BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNGĐẠIHỌCQUYNHƠN BÙITHÚYDIỆU PHƯƠNGPHÁPHÌNHHỌCGIẢIBÀITOÁNCỰC TRỊVÀMỘTSỐVẤNĐỀLIÊNQUAN LUẬNV Ă N T H Ạ C S Ĩ T O Á N H Ọ C BìnhĐịnh−Năm2022 BÙITHÚYDIỆU PHƯƠNGPHÁPHÌNHHỌCGIẢIBÀITOÁNC[.]
Khoảngc á c h g i ữ a h a i t ậ p h ợ p , k h o ả n g c á c h t ừ m ộ t đ i ể m đếntậphợp
Trong phần này, tôi trình bày một số công thức tính khoảng cách giữahaiđiểm,từmộtđiểmđếnđườngthẳngtrongmặtphẳng.Tổngquáthơ nlàkhoảngcáchtừmộtđiểmđếnmộttậphợptrongmặtphẳng. Định nghĩa 1.3.1(Khoảng cách giữa hai điểm).Trong mặt phẳng tọađộOxy, cho điểmM(x M ;y M )và điểmN(x N ;y N ) Khi đó khoảng cáchgiữahaiđiểmMv à Nl à
Địnhnghĩa 1.3.2(Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng).Cho đường thẳngd:Ax+By+C= 0và điểmM(x0;y0) Khi đó khoảngcáchtừđiểmMđ nến đườngthẳngdlà
A 2 +B 2 Địnhn g h ĩ a 1 3 3 TrongmặtphẳngtọađộOxy,chomộtđiểmAvà tậpΩ.Khiđó,khoảngcáchtừAđ nến Ωlàd(A,Ω)=infd(A,a).Nếucó a∈Ω điểmM∈ΩsaochoAM=d(A,Ω)thìtanóiMl àhìnhchiếucủaAlênΩ.
Phươngtrìnhcủacácđường
Phươngtrìnhđườngthẳng
Định nghĩa 1.4.1.Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳngdđiquađiểmM(x0;y0)vànhận⃗n=(a;b)làvectơpháptuyếnvà⃗a=(A;B )làvectơchỉphương.
Cácđườngconic
1.4.2.1 Phươngtrìnhđườngtròn Địnhnghĩa1.4.2.TrênmặtphẳngtọađộOxy,chođườngtròn(C)cótâmI(a
;b)vàbánkínhR. ĐiểmM(x;y)t huộcđườn g t ròn(C)khiv àc hỉk hiIM=R,ha yl à
(ii) Ngược lại, phương trìnhx 2 +y 2 −2ax−2by+c= 0là phương trìnhcủađườngtròn(C)khivàchỉkhia 2 +b 2 c>0.Khiđóđườngtròn(C) cótâmI(a;b)vàbánkínhR=√a 2+ b 2− c.
1.4.2.2 PhươngtrìnhđườngElip Định nghĩa 1.4.3.Cho hai điểm cố địnhF 1 vàF 2 , vớiF1F2,(c>0).Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểmMsao choMF1+MF2*,trongđóalàsốchotrướclớnhơnc.
Hai điểmF1vàF2gọi là các tiêu điểm của elip Khoảng cách2cđược gọilàtiêucựcủaelip. Định nghĩa 1.4.4(Phương trình chính tắc).Cho elip(E)có các tiêuđiểmF1vàF2 ĐiểmMthuộc elip khi và chỉ khiMF1+MF2= 2a. Chọnhệ trục tọa độOxysao choF1(−c; 0)vàF2(c; 0) Khi đó ta có phươngtrìnhchínhtắccủaelip
Tínhchất1.4.1(Tínhđốixứngcủaelip).Elip(E): a 2 + b 2 =1nhận cáctrụctọađộlàmtrụcđốixứngvàgốctọađộlàmtâmđốixứng.
(vi) Hìnhchữnhậttạobởicácđườngthẳngx=± a, y=± b g iọi là hìnhchữnhậtcơsở.
Sốphứcvàmộtsốvấnđềliênquan
Kháiniệmsốphức
Địnhnghĩa 1.5.1.Một số phức là một biểu thức dạnga+bi(a,b ∈ R)vàsốith aỏa mãni 2 =−1.Kíhiệusốphứcđólàzvàviếtz=a+bi.
Trongđó,iđượccgọilàđơn vịảo,ađượccgọilàphần thựcvàbđượccgọilàphầnảoc ủ asốphứcz.
Chú ý 1.5.2.Số phứcz=a+ 0icó phần ảo bằng0được coi là số thựcvàviếtlàa+0i=a∈R⊂C.
Sốphứccóphầnthựcbằng0đượcgọilàthuầnsốảo(còngọilàsốthuầnảo) :z=0+bi=bi(b∈R);i=0+1i=1i.
Số0=0+0i=0iv aừa làsốthựcvừalàsốảo. Địnhnghĩa1.5.3.Haisốphứcz=a+bi(a, b ∈ R)vàz ′ =a ′ +b ′ i(a ′ ,b
Biểudiễnhìnhhọcsốphức
Định nghĩa 1.5.4.Mỗi số phứcz=a+bi(a, b ∈ R)được biểu diễn bởiđiểmM(a;b) Khi đó ta thường viếtM(a;b)hayM(z) GốcObiểu diễnsố0. Định nghĩa 1.5.5.Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức được gọilà mặt phẳng phức TrụcOxđược gọi là trục thực và trụcOyđược gọi làtrụcảo.
1.5.3 Sốphfíc liên hợpvàmôđuncủa số phfíc Địnhn g h ĩ a 1 5 6 ( S ốphứcliênhợp).S ốphứcliênhợpcủaz=a+bi (a,b R∈ )làa−bivàđượckíhiệubởiz.Nhưv ậy z=a+bi=a−bi. Địnhnghĩa1.5.7(Môđuncủasốphức).Môđuncủasốphứcz=a+ bi(a,b∈R)l àsố t h ự c k h ô n g â m √a 2+ b 2v à đ ư ợ c k í h i ệ u l à| z |.
Nhậnxét.(i)Nếuzl àsốthựcthìmôđuncủazl àgiátrịtuyệtđốicủasốthựcđó. (ii)z=0khivàchỉkhi|z|=0.
1.5.4 Cácp h é p t o á n v ề s ố p h f í c Địnhnghĩa1.5.8(Phépcộngsốphức).Tổngcủahaisốphứcz=a+bi, z ′ =a ′ +b ′ i(a,b,a ′ ,b ′ ∈R)làsốphức z+z ′ =a+a ′ +b+b ′ i Địnhn g h ĩ a 1 5 9 ( P h é ptrừhaisốphức).Hiệucủahaisốphứczv à z ′ làtổngcủazv iới −z ′ ,tứclà z−z ′ =z+−z ′
Nếuz=a+bi,z ′ =a ′ +b ′ i(a,b,a ′ ,b ′ ∈R)thì z−z ′ =a−a ′ +b−b ′ i. Địnhnghĩa1.5.10(Phép nhân hai số phức).Tíchcủa hai số phứcz a+biv à z ′ =a ′ +b ′ i(a,b,a ′ ,b ′ ∈R)làsốphức zz ′ ′ −bb ′ +a b ′ +a ′ bi Địnhn g h ĩ a 1 5 1 1 ( P h é pchiachosốphứckhác0).Nghịchđảocủas ố phứczkhác0làsốphứcz −1 = 1
Thương z củaphépchiasốphứcz ′ c h osốphứczk h á c0làtíchcủa z ′ v iới sốphứcnghịchđảocủaz,tứclàz
1.5.5 Biểud i ễ n h ì n h h ọ c c ủ a s ố p h f í c Để giải các bài toán cực trị liên quan đến môđun số phức bằng phươngpháp hình học, ta phải biểu diễn hình học tập hợp các số phứczthỏa mãnđiềukiệnKnàođó.Thựchiệnđiềunày,tatiếnhànhnhưsau:
(b) Biến đổi điều kiệnKđể tìm mối liên hệ giữaxvày, từ đó rút ra kếtluận.Sauđâylàmộtsốchúýkhithựchiệnviệcchuyểnđổitừđiềukiệnsố phứcsangcácđạilượnghìnhhọc:
Vớisốphứcz=a+bi(a,b∈R).GọiM(a;b)làđiểmbiểudiễnsốphức z.C h o đ i ể m c ố đ ị n hI,F1,F2s a o c h oF1F2= 2c(c>0)v àđ ư ờ n g t h ẳ n g d:Ax+By+C= 0.
• Tậphợpcácđi ểmMth aỏa mãnAx+By+C= 0làđườngthẳngd.
• TậphợpcácđiểmMth aỏa mãnMF1=MF2làđườngtrungtrựccủa
• TậphợpcácđiểmMt h aỏa mãnMF1+MF2*(a>0)làđườngelipv ớihaitiêuđiểmlàF1vàF2.
Cácphéptoánvềsốphức
Địnhnghĩa1.5.8(Phépcộngsốphức).Tổngcủahaisốphứcz=a+bi, z ′ =a ′ +b ′ i(a,b,a ′ ,b ′ ∈R)làsốphức z+z ′ =a+a ′ +b+b ′ i Địnhn g h ĩ a 1 5 9 ( P h é ptrừhaisốphức).Hiệucủahaisốphứczv à z ′ làtổngcủazv iới −z ′ ,tứclà z−z ′ =z+−z ′
Nếuz=a+bi,z ′ =a ′ +b ′ i(a,b,a ′ ,b ′ ∈R)thì z−z ′ =a−a ′ +b−b ′ i. Địnhnghĩa1.5.10(Phép nhân hai số phức).Tíchcủa hai số phứcz a+biv à z ′ =a ′ +b ′ i(a,b,a ′ ,b ′ ∈R)làsốphức zz ′ ′ −bb ′ +a b ′ +a ′ bi Địnhn g h ĩ a 1 5 1 1 ( P h é pchiachosốphứckhác0).Nghịchđảocủas ố phứczkhác0làsốphứcz −1 = 1
Thương z củaphépchiasốphứcz ′ c h osốphứczk h á c0làtíchcủa z ′ v iới sốphứcnghịchđảocủaz,tứclàz
Biểudiễnhìnhhọccủasốphức
Để giải các bài toán cực trị liên quan đến môđun số phức bằng phươngpháp hình học, ta phải biểu diễn hình học tập hợp các số phứczthỏa mãnđiềukiệnKnàođó.Thựchiệnđiềunày,tatiếnhànhnhưsau:
(b) Biến đổi điều kiệnKđể tìm mối liên hệ giữaxvày, từ đó rút ra kếtluận.Sauđâylàmộtsốchúýkhithựchiệnviệcchuyểnđổitừđiềukiệnsố phứcsangcácđạilượnghìnhhọc:
Vớisốphứcz=a+bi(a,b∈R).GọiM(a;b)làđiểmbiểudiễnsốphức z.C h o đ i ể m c ố đ ị n hI,F1,F2s a o c h oF1F2= 2c(c>0)v àđ ư ờ n g t h ẳ n g d:Ax+By+C= 0.
• Tậphợpcácđi ểmMth aỏa mãnAx+By+C= 0làđườngthẳngd.
• TậphợpcácđiểmMth aỏa mãnMF1=MF2làđườngtrungtrựccủa
• TậphợpcácđiểmMt h aỏa mãnMF1+MF2*(a>0)làđườngelipv ớihaitiêuđiểmlàF1vàF2.
Nộidungphươngpháp
Các bài toán cực trị tổng quát mà ta quan tâm là bài toán:Tìm mộtđiểmMnằm trong tập hợpAcủa không gian metricXsao cho khoảngcáchtừnóđếnmộttậphợpBc h o trướclàbénhất/lớnnhất.
Trong chương trình phổ thông, không gianXcó thể làR,R 2 hayR 3 Trong luận văn này, tôi chỉ quan tâm đến trường hợpXlàR 2 Trongtrường hợp này, các tập hợpA, Bcó thể là đường thẳng, đường tròn, elip,hình vành khăn, các đa giác hay các hình phẳng khác đã biết Nếu tập hợpAlàmộtđườngthẳng∆vàBlàmộtelip(E)chẳnghạn,thìbàitoáncủatayêuc ầu:TìmmộtđiểmMtrênđườngthẳng∆saochokhoảngcáchtừnóđếnelip(E)l àbénhất/lớnnhất,
Trườnghợpđặcbiệt,khiAtrùngvớiMlàmộtđiểm,khiđóbàitoántrởthành bài toán tìm hình chiếu của điểmMlên tậpB, tức là tìmM A∈ saocho
M ′ ∈ Bd(M,M ′ ). Phương pháp hình học thích hợp với những bài toán tìm giá trị lớn nhất,giátrịnhỏnhấtmàtrongđócácbiểuthứcvàđiềukiệncủabàitoánban đầu đã tiềm ẩn những yếu tố hình học mà thoạt tiên ta chưa nhìn ra nó.Nhiệm vụ của chúng ta là chuyển đổi các yếu tố trong bài toán sang ngônngữ của hình học Đối với những bài toán như vậy, ta thường sử dụng cáctính chất hình học sơ cấp để biểu diễn chúng, các tính chất sau đây hayđượcsửdụng:
• (Nguyên lý trắc địa) Đoạn thẳng nối hai điểm có độ dài ngắn nhất sovớimộtđườnggấpkhúcnốihaiđiểmđó.
• (Bất đẳng thức tam giác) Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnhbấtkìbaogiờcũnglớnhơnđộdàicạnhcònlại.
• (Định lý hình chiếu) Cho điểmMở ngoài đường thẳngdcho trước.Khi đó, độ dài đường vuông góc kẻ từMxu ngống dngắn hơn mọi đườngxiênkẻtừMx u n gống cùngđườngthẳngd.
Mộtsốphươngpháphìnhhọcgiảibàitoáncựctrị
Phươngphápsửdụngnguyênlýtrắcđịa
Xét hai đường thẳng∆1:x+ 2y= 9và∆2:x+ 2y= 4và hai điểmM(6; 4),N(2;−4) Các điểmP(a;b),Q(c;d)vớia+ 2b= 9vàc+ 2d 4tươngứngnằmtrênhaiđườngthẳng∆1và∆2.
Với các điểm ở trên thìT=PM+NQ+QP,chính là độ dài đường gấpkhúcnốiM,N.
Dấu "=" xảy ra khiM, N, P, Qthẳng hàng tức làP≡ P0vàQ ≡
Q0.TrongđóP0Q0tươngứnglàgiaođiểmcủađườngthẳngnốiMNv iới haiđườngt h ẳng∆1v à∆2.Dễt h ấy t ọ a độP0,Q0l à :Q0(4;0)vàP0(5;2).
Phươngphápsửdụngtínhchấtcủahìnhchiếu
Bàit o á n 2 6 ([ 3])Chobốnsốthựcx,y,z,tt h ỏ a mãn điềukiện: x+y+z+t=1.
Lờigiải.TrênhệtrụctọađộOxy,xéthaiđiểmM(x;z)vàN(x+y;z+t). Do(x+y) + (z+t) = 1, nên điểmNn m trênằm đườngngthẳngd:x+y=1.
TheoBất đẳng thứctamgiác, ta có
OM+MN≥ ON≥ OH (1) vớiHlàhìnhchiếu√củaOlênđườngthẳngd √
Dấu"="x ả y rakhi vàchỉkh iOM,MNc ù n gchi ều v àN≡ H.Tacó:
Bàito á n 2 7 ([ 3])Chox,yl à haisốthựcthỏa mãnđiềukiện:
M∈△ABC OM 2 =OH 2 ởđâytakẻOH⊥BC.
LạicóOHl àkhoảngcáchtừOđ nến đườngthẳng−2x+y−4=0,dođó
Ta thấy tập hợp các điểmMl àtứgiácABCD,trongđóA(1;0),B(0;2),
GọiI(2;4),khiđóP=MI 2 −20vớiM(x;y)thuộctứgiácABCD.
Dễthấy maxMI 2 =DI 2 e minMI 2 =HI 2 =5
Bàit o á n 2 9 ([ 3])Chox,yl à cácsốthựcthỏamãnđiềukiện: sinx+siny= 1.
Tacó cos2x+cos2y= 1−2sin 2 x+1−2sin 2 y=2−2u 2 +v 2 (1)
VẽhệtọađộOuv.Khiđótậpcácđiểm(u;v)thỏamãn(2)chínhlàđoạn thẳngAB( đ ólàphầnđườngthẳngu+v= 1 cạnhbằng2tronghìnhvẽdướiđây) 2 nằmtronghìnhvuôngcó
Phươngphápđườngđồngmức
Lờig i ả i G ọ iM(x;y)l àđ i ể m t r ê n m ặ t p h ẳ n g c ó t ọ a đ ộ t h ỏ a m ã n h ệ điều kiện đã cho Ta thấy tập hợp các điểmMlà tam giácABC, trongđóA(4;2),B(2;4)vàC(1;3).
Khi đó bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củatham sốm, sao cho đường thẳngx+ 2y=mcắt tam giácABC. Bằngcáchtịnhtiếnđườngthẳngx+2y=0. Điểm đầu tiên mà đường thẳngx+ 2y=mgặp tam giácABCchính làđiểmC(1;3).Khiđóm=1+2.3=7. Điểm cuối cùng mà đường thẳngx+ 2y=mgặp tam giácABCchính làđiểmB(2;4).Khiđóm=2+2.4.
VậymaxP= 10khix=2vày=4. minP= 7khix=1vày=3.
Phươngphápsửdụng tính chất của hình tròn vàkhoảngcách
Mọi đường thẳng đều cóphương trình tổng quát códạngax+by+c=0 a 2 +b 2 ̸=0.
Bàit o á n 2 1 1 ([ 3])Chocácsốthựcx,yt h ỏ a mãn điềukiện: x 2 +y 2 +16=8x+6y.
Dễthấym a x OM 2 =OM 2 ; minOM 2 =OM 2 ,vớiM1,M2l ầ n lượtlà
Bàit o á n 2 1 2 Chobốnsốa,b,c,dt h o ả mãn điềukiện: a 2 +b 2 =c 2 +d 2 =5. s
√2C MNP v ớ iC MNP l àchuvicủa tamgiácMNP.
Bàit o á n 2 1 3 ([ 3])Ch ob ốn sốthựcx,y,z,tt h ỏ a mãn điềuki ện : x+y= 6;z 2 +t 2 = 1.
Lời giải.Trên hệ trục tọa độOxy, gọiM(x;y)vớix+y= 6nằm trênđường thẳngd:x+y= 6và điểmN(z;t)vớiz 2 +t 2 = 1nằm trên đườngtrònđơnvị(C):x 2 +y 2 ótâmO(0;0)vàbánkínhR=1.
Phươngphápsửdụngtínhchấtdiệntíchcủacáchình31
Bàitoán2.14.([ 3])Chox, y, zlàbas ố t h ự c d ư ơ n g v à t h ỏ a m ã n đ i ề u kiện: xyz(x+y+z)= 1.
Lời giải.Xét△ABCABCcó 3 cạnh:AB=x+y;AC=x+zvàBC=y+z.Rõ ràng△ABCABCtồn tại vì thỏa mãn các tiên đề về độ dài cạnh của mộttamgiác.
S△ABCABC =qp(p−BC)(p−AC)(p−AB)=q(x+y+z)xyz.
Lờig i ả i V ẽt a m g i á c đ ề uA B C c nhạnh b ằ n g1.T r ê n c á c c ạ n hA B , BCvà CAl nần lượtlấycácđiểmM,N,Ps a ochoAM=x;BN=yv à CP=z.
Dấu"="trong(1)xảyrakhivàchỉkhitrongcáctamgiácAMP,BMNvàCNPc ó tamgiáctrùngvớitamgiácABC.Điềuđóxảyrakhivàchỉkhitron gbasốx,y,zc ómộtsốbằng1,mộtsốbằng0vàmộtsốtùyý thuộc[0;
VậymaxP=1khivàchỉkhitrongbasốx,y,zc ómộtsốbằng1,mộtsốbằng0 vàmộtsốtùyýthuộc[0;1].
Tìmg i á t r ị l ớ n n h ấ t c ủ a b i ể u t h ứ cP=x+y+z+t−xy−yz−zt−tx.
Lờig i ả i V ẽh ì n h v u ô n g A B C D cóc ạ n h b ằ n g1.T r ê n b ố n c ạ n hAB, BC,CDvàDAl n lần ượct l y các đi mấy các điểm ểm đối xứng M, N, P, Qsao choAM=x,DN=y,CP=zv à BQ=t.
S△ABCAMQ +S△ABCDMN +S△ABCCNP +S△ABCBPQ ≤S ABCD x (1 − t )
Suyra x+y+z+t−(xy+yz+zt+tx)≤2.
Phươngphápsửdụngtínhchấtvectơ
Bàit o á n 2 1 7 Ch oa,b∈R.Tínhgiátrị nh ỏnhấtcủa hàmsố
Trong chương này, tôi chủ yếu tìm hiểu các bài toán cực trị môđun sốphức mà có thể chuyển thành bài toán:TìmmộtđiểmMthuộc một tậpΩcho trước sao khoảng cách từ điểmM0 cho trước đếnΩlà bé nhất haylớnnhất,trongđóΩcóthểlàđườngthẳng,đườngtrònhayelip.
Bước 1:ĐặtM=M(z)từ điều kiện của bài toán ta tìm tập hợp điểmbiểu diễn các số phứczthông thường các tập hợp đó là đường thẳng,đườngtrònhayelip.
Bước 2:Từ biểu thứcPchứa môđun số phức cần tìm giá trị lớn nhất, giátrịnhỏnhấttabiểuthịsangcácyếutốhìnhhọctươngứngthôngthườngP là tổng độ dài các đoạn thẳng, tổng bình phương độ dài các đoạn thẳng,khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Từ đó ta chuyển một bài toánsốphứcsangbàitoánhìnhhọc.
Bước3 : Vẽhìnhbiểudiễntậphợpcácsốphứcz,biểudiễnbiểuthứcP trênhệtrụctọađộOxyá pdụngcáctính chấthìnhhọccơbảnnhư:Bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức đường gấp khúc, tính chất của hìnhchiếu, tính chất đường trung tuyến, tính chất tam giác vuông, để suyragiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủaP.
Bàitoánliênquanđếnkhoảngcáchcủađiểmvàđườngthẳng3 6
Bàit o á n 3 1 C h os ố p h ứ cz 0=a0+b0i(a0,b0∈R)v à t ậ p h ợ p c á c s ố phứ cz=x+yi(x,y∈R)thỏamãnhệthức|z−z1|=|z−z2|. a) Tìmg i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a| z−z0|. b) Tìmzđ ể|z−z0|nhỏnhất.
Từhệthức|z−z1|=|z−z2|,suyraMt h u cộc trungtrực∆củađoạn AB.
Khiđóbàitoántrởthành:TìmM∈∆saochoM 0Mn h ỏ nhất.
Ta thấy, với mọi điểmM ∈∆thìM0M≥M0H, trong đóHlà hìnhchiếu củaM0lên∆ Do đó,min|z − z0|=d(M0,∆) ĐểM0Mnhỏ nhấtvớiM∈∆thìM≡ Hh a y Ml àhìnhchiếucủaM0lên∆.
Với câu b), ta viết phương trình đường thẳngdđi quaM0và vuông gócvới∆(hoặcsongsongvớiAB).Giảihệgồmhaiphươngtrình∆vàdđểm đối xứngtìmra nghiệm(x;y).Kếtluận,sốphứccầntìmlàz=x+yi. Đặcbiệt:|z|mintứclàtìmsốphứczs a ochomôđuncủazl ànhỏnhất.
Ví dụ 3.1 T r o n gtấtcảcácsố phứczt h ỏ a mãn|z−1+2i| | z+3−4i|.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủamôđuncủaz.Lờigi ả i ĐặtM=M(z).
Do đó,MOnhỏanhất khivàchỉ khiMl à h ì n hchiếucủa điểmOlênđườngthẳng∆.
Víd ụ 3 3 Trongt ấ t c ả c á c số p h ứ czt h ỏ a m ã n h ệ th ứ c|z−1+3i||z−3−5i|.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủa|z+2+i|.
Víd ụ 3 4 T r o n gt ấ t c ả c á c s ố p h ứ cz=a+bi(a,b R∈ )t h ỏ a m ã n h ệ thức| z−2+5i|=|z−i|.Biếtrằng|z+1−i|n h ỏ nhất.TínhP=a.b.
GọidlàđườngthẳngđiquaM0 ( 1;1)và vuông gócvới∆thìd:x + 1 y − 1
Bàit o á n 3 2 Chos ố p h ứ czt h ỏ a m ã n h ệ t h ứ c| z−z1|=|z−z2|,v ớ i z1,z2 l à cácsốphức. a) Tìmgiát r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a S=|z − z3|+|z − z4|,v ớ iz 3, z4 l à c á c sốphứcchotrước. b) Tìmsốphứczđ ểS=|z−z3|+|z−z4|nh ỏ nhất.
|z − z1|=|z − z2|suy raM∈∆là đường trung trực củaM1M2.VớiA=A(z3),B=B(z4)⇒|z−z3|=MA,|z−z4|=MB.
A , Bcốngđịnh.TìmM∈∆đểS=MA+MBđ tạnh giátrịnhỏnhất.TínhSmin.
Bn mằm khácphíasovới∆thìvớimọiđiểmM∈∆,MA+MB≥ AB.VậyMA+
MBn hỏanhấtlàMA+MB khivàchỉkhiM,A,Bt h n gẳng hànghayM= ∆∩ AB.
Trườnghợp2:N ế uA,Bn mằm vềcùngmộtphíasovới∆thìgọiA
Khi đó, với mọi điểmM∈∆,MA+MB=MA ′ +MB≥ A ′ B. VậyMA+MBnhỏ nhất làMA+MB=A ′ Bkhi và chỉ khiA ′ , M, BthẳnghànghayM= ∆∩A ′ B.
Lời giải.Từ hệ thức|z − z1|=|z − z2|ta suy ra phương trình đườngthẳng∆. Thay tọa độ các điểmA=A(z3), B=B(z4)vào phương trình∆đểkiểmtraxemA,Bn mằm cùngphíahaykhácphíasovới∆.
Trườnghợp1:N ế uA,Bn mằm khácphíavới∆thì min|z−z3|+|z−z4|}=|z3−z4|. Đểt ì mzthìt a v i ế t p h ư ơ n g t r ì n h đ ư ờ n g t h ẳ n gd đ iq u a h a i đ i ể mA ,B.Giải hệ gồm phương trình∆và phương trìnhdđểm đối xứng tìm ra nghi mệm (x;y).Kếtluận,sốphứccầntìmlàz=x+yi.
Trường hợp2:NếuA, Bnằm cùng phía so với∆thì ta viết phươngtrình đường thẳngaquaAvà vuông góc với∆ Giải hệ phương trình gồmphương trình của∆và phương trình củaasuy ra nghiệm là tọa độ điểmIlàtrungđiểmcủaA
′A.TừtọađộcủaA,Iv àcôngthứctínhtọađộtrung điểmsuyratọađộA ′ vớiA ′ =A ′ (z 3 ′ ) min,.z−z 3 ′ +|z−z4|,=.z 3 ′ —z4. Để tìmzthì ta viết phương trình đường thẳngdđi qua hai điểmA ′ , B.Giải hệ gồm phương trình∆và phương trìnhdđểm đối xứng tìm ra nghi mệm (x;y).Kếtluận,sốphứccầntìmlàz=x+yi.
GọiI=d∩∆.KhiđótọađộcủaIl ànghiệmx,yc aủaB hệphươngtrình
y GọiA ′ l àđiểmđốixứngvớiAqu a∆thìIl àtrungđiểmcủa17 AA ′ n ê n
Vídụ3.6 Chosốphứczt h ỏ a mãnhệthức|z−2i|=| z+i|.Tìmphầnthựccủasốphứczb i ế t|z−1−2i|+|z+4i| đạtgiátrịnhỏnhất.
ThayAvàophươngtrình∆,tađược2.2−1>0.ThayBv à ophươngtrình∆,tađược2.
Vậyphầnthựccủa số phứcthỏa mãnyêucầu bài toánlàx=
Bàitoán3.3 Chosốphứczt h ỏ a mãnhệthức|z−z1|=|z−z2|. a) Tìmg i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a b i ể u t h ứ c| z−z A | 2 +|z−z B | 2 b) Tìmsố p h ứ czđ ể|z−z A | 2 +|z−z B | 2 đạtg i á t r ị n h ỏ n h ấ t , v ớ i z1,z2,z A ,z B l à cácsốphứ ccho trước
Lời giải.ĐặtA=A(z A ),B=B(z B ),M=M(z).Từhệthức| z−z A | 2 + |z−z B | 2 = MA 2 +MB 2
Khiđóbàitoánchuyểnthành:TìmM∈∆saochoMA 2 +MB 2 nhỏnhất. GọiIl àtrungđiểmcủaAB.Khiđó,vớimọiđiểmM∈∆,tacó:
DoA, Blà những điểm cố định nênABkhông đổi, do đóMA 2 +MB 2 nhỏ nhất khi và chỉ khiMInhỏ nhất tức làM ≡ M0 Trong đóM0làhìnhchiếu củaIl ê nđường th ẳng∆vàgiátrịnhỏnh ấtc ủaMA 2 +MB 2 làmMA 2 +MB 2 =2M0I 2 + AB 2
Lờigiải.Từhệthức|z−z1|=|z−z2|.Suyrađượcphươngtrìnhđườngthẳng∆. TìmtrungđiểmIc aủaB đoạnthẳngAB.
Vớicâua):TínhkhoảngcáchtừIđ nến ∆vàđộdàiđoạnthẳng 2 AB. Kếtluận:minMA 2 +MB 2 }-(I,∆) 2 +AB
. Với câu b): Viết phương trình đường thẳngdquaIvà vuông góc với∆.Giải hệ gồm hai phương trình∆và phương trìnhd Nghiệm(x;y)suy rasốphứcz=x+yic nần tìm.
Từ hệ thức|z −1 + 2i|=|z+ 3 +i|, suy raM∈∆:8x −2y+ 5 0.Tacó
GọiIl àtrungđiểmABt h ì I(1;0).Khiđókhoảng cáchtừIđ nến ∆là d(I,∆)= 13
Ví dụ 3.8 Cho số phứczthỏa mãn hệ thức|z+ 7−5i|=|z
−1−11i|.Biếtrằng ,sốph ứcz=x+yit h ỏ a mãn|z−2−8i| 2 +
Bàitoánliênquanđếnkhoảngcáchcủađiểmvàđườngtròn, hìnhtròn
Bàitoán3.4 Cho số phứczthỏa mãn hệ thức|z−z0|
=R(R>0).Trongđó,z 0=a+bi(a,b R∈ )chotrước. a) Tìmg i át r ị l ớ n n h ấ t ( g i á t r ị n h ỏ n h ấ t ) c ủ a| z−z1|,t r o n g đ óz 1 l à sốphứcchot rước. b) Tìms ố p h ứ czđ ể| z−z1|đ ạ t g i á t r ị l ớ n n h ấ t ( g i á t r ị n h ỏ n h ấ t )
=R,suyraMt h u cộc đườngtròn(C)tâmIv àbánkínhR.
Khiđóbàitoánchuyểnthành: a) Tìmgiátrịlớnnhất(giátrịnhỏnhất)củaAMv iới M∈(C). b) TìmM∈(C)saochoAMl nới nhất(nhỏnhất).
GọiM1,M2l à g i a o đ i ể m c ủ a đ ư ờ n g t h ẳ n gA I vàđ ư ờ n g t r ò n(C) ( h ì n hminhhọa)thìvớimọiđiểmM∈(C),taluôncóAM1≤AM≤ AM2. Dođó min{AM}=AM1=|AI−R|;m a x {AM}=AM2=AI+R.
Tacó:I(0;1),A≡O(0;0)⇒AI= 1. ĐặtM=M(z)v ớ iz t h aỏa m ã n h ệ t h ứ c| z −i|
Ví dụ 3.10 Trong tất cả các số phứczthỏa mãn hệ thức|z −1 + 3i|3.Tìmmin|z−1−i|.
Ví dụ 3.11 Trong tất cả các số phứczthỏa mãn hệ thức|z−2 −3i|1.TìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthứcP=|z+1+i|.
Từ hệ thức|z −2−3i|= 1, suy raM∈(C):(x −2) + (y −3) 1.VậyminP=min|z+1+i|=AM1=|AI−R|= 13−1. maxP= max|z+1+i|=MA2=AI+R= 13+1.
|z−1+ 2i|=1,b i ế t r ằ n g| z+ 3−i|đ ạ t g i á t r ị n h ỏ n h ấ t T í n hP b. Lờigiải.Tacó:I(1;−2)vàA(−3;1). ĐặtM=M(z).
Víd ụ 3 1 3 Chosố p h ứ czt h ỏ a m ã n h ệ th ứ c|z−i|= 2.B i ế t r ằ n g|z| lớnnhất.Tìmphầnảocủaz.
Từhệthức|z−i|= 2,suyraM∈(C):x 2 +(y−1) 2 =4. ĐườngthẳngdquaO(0;0)vàtâmI(0;1)của(C)cóphươngtrình:x=0.Giaoc ủadvà(C)lànghiệmcủahệphươngtrình
Vídụ 3.14 Xét các số phứczthỏa mãn hệ thức|z −2−4i|= 2√
2.Trong các số phứcwthỏa mãnw=z(1 +i), gọiw1 vàw2 lần lượt là sốphứccómôđunnhỏnhấtvàmôđunlớnnhất.Tínhw 1+w2
Dấu"="xảyra⇔M≡ M1⇔z=1+2i.Suyra w1=(1+2i).(1+i)=−1+3i. maxP= √2OM.
Bàitoán3.5 Chosốphứczt hỏa mãnhệthức|z−z0|=R(R>0)và z0,z A ,z B l àcácsốphứcchotrước. a) Tìmg i á t r ị n h ỏ n h ấ t ( g i á t r ị l ớ n n h ấ t ) c ủ aS=|z−z A |
|z−z B | 2 b) Tìm sốphứczđểS=|z − z A | 2 +|z − z B | 2 đạt giá trị nhỏ nhất(giátrịlớnnhất).
Từhệthức|z1−z0|=R(R>0),suyraMt h u cộc đườngtròn(C)tâmI vàbánkínhR.
Khi đó bài toán chuyển thành: Cho đường tròn(C)và hai điểmA, B.Tìm điểmM ∈(C)đểS=MA 2 +MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất. TínhSmin.KhiAB∩(C)=∅,gọiHl àtrungđiểmcủaABt h ì
DoA,Bl àhaiđiểmcốđịnhnênS=MA 2 +MB 2 đ ạt giátrịnhỏnhất khivàchỉkhiM≡ M1.
DoA,BcốngđịnhnênS=MA 2 +MB 2 đạtgiátrịlớnnhấtkhivàchỉkhi
Từhệthức|z1−z0|=R(R>0),suyraMt h u cộc đườngtròn(C)tâmI vàbánkínhR.
Giảihệphươngtrình(C)vàABvônghiệm.Tìmtọa độtrungđiểmHc aủaB AB.
2 Để tìmzta viết phương trình đường thẳngIH.Giải hệ phương trìnhIHvà(C)suy ra nghiệm hệ(x;y)thử lại ta chọnMphù hợp với yêu cầu bàitoán.
Kiểmt r a d ự đoá n: ĐườngthẳngIHq u a Iv àvuônggócvớiAB⇒d:3x−2y+17=0.Xéth ệphươngtrình
Từhệthức|z−4−3i|=√5,suyraM∈(C):(x−4) 2 +(y −3) 2 =5. ĐặtA(−1;3),B(1;−1),Ilàt ru n g đ i ể m c ủ aABt h ì I(0;1)
Theophầnlýthuyếtởtrên, tathấyMA+MBl nới nhấtkhiMIl nới nhất hayM≡ K. ĐườngthẳngđiquaI,vuônggócvớiABcóphươngtrình:x−2y+2=0.
Bàitoánliênquanđếnkhoảng cách giữa đường thẳng vàđườngtròn
Bài toán 3.6 Cho hai số phứcz1, z2 thỏa mãn hệ thức|z1− z0|=R(R>0)v à| z 2−z3|=|z2−z4| v ớ iz 0,z3,z4 l à c á c s ố p h ứ c c h o t r ư ớ c T ì m g i á trịnhỏnhấtcủaS=| z1−z2|.
Từhệthức|z1−z0|=R(R>0),suyraMt h u cộc đườngtròn(C)tâmI vàbánkínhR. ĐặtN=N(z2),A=A(z3),B=B(z4).
Từ hệ thức|z2− z3|=|z2− z4|suy raN ∈∆là đường thẳng trung trựccủađoạnthẳngAB.
Từhệthức|z−z0|=R(R>0),suyraMt h u cộc đườngtròn(C)tâmI vàbánkínhR.
Từh ệt hứ c|z2−z3|=|z2−z4|t av i ế t đượ cp hươ ng t rìn h đ ường th ẳn g
Từh ệ t h ứ c| z1+5|= 5,s u y r aM∈(C)c ót â mI(−5;0)v àb á n k í n h R=5. ĐặtN= (z2) Từ hệ thức|z2+ 1−3i|=|z2−3−6i|, suy raN
Khi đó biểu thứcT=|z1−z2|là khoảng cách từ một điểm thuộc∆đếnmộtđiểmthuộc(C).
Khi đó biểu thứcP=|z1− z2|là khoảng cách từ một điểm thuộc∆đếnmộtđiểmthuộc(C).Từđósuyra
Bàitoánliênquanđếnkhoảngcáchcủađiểmvàelip
0,c>0. a) Tìmgiátrịlớnnhất(giátrịnhỏnhất)của|z|. b) Tìmsốphứczđ ể|z|đạtgiátrịlớnnhất(giátrịnhỏnhất).
OM1≤OM≤ OM3;OM2≤OM≤ OM4.
|z|min=OM1=OM2;| z |max=OM3=OM4.
Lời giải.ĐặtM=M(z) Khi đó tập hợp các điểmMthỏa mãnMF1+MF2= 10l àđ ư ờ n g e l i p(E)c óc á c t i ê u đ i ể m l àF1(4;0);F2(
Từđótatìmđược2c=F1F2=8nênc=4và2anêna=5.S uyrab 2 =a 2 −c 2 =9nênb=3.
=OMl nới nhất,nhỏnhấtkhiOMl nần lượtlàđộdàinửabántrụclớn,nửabán trụcnhỏ.Hay|z| max =5;|z| min =3.Vậymax|z|=5vàmin|z|=3.
Víd ụ 3 2 0 Chosốp h ứczt h ỏ a mãnh ệth ức|z−3|+|z+3|
Lời giải.ĐặtM=M(z) Giả sửF1(3; 0),F2(−3; 0)khi đó tập hợp cácđiểmMth aỏa mãnMF1+MF2=8làđườngelip(E)cócáctiêuđiểmlà
Từđótatìmđược2c=F1F2=6nênc=3và2a=8nêna=4.Suy rab 2 =a 2 −c 2 =7nênb=√7.
VìMd iđộngtrên(E)nên|z|=OMl nới nhất,nhỏnhấtkhiOMl nần lượt là độ dài nửa bán trục lớn, nửa bán trục nhỏ Hayz4;z=7 VậyS=M+m=4+√7.
Suy ra quỹ tích điểmMlà đường elip với trục lớn2a= 10và hai tiêuđiểmA(−1; 0), B(3; 4) Ta nhận thấyIlà trung điểm củaABnênIlàtâmđốixứngcủaelip.
Mặt khác ta cóP=|z −1 + 2i|=IM,suy raPmin=bvớiblà bán trụcnhỏ.
Bàitoán3.8 Chosốphứczthay đổithỏamãnhệthức|z−2|+|z+2|4 2.TrongmặtphẳngtọađộOxygọiM,Nlàđiểmb i ể u d i ễn c ủ azv à z.TínhgiátrịlớnnhấtcủadiệntíchtamgiácOMN.
Lờig i ải ĐặtM=M(z)=M(x,y),N=N(z)thìM,Nđ iống xứngnhauqua Ox.
Vì|z−2|+|z+2|=4 2nêntậphợpMb i uểm đối xứng diễnzl àelip
Trong luận văn này, tôi đã trình bày một cách có hệ thống về phươngpháp hình học giải các bài toán cực trị và một số bài toán liên quan Cụthể,luậnvănđãđạtđượccáckếtquảsau:
Luậnv ăn đ ã n ê u r a đ ư ợ c m ộ t số k i ế n t h ứ c c ơ b ản t r o n g h ìn h h ọ c c ó ứngdụngnhiềutrongviệcgiảiquyếtcácbàitoáncựctrị.
Luận văn đã trình bày phương pháp hình học sử dụng các yếu tố hìnhhọccùngphươngphápgắntọađộgiảicácbàitoáncựctrịvàđưaramộts ốbàitoántổngquátcùngvớimộtsốvídụminhhọa.
Luậnvănđãkhaithácđượcứngdụngtrongviệcgiảicácbàitoáncựctrị liên quan đến môđun số phức, một dạng toán vừa hay, vừa khó thườngcótrongcácbàitoántrắcnghiệmthiTHPTQGnhữngnằmgầnđây.Luận văn đã sưu tầm được nhiều bài toán được trích từ các đề thiToánTHPT QG những năm gần đây và đề thi học sinh giỏi Quốc gia Vì vậy,luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh bậc trung họcphổthông.