v) ›→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) đó: x(u, v) = (a + bcos2πu)cos2πv, y(u, v) = (a + bcos2πu)sin2πv, z(u, v) = bsin2πu, (a b hang so a > b > 0, (x, y, z) toa đ® Descartes vng góc cna E ) Chúng minh rang r R2 m®t đa tap hai chieu T E3, có đưoc quay m®t đưòng tròn quanh m®t truc nam m¾t phang chúa đưòng tròn khơng cat (m¾t xuyen) Chúng minh Chúng minh rang r R2 xuyen T Th¾t v¾y, cho đưòng tròn (tâm (a, 0, 0), bán kính b, nam m¾t phang xOz) phương trình  x = a + bcos2πu   y=0  z = bsin2u  quay quanh Oz đưoc xuyen T (theo đ%nh nghĩa cna xuyen), roi l¾p phương trình tham so cna xuyen (xem m¾t tròn xoay) phương trình thu đưoc cna xuyen trùng vói phương trình xác đ%nh r R2 cho đe tốn Kí hi¾u h¾ phương trình (1) L¾p phương trình an cna xuyen T Tù h¾ (1) suy x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + 2abcos2πu = a2 + b2 + 2ab , x2 + y2 − ab , (do a > b > nên a + bcos2πu > 0, tù x2 + y2 = a + bcos2πu) , V¾y đưoc x + y + z − 2a x2 + y2 + a2 − b2 = (2) Ngưoc lai, cho điem có toa đ® (x, y, z) thóa mãn (2) có u ∈ R, v ∈ R đe xáy (1) 2 V¾y (2) phương trình an cna xuyen T Tù suy T đưoc phn bói mưòi mánh hình hoc đo th% cna hàm so sau đây: , (x, y) ›→ b2 − a2 − x2 − y2 + 2a x2 + y2 (2 hàm), ± , √ 2 2 (y, z) ›→ ± a + b − y − z ± 2a b2 − z2 (4 hàm), √ 2 2 (z, x) ›→ ±,a + b − x − z ± 2a b2 − z2 (4 hm) Vắy T l mđt a tap hai chieu E3 Cũng có the chúng minh T đa tap bang cách nh¾n xét rang , F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2a x2 + y2 + a2 − b2 = ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = chí tai (x, y, z) = (0, 0, 0) mà điem ∂x ∂y ∂z thỡ khụng thuđc T cú = = Ket luắn: Chng ny ó trỡnh by mđt so bi ve đa tap hai chieu E3 theo tùng dau hi¾u v mđt so bi khỏc KET LUắN Trong q trình tìm hieu nghiên cúu đe hồn thành khố lu¾n, em bưóc đau làm quen vói cách thúc làm vi¾c khoa hoc, hi¾u q Qua đó, em h¾ thong lai nhung lý thuyet bán phân dang cỏc bi mđt cỏch chi tiet nhat ve đa tap hai chieu E3 Khóa lu¾n có the xem tài li¾u tham kháo cho nhung ngưòi quan tâm đen đa tap hai chieu E3 nói riêng mơn hình hoc vi phân nói chung, đong thòi thay đưoc sn phong phú cna tốn hoc Đó mong muon cna em Như v¾y có the nói đe tài hồn thành nhi¾m vu nghiên cúu đ¾t Đe hồn thành khố lu¾n tot nghi¾p em xin trân cám ơn thay cô to Hình hoc, thay khoa Tốn, đ¾c bi¾t thay Nguyen Năng Tâm t¾n tình, hưóng dan, giúp đõ em hồn thành khóa lu¾n M¾c dù em có nhieu co gang, song han che ve thòi gian kien thúc nên khố lu¾n khơng tránh khói nhung thieu sót Em kính mong thay ban đoc đóng góp ý kien đe khố lu¾n hồn thi¾n Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [1] Pham Bình Đơ (2010), Hình hoc vi phân, NXB Đai Hoc Sư Pham, Hà N®i [2] Đồn Quỳnh (2009), Hình hoc vi phân, NXB Giáo Duc, Hà N®i [3] Đồn Quỳnh, Tran Đình Vi¾t, Trương Đúc Hinh, Nguyen Huu Quang (1993), Bài hỡnh hoc vi phõn, NXB Giỏo Duc, H Nđi [4] http://daitudien.net/toan-hoc/toan-hoc-ve-da-tap.html [5] http://dangtrungkien.wordpress.com/2012/06/19/tieu-chuannhan-biet-da-tap-hai-chieu-trong-en/ ... Đa tap hai chieu E3 31 2.1 Đa tap .31 2.2 Đa tap hai chieu E3 .32 2.3 Dau hiắu nhắn biet mđt iem l đa tap hai chieu E3 32 Chương Úng dnng cúa đa tap hai. .. mđt cỏch chi tiet nhat ve đa tap hai chieu E3 Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu đa tap hai chieu E3 Pham vi nghiên cúu lý thuyet t¾p ve đa tap hai chieu E3 Nhi¾m nghiên cNu cúa... hoc đa tap hai chieu 3.3 Mđt so bi khác 64 76 Ket lu¾n 80 Tài li¾u tham kháo 81 Mé ĐAU Lý chon đe tài Đa tap hai chieu E3