3 Xác suất và một số ứng dụng
3.4 Định lý nhân xác suất
Bây giờ ta xét trường hợp một biến cố C là giao của hai biến cố A, B.
Định nghĩa 3.4.1. Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B, nếu C
xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. Về mặt tập hợp: C =A.B ⇔C=A∩B
Định nghĩa 3.4.2. Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A1, A2, ..., An nếu
A xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến cố A1, A2, ..., An xảy ra. Kí hiệu: A=
n
Q
i=1
Ai.
Định nghĩa 3.4.3. Hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra biến cố kia và ngược lại. Hai biến cố A, B không độc lập thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộc nhau.
Ví dụ 3.4.1. Trong bình có 3 quả cẩu trắng, 2 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Gọi A là biến cố "Lấy được quả cầu trắng" thì P(A) = 3
5.
Quả cầu được bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy ra một quả cầu. Gọi B là biến cố "Lần thứ hai lấy được quả cầu trắng" thì P(B) = 3
5, P(B) không phụ thuộc vào A nên A, B độc lập. Tuy nhiên nếu ta lấy quả cầu trắng và không bỏ lại vào bình thì P(B) = 1
2. Khi đó A, B là phụ thuộc nhau
Chú ý:Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì A và B, A và B, A và B cũng độc lập với nhau.
Định nghĩa 3.4.4. Các biến cố A1, A2, ..., An gọi là độc lập từng đôi nếu Ai, Aj
độc lập, i6=j, i, j = 1, n.
Định nghĩa 3.4.5. Các biến cố A1, A2, ..., An gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với một tổ hợp bất kì của các biến cố còn lại.
Định lý 3.4.1. (Định lý nhân xác suất) Cho A, B là hai biến cố độc lập thì
P(A.B) =P(A).P(B). (3.5)
Nhận xét 3.4.1. P(A.B) =P(A).P(B)⇔ A và B độc lập.
Hệ quả 3.4.1. Nếu A, B độc lập thì
P(A) = P(A.B)
Hệ quả 3.4.2. Nếu A1, A2, ..., An độc lập toàn phần thì P( n Y i=1 Ai) = n Y i=1 P(Ai). (3.7)
Ví dụ 3.4.2. Trong một cuộc thi đấu có A và B tham gia. Khả năng lọt vào chung kết của A là 90%, của B là 70%. A, B không cùng một bảng đấu. Tìm xác suất của các biến cố
D: "Cả hai lọt vào chung kết".
E: "Có ít nhất một người lọt vào chung kết". F: "Chỉ có A lọt vào chung kết".
Lời giải.
Gọi A là biến cố "Người A lọt vào chung kết". Gọi B là biến cố "Người B lọt vào chung kết". Khi đó, dễ thấy A, B là hai biến cố độc lập, và
D=A.B;
E =A.B+A.B+AB;
F =A.B.
Theo bài P(A)=90%=0,9, P(B)=70%=0.7 nên
P(D) = P(A.B) =P(A)P(B) = 0,9.0,7 = 0,63;
P(E) = P(A.B) +P(A.B) +P(A.B) = 0,7.0,9 + 0,7.0,1 + 0,9.0,3 = 0,97;
P(F) = P(A.B) =P(A).P(B.
Bây giờ ta xét trương hợp hai biến cố A và B phụ thuộc nhau. Trước hết ta xét khái niệm xác suất có điều kiện.
Định nghĩa 3.4.6. Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra, gọi là xác suất có điều kiện của A và kí hiệu là P(A/B)
Định lý 3.4.2. (Về xác suất có điều kiện) Cho A, B là hai biến cố phụ thuộc, khi đó
P(A.B) = P(A).P(A/B) =P(B).P(B/A). (3.8)
Chứng minh. Giả sử A, B là hai biến cố của cùng không gian mẫu Ω và |Ω|=n,|A|=m1.|B|=m2,|A.B|=k. Khi đó
P(A.B) = k
n, P(B/A) = k
m1, P(A/B) = k
Vậy P(A.B) = k n = k m1. m1 n =P(A)P(B/A). P(A.B) = k n = k m2. m2 n =P(B)P(A/B). Hệ quả 3.4.3. Nếu P(B) > 0 thì P(A/B) = P(AB) P(B) . (3.9)
Hệ quả 3.4.4. Nếu A1, A2, ..., An là n biến cố phụ thuộc nhau thì
P(A1A2...An) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)...P(An/A1A2...An−1). (3.10)
Hệ quả 3.4.5. Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi
P(A/B) =P(A), P(B/A) =P(B). (3.11)
Ví dụ 3.4.3. Một cơ quan có ba chiếc xe ô tô, khả năng xảy ra sự cố tương ứng với mỗi xe là 5%, 20%, 10%. Tìm khả năng xảy ra các tình huống sau
- Cả ba ô tô bị sự cố.
