Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán CÁC DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Bài 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2;1;0) đường x y 1 z 1 thẳng : Lập phương trình mặt phẳng ( P) qua M chứa 1 Giải: Đường thẳng có vtcp u (1; 1;2) A(2;1;1) MA (4;0;1) Vì mặt phẳng ( P) qua M chứa nên n p u , MA (1;7;4) Do phương trình ( P) : 1( x 2) 7( y 1) z x y z Bài 12 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; 2;11), B( 2; 10;3) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB Giải: Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua trung điểm I (1; 6;7) AB nhận AB (6; 8; 8) làm vtpt Suy phương trình mặt phẳng (Q) : 6( x 1) 8( y 6) 8( z 7) 3x y z Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho đường thẳng x y z 1 điểm M (2; 1;3) Viết phương trình mặt phẳng ( P) d: 3 qua điểm K (1;0;0) , song song với đường thẳng d đồng thời cách điểm M khoảng Giải: d có vtcp u (2; 3;1) qua H (2;4; 1) ( P) có vtpt n( A; B; C ), ( A2 B C 0) A 3B C C 2 A 3B u.n d / /( P) H (2;4; 1) ( P) 3 A B C C A B (*) qua K (1;0;0) Vì ( P) : vtpt n ( A; B; 2 A 3B) nên phương trình ( P) : Ax By (3B A) z A 5 A 8B d ( M ,( P)) 2 A B (3B A) Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán (5 A 8B)2 3(5 A2 12 AB 10 B ) A2 22 AB 17 B A B 5 A 17 B Với A B C B không thỏa mãn (*) Với A 17B chọn A 17 ta có B C 19 thỏa mãn (*) Suy phương trình mặt phẳng ( P) :17 x y 19 z 17 Bài 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng x 1 y 1 z (Q) chứa đường thẳng d: tạo với mặt phẳng (P): 1 x y z góc nhỏ Giải: d có vtcp u (2;1;1) , (P) có vtpt m (1;2; 1) , (Q) có vtpt n (a; b; c);(a b2 c 0) Do (Q) chứa d n u n.u 2a b c c 2a b n (a; b; 2a b) Gọi góc hợp (P) (Q) a 2b 2a b 3a 3b cos cos(n; m) 5a 4ab 2b2 a b 2a b 3ab 3a 2(a b)2 3ab 2(a b)2 cos300 300 Vậy 300 Dấu xảy a lúc ta chọn b 1; c 1 n (0;1; 1) Qua A(-1;-1;3) d Mặt phẳng (Q): nên phương trình (Q) : y z vtpt n (0;1;-1) Bài 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;1), B(2;1;2) mặt phẳng (Q) : x y 3z Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B vuông góc với (Q) Giải: Ta có AB (1;1;1), nQ (1;2;3), AB, nQ (1; 2;1) Vì AB, nQ mặt phẳng (P) vuông góc với (Q) nên (P) nhận AB, nQ làm vtpt Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Vậy (P) có phương trình là: x y z Bài 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x 1 y z điểm A(1; 1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) , biết (P) 2 vuông góc với đường thẳng cách điểm A khoảng Giải: Đường thẳng có vtcp u (1; 2;2) Do mặt phẳng (P) vuông góc với nên (P) có phương trình là: x y 2z d Lại có d ( A;( P)) 7d d 3 7d 9 d 16 Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x y z x y z 16 Bài 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ( P) : x y z Mặt cầu ( S ) : x2 y z x y z hai điểm A(1; 1; 2) , B(4;0; 1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với AB, vuông góc với mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính Giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I (2; 1; 1) , bán kính R Mặt phẳng (P) có vtpt n1(1; 1;1), AB(3;1;1) AB, n1 (2; 2; 4) Do mặt phẳng ( ) / / AB ( P) ( ) có vtpt n(1; 1; 2) Suy phương trình mặt phẳng có dạng: x y z m Do cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn có bán kính d ( I ,( )) nên ta có: m 6 m 11 5m Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn x y z x y z 11 Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Bài 