Phương trình sai phân cấp một và một số vấn đề liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐHĐN KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN GVHD : TS LÊ HẢI TRUNG SVTH : Nguyễn Thị Thu Thủy MSSV : 3110118039 Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng năm 2022 GVHD: TS Lê Hải Trung LỜI CẢM ƠN Bài luận văn tác giả hoàn thành hướng dẫn trực tiếp TS Lê Hải Trung – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Lời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung Thầy dành nhiều thời gian để bảo, hướng dẫn tác giả với nhiệt tình, chu đáo suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến bạn sinh viên lớp Sư phạm Toán 18ST – Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Tác giả Nguyễn Thị Thu Thủy SV: Nguyễn Thị Thu Thủy GVHD: TS Lê Hải Trung MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC, CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1 Sai phân hữu hạn hàm số biến thực 1.2 Các khái niệm phương trình sai phân CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT 11 2.1 Phân loại phương trình sai phân cấp 11 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 16 CHƯƠNG III MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT 22 3.1 Điểm cân 22 3.1.1 Sơ đồ bước cầu thang 27 3.1.2 Mơ hình quần thể đơn loài 27 3.1.3 Mơ hình mạng nhện cân cung cầu lĩnh vực kinh tế 29 3.2 Tổng hữu hạn chuỗi 32 3.3 Lãi suất đơn, lãi suất kép trả góp 34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 SV: Nguyễn Thị Thu Thủy GVHD: TS Lê Hải Trung MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong sống, có nhiều tượng khoa học kỹ thuật thực tiễn mà việc tìm hiểu dẫn đến tốn giải phương trình sai phân Phương trình sai phân cịn cơng cụ giúp giải tốn vi phân, đạo hàm phương trình đại số cấp cao Sự đời phương trình sai phân xuất phát từ việc xác định mối quan hệ thiết lập bên đại lượng biến thiên liên tục (được biểu diễn hàm, chẳng hạn 𝑦(𝑡)) với bên lại độ biến thiên đại lượng Đối với hàm thơng thường nghiệm giá trị số (số thực, số phức,… ) Cịn phương trình sai phân mục tiêu tìm cơng thức hàm chưa biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề Thơng thường họ phương trình, sai lệch số 𝐶 Hàm xác định xác có thêm điều kiện xác định ban đầu điều kiện biên Trong ứng dụng thực tế, khơng dễ dàng để tìm cơng thức hàm nghiệm Với giá trị thực tiễn người ta quan tâm tới giá trị hàm giá trị cụ thể biến độc lập Các phương pháp nhằm tìm giá trị xác hàm gọi phân tích định lượng Tuy nhiên lúc xác định giá trị thực, lúc người ta lại quan tâm đến giá trị xấp xỉ (có độ xác định) với giá trị thực Việc tìm giá trị thực thường phương pháp số với công cụ máy tính Phương trình sai phân cấp một dạng phương trình sai phân, có ứng dụng mơ hình động lực học điểm cân Điểm cân ứng dụng nhiều lĩnh vực như: sinh học, kinh tế, vật lý, kĩ thuật… Đó mong muốn tất trạng thái hệ động lực học định có xu hướng đạt