Luận văn thạc sĩ khoa học - Phương pháp xác suất trong toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HOC TỰ NHIÊN ——————– NGUYỄN THỊ HỒNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HOC TỰ NHIÊN ——————– NGUYỄN THỊ HỒNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ ANH VINH HÀ NỘI - 2014 Mục lục Danh mục ký hiệu 1 Lời nói đầu 2 1 Phương pháp đếm 4 1.1 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Sự phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Sự phân hoạch một số nguyên dương thành tổng các số nguyên không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Phân hoạch tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Phân hoạch số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Công thức Sieve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Lý thuyết đồ thị cơ bản 26 2.1 Khái niệm cơ bản về đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Định nghĩa đồ thị và phân loại đồ thị . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Đồ thị đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.4 Đồ thị con, đồ thị thành phần và đồ thị sinh . . . . . . . . 29 2.2 Các yếu tố trong đồ thị vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Bậc của đỉnh trong đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Đường đi và chu trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Tính liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4 Một số loại đơn đồ thị vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Bài toán tô màu và các số Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 i MỤC LỤC 2.3.1 Lý thuyết Ramsey cho đồ thị hữu hạn . . . . . . . . . . . . 39 2.3.2 Lý thuyết Ramsey trong trường hợp tổng quát . . . . . . . 42 3 Xác suất và một số ứng dụng 44 3.1 Phép thử và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Xác suất của biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.2 Định nghĩa thống kê về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.3 Định nghĩa hình học về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Định lý cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Định lý nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5 Một số mở rộng của định lý cộng và định lý nhân xác suất . . . . 57 3.6 Biến ngẫu nhiên và kì vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6.2 Tính tuyến tính của kì vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.7 Sử dụng xác suất chứng minh một số tính chất của các số Ramsey 68 3.8 Áp dụng xác suất và kì vọng vào một số bài toán thi học sinh giỏi 70 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 ii Danh mục ký hiệu |A| Số phần tử của A p(n) Số hoán vị của n phần tử phân biệt C k n Số tổ hợp chập k của n phần tử A k n Số chỉnh hợp chập k của n phần tử S(n, k) Số cách phân hoạch tập n phần tử thành k phần B(n) Số cách phân hoạch tập n phần tử thành một số phần P (n) Số cách phân hoạch số n thành k phần D(n) Số xáo trộn của tập n phần tử P (A) Xác suất của biến cố A E(X) Kì vọng của biến ngẫu nhiên X 1 Lời nói đầu Xác suất là một phần mới đối với toán trung học phổ thông nói chung,Ứng dụng xác suất trong giải các bài toán Trung học phổ thông là nội dung còn khá mới mẻ, thú vị. Mặt khác xác suất không chỉ có ứng dụng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng trong một số môn học khác, trong ngành khoa học khác. Học và tìm hiểu về xác suất học sinh thấy toán học gần gũi, gắn liền với cuộc sống thực tế hơn, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Bởi vậy tôi lựa chọn tìm hiểu “ Phương pháp xác suất trong toán trung học phổ thông” . Xác suất trong toán THPT với cơ sở chủ yếu là các bài toán đếm, với đối tượng học sinh khá giỏi, còn được tiếp cận với Lý thuyết đồ thị và các bài toán liên quan giữa lý thuyết đồ thị và tổ hợp xác suất. Với mục đích tìm hiểu về xác suất , cách tính xác suất, một số ứng dụng của xác suất trong các bài toán THPT. Nên trong Luận văn này, ngoài phần mở đầu và phần kết luận tôi trình bày ba chương Chương 1: Trình bày các quy tắc đếm cơ bản và mở rộng. Nhằm trang bị cho học sinh kiến thức cơ sở để sử dụng trong các bài toán đếm và bài toán xác suất. người học muốn học tốt xác suất cần phải có kiến thức tốt về tổ hợp đếm. Chương 2: Trình bày rất sơ lược về lý thuyết đồ thị, nhằm trang bị kiến thức cần thiết cho chương 3. Chương 3: Là chương trọng tâm, trong chương này tôi trình bày về khái niệm xác suất,tính chất, các quy tắc tính xác suất. Khái niệm về kỳ vọng, tính tuyến tính của kỳ vọng và áp dụng vào một số ví dụ.Trong chương này bước đầu tôi trình bày được cách sử dụng xác suất, kỳ vọng vào một số bài toán số học, tổ hợp, hình học tổ hợp. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của Thầy PGS.TS Lê Anh Vinh – Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc gia Hà Nội. Từ đáy lòng mình em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Lê Anh Vinh đối với sự quan 2 Lời nói đầu tâm, chỉ bảo tận tình của thầy. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giúp đỡ em trong suốt quá trình theo học. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Nam Khoái Châu – Hưng Yên đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành kế hoạch học tập. Hà Nội, ngày 5 tháng 12 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Hồng 3 Chương 1 Phương pháp đếm 1.1 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Nội dung chính của chương 1 được tam khảo chủ yếu ở tài liệu số 8 của tác giả Miko’s Bo’na, “A walk through combinatorics – An introduction to enumeration anh graph theory”. Ngoài cơ sở lý thuyết chính trong tài liệu trên, hệ thống ví dụ minh họa được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tương ứng. 1.1.1 Hoán vị Định nghĩa 1.1.1. Mỗi sự sắp xếp thứ tự của n đối tượng khác nhau thành hàng, mà mỗi đối tượng xuất hiện đúng một lần được gọi là một hoán vị của n đối tượng đó. Định lý 1.1.1. Số hoán vị của tập hợp A có n phần tử là p(n) = n!. Ví dụ 1.1.1. Một người trồng hoa có 5 cây hoa đỏ, 3 cây hoa vàng, 2 cây hoa trắng muốn trồng thành một hàng. Hỏi có bao nhiêu cách trồng? Lời giải. Ta xét hai trường hợp: • Trường hợp 1: Các cây hoa đôi một khác loại nhau. Khi đó số cách trồng là 10!. • Trường hợp 2: Các cây hoa cùng màu thuộc cùng một loại. Khi đó sự thay đổi vị trí của 5 cây hoa đỏ cho ta cùng một cách trồng, sự thay đổi vị trí của 3 cây hoa vàng cho ta cùng một cách trồng, sự thay đổi vị trí của 2 cây hoa trắng cho ta cùng một cách trồng. Nên số cách trồng 10 cây hoa đó là 10! 5!2!3! . 4 Chương 1. Phương pháp đếm Từ ví dụ trên ta thấy khi sắp xếp n đối tượng không đôi một phân biệt định lý 1.1.1 không còn đúng. Mở rộng định nghĩa hoán vị ta có định nghĩa hoán vị lặp như sau. Định nghĩa 1.1.2. Cho n, a 1 , a 2 , , a k là các số nguyên dương thỏa mãn a 1 + a 2 + + a k = n. Mỗi cách sắp xếp n đối tượng thành hàng trong đó có a i đối tượng loại i là một hoán vị lặp của n đối tượng đó. Khi đó ta có số hoán vị lặp được tính như sau. Định lý 1.1.2. Cho n, a 1 , a 2 , , a k là các số nguyên không âm thỏa mãn a 1 + a 2 + + a k = n, có a i đối tượng loại i, i = 1, k. Khi đó số hoán vị lặp của n đối tượng trên là n! a 1 !a 2 ! a k ! . (1.1) Ví dụ 1.1.2. Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu số nguyên dương có 8 chữ số được lập từ A. Biết chữ số 2 xuất hiện 3 lần, chữ số 3 xuất hiện 2 lần. Lời giải. Ta coi mỗi số có 8 chữ số là một hoán vị lặp của 8 đối tượng, trong đó số 2 xuất hiện 3 lần, số 3 xuất hiện 2 lần, số các số thỏa mãn yêu cầu là: 8! 2!3! = 40320 2.6 = 3360 (số). Ví dụ 1.1.3. Cho 2n người, trong đó có n nam, n nữ. Hỏi a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi thành hàng sao cho nam nữ ngồi xen kẽ? b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi thành hàng sao cho nam ngồi liền nhau? c) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi quanh một bàn tròn? d) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 2n người ngồi quanh một bàn tròn sao cho nam nữ ngồi xen kẽ? Lời giải. a) Ta xét hai trường hợp 5 Chương 1. Phương pháp đếm • Trường hợp 1: n nam ngồi ở các vị trí lẻ có n! cách. Với mỗi cách sắp xếp nam ta có n! cách sắp xếp n nữ vào các vị trí chẵn, nên ta có n!n! = (n!) 2 cách sắp xếp nam vào vị trí lẻ, nữ vào vị trí chẵn. • Trường hơp 2: n nam ngồi vị trí chẵn, n nữ ngồi vị trí lẻ, vậy ta có (n!) 2 cách sắp xếp. Vậy có 2(n!) 2 cách sắp xếp nam nữ ngồi xen kẽ. b) Trước hết ta sắp xếp n nam vào n vị trí liền kề nhau trong 2n vị trí. Khi đó ta có n + 1 cách (tương ứng với người thứ 1 ngồi ở vị trí thứ 1 tới vị trí n + 1). Sau đó với mỗi cách chọn n vị trí liền kề đó có n! cách sắp xếp n nam. Với mỗi cách sắp xếp n nam lại có n! cách sắp xếp n nữ vào n chỗ còn lại nên có (n + 1)(n!) 2 (cách). c) Ta cần chọn một người vào một vị trí bất kỳ trong bàn tròn để xác định số thứ tự của các chỗ ngồi, sau đó sắp xếp 2n − 1 người vào 2n − 1 vị trí có (2n −1)! cách. Vậy số cách sắp xếp 2n người khác nhau vào 2n vị trí trong bàn tròn là (2n −1)!. d) Lập luận tương tự ý a), ý c) ta có số cách sắp xếp là 2n!(n −1)! cách. 1.1.2 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.1.3. Cho tập hợp A có n phần tử n ∈ N ∗ (phân biệt). Mỗi cách sắp thứ tự k (0 ≤ k ≤ n) phần tử của A sao cho không phần tử nào xuất hiện nhiều hơn một lần được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Chú ý: Quy ước: 0! = 1. Định lý 1.1.3. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là A k n = n! (n −k)! . (1.2) Tương tự hoán vị lặp ta mở rộng định nghĩa chỉnh hợp lặp như sau. Định nghĩa 1.1.4. Cho tập hợp A có n (n ∈ N ∗ ) phần tử phân biệt. Mỗi cách sắp thứ tự k phần tử của A, mà mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều hơn một 6 [...]... 1.3.1 Trong một lớp có 14 học sinh thích văn, 17 học sinh thích toán, 18 học sinh thích hóa, 4 học sinh thích văn và hóa, 3 học sinh thích văn và toán, 5 học sinh thích toán và hóa, 1 học sinh thích cả ba môn Hỏi có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một môn? Lời giải Ta có thể dùng sơ đồ Ven biểu diễn tập hợp Hình 1.4: Sơ đồ Ven Số học sinh thích ít nhất một môn là 14 + 17 + 18 − 3 − 4 − 5 + 1 = 38 (học. .. Quan hệ liên thông có tính chất sau: • Mỗi đỉnh a liên thông với chính nó • Nếu a liên thông với b thì b liên thông với a • Nếu a liên thông với b, b liên thông với c thì a liên thông với c • Một đồ thị không liên thông là hợp của hai hay nhiều đồ thị con liên thông đôi một dời nhau được gọi là các thành phần liên thông • Một đồ thị liên thông khi và chỉ khi nó chỉ có một thành phần liên thông 2.2.4... 9 44 265 1854 14833 133469 1334961 22 Chương 1 Phương pháp đếm Ví dụ 1.3.5 Trong lớp học có n học sinh và n quyển sách phân biệt Giáo viên phát ngẫu nhiên cho mỗi học sinh một quyển sách và yêu cầu học sinh nộp lại sau một tuần Tuần sau những quyển sách đó lại được phát lại cho n học sinh một cách ngẫu nhiên Hỏi có bao nhiêu cách phân phối sao cho không học sinh nào nhận 2 lần cùng một quyển sách? Lời... Vậy số các số cần tìm là: 600 - 405 +85 - 5 = 275 Ví dụ 1.3.4 Có 30 sinh viên trong ký túc xá có 15 sinh viên học lớp hội họa, 8 sinh viên học lớp sinh học, 6 sinh viên học lớp hóa học Biết có 3 sinh viên tham gia cả ba lớp trên Chứng minh có ít nhất 7 sinh viên không tham gia lớp nào Lời giải Gọi A, B, C lần lượt là tập các sinh viên lần lượt tham gia các lớp hội họa, sinh học và hóa hoc Ta có |A| +... cách chia 15 bạn thành bốn nhóm trong đó hai nhóm chỉ có một học sinh, hai nhóm còn lại có ít nhất một học sinh là 2 C4 2!S(13, 2) = 49152 24 Chương 1 Phương pháp đếm Số cách chia 15 bạn thành bốn nhóm trong đó hai nhóm chỉ có một học sinh, hai nhóm còn lại có ít nhất một học sinh là 3 C4 S(12, 1) = 4 Nên số cách phân công thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1016542800 − 19033584 + 49152 − 4 = 1016541777 25... hoạch số nguyên S (n, k) k=0 pk (n) n Các hàm toán học pk (n) k=1 k!S(n, k) n n đối tượng khác nhau, số hộp tùy ý, khác nhau S (n, i)i! i=1 Bảng 1.1: Bảng công thức đếm 1.3 Công thức Sieve Công thức Sieve là công thức quen thuộc khi học sinh học về các phép toán tập hợp Trong phần này ta xem xét công thức tổng quát và một vài áp dụng công 18 Chương 1 Phương pháp đếm thức để chứng minh công thức tính S(n,k)... ra 5 phần tử trong 27 phần tử, nên số cách chọn là C27 (cách) Ví dụ 1.1.9 Một sinh viên vật lý cần làm việc 5 ngày trong phòng thí nghiệm trong học kỳ cuối (có 105 ngày) Sau mỗi ngày trong phòng thí nghiệm sinh viên này cần ít nhất 6 ngày để xử lí số liệu Sau lần cuối khi làm việc ở phòng thí nghiệm, sinh viên này cần 10 ngày để hoàn thành báo cáo, báo cáo phải được 9 Chương 1 Phương pháp đếm hoàn... ít nhất hai học sinh Lời giải Số cách chia 15 học sinh thành bốn nhóm, mỗi nhóm có ít nhất một học sinh, để thực hiện các công việc khác nhau là 4 (−1)i 4!.S(15, 4) = 4! i=0 1 (4 − i)15 = 1016542800 i!(4 − i)! Số cách chia 15 bạn thành bốn nhóm trong đó có một nhóm chỉ có một học sinh, ba nhóm còn lại có ít nhất một học sinh là 4.3!.S(14, 3) = 19033584 Số cách chia 15 bạn thành bốn nhóm trong đó hai... mà không ai nhận đúng bức thư của mình là D(n) Vậy số cách thỏa mãn bài toán là n! − D(n) 23 Chương 1 Phương pháp đếm Định lý 1.3.3 Với mọi số nguyên dương n, k ta có 1 S (n, k) = k! k k i (−1) i Ck (k (−1)i n − i) = i=0 i=0 1 (k − i)n i! (k − i)! (1.12) Chứng minh Ta sẽ đi chứng minh công thức cho k!S(n, k) để suy ra công thức trong định lý Gọi M là tập hợp các ánh xạ từ tập X tới tập Y , X = {x1... các ánh xạ mà trong tập giá trị không có yi , i = 1.k Ta dễ chứng minh các toàn ánh trong M là: k−1 1 k n − Ck (k − 1)n + + (−1)k−1 Ck 1n Một cách khác ta cũng chứng minh được số toàn ánh từ X tới Y là k!S(n, k) Vậy ta có: k−1 1 k!S(n, k) = k n − Ck (k − 1)n + + (−1)k−1 Ck 1n 1 ⇔ S (n, k) = k! k i (−1)i Ck (k − i)n i=0 Ví dụ 1.3.8 Một lớp có 15 học sinh, có bao nhiêu cách chia 15 học sinh thành . xác suất học sinh thấy toán học gần gũi, gắn liền với cuộc sống thực tế hơn, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Bởi vậy tôi lựa chọn tìm hiểu “ Phương pháp xác suất trong toán trung học phổ thông . NHIÊN ——————– NGUYỄN THỊ HỒNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ ANH. (A) Xác suất của biến cố A E(X) Kì vọng của biến ngẫu nhiên X 1 Lời nói đầu Xác suất là một phần mới đối với toán trung học phổ thông nói chung,Ứng dụng xác suất trong giải các bài toán Trung học