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x y z điểm A(3; 2; 2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) cắt trục Oy, Oz M, N cho OM = ON (M, N không trùng với O) Giải: Gọi M (0; a;0), N (0;0; b) ab Ta có: AM (3;2 a;2), AN (3;2; b 2) Gọi vtpt (Q) nQ Theo giả thiết suy nQ AM , AN (2a 2b ab; 3a; 3b) Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) là: nP (1; 1; 1) Mặt khác ( P) (Q) nP nQ nP nQ ab a b a b Và OM ON a b a b (1) (2) Từ (1) (2) ta được: a TH1: a b a Với a M O nên loại Với a nQ (12;6;6) , phương trình mặt phẳng (Q) là: x y z TH2: a b a (loại) Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: x y z Bài 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 3), B(3;0; 3) mặt cầu (S) có phương trình: x2 y z x y z Viết phương trình (P) qua điểm A, B mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính Giải: Mặt cầu (S) có tâm I (1; 1; 1) , bán kính R = Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Giả sử (P) có vtpt n(a; b; c), (a b2 c 0) Mặt phẳng (P) qua A nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: a( x 0) b( y 1) c( z 3) ax by cz b 3c B ( P) 3a 3c b 3c b 3a d ( I ,( P )) 32 5 a b c b 3c a b c 2 2 2 2 a 2c a b c a 2c 10a c a 39a 4ac 4c a 39 Với a = b = 0, chọn c=1 Ta có phương trình ( P) : z Với a 4c , chọn c 39 a 4, b 12 39 Ta phương trình mặt phẳng (P) là: x 12 y 39 z 129 Bài 20 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 1;0), B(2;1;2) mặt phẳng ( P) : x y z Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với mặt phẳng (P) cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (Q) lớn Giải: Phương trình mặt phẳng (Q) qua A có dạng: a( x 1) b( y 1) cz (a b c 0) Mặt phẳng (P) (Q) có vtpt nP (1; 1;2), nQ (a; b; c) Vì (Q) ( P) nên nQ nP a b 2c a b 2c Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: (b 2c)( x 1) b( y 1) cz Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Ta có d ( B;(Q)) 3b (b 2c)2 b2 c Nếu b = d ( B;(Q)) Nếu b d ( B;(Q)) (1 2t )2 t Dấu xảy t 30 c , (t ) b 5(t )2 5 c Chọn c = b = a = b Vậy (Q) có phương trình là: ( x 1) 5( y 1) z x y z Bài 21 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M (0; 1;1) có véc tơ phương u (1;2;0) điểm A(1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Giải: Đường thẳng d qua điểm M (0; 1;1) có vtcp u (1;2;0) Gọi n(a; b; c) (a b2 c2 0) vtpt (P) Do (P) chứa d nên: u.n a 2b a 2b Phương trình mp (P) có dạng: a( x 0) b( y 1) c( z 1) ax by cz b c Ta lại có: d ( A,( P)) Mà a 2b 5b 2c 5b2 c a 3b 2c a b c 2 5b 2c 5b c a 4b2 4bc c2 (2b c)2 c 2b Chọn b 1 c 2 Ta phương trình mặt phẳng (P) là: x y z Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Bài 22 Trong không gian Oxyz cho phương trình mặt phẳng ( P) : x y z Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua gốc tọa độ, vuông góc với (P) cách điểm M (1;2; 1) khoảng Giải: (Q) qua gốc tọa độ nên (Q) có phương trình dạng: Ax By Cz ( A2 B2 C 0) A B C ( P ) ( Q ) Từ giả thiết ta có: A 2B C d ( M ,(Q)) 2 A B C A B C B 2C (1) 2 B 2C BC (1) B 3B 8C Nếu B A C Chọn C 1 A Ta phương trình mặt phẳng (Q) là: x – z Nếu 3B 8C ta chọn C 3; B 8; A Ta phương trình mặt phẳng (Q) là: 5x y 3z Vậy có hai mặt phẳng (Q) thỏa mãn toán có phuơng trình là: x – z ; x y 3z Để theo dõi tài liệu khác, truy cập fanpage : Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Để học online, truy cập kênh Youtube: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán