Thông tin tài liệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN BÙI THỊ NHUNG ĐA TẠP HAI CHIỀU TRONG E VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: HÌNH HỌC Người hướng dẫn khoa học NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy tổ Hình học, thầy cô bạn sinh viên khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm, thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khố luận Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Nhung LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, em quan tâm thầy giáo khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm Trong nghiên cứu hồn thành khố luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Đa tạp hai chiều E ứng dụng” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Nhung Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclide 1.2 Hàm vectơ 1.2.1 Hàm vectơ 1.2.2 Một số phép toán đại số hàm vectơ 1.2.3 Giới hạn hàm vectơ 1.2.4 Đạo hàm hàm vectơ biến 1.3 Trường vectơ không gian Euclide E n 11 1.3.1 Vectơ tiếp xúc 11 1.3.2 Trường vectơ tiếp xúc 11 1.3.3 Trường mục tiêu 12 1.4 Cung tham số 12 1.5 Cung cung định hướng 15 1.5.1 Cung 15 1.5.2 Cung định hướng 15 1.6 Cung quy 16 1.6.1 Điểm quy, điểm kì dị 16 1.6.2 Cung quy, dìm 16 1.7 Cung song quy 17 1.8 Cung hình học 17 1.8.1 Cung hình học 17 1.8.2 Cung tham số kiểu đồ thị 18 1.9 Đường hình học 20 1.9.1 Đường hình học 20 1.9.2 Dấu hiệu nhận biết tập điểm đường hình học 21 1.10 Đường xác định phương trình ẩn 22 1.10.1 Đường xác định phương trình ẩn E 22 1.10.2 Đường xác định phương trình ẩn E 22 1.11 Mảnh tham số 23 1.11.1 Mảnh tham số 23 1.11.2 Điểm quy, điểm kì dị, mảnh quy 23 1.12 Mảnh hình học 24 1.12.1 Mảnh hình học 24 1.12.2 Mảnh tham số kiểu đồ thị 24 Chương Đa tạp hai chiều E 31 2.1 Đa tạp 31 2.2 Đa tạp hai chiều E 32 2.3 Dấu hiệu nhận biết tập điểm đa tạp hai chiều E3 Chương Ứng dụng đa tạp hai chiều E 3.1 Bài tập áp dụng dấu hiệu nhận biết 32 36 36 3.1.1 Áp dụng dấu hiệu 36 3.1.2 Áp dụng dấu hiệu 45 3.1.3 Áp dụng dấu hiệu 57 3.2 Bài tập áp dụng mảnh hình học đa tạp hai chiều 64 3.3 Một số tập khác 76 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 81 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đa tạp hai chiều E mảng kiến thức mơn hình học vi phân, đóng vai trị quan trọng tốn học Sau học xong chương trình tốn dành cho cử nhân sư phạm, đặc biệt sau học xong mơn hình học vi phân, em mong muốn học hỏi tìm hiểu sâu thêm đa tạp hai chiều E ứng dụng Từ đó, xây dựng hệ thống tập đa tạp hai chiều E đầy đủ cho thân theo dạng Đồng thời rèn luyện tư logic, tính xác cẩn thận cho Dưới góc độ sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán khn khổ khố luận tốt nghiệp, đồng thời hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm em chọn đề tài “Đa tạp hai chiều E ứng dụng” Hy vọng, đề tài giúp em có hội học tập tốt Mục đích nghiên cứu đề tài Mục đích đề tài hệ thống lại lý thuyết phân dạng tập cách chi tiết đa tạp hai chiều E Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đa tạp hai chiều E Phạm vi nghiên cứu lý thuyết tập đa tạp hai chiều E Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Hệ thống lại lý thuyết đa tạp hai chiều E Hệ thống dạng tập đa tạp hai chiều E Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Đa tạp hai chiều E Chương Ứng dụng đa tạp hai chiều E Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số định nghĩa định lý: không gian Euclide, hàm vectơ, trường vectơ không gian Euclide E n , cung tham số, cung cung định hướng, cung quy, cung song quy, cung hình học, đường hình học, đường xác định phương trình ẩn, mảnh tham số, mảnh hình học 1.1 Không gian Euclide Định nghĩa 1.1 Không gian vectơ n−chiều trường số thực → − gọi không gian vectơ Euclide n−chiều, kí hiệu E n với → − → − → − − cặp có thứ tự → a , b thuộc E n × E n xác định số thực gọi → − → − → − − − − tích vơ hướng hai vectơ → a , b Kí hiệu → a b → a, b thỏa mãn tiên đề sau: → − − → − − Với → a, b, → c ∈ E n , ∀λ ∈ R ta có: → − → − − − (i) → a b = b → a, → − − → − − → − − (ii) → a b +→ c =→ a b +→ a −c , → − → − − − (iii) (λ→ a ) b = λ( b → a ), − − − (iv) → a → a ≥ 0, dấu xảy → a vectơ không Định nghĩa 1.2 Không gian Euclide n−chiều E n không gian → − afin liên kết với không gian vectơ Euclide n−chiều E n → − − Nhận xét 1.1 Với điểm M thuộc E n , vectơ → x thuộc → −n → − −−→ − E ta ln tìm điểm N E n cho M N = → x −−→ − − x viết N = M + → x Nếu M N = → → − Định nghĩa 1.3 Cho không gian vectơ Euclide n−chiều E n , √ → − − α ∈ E n , ta gọi số α2 độ dài (chuẩn/mođun) vectơ → α −−→ Khoảng cách hai điểm M , N ∈ E n giá trị M N Kí hiệu d(M, N ) khoảng cách hai điểm M , N Khi −−→ d(M, N ) = M N − Định nghĩa 1.4 Hệ {→ ei }i=1,n gọi hệ vectơ trực chuẩn 0 i = j → − → − e i e j = 1 i = j − − Mục tiêu (0, → ei )n1 , {→ ei }i=1,n sở trực chuẩn → − không gian E n gọi mục tiêu trực chuẩn không gian Euclide E n thường gọi hệ tọa độ Descartes vng góc Ta có r : D → E , (u, v) → r(u, v) = (u2 , uv, v ) Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz ta có r(u, v) = x = u2 , y = uv, z = v Khi r(D) = (x, y, z) ∈ E : x > 0, y > 0, z > Vì x, y, z hàm khả vi ∀(u, v) ∈ D nên r hàm khả vi ∀(u, v) ∈ D r liên tục ∀(u, v) ∈ D Ta có r(D) = (S) (1) Lại có ′ ′ ru = (2u, v, 0), rv = (0, u, 2v) Xét ma trận A= Ta thấy 2u v 2u v 0 u 2v = 2u2 = 0, (do u>0) u Suy rankA = Do ru , rv độc lập tuyến tính với ∀(u, v) ∈ D ′ ′ Tiếp theo ta chứng minh r : D → r(D) đồng phôi Giả sử, r(u, v) = r(uo , vo ) ⇒(u2 , uv, v ) = (u2o , uo vo , vo2 ) 67 (2) ⇔ u2 = u2o u = uo uv = uo vo ⇔ v = v o v2 = v2 o Suy (u, v) = (uo , vo ) Vậy r đơn ánh Mặt khác, r : D → r(D) tồn ánh r(D) ảnh r Do r song ánh liên tục với ∀(u, v) ∈ D (*) Xét ánh xạ ngược: r−1 : r(D) → D, (x, y, z) → (u, v) Trong đó, x = u2 u = √x (vì x, z > 0) y = uv ⇒ v = √z z = v2 √ √ Vì u = x, v = z hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ r(D) nên r−1 hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ r(D) Từ (*), (**) suy r : D → E đồng phôi lên ảnh (**) (3) Từ (1), (2), (3) suy (S) mảnh hình học E Vậy (S) đa tạp hai chiều E Bài tập 3.35 Trong E với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt (S) có tham số hóa r : R2 → E , (u, v) → r(u, v) = (u, v, u2 + v ) Chứng minh (S) đa tạp hai chiều E Lời giải Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz ta có r(u, v) = x = u, y = v, z = u2 + v 68 Vì x, y, z hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 