trạng thái cân Ngồi ra, mơ hình tốn học liên quan đến phương trình sai phân cấp ứng dụng rộng rãi kinh tế mơ hình quần thể đơn lồi, mơ hình mạng nhện cân cung SV: Nguyễn Thị Thu Thủy GVHD: TS Lê Hải Trung cầu kinh tế, lãi suất đơn, lãi suất kép, trả góp, nhiều vấn đề khác xã hội Những vấn đề thực tế thường đa dạng phức tạp Tốn học cơng cụ hiệu giúp cho việc phát biểu, phân tích giải vấn đề kinh tế, xã hội cách chặt chẽ hợp lí, mang lại nhiều lợi ích thiết thực Việc biết cách mô tả vấn đề kinh tế, sinh học, ngành kĩ thuật, dạng mơ hình tốn học thích hợp, vận dụng phương pháp sai phân cấp để giải quyết, phân tích giải thích kiểm nghiệm kết cách logic yêu cầu cấp thiết nhà nghiên cứu toán, kinh tế Như vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân cấp số vấn đề liên quan đến vấn đề thời toán học nhiều nhà khoa học quan tâm Với lí với gợi ý TS Lê Hải Trung, định lựa chọn đề tài: “Phương trình sai phân cấp số vấn đề liên quan” cho luận văn Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu phương trình sai phân cấp số vấn đề liên quan Để đạt mục tiêu trên, đề tài nghiên cứu nội dung sau:  Các khái niệm phương trình sai phân  Phương trình sai phân cấp  Một số mơ hình liên quan đến phương trình sai phân cấp  Các ứng dụng Nội dung đề tài chia làm chương:  Chương I Sai phân hữu hạn hàm số biến thực, khái niệm phương trình sai phân SV: Nguyễn Thị Thu Thủy GVHD: TS Lê Hải Trung  Chương II Phương trình sai phân cấp  Chương III Các vấn đề liên quan đến phương trình sai phân cấp Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Phương trình sai phân cấp số vấn đề liên quan 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phương trình sai phân cấp một, mơ hình động lực học có liên quan đến phương trình sai phân cấp một biến mơ hình quần thể đơn lồi, mơ hình mạng nhện cân cung cầu kinh tế Ngoài ra, tổng hợp chuỗi, lãi suất đơn, lãi suất kép trả góp nghiên cứu luận văn Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu sưu tầm được, sách có liên quan đến đề tài luận văn Trong luận văn có sử dụng kiến thức liên quan đến lĩnh vực sau đây: Giải tích hàm biến thực, Lý thuyết phương trình sai phân, Lý thuyết phương trình vi phân, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết ứng dụng Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán đối tượng quan tâm Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn gồm ba chương Mở đầu Giới thiệu sở khoa học tính thực tiễn đề tài, mục đích đề tài, nội dung số vấn đề khác theo quy định SV: Nguyễn Thị Thu Thủy GVHD: TS Lê Hải Trung Chương I Sai phân hữu hạn hàm số biến thực, khái niệm phương trình sai phân Chương I trình bày sai phân hữu hạn hàm số biến thực, khái niệm phương trình sai phân Chương II Phương trình sai phân cấp Chương II trình bày phân loại phương trình sai phân cấp một, phương trình sai phân tuyến tính cấp Chương III Các vấn đề liên quan đến phương trình sai phân cấp Chương III luận