- Có ít nhất một xe hoạt động tốt. - Có đúng một xe hoạt động tốt. - Cả ba xe hoạt động tốt.
- Có không quá hai xe hoạt động tốt.
Lời giải.
Gọi Ai là biến cố "Xe thứ i bị sự cố", i=1,2,3. Ba biến cố này không xung khắc nhưng độc lập.
A là biến cố "Cả ba ô tô cùng bị sự cố".
B là biến cố "Có ít nhất một xe hoạt động tốt". C là biến cố "Có đúng một xe hoạt động tốt". D là biến cố "Cả ba xe cùng hoạt động không tốt".
E là biến cố "Có không quá hai xe hoạt động không tốt". Khi đó theo giả thiết
P(A1) = 0.05, nên P(A1) = 0,95.
P(A2) = 0,2, nên P(A2) = 0,8.
Ta có thể biểu diễn A=A1A2A3 nên P(A)=P(A2A1A3) và P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,05.0,2.0,1 = 0,001. B =A1+A2+A3, xét B =A1.A2.A3 =A. Nên P(B) = 1−P(B) = 1−P(A) = 1−0,001 = 0,999. C =A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3. Nên P(C) = 0,05.0,8.0,1 + 0,05.0,2.0,9 + 0,95.0,2.0,1=0,032. D=A1.A2.A3 nên P(D) =P(A1.A2.A3) =P(A1).P(A2).P(A3) = 0,95.0,8.0,9 = 0,684.
E: "Không quá hai xe bị sự cố" là biến cố "Có ít nhất một xe hoạt động tốt", tức E =B, nên P(E) = 0,999.
Ví dụ 3.4.4. Xét phép thử tung một đồng xu bốn lần. Giả sử ta không thấy kết quả nhưng ta biết có ít nhất hai mặt sấp. Tính xác suất tung được cả bốn mặt sấp.
Lời giải.
Gọi A là biến cố "Tung được bốn mặt sấp". Gọi B là biến cố "Có ít nhất hai mặt sấp". Do A∩B =A nên P(A/B) = P(A) P(B). Mà P(A) = 1 24 = 1 16; P(B) = 4 16+ 6 16+ 1 16 = 11 16. Khi đó P(A/B) = 1 11.
Ví dụ 3.4.5. Cho P =P1P2...Pn là một hoán vị ngẫu nhiên của n số tự nhiên đầu tiên. Gọi A là biến cố "P1 > P2", B là biến cố "P2 > P3". Hỏi A và B có độc lập không?
Lời giải.
Ta có với hai số P1, P2 chứa hai khả năng xảy ra P1 > P2 hoặc P2 > P1 nên
P(A) = 1
2 tương tự P(B) = 1 2.
Và A∩B là biến cố "P1 > P2 > P3", P(A∩B) = 1 6.
Vì với ba số P1, P2, P3 có 6 hoán vị, chỉ có một hoán vị thỏa mãnP1> P2 > P3. Khi đó: P(A/B) = P(A∩B) P(B) = 1/6 1/2 = 1 3 6=P(A).
Vậy A, B không độc lập.
Một cách đơn giản hơn ta có ngayP(A∩B) = 1
6 6=P(A)P(B), nên A, B không độc lập.
Ví dụ 3.4.6. Một người săn thỏ trong rừng. Khả năng anh bắn trúng thỏ trong mỗi lần bắn tỉ lệ nghịch với khoảng cách. Anh ta bắn lần đầu với khoảng cách 20m với xác suất bắn trúng là 50%. Nếu trượt anh ta bắn tiếp viên thứ 2 ở khoảng cách 30m, nếu trượt anh ta bắn tiếp viên thứ 3 ở khoảng cách 50m. Tìm xác suất để người thợ săn bắn được thỏ trong lần đi săn này.
Lời giải.
Gọi Ti là biến cố"Thợ săn bắn trúng thỏ lần thứ i", i= 1,2,3, ba biến cố này không độc lập. Theo bài ta có P(T1) = k 20 = 0,5 =⇒k = 10. Do đó P(T2/T1) = 10 30 = 1 3; P(T3/T2) = 10 50 = 0,2.
Gọi T là biến cố thợ săn bắn trúng thỏ trong cuộc đi săn này
T =T1+T1.T2+T1.T2.T3. Khi đó: P(T) =P(T1+T1T2+T1.T2.T3) =P(T1) +P(T1T2) +P(T1.T2.T3) = 0,5 +P(T1).P(T2/T1) +P(T1).P(T2/T1).P(T3/T1.T2) = 0,5 + (1−0,5)(1 3) + (1−0,5)(1− 1 3).0,2 = 22 30 = 0,733.