BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNGĐẠIHỌCQUYNHƠN BÙITHÚYDIỆU PHƯƠNGPHÁPHÌNHHỌCGIẢIBÀITOÁNCỰC TRỊVÀMỘTSỐVẤNĐỀLIÊNQUAN LUẬNV Ă N T H Ạ C S Ĩ T O Á N H Ọ C BìnhĐịnh−Năm2022 BÙITHÚYDIỆU PHƯƠNGPHÁPHÌNHHỌCGIẢIBÀITOÁNC[.]
BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNGĐẠIHỌCQUYNHƠN BÙITHÚYDIỆU PHƯƠNGPHÁPHÌNHHỌCGIẢIBÀITỐNCỰC TRỊVÀMỘTSỐVẤNĐỀLIÊNQUAN LUẬNV Ă N T H Ạ C S Ĩ T O Á N H Ọ C BìnhĐịnh−Năm2022 BÙITHÚYDIỆU PHƯƠNGPHÁPHÌNHHỌCGIẢIBÀITỐNCỰC TRỊVÀMỘTSỐVẤNĐỀLIÊNQUAN Chun ngành : PhươngphápTốnsơcấpMãsố : 8460113 Ngườihướngdẫn:TS.NGUYỄNHỮUTRỌN BìnhĐịnh−Năm2022 LỜIC A M Đ O A N Tôi xin cam đoan nội dung luận văn "Phương pháp hình họcgiải bàitốn cựctrị vàmột sốvấn đề liên quan" thânthực theo logic riêng hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Trọn.Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn chúthíchnguồngốcrõràng BìnhĐ ị n h , t h n g n ă m 2 Tácgiả BùiThúyDiệu i Mụcl ụ c MỞĐẦU 1 Kiếnt h f íc c h u ẩ n b ị 1.1 Bấtđẳngthứctamgiác 1.2 Bấtđẳngthứcđườnggấpkhúc 1.3 Khoảngc c h g i ữ a h a i t ậ p h ợ p , k h o ả n g c c h t m ộ t đ i ể m đếntậphợp 1.4 1.5 Phươngtrìnhcủacácđường 1.4.1 Phươngtrìnhđườngthẳng 1.4.2 Cácđườngconic Sốphứcvàmộtsốvấnđềliênquan .8 1.5.1 Kháiniệmsốphức 1.5.2 Biểudiễnhìnhhọcsốphức 1.5.3 Sốphứcliênhợpvàmơđuncủasốphức 1.5.4 Cácphéptoánvềsốphức 1.5.5 Biểudiễnhìnhhọccủasốphức 10 Phươngp h p h ì n h h ọ c g i ả i cá c b i toá n c ự c t r ị 12 2.1 Nộidungphươngpháp 12 2.2 Mộtsốphươngpháphìnhhọcgiảibàitốncựctrị .13 2.2.1 Phươngphápsửdụngbấtđẳngthứctamgiác 14 2.2.2 Phươngphápsửdụngngunlýtrắcđịa 19 2.2.3 Phươngphápsửdụngtínhchấtcủahìnhchiếu 20 2.2.4 Phươngphápđườngđồngmức 26 2.2.5 Phươngphápsửdụng tính chất hình trịn vàkhoảngcách 27 2.2.6 Phươngphápsửdụngtínhchấtdiệntíchcủacáchình31 2.2.7 Phươngphápsửdụngtínhchấtvectơ 34 Ứngdụngtrongviệcgiảicácbàitốncựctrịliênquanđ ế n mơđuns ố p hfíc 35 3.1 Bàitốnliênquanđếnkhoảngcáchcủađiểmvàđườngthẳng3 3.2 Bàitốnliênquanđếnkhoảngcáchcủađiểmvàđườngtrịn, hìnhtrịn 47 3.3 Bàitoánliênquanđếnkhoảng cách đường thẳng vàđườngtròn .57 3.4 Bàitoánliênquanđếnkhoảngcáchcủađiểmvàelip 60 KẾTL U Ậ N 65 TÀILIỆUTHAMKHẢO 65 MỞĐ Ầ U Bài toán cực trị toán quan trọng toán học,cũng thực tế Có nhiều phương pháp khác để giải bàitốn Một phương pháp trực quan, dễ hiểu, tạo hứng thúchohọcsinhvàgiáoviênởbậcphổthơngđểgiảiquyếtcácbàitốncựctrịl àphươngpháphìnhhọc Trongc h n g t r ì n h t o n b ậ c p h ổ t h ô n g , c c b i t o n c ự c t r ị x u ấ t cách thườngxuyên,với tầnsuấtngàycàngcao trongcác đềthiTHPT QG đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó, đặc biệt làcácbàitốn cựctrịliênquanđếnmơđunsốphức.Đâythườnglànhữn gbài tốn khó học sinh phải đối mặt với nhiều dạng toán khác nhaumàphươngphápgiảichúnglạichưađượchệthốngđầyđủtrongSáchgiáokhoa Nhằmđápứngnhucầuhọctậpvàgiảngdạycủahọcsinh,giáoviênởbậcphổthơng,luậnvănnàytậptrungnghiên cứumộtcáchcóhệthốngphương pháp hình học để giải tốn liên quan Vì tơi hồnthànhluậnvănvớiđềtài:Phươngp h p h ì n h h ọ c g i ả i b i t o n cực trịvàmộtsốvấnđềliênquan Ngồi lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn bố cụcthành3chương: Chương1:Kiếnthfícchuẩnbị Trình bày kiến thức dùng chương saunhư: Bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức đường gấp khúc, khoảng cáchgiữah ait ậphợ p,kh o ảng ht ừmộ tđ i ểmđ ến tập hợ p,h ình ch i ếu c mộtđiểmlênmộttậphợp,phươngtrìnhcủacácđường,sốphứcvàmộtsốv ấnđềliênquan Chương2:Phươngpháphìnhhọcgiảibàitốncựctrị Trong chương tác giả trình bày phương pháp hình học giải toáncựctrịvàmộtsốbàitoánliênquan Chương3 : Ứ n g d ụ n g t r o n g v i ệ c g i ả i c c b i t o n c ự c t r ị l i ê n quanđ ế n m ô đ u n s ố p h f í c Trongc h n g n y t c g i ả t r ì n h b y m ộ t s ố b i t o n c ự c t r ị l i ê n q u a n đếnmơđunsốphứcđượcgiảibằngphươngpháphìnhhọc Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy TS.Nguyễn Hữu Trọn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy nhậnlời hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu để tơi hồnthànhluậnvănnày Tơix i n c h â n t h n h c ả m n c h â n t h n h q u ý t h ầ y c ô t r o n g k h o a T o n vàT h ố n g k ê , p h ò n g S a u đ i h ọ c t rư n g Đ i h ọ c Q uy N h n , đ ặ c bi ệ t l qthầycơđãtrựctiếpgiảngdạycholớpCaohọcTốnchunngànhPhương pháp tốn sơ cấp khóa 23 Cuối tơi xin cảm ơn đến gia đình,người thân bạn bè ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi vềmọimặttrongthờigianqua Trong thời gian ngắn hồn thành luận văn này, chắn không tránhkhỏin h ữ n g t h i ế u s ó t T c g i ả r ấ t m o n g n h ậ n đ ợ c n h ữ n g g ó p ý t h ẳ n g thắn, phê bình quý báu quý thầy cô bạn học viên để luận vănđượchồnthiệnhơn Tơixinchânthànhcảmơn! BìnhĐịnh,tháng07năm2022 Họcviênthựchiện BùiTh úyD iệu Chương1 Kiếnt hfí c ch uẩ n bị Trong chương này, tơi trình bày kiến thức đượcdùng chương sau như: Bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thứcđường gấp khúc, khoảng cách hai tập hợp, khoảng cách từ điểmđến tập hợp, hình chiếu điểm lên tập hợp, phương trình củacác đường, số phức số vấn đề liên quan Các nội dung đượcthamkhảotừcáctàiliệu([1],[2],[3],[4]) 1.1 Bấtđẳngthfíctamgiác Địnhl ý Trongm ộ tt a m g i c , đ ộ d i m ộ t c n h b a o g i c ũ n g l n hơnhiệuvànhỏhơntổngđộdàicủahaicạnhcịnlại XéttamgiácABC,tacóbấtđẳngthức |AB−AC|≤BC< AB+AC (Dấu" ="x ả y r a k h i v c h ỉ k h i A , B,Cth ẳng ng h n g v C n ằm m g i ữ a h a i đ iểmA,B) Địnhlý1.1.2.Trongmộttamgiác,gócđốidiệnvớicạnhlớnhơnlàgóclớnhơ n Địnhlý1.1.3.Trongmột tamgiác, cạnhđối diện vớigóc lớnhơn làcạnhlớnhơn 1.2 Bấtđ ẳ n g t h f í c đ n g g ấ p k h ú c Định lý 1.2.1(Nguyên lý trắc địa).Đoạn thẳng nối hai điểm có độ dàingắnnhấtsovớimộtđườnggấpkhúcnốihaiđiểmđó Choc c đ i ể m A 1,A2, ,Anb ấ t k ỳ X é t c c đ n g g ấ p k h ú c A 1A2 An tacóbấtđẳngthứcđườnggấpkhúc: A1A2+A2A3+ +An−1An≥A 1An − −− → − −− → − − − Dấu" ="xảyrakhivàchỉkhi A A , A A , , A n − −− → A nlàc ác vectơcù n g hướng 1.3 Khoảngc c h g i ữ a h a i t ậ p h ợ p , k h o ả n g c c h t mộtđ i ể m đ ế n t ậ p h ợ p Trong phần này, tơi trình bày số cơng thức tính khoảng cách giữahaiđiểm,từmộtđiểmđếnđườngthẳngtrongmặtphẳng.Tổngquáthơ nlàkhoảngcáchtừmộtđiểmđếnmộttậphợptrongmặtphẳng Định nghĩa 1.3.1(Khoảng cách hai điểm).Trong mặt phẳng tọađộOxy, cho điểmM(xM;yM)và điểmN(xN;yN) cáchgiữahaiđiểmMv Nl MN= q(xN−xM)2+(yN−yM)2 Khi khoảng Địnhnghĩa 1.3.2(Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng).Cho đường thẳngd:Ax+By+C= 0và điểmM(x0;y0) Khi khoảngcáchtừđiểmMđ ến n đườngthẳngdlà |Ax0+By0+C| d(M,d)= √ + 2 A B Địnhn g h ĩ a TrongmặtphẳngtọađộOxy,chomộtđiểmAvà tậpΩ.Khiđó,khoảngcáchtừAđ ến n Ωlàd(A,Ω)=i n f d(A,a).Nếucó a∈Ω điểmM∈ ΩsaochoAM= d(A,Ω)thìtanóiMl hìnhchiếucủaAl ê n Ω 1.4 1.4.1 Phươngt r ì n h c ủ a c c đ n g Phươngtrìnhđườngthẳng Định nghĩa 1.4.1.Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳngdđiquađiểmM(x0 ;y0 )vànhận⃗n=(a;b)làvectơpháptuyếnvà⃗a=(A;B )làvectơchỉphương Phươngtrìnhtổngqtcủađườngthẳngdcó dạng: ax+by+c=0vớia 2+b2̸ =0 Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngdcódạng: x=x0+At y=y +Bt