văn giới thiệu điểm cân hệ động lực học, sơ đồ bước cầu thang, mơ hình quần thể đơn lồi sinh học, mơ hình mạng nhện cân cung cầu kinh tế Ngoài ra, tổng hợp chuỗi, lãi suất đơn, lãi suất kép trả góp khái quát chương III Kết luận Nêu tóm tắt kết mà luận văn đạt Tài liệu tham khảo SV: Nguyễn Thị Thu Thủy GVHD: TS Lê Hải Trung CHƯƠNG I SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC, CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1 Sai phân hữu hạn hàm số biến thực Xét hàm số biến thực 𝑦(𝑡) ℎ > Định nghĩa 1.1 Biểu thức ∆𝑦 (𝑡) = 𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡) (1.1) gọi sai phân hữu hạn thứ hay sai phân hữu hạn cấp 𝑦(𝑡) Một cách tự nhiên ta mặc định hàm 𝑦(𝑡) xác định điểm mà ta tiến hành xem xét Chú ý lý thuyết vi phân ℎ số gia đối số, cịn ∆𝑦(𝑡) số gia hàm số điểm 𝑡 Trong tài liệu chúng ta, số ℎ cịn có tên bước Sai phân hữu hạn cấp cao xác định biểu thức: ∆𝑛 𝑦(𝑡) = ∆(∆𝑛−1 𝑦(𝑡)) (1.2) Ví dụ, 𝑛 = Ta có: ∆2 𝑦(𝑡) = ∆(∆𝑦(𝑡 )) = ∆(𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦 (𝑡)) = ∆𝑦(𝑡 + ℎ) − ∆𝑦(𝑡) = (𝑦(𝑡 + ℎ + ℎ) − 𝑦 (𝑡 + ℎ)) − (𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡)) = 𝑦(𝑡 + 2ℎ) − 2𝑦 (𝑡 + ℎ) + 𝑦 (𝑡) Để tiện lợi quán mặt logic ta kí hiệu ∆0 𝑦(𝑡 ) = 𝑦(𝑡) Bằng phương pháp quy nạp toán học, khơng khó để chứng minh sai phân hữu hạn cấp 𝑛 tuyến tính, tức là: ∆𝑛 (𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)) = ∆𝑛 (𝑓(𝑡)) + ∆𝑛 (𝑔(𝑡)); ∆𝑛 (𝐶𝑓(𝑡)) = 𝐶∆𝑛 𝑓(𝑡 ) Giá trị ∆𝑛 𝑦(𝑡) dễ dàng biểu diễn qua giá trị hàm 𝑦(𝑡 ) điểm 𝑡, 𝑡 + ℎ, … , 𝑡 + 𝑘ℎ Ta có cơng thức sau đây: n  y (t )   (1) n  k Cnk y (t  kh) n k 0 (1.3) Ta chứng minh công thức phương pháp quy nạp toán học SV: Nguyễn Thị Thu Thủy GVHD: TS Lê Hải Trung Hiển nhiên với 𝑛 = cơng thức (1.3) có dạng: ∆𝑦(𝑡) = (−1)1−0𝐶10 𝑦(𝑡 + ℎ) + (−1)1−1 𝐶11 𝑦(𝑡 + ℎ) = −𝑦 (𝑡) + 𝑦(𝑡 + ℎ) (1.1) Giả sử (1.3) thỏa mãn sai phân hữu hạn cấp 𝑛 − Ta có: 𝑛−1 𝑘 ∆𝑛 𝑦(𝑡) = ∆(∆𝑛−1 𝑦(𝑡 )) = ∆(∑(−1)𝑛−𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) 𝑘=0 𝑛−1 𝑛−1 𝑘 𝑘 = ∑(−1)𝑛−𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + (𝑘 + 1)ℎ) − ∑(−1)𝑛−𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) 𝑘=0 𝑘=0 Ở số hạng thứ ta đặt 𝑘 + = 𝑚, đó: 𝑛−1 𝑛 𝑘 ∑(−1)𝑛−𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 𝑘=0 𝑚−1 + (𝑘 + 1)ℎ) = ∑ (−1)𝑛−𝑚 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑚ℎ) 𝑚=1 lại viết 𝑚 ≔ 𝑘, ta nhận biểu thức 𝑛 𝑘−1 ( ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛−1 𝑦 𝑡 + 𝑘ℎ) 𝑘=1 Khi đó: 𝑛 𝑛 ∆ 𝑦(𝑡) = ∑(−1) 𝑛−1 𝑛−𝑘 𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 𝑘 + 𝑘ℎ) − ∑(−1)𝑛−𝑘−1 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) 𝑘=1 𝑘=0 𝑛−1 𝑘−1 𝑛−1 = ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) + (−1)0 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) 𝑘=1 𝑛−1 𝑘 + ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) 𝑘=0 𝑛−1 𝑘−1 ( 𝑛−1 ( = ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛−1 𝑦 𝑡 + 𝑘ℎ) + 𝐶𝑛−1 𝑦 𝑡 + 𝑛ℎ) + 𝑘=1 𝑛−1 𝑘 ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) + (−1)𝑛 𝐶𝑛−1 𝑦(𝑡 ) 𝑘=1 SV: Nguyễn Thị Thu Thủy GVHD: TS Lê Hải Trung 𝑘−1 𝑘 𝑛−1 Mặc khác ta lại có 𝐶𝑛−1 + 𝐶𝑛−1 = 𝐶𝑛𝑘 𝐶𝑛−1 = 𝐶𝑛−1 = Do cơng thức cuối ta viết dạng: 𝑛−1 ∆𝑛 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡 + 𝑛ℎ) + ∑(−1)𝑛−𝑘 𝐶𝑛𝑘 𝑦(𝑡 + 𝑘ℎ) + (−1)𝑛 𝑦(𝑡 ) 𝑘=1 n   (1) n  k Cnk y (t  kh) k 0 (1.4) Vậy công thức (1.3) chứng minh Để ý rằng, công thức (1.3) ta thực phép đổi biến số 𝑚 = 𝑛 − 𝑘 sử dụng công thức 𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛𝑛−𝑘 , ta nhận được: 𝑛 𝑛 ∆ 𝑦(𝑡) = ∑ (−1)𝑚 𝐶𝑛𝑚 𝑦(𝑡 + (𝑛 − 𝑚)ℎ) 𝑚=0 Một cách hoàn toàn tương tự, phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh công thức: n y (t  nh)   Cnk  k y (t ) k 0 (1.5) 1.2 Các khái niệm phương trình sai phân Định nghĩa 1.2 Phương trình có dạng: 𝐹(𝑡, 𝑦 (𝑡), ∆𝑦(𝑡), ∆𝑛 𝑦(𝑡)) = (1.6) gọi phương trình sai phân Nếu (1.6) ta biểu diễn sai phân hữu hạn cơng thức (1.3) ta nhận phương trình: 𝐺(𝑡, 𝑦(𝑡), 𝑦(𝑡 + ℎ), … , 𝑦(𝑡 + 𝑛ℎ)) = (1.7) Định nghĩa 1.3 Phương trình (1.7) gọi phương trình sai phân cấp n Ví dụ 1.1 Xác định cấp phương trình sau đây: ∆3 𝑦(𝑡) + ∆2 𝑦 (𝑡) − ∆𝑦(𝑡 ) + 𝑦(𝑡) = Ta có: ∆𝑦(𝑡) = 𝑦 (𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡 ) ∆2 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡 + 2ℎ) − 2𝑦 (𝑡 + ℎ) + 𝑦 (𝑡) SV: Nguyễn Thị Thu Thủy GVHD: TS Lê Hải Trung Nếu    𝑥 ∗ gọi ổn định tiệm cận toàn cục * 𝑥 ∗ gọi điểm hấp dẫn   cho | x(0)  x |  kéo theo lim 𝑥(𝑡) = 𝑥 ∗ (Hình 3.7) 𝑡→∞ Nếu 𝑡 = ∞ 𝑥 ∗ gọi tập hút tồn cục Hình 3.7 Tập hút tồn cục 𝑥 ∗ , ổn định lim 𝑥(𝑡 ) = 𝑥 ∗ với x(0) 𝑡→∞ SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 26 GVHD: TS Lê Hải Trung Trong nhiều trường hợp, để xác định ổn định điểm cân theo định nghĩa nhiệm vụ vô khó khăn Sau cơng cụ đơn giản mạnh mẽ để giúp người đọc hiểu cách giải phương trình (2.11) vùng lân cận điểm cân Đó sơ đồ bước cầu thang, mơ hình mạng nhện cân cung cầu kinh tế 3.1.1 Sơ đồ bước cầu thang Với 𝑥 (𝑡 + 1) = 𝑓(𝑥 (𝑡)) ta vẽ đồ thị hàm 𝑓 mặt phẳng (𝑥 (𝑡), 𝑥(𝑡 + 1)) Sau đó, cho 𝑥(0) = 𝑥0 ta xác định giá trị 𝑥(1) cách vẽ đường thẳng đứng qua 𝑥0 cho đường thẳng cắt đồ thị 𝑓 (𝑥0 , 𝑥(1)) Tiếp theo vẽ đường ngang từ (𝑥0 , 𝑥 (1)) giao với đường 𝑦 = 𝑥 (𝑥(1), 𝑥(1)) Một đường thẳng đứng vẽ từ điểm (𝑥(1), 𝑥 (1)) giao với đồ thị 𝑓 điểm (𝑥(1), 𝑥 (2)) Cứ tiếp tục q trình này, người ta thấy 𝑥(𝑡) với 𝑡 > Ví dụ sơ đồ bước cầu thang mơ hình quần thể đơn lồi (Hình 3.8) 3.1.2 Mơ hình quần thể đơn lồi Xét quần thể trùng đơn lồi khơng có trùng lặp hệ Gọi 𝑦(𝑡) quần thể hệ thứ 𝑡 Xét mơ hình tốn học cho dạng phương trình: 𝑦(𝑡 + 1) = 𝜇𝑦(𝑡), 𝜇 > (3.1) Nếu số loài ban đầu cho 𝑦(0) = 𝑦0 ta suy ra: 𝑦(𝑡 ) = 𝜇𝑡 𝑦0 (3.2) lời giải (3.1) Nếu 𝜇 > 𝑦(𝑡) tăng vơ hạn lim 𝑦(𝑡) = ∞ 𝑡→∞ Nếu 𝜇 = 𝑦(𝑡) = 𝑦0 , điều có nghĩa số lượng lồi tăng vơ hạn tương lai SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 27 GVHD: TS Lê Hải Trung Nếu   cuối lồi tuyệt chủng Tuy nhiên phụ thuộc vào điều kiện ngoại cảnh, nguồn thức ăn, mức độ cạnh tranh nên số lượng lồi ln đạt tới mức định Mức độ cạnh tranh cho phương trình 𝑦 (𝑡) Một mơ hình hợp lý cho phép 𝑏 > với tỉ lệ không đổi, 𝑦(𝑡 + 1) = 𝜇𝑦(𝑡) − 𝑏𝑦 (𝑡) Trong (3.3) đặt x(t )  b  (3.3) y (t ) , ta có: 𝑥(𝑡 + 1) = 𝜇𝑥(𝑡 )(1 − 𝑥(𝑡 )) = 𝑓(𝑥 (𝑡)) (3.4) Phương trình phương trình đơn giản phương trình sai phân tuyến tính cấp một, gọi tắt phương trình logistic Tuy nhiên, lời giải dạng đóng (3.4) khơng có sẵn (ngoại trừ số giá trị cụ thể 𝜇) Để tìm điểm cân (3.4), ta cho 𝑓(𝑥 ∗ ) = 𝜇𝑥 ∗ (1 − 𝑥 ∗ ) = 𝑥 ∗ Từ ta tìm điểm cân 𝑥 ∗ = x*   1  Hình 3.8 Sơ đồ bước cầu thang với 𝜇 = 2.5 SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 28 GVHD: TS Lê Hải Trung Hình (3.8) cho ta sơ đồ bước cầu thang (𝑥 (𝑡), 𝑥 (𝑡 + 1)) 𝜇 = 2.5 𝑥(0) = 0.1 Trong trường hợp này, có hai điểm cân 𝑥 ∗ = không ổn định 𝑥 ∗ = 0.6 tiệm cận ổn định 3.1.3 Mơ hình mạng nhện cân cung cầu lĩnh vực kinh tế Các biến động định kì thường xuyên sản xuất giá mặt hàng cụ thể ghi nhận thời gian Ví dụ, xem xét ngơ Những người nông dân trồng ngô dựa vào giá ngơ để xác định số lượng diện tích họ trồng Nếu giá ngơ cao họ có xu hướng dùng lượng lớn đất để trồng ngô, với giả định mặt giá trì Tuy nhiên, năm sau có ngơ thu hoạch đưa thị trường, cung vượt cầu Dẫn đến hậu giá ngô giảm nông dân dành diện tích đất để trồng ngơ cho vụ sau Tuy nhiên, vụ ngô năm tiếp theo, cung thấp cầu Điều dẫn đến tăng giá nông dân trồng nhiều ngơ cho vụ sau, vượt nhu cầu giá giảm bớt Như vậy, chu kì lại bắt đầu Để xây dựng mơ hình q trình này, nghiên cứu giá loại hàng hóa định Gọi 𝑆(𝑘) số đơn vị hàng hóa cung cấp chu kì 𝑘, 𝐷(𝑘) số lượng đơn vị hàng hóa yêu cầu chu kì 𝑘 𝑝(𝑘) giá đơn vị hàng hóa chu kì 𝑘 Để đơn giản, ta giả định 𝐷(𝑘) phụ thuộc tuyến tính vào 𝑝(𝑘) kí hiệu: 𝐷 (𝑘 ) = −𝑚𝑑 𝑝(𝑘 ) + 𝑏𝑑 , 𝑚𝑑 > 0, 𝑏𝑑 > Phương trình cịn gọi đường cong u cầu giá Các 𝑚𝑑 liên tục thể độ nhạy người tiêu dùng để định giá Ta giả định đường cong yêu cầu giá cung cấp mối liên quan thời điểm chu kì với giá chu kì trước đó, tức là: SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 29 GVHD: TS Lê Hải Trung 𝑆(𝑘 + 1) = 𝑚𝑠 𝑝(𝑘 ) + 𝑏𝑠 , 𝑚𝑠 > 0, 𝑏𝑠 > 0, với 𝑚𝑠 độ nhạy nhà cung cấp để định giá Độ dốc đường cong âm gia tăng đơn vị giá giảm Ngược lại, độ dốc đường cong dương tương ứng đơn vị tăng giá, gây gia tăng đơn vị giá 𝑚𝑠 Giả định thứ ba giá trị thị trường mà đó, lượng cung lượng cầu nhau, nghĩa 𝐷 (𝑘 + 1) = 𝑆(𝑘 + 1) Khi đó: −𝑚𝑑 𝑝(𝑘 + 1) + 𝑏𝑑 = 𝑚𝑠 𝑝(𝑘 ) + 𝑏𝑠 hay 𝑝(𝑘 + 1) = 𝐴 𝑝(𝑘 ) + 𝐵 = 𝑓(𝑝(𝑘 )) (3.5) với 𝐴=− 𝑚𝑠 𝑏𝑑 − 𝑏𝑠 , 𝐵= 𝑚𝑑 𝑚𝑑 Phương trình (3.5) có dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp một, với 𝑝(0) = 𝑝0 có nghiệm là: 𝑝(𝑘 ) = (𝑝0 − 𝐵 𝐵 ) 𝐴𝑘 + 1−𝐴 1−𝐴 Điểm cân 𝑥 ∗ định nghĩa lĩnh vực kinh tế giá giao điểm 𝑆(𝑘 + 1) đường cong yêu cầu giá 𝐷 (𝑘 ) Ngoài ra, 𝑝 ∗ điểm bất động 𝑓(𝑝) (3.5), p*  B 1 A Với A tỉ lệ sườn dốc đường cung cầu, tỉ lệ xác định tình trạng trình tự giá Xét trường hợp cụ thể mô tả sơ đồ bước cầu thang sau: (i) Trong trường hợp −1 < 𝐴 < 0, giá luân phiên hội tụ điểm cân 𝑝 ∗ tạo hình xoắn ốc hình chữ nhật Trong chuyên ngành SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 30 GVHD: TS Lê Hải Trung kinh tế, giá 𝑝 ∗ gọi “ổn định”, tốn học ta gọi 𝑝 ∗ “ổn định tiệm cận” (Hình 3.9) Hình 3.9 Ổn định tiệm cận cân giá (ii) Trong trường hợp 𝐴 = −1, giá dao động hai giá trị Nếu 𝑝(0) = 𝑝0 𝑝(1) = −𝑝0 + 𝐵 𝑝(2) = 𝑝0 Do đó, điểm cân 𝑝 ∗ ổn định (Hình xoắn ốc thu gọn thành hình vng) (Hình 3.10) Hình 3.10 Ổn định cân giá SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 31 GVHD: TS Lê Hải Trung (iii) Trong trường hợp 𝐴 < −1, giá dao động vô hạn điểm cân 𝑝 ∗ di chuyển sau (hình xoắc ốc phân kì bên ngồi) Vì vậy, điểm cân coi khơng ổn định (Hình 3.11) Hình 3.11 Điểm cân giá không ổn định Dựa vào (3.5) với 𝑝(0) = 𝑝0 , ta có: 𝑝(𝑘 ) = (𝑝0 − 𝐵 𝐵 ) 𝐴𝑛 + 1−𝐴 1−𝐴 3.2 Tổng hữu hạn chuỗi Xét tổng hữu hạn sau: k S ( k )   f (n) , n 0 (3.6) 𝑓(𝑛) hàm cho trước 𝑛 Bây tính 𝑆(𝑘 ) Đầu tiên, xác định giá trị 𝑆(𝑘 + 1), đưa biểu thức: 𝑘+1 𝑘 𝑆(𝑘 + 1) = ∑ 𝑓(𝑛) = ∑ 𝑓(𝑛) + 𝑓(𝑘 + 1) 𝑛=0 (3.7) 𝑛=0 Lấy phương trình (3.7) trừ cho phương trình (3.6) vế theo vế, ta phương trình sai phân tuyến tính cấp không nhất: SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 32 GVHD: TS Lê Hải Trung 𝑆(𝑘 + 1) − 𝑆(𝑘 ) = 𝑓(𝑘 + 1), 𝑆(0) = 𝑓(0) (3.8) Như vậy, nghiệm phương trình (3.8) biểu diễn phương trình (3.6) Ví dụ 3.5 Xét tổng: k S (k )   n n 0 Trong 𝑓(𝑛) = 𝑛 Phương trình (3.8) trở thành: 𝑆(𝑘 + 1) − 𝑆(𝑘) = 𝑘 + (3.9) Phương trình (3.9) có nghiệm nghiệm riêng là: 𝑆(𝑘) = 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, S (k )  k (k  1) Vì vậy, 𝑆(𝑘 ) = 𝑐 + 𝑘(𝑘 + 1) Và 𝑆(0) = 0, ta thu 𝑐 = Khi đó: S (k )  k (k  1) Kết tổng với kết đưa Bảng 2.1, mục số Ví dụ 3.6 Giả sử 𝑓 (𝑛) = 𝑎𝑛 , 𝑎 ≠ Xét tổng: k S (k )   a n , S (0)  (3.10) n0 Phương trình sai phân tuyến tính cấp khơng (3.8) trở thành: 𝑆(𝑘 + 1) − 𝑆(𝑘 ) = 𝑎𝑘+1 a k 1 Khi đó, nghiệm tổng quát phương trình (3.10) S (k )  c  , a 1 c số tùy ý xác định theo điều kiện 𝑆(0) = Khi đó: 𝑆(0) = 𝑐 + 𝑎 , 𝑎−1 SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 33 GVHD: TS Lê Hải Trung hay 𝑐 =1− 𝑎 = 𝑎−1 1−𝑎 Do đó, tổng (3.10) cho biểu thức: 𝑘 𝑎𝑘+1 𝑆(𝑘) = ∑ 𝑎 = + 1−𝑎 𝑎−1 𝑛 𝑛=0 𝑎𝑘+1 − 𝑆(𝑘 ) = 𝑎−1 Một lần nữa, kết tổng với kết đưa bảng 3.1, mục số Lưu ý rằng, |𝑎| < 1, ∞ lim 𝑆(𝑘) = = ∑ 𝑎𝑛 𝑘→∞ 1−𝑎 𝑛=0 Chuỗi vô hạn gọi chuỗi hình học 3.3 Lãi đơn, lãi kép trả góp Một khoản tiền cho kiếm lãi suất đơn với tỉ lệ 𝑟 số tiền gửi vào ngày có lãi số tiền gửi năm trước ngày cộng với lãi suất thu năm số tiền gốc ban đầu (Tỉ lệ phần trăm hàng năm 100 𝑟%) Nếu 𝐷(𝑘) số tiền gửi sau 𝑘 năm 𝐷(0) số tiền gửi ban đầu, cách tính lãi suất đơn giản viết là: 𝐷 (𝑘 + 1) = 𝐷𝑘 + 𝑟 𝐷 (0) (3.11) Phương trình (3.11) có nghiệm là: 𝐷(𝑘) = 𝐷(0) + 𝐷(0)𝑟𝑘 𝐷(𝑘) = 𝐷(0)(1 + 𝑟𝑘) (3.12) Phương trình cơng thức tính lãi suất đơn biểu thị số tiền gửi sau 𝑘 năm với số tiền gửi ban đầu, với tỉ lệ lãi suất đơn năm số năm mà số tiền tích lũy Chú ý, 𝐷(𝑘) hàm tuyến tính 𝑘 SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 34 GVHD: TS Lê Hải Trung Đối với trường hợp lãi suất kép, trạng thái khác với lãi suất đơn Gọi 𝑖 lãi suất cho thời kì chuyển đổi (Ví dụ: lãi suất hàng năm 12%, lãi suất cộng gộp nửa năm lần, 𝑖 = 0.06 ; lãi suất hàng năm tính theo quý 𝑖 = 0.03; … Trong trường hợp đầu tiên, khoảng thời gian chuyển đổi tháng Đối với trường hợp thứ hai, khoảng thời gian chuyển đổi tháng) Cho 𝐷(0) số tiền gửi ban đầu 𝐷(𝑘) số tiền gửi sau kết thúc 𝑘 chuyển đổi Tiền lãi kiếm khoảng thời gian chuyển đổi xác định tổng số tiền gửi vào đầu kì Điều có nghĩa rằng: 𝐷 (𝑘 + 1) = 𝐷 (𝑘 ) + 𝑖𝐷 (𝑘 ) = (1 + 𝑖 )𝐷 (𝑘 ) (3.13) Phương trình (3.12) phương trình sai phân tuyến tính cấp có nghiệm là: 𝐷 (𝑘 ) = 𝐷 (0)(1 + 𝑖 )𝑘 (3.14) Vậy (3.14) công thức lãi suất kép So sánh phương trình (3.12) với (3.14), ta thấy số tiền ban đầu gửi theo hình thức lãi suất kép tích lũy với tốc độ nhanh nhiều so với hình thức lãi suất đơn Kết trình bày bảng 3.1 minh họa khác biệt Trong bảng 3.1 tính tốn số tiền gửi ban đầu 100 000 000, lãi suất đơn 10% (tức 𝑟 = 0.1) lãi suất kép 10% cộng gộp hàng năm (tức 𝑖 = 0.1) Kết thúc 10 năm 20 năm, số tiền gửi theo lãi đơn tăng gấp đôi, gấp ba lần so với số tiền ban đầu gửi vào, tương ứng 200 triệu, 300 triệu Tuy nhiên, lãi kép, số tiền sau 20 năm nhận lại 672 750 000 nghìn đồng, gấp lần so với số tiền nhận lại sau 20 năm lãi đơn SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 35 GVHD: TS Lê Hải Trung 𝒌 Lãi đơn Lãi kép 100 000 000 100 000 000 110 000 000 110 000 000 120 000 000 121 000 000 130 000 000 133 000 000 140 000 000 146 410 000 150 000 000 161 050 000 160 000 000 177 160 000 170 000 000 194 870 000 180 000 000 214 360 000 190 000 000 235 790 000 10 200 000 000 259 360 000 20 300 000 000 672 750 000 Bảng 3.1 Lãi đơn lãi kép 𝐷(0) = 100 000 000, 𝑟 = 0.1 (lãi suất hàng năm10%), 𝑖 = 0.1 (lãi suất hàng năm 10%, cộng gộp hàng năm) Trả góp q trình mà khoản vay hồn trả chuỗi khoản tốn định kì, phần số tốn phần lãi suất phần toán để giảm dư nợ gốc Gọi 𝑝(𝑘 ) đại diện cho số dư nợ gốc sau toán số tiền 𝑔(𝑘) lần thứ 𝑘 Giả sử 𝑟 chi phí lãi kép kì tốn Việc xây dựng mơ hình dựa số dư nợ gốc 𝑝(𝑘 + 1) sau lần tốn (𝑘 + 1) số dư nợ gốc 𝑝(𝑘) sau toán lần thứ 𝑘 cộng với lãi suất 𝑟𝑝(𝑘) phát sinh thời gian (𝑘 + 1) trừ việc toán số tiền 𝑔(𝑘) lần thứ 𝑘 Ta phương trình: 𝑝(𝑘 + 1) = 𝑝(𝑘 ) + 𝑟𝑝(𝑘 ) − 𝑔(𝑘 ), SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 36 GVHD: TS Lê Hải Trung hay 𝑝(𝑘 + 1) = (1 + 𝑟)𝑝(𝑘 ) − 𝑔(𝑘 ) , 𝑝(0) = 𝑝0 (3.15) Với 𝑝0 dư nợ ban đầu, phương trình (3.15) có nghiệm là: k 1 p (k )  (1  r ) p0   (1  r ) k  n 1 g (k ) k (3.16) n 0 Trong thực tế, việc toán 𝑔(𝑘 ) số tương ứng 𝑇 Trong trường hợp này, ta có: T p (k )  (1  r ) k p0   (1  r ) k   1  r    (3.17) Nếu muốn trả hết nợ vay cách tốn k lần, từ (3.17) ta được:   r T  p0  k  1  (1  r )  Bảng 3.2 ví dụ khoản vay 10 triệu đồng, vay lãi suất kép 10% hàng năm Khoản vay hoàn trả năm lần toán hàng năm Số liệu cho bảng 3.2 xác định theo hàng Đối với nợ gốc đầu kì, vào cuối năm đầu tiên, số tiền gốc 10 000 000 đồng, lãi phải trả 000 000 đồng, khoản tốn 637 970 nghìn đồng sử dụng để trả khoản lãi 000 000 đồng 637 970 nghìn đồng cịn lại sử dụng để giảm khoản nợ xuống 363 030 nghìn đồng Khi tiến hành trả góp, phần nợ gốc hàng năm giảm, trả nợ gốc tăng, lãi đến hạn cuối năm giảm Lưu ý khoản toán tiền lãi lên tới gần phần ba giá trị khoản vay ban đầu SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 37 GVHD: TS Lê Hải Trung Thanh toán hàng năm Năm Thanh toán Nợ gốc hàng hàng năm vào năm cuối năm Lãi đến hạn Trả nợ gốc cuối năm cuối năm 10 000 000 637 970 000 000 637 970 363 030 637 970 836 200 801 770 560 260 637 970 656 030 981 940 4 578 320 637 970 457 830 180 140 398 180 637 970 239 810 398 160 13 189 850 189 870 999 980 Tổng cộng Bảng 3.2 Trả góp với 𝑝0 = 10 000 000 đồng, 𝑟 = 0.1, 𝑘 = SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 38 GVHD: TS Lê Hải Trung KẾT LUẬN Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, thấy luận văn đạt số kết cụ thể sau: Trình bày rõ ràng tương đối đầy đủ kiến thức sở phương trình sai phân cấp một, khái niệm phương trình sai phân Luận văn cho ta số kiến thức phương trình sai phân tuyến tính cấp một, điểm cân hệ động lực học mô hình liên quan, cách tính tổng chuỗi dựa vào phương trình sai phân cấp một, lãi suất đơn, lãi suất kép trả góp Trong q trình thực luận văn, tác giả cố gắng Tuy nhiên khơng tránh khỏi số thiếu sót cách hành văn, việc hoàn thành luận văn Tác giả mong q thầy đóng góp để luận văn hoàn thiện SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 39 GVHD: TS Lê Hải Trung TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Đình Thịnh (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [2] Bùi Minh Trí (2003), Mơ hình tốn kinh tế, NXB Bách Khoa Hà Nội [3] Lê Hải Trung (2019), Giáo trình phương trình vi phân – sai phân, NXB Thông tin Truyền thông [4] Ronald E Mickens (2015), Difference Equation Theory, Applications and Advanced Topics Third Edition, Taylor & Francis Group SV: Nguyễn Thị Thu Thủy 40 ... PHÂN CẤP MỘT 11 2.1 Phân loại phương trình sai phân cấp 11 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 16 CHƯƠNG III MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT ... tượng nghiên cứu Phương trình sai phân cấp số vấn đề liên quan 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phương trình sai phân cấp một, mơ hình động lực học có liên quan đến phương trình sai phân cấp một biến mơ hình... cứu phương trình sai phân cấp số vấn đề liên quan đến vấn đề thời toán học nhiều nhà khoa học quan tâm Với lí với gợi ý TS Lê Hải Trung, định lựa chọn đề tài: ? ?Phương trình sai phân cấp số vấn đề