nên r hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 r liên tục ∀(u, v) ∈ R2 Ta có r(R2 ) = E = (S) (1) Lại có ′ ′ ru = (1, 0, 2u), rv = (0, 1, 2v) Xét ma trận A= Ta thấy 1 2u 2v = = 0 Suy rankA = Do ru , rv độc lập tuyến tính với ∀(u, v) ∈ R2 ′ ′ (2) Tiếp theo ta chứng minh r : R2 → r(R2 ) đồng phôi Giả sử, r(u, v) = r(uo , vo ) ⇒ (u, v, u2 + v ) = (uo , vo , u2o + vo2 ) u = uo u = uo ⇔ ⇔ v = vo v = v o u2 + v = u2 + v o o Suy (u, v) = (uo , vo ) Vậy r đơn ánh Mặt khác, r : R2 → r(R2 ) tồn ánh r(R2 ) ảnh r Do r song ánh liên tục với ∀(u, v) ∈ R2 69 (*) Xét ánh xạ ngược: r−1 : E → R2 , (x, y, z) → (u, v) Trong đó, x=u u = x ⇒ y=v v=y z = u2 + v Vì u = x, v = y hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E nên r−1 hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E (**) Từ (*), (**) suy r : R2 → E đồng phôi lên ảnh (3) Từ (1), (2), (3) suy (S) mảnh hình học E Vậy (S) đa tạp hai chiều E Bài tập 3.36 Trong E với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt (S) = x2 − y = 2z (x, y, z) ∈ E : Chứng minh (S) đa tạp hai chiều Lời giải Tham số hóa mặt (S) x = u + v (u + v)2 − (u − v)2 ⇒ 2z = = 2uv ⇒ z = uv y = u − v Khi mặt (S) có tham số hóa r : R2 → E , (u, v) → r(u, v) = (u + v, u − v, uv) Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz ta có r(u, v) = (x = u + v, y = u − v, z = uv) Vì x, y, z hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 nên r hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 r liên tục ∀(u, v) ∈ R2 70 Ta có r(R2 ) = E = (S) (1) Lại có ′ ′ ru = (1, 1, v), rv = (1, −1, u) Xét ma trận A= Ta thấy 1 1 v −1 u = −2 = −1 Suy rankA = Do ru , rv độc lập tuyến tính với ∀(u, v) ∈ R2 ′ ′ (2) Tiếp theo ta chứng minh r : R2 → r(R2 ) đồng phôi Giả sử, r(u, v) = r(uo , vo ) ⇒ (u + v, u − v, uv) = (uo + vo , uo + vo , uo vo ) u + v = uo + vo u = uo ⇔ u − v = uo − v o ⇔ v = v o uv = u v o o Suy (u, v) = (uo , vo ) Vậy r đơn ánh Mặt khác, r : R2 → r(R2 ) tồn ánh r(R2 ) ảnh r Do r đơn ánh liên tục với ∀(u, v) ∈ R2 71 (*) Xét ánh xạ ngược: r−1 : E → R2 , (x, y, z) → (u, v) Trong đó, x y u = + x = u + v 2 y =u−v ⇒ x y z = uv v = − 2 x y x y + , v = − hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E 2 2 hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E (**) Vì u = nên r−1 Từ (*), (**) suy r : R2 → E phép đồng phôi lên ảnh (3) Từ (1), (2), (3) suy (S) mảnh hình học E Vậy (S) đa tạp hai chiều E Bài tập 3.37 Trong E với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt (S) = (x, y, z) ∈ E : 2z = x2 + y + Chứng minh (S) đa tạp hai chiều Lời giải Tham số hóa mặt (S) x=u y=v u2 + v + z = Khi (S) có tham số hóa r : R → E , (u, v) → r(u, v) = u2 + v + u, v, Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz ta có r(u, v) = x = u, y = v, z = 72 u2 + v + Vì x, y, z hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 r hàm khả vi ∀(u, v) ∈ R2 r liên tục ∀(u, v) ∈ R2 Ta có r(R2 ) = E = (S) (1) Lại có ′ ′ ru = (1, 0, u), rv = (0, 1, v) Xét ma trận A= Ta thấy 1 u v = = 0 Suy rankA = Do ru , rv độc lập tuyến tính với ∀(u, v) ∈ R2 ′ ′ (2) Tiếp theo ta chứng minh r : R2 → r(R2 ) đồng phôi Giả sử, r(u, v) = r(uo , vo ) u2 + v + u2 + vo2 + ⇒(u; v; ) = (uo ; vo ; o ) 2 u = uo u = uo v = vo ⇔ ⇔ v = vo u2 + v + u2o + vo2 + = 2 Suy (u, v) = (uo , vo ) Vậy r đơn ánh Mặt khác, r : R2 → r(R2 ) tồn ánh r(R2 ) ảnh r Do r song ánh liên tục với ∀(u, v) ∈ R2 73 (*) Xét ánh xạ ngược r−1 : E → R2 , (x, y, z) → (u, v) Trong đó, x=u u = x y=v ⇒ v = y u2 + v + z = Vì u = x, v = y hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E nên r−1 hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ E Từ (*), (**) suy r : R2 → E đồng phôi lên ảnh (**) (3) Từ (1), (2), (3) suy (S) mảnh hình học E Vậy (S) đa tạp hai chiều E Bài tập 3.38 TrongE với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt (S) x2 = z quanh trục đối xứng Chứng tạo parabol P : y =0 minh (S) đa tạp hai chiều E Lời giải Tham số hóa mặt (S) : x=u y=0, z = u2 trục đối xứng (P) Oz nên u = x = ucosv Quay (S) quanh trục Oz: y = usinv z = u2 Kí hiệu J = (u, v) ∈ R2 : u = 0, v = Khi (S) có tham số hóa r : J → E , (u, v) → r(u, v) = (ucosv, usinv, u2 ) 74 Xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz ta có r(u, v) = x = ucosv, y = usinv, z = u2 Khi r(J) = (x, y, z) ∈ E : y = 0, z > Vì x, y, z hàm khả vi ∀(u, v) ∈ J nên r hàm khả vi ∀(u, v) ∈ J r liên tục ∀(u, v) ∈ J Ta có r(J) = (S) (1) Lại có ′ ′ ru = (cosv, sinv, 2u), rv = (−usinv, ucosv, 0) Xét ma trận A= cosv Ta thấy cosv sinv 2u −usinv ucosvu sinv −usinv ucosv Suy rankA = = ucos2 v+usin2 v = u = 0, ∀(u, v) ∈ J Do ru , rv độc lập tuyến tính với ∀(u, v) ∈ J ′ ′ Tiếp theo ta chứng minh r : J → r(J) đồng phôi Giả sử, r(u, v) = r(uo , vo ) ⇒(ucosv, usinv, u2 ) = (uo cosvo , uo sinvo , u2o ) ucosv = uo cosvo u = uo ⇔ usinv = uo sinvo ⇔ v = v o 2 u = uo 75 (2) Suy (u, v) = (uo , vo ) Vậy r đơn ánh Mặt khác, r : J → r(J) tồn ánh r(J) ảnh r Do r song ánh liên tục với ∀(u, v) ∈ J (*) Xét ánh xạ ngược: r−1 : r(J) → J, (x, y, z) → (u, v) Trong đó, x = ucosv √ u= z y = usinv ⇒ x , (vì y = 0, z > 0) v = arccot z = u2 y r−1 √ x hàm liên tục ∀(x, y, z) ∈ r(J) nên y hàm liên tục với ∀(x, y, z) ∈ r(J) (**) Vì u = z, v = arccot Từ (*), (**) suy r : J → E phép đồng phôi lên ảnh (3) Từ (1), (2), (3) suy (S) mảnh hình học E Vậy (S) đa tạp hai chiều E 3.3 Một số tập khác Bài tập 3.39 Hãy chứng tỏ mặt (S) E cho phương trình ẩn ϕ(x, y, z) = đa tạp hai chiều điểm điểm quy Chứng minh Với ∀p = (xo , yo , zo ) ∈ S ((S) đa tạp hai chiều), nên tồn lân cận mở U ∈ E cho U ∩ S đồ thị hàm số z = Ψ(x, y) với Ψ hàm khả vi 76 Đặt ϕ(x, y, z) = z − ψ(x, y), ∀(x, y, z) ∈ U Vì ϕ′x , ϕ′y , ϕ′z p = −ψx′ , −ψy′ , nên rank ϕ′x , ϕ′y , ϕ′z p p = (0, 0, 0) = Suy p điểm quy Do p điểm kì dị nên điểm (S) điểm quy Ngược lại, với ∀p ∈ (S) : p = ϕ(xo , yo , zo ) Do p điểm quy nên ′ ′ ′ ϕx (xo , yo , zo ), ϕy (xo , yo , zo ), ϕz (xo , yo , zo ) = (0, 0, 0) Giả sử ϕz (p) = Theo định lí hàm ẩn tồn lân cận Uxo × Vyo ′ (xo , yo ) lân cận Wzo zo cho (Uxo × Vyo × Wzo ) ∩ (S) = {(x, y, z) ∈ (Uxo × Vyo × Wzo ) : z = ψ(x, y)} Suy (Uxo × Vyo × Wzo ) ∩ (S) đồ thị hàm số z = ψ(x, y) Vậy (S) đa tạp hai chiều E Bài tập 3.40 Xét ánh xạ r : R2 → E , (u, v) → (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) đó: x(u, v) = (a + bcos2πu)cos2πv, y(u, v) = (a + bcos2πu)sin2πv, z(u, v) = bsin2πu, 77 (a b số a > b > 0, (x, y, z) tọa độ Descartes vng góc E ) Chứng minh r R2 đa tạp hai chiều T E , có quay đường tròn quanh trục nằm mặt phẳng chứa đường trịn khơng cắt (mặt xuyến) Chứng minh Chứng minh r R2 xuyến T Thật vậy, cho đường tròn (tâm (a, 0, 0), bán kính b, nằm mặt phẳng xOz) phương trình x = a + bcos2πu y=0 z = bsin2u quay quanh Oz xuyến T (theo định nghĩa xuyến), lập phương trình tham số xuyến (xem mặt trịn xoay) phương trình thu xuyến trùng với phương trình xác định r R2 cho đề tốn Kí hiệu hệ phương trình (1) Lập phương trình ẩn xuyến T Từ hệ (1) suy 2 2 2 x + y + z = a + b + 2abcos2πu = a + b + 2ab (do a > b > nên a + bcos2πu > 0, từ Vậy x2 + y + z − 2a x2 + y − a b x2 + y = a + bcos2πu) x2 + y + a2 − b2 = (2) Ngược lại, cho điểm có tọa độ (x, y, z) thỏa mãn (2) có u ∈ R, v ∈ R để xảy (1) 78 Vậy (2) phương trình ẩn xuyến T Từ suy T phủ mười mảnh hình học đồ thị hàm số sau đây: b2 − a2 − x2 − y + 2a x2 + y (2 hàm), √ (y, z) → ± a2 + b2 − y − z ± 2a b2 − z (4 hàm), √ (z, x) → ± a2 + b2 − x2 − z ± 2a b2 − z (4 hàm) (x, y) → ± Vậy T đa tạp hai chiều E Cũng chứng minh T đa tạp cách nhận xét F (x, y, z) = x2 + y + z − 2a x2 + y + a2 − b2 = ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = = = (x, y, z) = (0, 0, 0) mà điểm ∂x ∂y ∂z khơng thuộc T có Kết luận: Chương trình bày số tập đa tạp hai chiều E theo dấu hiệu số tập khác 79 KẾT LUẬN Trong q trình tìm hiểu nghiên cứu để hồn thành khố luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em hệ thống lại lý thuyết phân dạng tập cách chi tiết đa tạp hai chiều E Khóa luận xem tài liệu tham khảo cho người quan tâm đến đa tạp hai chiều E nói riêng mơn hình học vi phân nói chung, đồng thời thấy phong phú tốn học Đó mong muốn em Như nói đề tài hồn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hồn thành khố luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy tổ Hình học, thầy khoa Toán, đặc biệt thầy Nguyễn Năng Tâm tận tình, hướng dẫn, giúp đỡ em hồn thành khóa luận Mặc dù em có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy bạn đọc đóng góp ý kiến để khố luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 80 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Bình Đơ (2010), Hình học vi phân, NXB Đại Học Sư Phạm, Hà Nội [2] Đoàn Quỳnh (2009), Hình học vi phân, NXB Giáo Dục, Hà Nội [3] Đồn Quỳnh, Trần Đình Việt, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo Dục, Hà Nội [4] http://daitudien.net/toan-hoc/toan-hoc-ve-da-tap.html [5] http://dangtrungkien.wordpress.com/2012/06/19/tieu-chuannhan-biet-da-tap-hai-chieu-trong-en/ 81 ... kì dị} = đa tạp hai chiều E Kết luận: Chương trình bày định nghĩa dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều E Từ có sở để phân dạng tập đa tạp hai chiều E 35 Chương Ứng dụng đa tạp hai chiều E 3.1... niệm đa tạp hai chiều E chương sau 30 Chương Đa tạp hai chiều E Chương trình bày định nghĩa dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều E 2.1 Đa tạp Khái niệm đa tạp mở rộng khái niệm đường mặt Đa tạp. .. phân dạng tập cách chi tiết đa tạp hai chiều E Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đa tạp hai chiều E Phạm vi nghiên cứu lý thuyết tập đa tạp hai chiều E Nhiệm vụ nghiên cứu
Ngày đăng: 30/06/2020, 20:07
Xem thêm:
