Đề tài Phương pháp hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiện trình bày một số kí hiệu, định nghĩa, định lí: định nghĩa tập mở, tập đóng, tập compact, tập lồi và một số định lí quan trọng như định lí giá trị trung bình và đa thức Taylor; trình bày một số bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình; trình bày phương pháp hàm phạt, nêu các hàm phạt khả vi, không khả vi của bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình.
Trang 1
TRUONG DAI HOC SU PHAM
DOAN TH] HOANG TRANG
PHƯƠNG PHÁP HÀM PHAT CHO BAI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIÊU KIỆN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Trang 2
DAI HOC DA NANG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
DOAN THI HOANG TRANG
PHUGNG PHAP HAM PHAT CHO BAI TOAN
CUC TRI CO DIEU KIEN
h: Toán giải tích
§.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Quý Mười
ĐÀ NẴNG - NĂM 2018
Trang 3Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác
“Tác giả
Trang 4LOI CAM GN
Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn TS Phạm Quý Mười đã tận tình hướng dẫn tác giả trong,
suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành được luận văn này
“Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập của
khóa học
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi l m ơn đến các anh chị em trong
lớp Toán giải tích K32 đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập tại lớp
“Tác giả
Trang 5Tên đề tài: Phương pháp hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiện
Ngành: Toán giải tích
Họ và tên học viên: Đoàn Thị Hoàng Trang
Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Quý Mười
Co sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng
Tóm tắt:
Phương pháp hàm phạt là một phương pháp được dùng để tìm nghiệm cho bài toán cực trị có điều kiện Ý tưởng chính của phương pháp là chuyển việc giải bài toán cực trị có điều kiện thông qua việc giải các bài toán tự do Trong luận văn này chúng tôi
đã trình bày những kết quả chính:
+ Tóm tắt một số kết quả quan trọng trong không gian topo, đặc biệt là các định nghĩa tập mở, tập đóng, tập compact và tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình và công thức khai triển Talor
+ Nghiên cứu các bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bắt phương
trình
+ Trình bày phương pháp hàm phạt để giải các bài toán cực trị có điều kiện cho
bởi phương trình và bắt phương trình ở trên
'Từ khóa: Phương pháp hàm phạt, bài toán cực trị cực có điều kiện, bài toán cực trị cực
Trang 6INFORMATION OF MASTER THESIS
Name of thesis: Penalty method for the constraint optimization problems Major: Mathematical Analysis
Full name of Master student: Doan Thi Hoang Trang Supervisor: Dr Pham Quy Muoi
Training institution: The University of Da Nang - University of Education Abstract:
The penalty method is a method used to solve the constraint optimization problems The main idea of the method is to solve a related unconstraint optimization problem instead of direct solving the constraint optimization
problem In this essay we have presented the following main results:
+ Summarize some important results in Topological Space, specifically, definitions of open set, close set, compact set and convex set; the implicit function theorem, the mean value theorem and the expansion of Taylor sequence
+ Study some constraint optimization problems, where the constraints are given by equations and inequations
+ Present penalty method to solve the constraint optimization problems of
considering
Key words: Penalty method, constraint optimization problems, optimization
Trang 71.1 Các kí hiệu đại SỐ - Sàn nh nh 3 1.2 Các kí hiệu tôpô
1.3 Tập mổ, tap déng va tap compact
1.4 Ham lien tue
1.5, Ham khả vì liên ĐỤC cà uc son nh nh nh nh nh nh nh 7
1.6 Dinh lý giá trị trung bình và công thức Taylor - 8
17 Định lí hàm ẩn
1.8 Tập lồi và hàm lồi
CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN TỐI UU CÓ ĐIỀU KIỆN CHO
BỞI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẮT PHƯƠNG TRÌNH 11
2.1 Tổng quan bài toán tối ưu có điều kiện . - 11 3.2 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình sasmessassaeeusees 12
2.3 Bai toan t6i um 6 diéu kién cho bdi phutong trinh va bat phuong trinh 15
CHUONG 3.PHUGNG PHAP HAM PHAT
3.1 Phương pháp hàm phạt cho bài toán (ECP)_ -.- 17
3.2 Phương pháp hàm phạt cho bài toán (ICP) "——— 21
Trang 9Tit viet tit Thuật ngữ tiếng Anh CP ECP ICP NLP NDP QP constrained problem equality constrained problem inequality constrained problem nonlinear programming nondifferentiable problem quadratic programming
“Thuật ngữ tiếng Việt
Đài toán cực trị có điều kiện
bài toán có điều kiện cho bởi phương trình
bài toán có điều kiện cho bởi
bất phương trình
bài toán quy hoạch phi tuyến tính
bài tốn khơng khả vi
Trang 10MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Phương pháp hàm phạt là một phương pháp được dùng để tìm nghiệm
cho bài toán cực trị có điều kiện Ý tưởng chính của phương pháp là chuyển việc giải bài toán cực trị có điều kiện thông qua việc giải các bài toán cực trị tự do Các loại hàm phạt thường dùng là hàm phạt điểm ngoài, hàm
phạt điểm trong, hàm phạt Lagrange Trong chương trình toán đại học,
phương pháp này hầu như chưa được giới thiệu Hơn nữa, hầu hết các giáo
trình tiếng Việt, chưa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết của
phương pháp hàm phạt
Các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các tài liệu, giáo trình
dành cho học viên cao học Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toán
cực trị có điều kiện và các phương pháp giải là cần thiết cho học viên, giúp
học viên có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị của
hàm nhiều biến Việc nắm chắc cở sở lý thuyết về bài toán cực trị có điều
kiện và các phương pháp giải cũng giúp cho học viên có khả năng giải và sáng tạo ra các bài toán mới
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán cực trị có điều kiện, cũng, như các phương pháp hàm phạt để giải các bài toán đó; được sự đồng ý hướng dẫn của thầy giáo TS Phạm Quý Mười, em đã chọn đề tài: * Phương
pháp hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiện” cho luận văn thạc sĩ của mình 2 Mục đích nghiên cứu - Nấm được bài toán cực trị có điều kiện, định nghĩa và điều kiện cần và đủ của cực trị
~ Phương pháp hàm phạt và ứng dụng để giải bài toán cực trị
Trang 113 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp hàm phạt giải bài toán cực trị trong hình học và đại số
trong chương trình toán ở cấp đại học và trong một số ứng dụng
4 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu trong và nước ngoài Trao đổi, thảo luận với cán bộ hướng dẫn
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về phương
pháp hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiên cũng như phương pháp
các bài toán đó
6 Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Trong chương này, trình bày một số kí hiệu, định nghĩa,
định lí liên quan đến luận văn Cụ tỉ
compact, tập lồi và một số định lí quan trọng như định lí giá trị trung định nghĩa tập mở, tập đóng, tập bình và đa thức Taylor bài toán tối ưu có điều kiện
Chương 2: Chương này trình bay n cho bởi phương trình và bất phương trình
Chương 3: Trình bày phương pháp hàm phạt, nêu các hàm phạt khả
vi, không khả vi của bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình và
Trang 12CHƯƠNG 1
KIEN THUC CHUAN BI
Trong chuong nay, trình bày một số kí hiệu, các định nghĩa tập mở, tập
đóng, tập compact, tập lồi và một số định lí quan trọng như định lí giá trị
trung bình và đa thức Taylor 1.1.Các kí hiệu đại số
Chúng ta kí hiệu R là trường số thực và R" là không gian gồm tất cả các
vector thực chiều Cho bất kỳ tập con 9 C R bi chan trên (chặn dưới), chúng ta kí hiệu sup Ø (inf Š) là cận trên nhỏ nhất (cận dưới lớn nhất) của S Néu S khong bi chặn trên (dưới), chúng ta viét sup S = oo (inf S =
—oo) Trong Inan van nay, mdi vector duge xem zét là một uector cột Phép
chuyển vị của ma trận A c3 m x n dude kí hiệu là A’ Mot vector x € R"
được xem nhu mét ma tran cd n x 1, va do dé 2’ 1A mot ma tran cd 1 x n
hoae vector hang Néu 2,
© = (21, %9, ,2,)" Ching ta cing viét
2, la các tọa độ của vector # € R", ta viết
# > 0 nếu #¿ >0, Ví = 1, n,
+ < 0nếu z¡ <0, Ví = 1, m
Một ma trận đối xứng 4 cỡ n x ø được gọi là nửa xác định dương nếu #!Az > 0,Vz € R", Trong trường hợp này chúng ta viết
A>0
Một ma trận đối xứng 44 được gọi là zác định dương nếu z'“Az > 0,Vø €
R",z # 0 và viết
A>0
Chúng ta biết rằng một ma tran A đối xứng cỡ n x n có m giá trị
Trang 13€i,€a, ,e„ đôi một trực giao Khi đó, ta có
+#lz < #!Az <Tzz, Vừ € R", (1.1)
trong d6
+ = min{*i, ,+u}, Ï = max{^i , Ta}
Cho z là vector riêng ứng với giá trị riêng T(3), bất phương trình ở
bên phải (trái) trong công thức (1.1) sẽ trở thành phương trình Do đó,
A >0 (A >0), nếu và chỉ nếu các giá trị riêng của 4 là dương (không
âm)
Nếu A xác định dương thì tồn tại duy nhất một ma trận xác định dương
có bình phương bằng A Đây là ma trận có cùng các vector riêng như ma tran A và có giá trị riêng bằng căn bậc hai giá trị riêng của A Chúng ta
kí hiệu ma trận này là A1⁄2,
Cho A và Ø là hai ma trận vuông và Œ là một ma trận có kích thước
phù hợp Đẳng thức thường được sử dụng:
(A+ CBC!) = AT!~ A-1G(B~1! + ŒA*!G)“!Œ!AT}
là đúng nếu tất cả các ma trận nghịch đảo xuất hiện ở trên tồn tại Dang
thức có thể được chứng minh bằng cách nhân phía bên phải bởi (A + CBC’) Xét một ma trận vuông A có dang AB M= [2 ñ] Khi đó, ta có: wie Q -QBD" M’= | —p"'cQ’D"! + D“'CQBD" | trong đó Q=(A-BD*G)"',
với điều kiện tất cả các ma trận nghịch đảo xuất hiện ở trên tồn tại Chứng
Trang 141.2 Các kí hiệu topo
Chúng ta sẽ sử dụng chuẩn Euelide trong không gian R" và được kí hiệu
là | - |, tức là, đối với một vector z € R", chúng ta viết |x| = Vr Chuẩn Euelide của một ma trận 4 cỡ n x ø sẽ được kí hiệu là | -| Nó được xác định bởi |A| = max 740 “Từ công thức (1.1), ta có |A| = V siá trị riêng lớn nhất của(414) Nếu ma trận 4 là đối xứng, và À¡, A, thì các giá trị riêng của 4? là A7,
„A„ là các giá trị riêng (thực) của
A2, và chúng ta thu được
|A| = max{|Ai |Àu|}-
„ trong RR", được kí hiệu là {z¿}, được u |#¿ — z| —> Ú khi k —> oc (có nghĩa Một dãy các vectơ zụ, 21 gọi là hội tụ đến một vector #
là, với mọi e > 0, luôn tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi k > N
chúng ta có |z¿ = #| < é) Nếu {z¿} hội tụ đến z, chúng ta viết z¿ —> # hoặc lim z„¿ = + Tương tự, cho một dãy các ma trận {Á¿} cỡ rn x n, —
chúng ta viết 4, => A hoặc lim A, = A néu |4, — A| => 0 khi È ~ 00 pe
Sự hội tụ của cả dãy vector và ma trận tương đương vi hội tụ của mỗi
dãy các tọa độ hoặc các phần tử cùng một vị trí của chúng
Cho dãy {z¿}, dãy con {z¿|k € K} tương ứng với một tập chỉ số vơ
hạn C Đ được kí hiệu {z¿} Một vector được gọi là một điểm giới
hạn của dãy {z¿} nếu có một dãy con {z¿} hội tụ đến z
Moi day các số thực {z¿} đơn điệu tăng (giảm), tức là thỏa mãn r„ < resi (Tk > Tk+1) với mọi &, phải hội tụ đến một số thực hoặc +se (—œ) Trong trường hợp sau cùng chúng ta viết jim Tk = +00 (jim, Tk = —00) Cho bất kì dãy số thực bị chặn {r¿}, chúng ta xét dãy {s¿} trong đó
Trang 15giới hạn, được gọi là giới hạn trên của {rg} và được kí hiệu bởi lim sup he
Chúng ta định nghĩa tương tự cho giới hạn dưới của {r¿} và kí hiệu bing lim ae ry Néu {rx} khong bị chặn trên, chúng ta có lim sup r¿ = +00,
k¬s và nếu nó khơng bị chặn dưới, chúng ta có Jim inf Th = —00 400
1.3 Tập mở, tập đóng và tap compact
Cho một vector z € R” và một số thực c > 0, chúng ta kí hiệu hình cầu
mở với tâm tại x với bán kính e > 0 bởi S(z; e), tức là,
8(:e) = {z||z— z| < €} (12)
Định nghĩa 1.3.1 Một tập con Š của R" được gọi là tập mở, nếu với
moi vector x € S, ton tại một e > 0 sao cho S(#;e) C 8
Nếu ® là tập mở và z € S, thi S(z;e) C Š được gọi là một lân cận của + Phần trong của một tập S C R" là tập tất cả các phần tử z € S sao cho tồn tại e > 0 thỏa mãn Š(z;e) C S
Định nghĩa 1.3.2 Một tập con 9 được gọi là tập đóng nếu và chỉ nếu phần bù của nó trong R" là tập mở Phát biểu một cách tương đương khác: Š được gọi là tập đóng nếu và điểm x thi x chi nếu mỗi dãy #¿, với các phần tử trong S, hoi tu đến mộ thuộc về S Định nghĩa 1.3.3 Một tập con 8 của R" được gọi là tập compact nếu và chỉ nếu nó là tập đóng và bị chặn (tức là, nó là tập đóng và tồn tại một s6 M > 0 sao cho |x| < AM,Vz € 8)
Một kết quả quan trọng nữa la néu So, Si, ., Se là một dãy các tập
compaet khác rỗng trong R" sao cho S¿ Đ S¿+¡ với mọi k thì giao ƒ] ®; k0
là một tập khác réng va compact
1.4 Hàm liên tục
Một hàm ƒ là một ánh xạ từ một tập con khác rỗng S; C R" vào một
Trang 167
ly—a|<d vay eS, tacé |f(y) — f(x)| <«
Hàm ƒ được gọi là liên tục trên Š¡ (hoặc đơn giản là liên tục) nếu nó liên tục tai mdi diém x € S; Nếu S¡, S›, và 5; là các tập khác rỗng và
fì:i —š 8; và ƒy: 6y —> S; là các hàm, thì hàm ƒ¿ o ƒ\ : S¡ —> S¿ được
xác định bởi (foo fi)(x) = fo[fi(x)] duge goi la ham hgp cia fi va fo
Néu f, :R" 3 R™ va fo: R™ > RP Ia lien tuc, khi d6 fy o f cing lien tục
1.5 Hàm khả vi liên tục
Một hàm giá trị thực ƒ : X —› lR trong đó X C * là một tập mở được
goi là khả vi liên tục nếu các đạo hàm riêng ؃(z)/Øz\, Ôƒ(+)/Ø>„ tồn
tại, với mọi z € X và là các hàm liên tục tại x
“Trong trường hợp này chúng ta viết ƒ € Œ† trên X Một cách tong quát, chúng ta viết ƒ € C? trên X cho một hàm ƒ : X —› R nếu tất cả các đạo hàm riêng của ƒ bậc p tồn tại và liên tục trên X Nếu ƒ € Œ? trên R", thì chúng ta viết đơn giản là ƒ € C? Nếu ƒ € ŒÌ trên X, gradient của f tại một điểm z € X được định nghĩa là vector cột 9/Œ) V/@)=| : Nếu ƒ € C2, ma trận Hessian của ƒ tại z được định nghĩa là ma trận đối xứng cỡ n x n có 8°ƒ(>)/Øz;Öz; là phần tử nằm ở hàng ¿ cột j, tức là: V?ƒ() = [#£@ |
Trang 17Nhu vay, ma tran Vf cd nxm cé cac cot la cée gradient Vf, (x), ., Vfin()-
“Thỉnh thoảng chúng ta sẽ cần xem xét các gradient của các hàm số ứng,
với một biến số nào đó Kí hiệu sẽ như sau:
Nếu ƒ : R"!” —› TR là một hàm giá trị thực của (z,) trong đó x = (#i, #„) € RE", = (gà, ;) € RP, chúng ta viết 8ƒ(x) ؃(z.w) Or, Ou Vif (x,y) = : › Vuƒ(®,) = ị rs Me V„./Œœ.u) = [ 52], Vaut (ew) = [ $52], Vinh (eu) = [ $52]
Néu f:R"*? +R", f = (fi, fm); chting ta viét
Vif (ty) =[Vehile.y) «++ Vela hs Vụƒ(.0) = [Vụfi(.9) - Vụfm(+.0) Cho h: R’ + R™ vag: R" > R’, xét hàm ƒ : R" —› R” được xác định bởi ƒŒœ) = h|ø(z)]: Khi đó nếu h € ŒP và g € C?, chúng ta cũng có ƒ € C? và Vi (x) = Vọ(z)Vh|g(z))
1.6 Dinh ly giá trị trung bình và công thức Taylor
Cho f : X +R, va f € C! trên tập mở X C R*" Giả sử rằng X chứa đoạn thẳng nối hai điểm z, € X Định lý giá trị trung bình khẳng định
rằng tồn tại một số thực œ với 0 < œ < 1 sao cho
f(y) = f(x) + Vƒ[z + a(y — z)Ï'(u ~ +)
Nếu thêm điều kiện ƒ € 2, thì tồn tại một số thực œ với 0< œ < 1
sao cho
Trang 189
Cho f: X > R™ va f € CÌ trên tập mở X C R" Giả sử X chứa đoạn thẳng nối hai điểm z,y € X Công thức Taylor bậc nhất tại z được cho bởi phương trình 1 Sy) = f(x) + J Vfz + a(y — z)}(w — z)da ¡ Nếu thêm điều kiện ƒ € Œ2, thì chúng ta có 1 € 10) = J&)+Vf}(w=s)+ [([(u~z)W?ftr+a(y~w)l(u~z)da)k số 1.7 Định lí hàm ẩn Xét hệ n phương trình với rm + n biến h(z,u) =0 trong đó h : RẺ" — R", + € IR”, và € R", Các định lí hàm ẩn nhằm
vào câu hỏi liệu người ta có thể giải được hệ phương trình cho vector y
theo vector x hay không? Tức là có tồn tại một hàm ó, được gọi là hàm ẩn, sao cho h{z, ó(z)] = 0 hay không? Các định lý hàm ẩn cổ điển sau day
khẳng định rằng điều này là có thể theo nghĩa địa phương, nghĩa là, trong
một lân cận của một nghiệm (#, ÿ) sao cho ma trân trận gradient của h đối với không suy biến
Định lí 1.7.1 (Dinh li ham an) Cho S la mét tập con mé cia R™*",
va h: S + R" là một hàm, sao cho tồn tai p > 0,h € C? trén S va gid stt Vyh(x, y) ton tai va lién tue trén S Cho (£,9) € S la mét vector sao
cho h(#, i) =0 va ma trận Vyh(z, 9) la ma trận không suy biến Khi đó,
tồn tại số thực € > 0 va d > 0 va ham s6 ở : S(#:e) —> S(ÿ:ð) sao cho
ó€CP trên S(#;e),jÿ = (2), và h[z, Ó(#)} = 0 tới mọi # € S(#:) Hàm
số @ la duy nhất, tức là, nếu z € S(#:e),ụ € S(ÿ:ð) uà h(z ) = 0, thì
Trang 191.8 Tập lồi và hàm lồi
Định nghĩa 1.8.1 Một tập 9 C 8" được gọi là tập lồi nếu với mọi +, € 8 và với mọi œ € [0,1] ta có ax + (1—a)y € S Một hàm số
f : S +R duve goi la ham lồi trên tập lồi S nếu với mọi z, € Š và với
mọi œ € |0, 1], ta có:
flax + (1—a)y] < af(x) + (1—a)f(y)-
Néu f là hàm lồi và ƒ € C! trên tập lồi mé S, thì
f(y) 2 f(+) + Vƒ(z)'(u — +), Vz,u € 8 (13)
Nếu thêm điều kiện ƒ € C2 trên S, thi V?ƒ(z) > 0,V+ € S Ngược lại,
Trang 201
CHƯƠNG 2
BAI TOAN TOI UU CO DIEU KIỆN CHO BỞI
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
“Trong chương này, luận văn nghiên cứu bài toán tối ưu có điều kiện Trước
hết, luận văn trình bày bài toán tối ưu có điều kiện tổng quát và nghiên cứu điều kiện tối ưu cho bài toán này Sau đó, luận văn tập trung vào bài
toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình Ngoài ra, trong chương này cũng trình bày mối liên hệ giữa bài toán tối ưu có
kiện cho bởi bất phương trình và bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình Từ đó, các điều kiện tối wu cho bai toán tối ưu có điều kiện cho bởi bất phương trình(NLP) có thể nhận được thông qua các kết quả đã biết về bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình(ECP)
2.1 Tổng quan bài toán tối ưu có điều kiệ:
Trước hết, chúng ta xét bài toán tối tu có điều kiện (CP)
min f(x)
kiện z € X, trong đó ƒ : JR" —> R là một hàm
là một tập con của R*"
với
Chúng ta nhắc lại các khái niệm cơ bản sau:
Vector x* € X được gọi là cực tiểu địa phương của hàm ƒ (của bài toán
(CP)) nếu tồn tại một
€ > 0 sao cho
Ja") < f(a), Ve € S(a*;0), 2 EX
Vector z* € X được gọi là cực tiểu địa phương chặt của hàm ƒ nếu tồn tại một sỐ € > () sao cho
f(x") < ƒ(+) Ve € S(+*;e), z € X, rửa
Trang 21(CP)) néu
f(a") < f(a), Ve € X
Như vậy, nghiệm của bài toán (CP) chính là cực tiểu toàn cục của hàm ƒ Mệnh đề sau đây đưa ra điều kiện cần cho nghiệm của bài toán tối ưu
(CP):
Mệnh đề 2.1.1 (Í2]) Giá sử X là một tập lồi uà z* € X, ƒ € CÌ trên
S(a*;€) uới một số > () nào đó
a) Nếu œ* là một cực tiểu địa phương của ƒ thì
Vƒ/('⁄(œ—z°) >0, Vr eX (2.1)
b) Nếu ƒ là tập lồi trên X va théa man (2.1) thì z* là một cực tiểu toàn
cục của ƒ, tức là z* là một nghiệm của bài toán tối ưu (CP)
2.2 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình
“Trong phần này, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt của bài toán
(CP) Chúng ta xét bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình (gọi là bài toán (ECP)):
{ min f(x)
h(x) =0
trong đó ƒ : R" > R vah: R" > R”, voi m <n Cac thanh phan cia h duge ki higu 1a hy, ., hm
Dinh nghia 2.2.1 Gia sit x* 1a mot vector sao cho h(x*) = 0 va h € C!
trén S(2*; €) véi mot s6 the € > 0 nào đó Khi đó, z* được gọi là một điểm chính quy nếu các vector gradient Vhị(z*), , Vh,„(z*) độc lập tuyến tính
Xét hàm số Lagrange L : R"*" ~—› R được định nghĩa bởi:
1(z.A) = ƒ() + Xhí)
Chúng ta có kết quả cổ điển sau:
Mệnh đề 2.2.2 ((1]) Giả sử +" là một cực tiểu địa phương của bài toán
(ECP), va f € C!,h € C! trén S(2x*;€) vdi € > 0 là một số thực dương
Trang 2213 vector \* € R™ sao cho V,L(2",d°) = 0 (2.2) Nếu thêm điều kiện f € C? uà h € C2 trên S(+*;e) thì Vz €R" théa man Vh(2")'z =0, ta c6: 2'V2,L(2",)z>0 (2.3) Định lí sau đây đưa ra một điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương: Mệnh đề 2.2.3 (2|) Cho x* théa man h(x*) = 0 va f € C° và h € C?
trên S(+*;€) với một số c > (\ nào đó Giả sử tồn tại một uector À* € R™ sao cho
V;L(x',A*) =0 (24)
tà
vz £0, Vh(2*)'2 = 0: 2'V2,L(2",\)z > 0 (2.5)
Khi đó, +" là một cực tiểu địa phương của bài toán (ECP)
Bổ đề 2.2.4 (|2) Giá sử z* là một cực tiểu địa phương của bài toán
(ECP) va la một điểm chính, uà cùng tới ueclor nhân từ Lagrange A* thỏa
mãn các giả thuyết của Mệnh dé 2.2.3 Khi đó, mma trận J cỡ (n + m) (n+m) zác định bởi
2 Ent \* *
= [Fe TM] a9
là ma trận không suy biến
Chứng minh: Nếu ma trận J suy biến, thì tồn tại y € R" va z € R™ sao cho (y, z) khác không và thỏa mãn V2,L(2", \*)y + Vh(x")z = 0, (2.7) va Vh(z`)' = 0 (2.8) Nhân vao phuong trinh (2.7) véi y’ va sit dung phương trình (2.8), ta có V},L(z`,A*)u = 0
Trang 23ta suy ra z = 0 Diều này mâu thuẫn vì và z không thể đồng thời bằng
Om
Mệnh đề 2.2.5 (|2)) Giả sử các giả thuyết Bổ đề 2.9.4 là đúng Khi đó,
tồn tại một số thực ð > ( va các hàm khả 0i liên tục z(-) : S(U:ð) >
R", A() : S(0;ổ) + R™ sao cho z(0) = #*,À(Ú) = À*, tà uới mọi
w € S(0;ð),{z(u), A(uw)} là một cặp nhân tử Lagrange địa phương của bài toán sau: {ny 22 G9) Hơn nữa, Yu € 8(0;ð) : V„ƒ[r(u)] = ~À(w) Chứng minh: Xét hệ phương trình với các biến (z, À, u): { Vƒ(z) + Vh(z)A =0 h(x) —u=0
Hệ phương trình này eó nghiệm (z*, A*, 0) Hơn nữa Jacobi của hệ tương ứng với (xr, À) tại nghiệm này là ma trận nghịch đảo / của (2.6) Do đó theo
định lí hàm ẩn (Mục 1.7), tồn tai 6 > 0 va ham số z(-) € C!,A(-) € Œ!
trong 9(0; ổ) sao cho
{ Vs le(u)] + Vhlz(w)]Ä) =0 Yess) hz(u)]=u (2.10)
Trang 2415
Kết hợp phương trình (2.11) và (2.12), ta có V„ƒ[z(w)] = —A(u),
như vậy mệnh đề được chứng minh
2.3 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bất
phương trình
Bây giờ chúng ta xét bài toán tối ưu có điều kiện hỗn hợp gồm phương
trình và bất phương trình [gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến (NLP)]
min f(x)
h(x) =0 g(x) <0,
trong đó các hàm số ƒ : R" -› R,h : R" -—› R”,g : R" — R" là các
hàm số đã cho với m < m Các thành phần của hàm số ø được kí hiệu
là øi,gs, g, Đầu tiên chúng ta giới thiệu khái niệm "điểm chính quy"
trong trường hợp này Cho vector # thỏa mãn g(z) < 0, ta kí hiệu
A(z) = {7lg;(z) = 0} (213)
Định nghĩa 2.3.1 Giả sử z* là một vector thỏa mãn h(2*) = 0, g(2*) < 0,h € C! và g € C! trên S(z*;e) với một số thực e > 0 nào đó Khi đó, z*
Trang 25Nếu thêm điều kiện ƒ € C?,h € C?, va g € C? trén S(+*;€), thì vdi
mọi z € R" théa man Vh(x*)'z = 0 va Vạ;(+*}'z = 0,j € A(x"), ta 6
zV},L(x`,À*,*)z > 0 (2.16)
Mệnh đề tiếp theo đưa ra điều kiện đủ cho cực tiểu của bài toán (NLP): Mệnh đề 2.3.3 (|3)) Cho x* théa man h(x*) = 0,g(x") < 0, va f €
C?,.h € C?, uà g € C? trén S(+*;e) uới một số thuc € > 0 nào đó Giả sử
tồn tại các uector À* € JR",j* € IRP sao cho
V, L(x", \*, n°) = 0, (2.17) Yj =1, r d >0: #ÿg;(*) =0, (2.18) va vdi moi z # (0 thỏa mãn Vh(#*)'z = 0,Vg,(+'}'z < 0, vdi moi j € A(x*), va Vạj(+')'z = 0, vdi moi j € A(x") vdi pw} > 0, ta có
z'V},„L(w*,À*,u°)z > 0 (2.19)
Trang 2617
CHƯƠNG 3
PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT
“Trong chương này, luận văn trình bày phương pháp hàm phạt để giải bài
toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình Luận văn tập trung vào giải hai bài toán tiêu biểu: Bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình (ECP) và bài toán cực trị có điều kiện cho bởi ất phương trình (ICP) Với mỗi bài tốn trên, chúng tơi đề xuất phương pháp
chọn hàm phạt tương ứng để nhận được bài toán tối ưu tự đo (không có
điều kiện) và trình bày mốt liên hệ của bài toán tối ưu tự do này với bài
toán tối ưu có điều kiện ban đầu
3.1.Phương pháp hàm phạt cho bài toán (ECP) Chúng ta xét bài toán (ECP)
{ min f(x)
h(x) = 0,
trong dé ta gia sit f,h € C? trong R"
Từ các kết quả ở Chương 2, chung ta xét hàm Lagrange:
L(x,d) = ƒ(œ) + Xhíz) (3.1)
và nhận được điều kiện cần cho nghiệm tối ưu là
V;L(z,À) =0 ,
{ Ville, = h(x) = 0 (3.2)
Ta xét bài toán tối ưu tự do:
min gI) + Ivete, A)Ê (3.3)
với điều kiện (x, ) € R" x R™
Ta thấy (z*,A*) là một cặp nhân tử Lagrange của (ECP) nếu và chỉ nếu (z*, A*) là một cực tiểu toàn cục của bài toán (3.3) Vì thế, để giải bài toán (ECP) ta có thể giải bài toán thay thế không có điều kiện (3.3) Tuy
Trang 27phương và cực đại địa phương của (ECP) hoàn toàn mất đi (không được
phân biệt) khi qua bài toán (3.3)
Giống như bài toán (3.3) chúng ta đề xuất xem xét bài toán sau đây:
min P(z,À;c,a), (3.4)
với (z,À) € R" x R", trong đó hàm số P được định nghĩa như sau:
P(z,À:e,a) = L(z,À) + sah) + sal L(x, YP, (3.5)
véi c và œ là các tham số dương,
“Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữa các điểm tới
hạn của bài toán tối ưu tự do (3.4) và bài toán (ECP) Chúng ta sẽ chỉ ra rằng, với mọi e > 0 va a > 0 nếu (z*, A*) là cặp nhân tử Lagrange của
bài toán (ECP) thì (z*, A*) là điểm cực trị của P(
thì không đúng Tuy nhiên, đưới các điều kiện nhất định về tham số e và œ, chúng ta có thể chỉ ra rằng mỗi điểm tới hạn của bài toán tối ưu tự do
e,œ) Điều ngược lại
(3.4) liên quan đến cực trị địa phương (cực tiểu và cực đại) của bài toán (ECP)
Mệnh đề 3.1.1 Cho X x A la một tập con compact của R" x R", Giả sử Vh(œ) có hạng bằng mm tới mọi z € X Khi đó, tồn tại một số thực @ > 0 va vdi mỗi œ € (0,ä] tà (a) > 0 ta có: uới mọi e tà œ thỏa mãn
a € (0,4), c> ca),
tất cả các điểm tới han cia P(-,+;c,@) thuộc uào X x A là một cặp nhân
tit Lagrange của (ECP) Nếu W3,L(z,À) là nửa sác định dương vdi moi
(z.A) €X xA, thì ã có thể là số dương bắt kỳ
Chứng mình: Gradient của P được cho bởi
vp-[ YzP ] _ [ V:L+eVhh + aV?,LV,L
“| V\P h+aVhV,L
trong đó tất cả các gradient được tính tại cùng một điểm (z,À) € X x A
Tai bit kỳ điểm tới hạn nào của P trong X x A, chúng ta có VP = 0, tite
là chúng ta có thể viết như sau
I+aV3L cVh][V,L]_
Trang 2819
Gia sit @ > 0 sao cho véi moi a € (0,4), ma trận J + aV?,L xéc định
dương trên X x A (Nếu V?„E nửa xác định dương trên X x A, khi đó
ñ có thể lấy từ số dương bất kỳ) Khi đó, từ phương trình đầu tiên của
(3.6), ta được
V„L = =c(I +aVỆ,L)"'Vhh, (3.7) và thay thế vào phương trình thứ hai (3.6)
[acVh'(I + aV„L)“Vh — T]h = 0 (3.8)
Cho a € (0,ã] bất kỳ, chúng ta có thể chọn £(a) > 0 để cho, với mọi
e> £(a), ma trận bên trái (3.8) là xác định dương trên X x A Với những
c và œ như thế, chúng ta thu được từ (3.8) hb = 0 và từ (3.7) V„L = 0.8
Kết quả của Mệnh đề 3.1.1 có thể dẫn tới một giả thiết, nếu Ù có bậc rm
a) là
các cặp nhân tử Lagrange của (ECP) Tuy nhiên, điều này là không đúng trong tồn bộ khơng gian R*" thì tất cả các điểm tới hạn của P(-
“Trong một số trường hợp cụ thể thì với mọi e > 0 và œ > 0, các điểm tới hạn không liên quan đến cặp nhân tử Lagrange của (ECP)
“Theo Mệnh đề 3.1.1, những điểm tới hạn này di chuyển về "vô cùng"
khi e —> oe và a —> 0 Chúng ta minh hoa diéu nay bởi ví dụ sau: Ví dụ 3.1.2 Xét bài toán trên trường số thực với
J (x) h(x)
P(x, d;¢, 0) = pa? + Aa + 3ez? + a(3+? + A)?
Trang 29Giải phương trình trên, ta được các điểm tới hạn của P la {2* = 0,\* = 0} và {a(c,a) = e— 1/œ,A(e,a) = (1L— c!a3)/2a3} Chúng ta thấy rằng với mọi e > Ú và œ > Ú với ca z 1, điểm tới hạn [z(e,a), A(c,a)] không phải là cặp nhân tử Lagrange của (ECP) Mặt khác, cố định œ > 0, ta có
lm z(c,a) = se và lim A(e,a) = =5 Điều này phù hợp với Mệnh đè
3.1.1
Ví dụ tiếp theo cho thấy rằng nếu V?,E là nửa xác định dương trên
X xA thì giới hạn trên của đ có thể được chọn tùy ý
Ví dụ 3.1.8 Cho n = 2m = 1, và
1
$(er,02) = — 5}, h(mi, ta) = 22
“Trong trường hợp này {xj = 0,23 = 0, \* = 0} là cặp nhân tử lagrange
duy nhất Ta có Vb không đổi và bằng (0, 1) nên giả thuyết về hạng trong
Mệnh đề 3.1.1 được thỏa mãn Cho a = 1 Ta có, với mọi e > 0, xy + Arg + soi + mỉ + se = Ary + ;
Vì P độc lập với a1, bat ky vector c6 dang {21 = ,#s = 0,À = 0} với €R là điểm tới hạn của P và chỉ vector {z‡ = 0,zÿ = 0, À* = 0} là cặp
nhân tử Lagrange của (ECP)
1
P(x,X;¢,1) = czi + >: 1
Mệnh đề tiếp chỉ ra mối liên hệ giữa cực tiểu địa phương của (ECP) và cực tiểu địa phương của P Trước tiên, chúng ta cần giả thiết sau:
Giả thiết 3.1.4 (Giả thiết (S)) Vector z* là một cực tiểu địa phương, (toàn cục) và là một điểm chính quy của bài toán (ECP), và ƒ,h € C? trong một hình cầu mở có tâm tại z* nào đó Hơn nữa x* cing với vector nhân tử Lagrange À* tương ứng thỏa mãn bất đẳng thức sau
z'V},Lo(+`,A*)z > 0,
với mọi z # 0 với Vh(z*)'z = 0
Mệnh đề 3.1.5 Giá sử ƒ,h € CỞ trên R",
(a) Nếu +* là một cực tiểu địa phương của (ECP), cùng uới một vector
Trang 302
a > 0 tên tại một £(a) > 0
tiểu địa phương chặt của P, tà ma trận V°P(+*, À*
đương
é cho, vdi mọi e > (œ), (e*, A*) là cực c,a) là xác định
(b) Cho (+*, À*) là một cặp nhân tử Lagrange của (ECP) Giả sử tồn tại
2 € R" sao cho Vh(+*)'z = 0 oà zVỲ,L(+*,À*)z < 0 Khi đó, tồn
tại & > 0 sao cho vdi méi a € (0,4) tà e > 0, (+*,A*) không phải là
cực tiểu địa phương của P
Mệnh đề 3.1.5b chỉ ra rằng cực đại địa phương của bài toán (ECP) thỏa
mãn điều kiện đủ bậc hai không thé là cực tiểu địa phương của P nếu œ được chọn đủ nhỏ Trong khi đó các cực tiểu địa phương của (ECP) thỏa mãn điều kiện đủ là các điểm cực tiểu địa phương của P nếu e được chọn
đủ lớn Điều này cho thấy, việc nghiên cứu bài toán tối ưu tự đo (3.4) phụ
hợp với việc tìm cực tiểu địa phương của bài toán (ECP) 3.2 Phương pháp hàm phạt cho bài toán (ICP)
“Ta xét bài toán (ICP)
{ min f(z) g(x) <0
Thay vì giải bài toán này trược trực tiếp, chúng ta xem xét bài toán
tối ưu tự cho (NDP)¿( với một số thực e > 0 nào đó): min { f(x) + eP(z)}, rE" „ trong đó hàm số P(x) dược xác định bởi: P(x) = max{0, g\(2), , g(2)} (311) Cho x € R",d € R", ta kí hiệu I(x) = {5|g;(x) = P@œ)} (3.12)
O(a; d) = max{(Vƒ(#) + eVạ;(z)}'4|j € J()}- (3.13)
Định nghĩa 3.2.1 Một điểm z* € R" được gọi là một điểm tới hạn của
ƒ+eP nếu mọi d € R" ta có
Trang 31Hai mệnh đề sau chỉ ra rằng các hướng giảm của ƒ +eP có thể tìm được chỉ tại những điểm không phải là điểm cực trị Hơn nữa các hướng giảm như thế có thể nhận được từ bài toán quy hoạch toàn phương (QP).(z H, J) theo biến (đ,£) € R"+!; { min Vf(x)'d + 3d’'Hd + c& g(x) + Vaj(a)'d < &, VIE J, trong đó H là J(+) nghĩa là: ot ma trận xác định đương và / là một tập chỉ số chứa 0<H, J(z) C J C {0,1, r} (3.14)
Mệnh đề 3.2.2 (a) Véi moi x € R",d € R" vaa > 0,
f(x +ad) + eP( + ad) = f(x) —cP(x) = a6,(x;d) + 0(a), (3.15)
trong đó lim 0(a)/a =0 Nếu 8,(z;d) <0 thi tồn tai a > 0 sao cho
(+ + ad) +eP(# + ad) < ƒ(z) + eP(+), Va € (0,4)
(b) Cho bat ky x € R",H > 0 va J thỏa man J(x) C J C {0,1, r} Néu (d,€) la nghiém t6i wu cia (QP)(x, H, J) va d # 0, thi
0.(a;d) < -d'Hd <0 (3.16) Chứng minh: a) Tà có với mọi a > 0 va ƒ € J(z),
ƒ(œ+ad)+eg,(e+ad) = ƒ()+aVƒ(w'd+c[g,(z)+aVg,(z)'4|+0,(e), trong đó lim 0;(a)/a = 0 Do đó
ƒ(# + ad) + cmax{g;(z + ad)|j € J(x)}
Trang 3223
Kết hợp với hai đẳng thức trên ta có được phương trình (3.15)
b) Ta có g;(#) + Vø;(#)⁄d < € với mọi j € J Vì g;(#) = P(x) với mọi
j€ J(z), suy ra Vg;(#)⁄d < €— P(z) với mọi j € J(z) và khi đó sử dụng định nghĩa 6, ta có
6,(z:d) < Vƒ(#)'d+ c|£ — P(z)] (3.18)
Đặt {ø;|j € J} là một tập cdc nhan tit Lagrange (QP).(X, H, J) Các
điều kiện K-T được viết là Vƒ(z) + Hd+ Ö wjVgj(z) = 0, (3.19) je c—=S}w„=0, (3.20) j€J 9j(#) + Vg;(}d < €, my > 0, Yj € J, (3.21) Hylgj(x) + Vạj(œ}'d — €] =0, Yj € J (3.22) Tit (3.19) ta có Vi (a)'d + d' Hd + Š ^u;Vg,(+}'d = 0 (3.23) ja từ các phương trình (3.20), (3.22) và g;(z) < P(z) với mọi j € J ta có Ð2n;Vụj(x}d = 3ˆ p£ — Ð njg(+) >> 0, — P)] (3.24) jes = el — P(z)] Kết hợp (3.23) và (3.24) ta được Vƒ(z)'d+ #Hd + c[€ — P(x)] <0 (8.25) Từ (3.18) và (3.25) ta được 9,(+;d) + #Hd < 0 Do đó, mệnh đề được chttng minh
Mệnh đề 3.2.3 (a) Nếu z* là một điểm tới hạn của ƒ+eP, thì bài toán
Trang 33t6i uu vdi moi J va H théa man
0<H, J(z°)C JC {0,1, ,r} (3.26)
(b) Néu {d = 0,€ = P(x*)} là nghiệm tối ưu của bài tốn quy hoạch tồn phương (QP).(+*, H, J) trong đó H và J thỏa mãn (3.96), thì z* là
một điểm tới hạn của ƒ + eP
Bài toán quy hoạch toàn phương (QP).(z}, H, J) liên kết với bài toán
tối ưu (NDP), Một cách tương tự, đối với bài toán (ICP) chúng ta cũng có
một bài toán quy hoạch toàn phương liên kết tương ứng (QP)o(z, H, J) được phát biểu như sau:
{ min Vf(x)'d+ $#Hd
gj(x) + Vgj(2)'d < 0, Vj € J,
trong đó
0<H, J(z) C J C {0,1, r} (3.27)
Mệnh đề 3.2.4 Nếu {2x*, (uj, 3,-.-,4%)} la caip nhan tit Lagrange cia
(ICP), thi tin tai mot pj, > 0 sao cho {d° = 0,{uj)Vj € J}} la cap
nhan tit Lagrange ctia (QP)o(x*,H, J) vdi moi H va J thỏa mãn (3.27) Ngược lại, nếu {d* = 0,{0j|Vj € J}} là một cặp nhân tử Lagrange của
(QP)o(x*, H, J) vdi H va J thỏa mãn (3.27), thà {z*, (u], w nặ)} là cap nhan tit Lagrange ctia (ICP), trong đó chúng ta định nghĩa w$ = 0, Vj É J Chứng minh: Các điều kiện K-T của (ICP) là Vi (@") + 15 Vg;(x") = 0, (3.28) ia g(x") <0, 5 > 0, 45 9;(2") = 0, Vj = 1,2, (3.29)
Lay 4 = 0 va go(x) Ê 0, ta thấy từ các điều kiện trên suy ra {0, {5]j €
J}} théa man cée điều kiện KT của (QP)a(+*, HH, J) Ngược lại, nếu chúng,
ta viết các điều kiện K-T đối với {0,{/”|j € J}} cia (QP)o(x*, H, J)
chúng ta suy ra được (3.28) và (3.29)
Mệnh đề tiếp theo chỉ ra nằng nếu bài toán quy hoạch toàn phương
(QP)o(z*, H, J) giải được thì nghiệm tối ưu của nó có thể nhận được bằng,
Trang 3425 Mệnh đề 3.2.5 Nếu {d,{u,|Vj € J}} là một cặp nhân tử Lagrage của (QP)o(a*, H, J) va thi {d, € = 0,{ñ;|Yj € J}} la một cặp nhân tử Lagrage của (QP)u(+*, H, J) trong đó J=JU{0}, ñ; = tụ, Vj € J, j # 0, ña =c— Ÿ ˆmụ i
Chứng minh: Từ giả thiết ta suy ra
Vƒ(#) + 2u;Vgj(+) + Hả = 0, gj(+) + Vgi(a)'d < 0, Vj EJ, jet Hy 2 0, py(g;(x) + Vg,(z)'d] = 0,Yj € J Sử dụng định nghĩa của 7, 7; và chọn go() Ê 0, các quan hệ trên suy ra Vile) + n,Vụj() + Hd =0, e= 5 ”hị, ja J2 9;(+) + Vø;(+)'d < 0, Vj € J, fy 20, fijlg;(x) + Vgj(2)'d] = 0, Vj € J Day đúng là các điều kiện K-T đối với {d,€ = 0,{ñ;|j € J}} của bài toán (QP).(z, H, J)
Một hệ quả lập tức của Mệnh đề 3.2.5 là có thể chỉ ra rằng cặp nhân tử Lagrange của bài toán (ICP) là eực trị của ƒ + eP với e đủ lớn Kết
quả này được phát biểu chỉ tiết trong mệnh đề ngay sau đây:
Mệnh đề 3.2.6 Nếu {z°,(uị, ?)} là một cặp nhân tử Lagrange của (ICP), th x là một điểm tới hạn của ƒ + eP vdi moi c thỏa mãn:
c> vu
=
Trang 35r}) Theo Mệnh đẻ 3.2.3, z* là một điểm tới hạn
của ƒ +cP.É
“Trong khi cặp nhân tử Lagrange đưa ra một điểm tới hạn của ƒ + eP.,
điều ngược lại nói chung không đúng Nhìn chung các điểm tới hạn của
ƒ +eP không ứng với cặp nhân tử Lagrange của bài toán (ICP) Điều này
thật là không may vì chúng ta đang cố gắng giải bài toán (ICP) thông qua
việc giải bài toán tối ưu tự cho, tức là tìm cực tiểu toàn cục của ƒ + cP
Các mệnh đề sau đưa ra các tình huống mà điều ngược lại được đề cập ở trên đúng Bồ đề 3 tập các gradient Cho X C R" là một tập compact sao cho, vdi moi x € X, {Vgj(x)| J € J(x)},
là độc lập tuyến tính Khi đó, uới mỗi z € X tồn tại duy nhất uector
f(x) = |ja(#) fz(#)] là cực tiểu hàm số theo biến ụ = (In „), tới
a(n) = [VF (a) + 3 }m,Vøj(#) + Ð }[P() — g(œ) Pu = (330)
Ham ji(.) liên tục trén X, va néu (2*, pu") là một cặp nhan tit Lagrange của (IOP) tới x* € X, thì
B(x") = pe
Chứng minh: Để thấy được tính duy nhất đối với vector cực tiểu của (3.30), chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng số hạng bậc hai của q;(0)
I3 2,Vø,(+)l? + SIPC) - øg;(z)Pvử,
Trang 3627
Vì {Vø;(#)| j € J(z)} là một tập độc lập tuyến tính theo giả thuyết nên jj = 0 véi mọi j théa man g,(x) = P(x) Vi vay p = 0
Tinh liên tục của / theo sau tính liên tuc cia Vf,Vg;, và P Nếu
(z*,ø*) là một cặp nhân tử Lagrange của (ICP), thi q;-(/*) = 0 Vì vậy
# cực tiểu của qz-(:) và; = ji")
Mệnh đề 3.2.8 Cho X C R" là một tập compact sao cho, vdi moix € X,
tập các gradicnt
{Vø;(+)| j € J(+)},
là độc lập tuyến tính Khi đó tồn tại số thuc c* > 0 sao cho vdi moic > c*:
a) Nếu #* là một điểm tới hạn của ƒ +eP va x* € X, thì tồn tại một
Hh €IRP sao cho (+*,jÈ) là một cặp K-T của (ICP)
b) Nếu (+*,w") là một cặp K-T của (ICP) tà +` € X, thi x* la một
điểm tớn hạn của ƒ + eP Chứng mình: Giả sử ¬Ä.> 5 phương trình trên đạt cực đại vì theo giả thuyết X 1a tap compact va ji;(.) liên tục theo Bồ đề 3.2.7
(a) Nếu z* € X là một điểm tới hạn của ƒ + eP, thì theo Mệnh đề 3.2.3, {d = 0£ = P(z*)} là nghiệm tối ưu của (QP).(z*, H, {0, 1, , r})
Trang 37Sử dụng các phương trình trên và Bồ đề 3.2.7, thì gj = j(z*) với mọi 7 =1, ,r Nếu e > e*, thì ta có —})„=ec—}2ñj(#') >c— c >0 = i Vi 0 = gjÍ@(#*) — P(z*)] = —mặP(+'), khi đó P(#*) = 0 và 2* có
thể thực hiện được cho bài toán (ICP) Khi đó từ phương trình (3.31) và (3.32), {a*, (wị t‡)} là một cặp nhân tử Lagrange của (ICP)
(b) Nếu (z*,ø") là một cặp nhân tử Lagrange của (ICP) và z* € X,
thì theo Bổ đề 3.2.7, ta có ø* = /(z*) Nếu e > c* thi c> Vu,
jl
và sử dụng Mệnh đề 3.2.6, ta được z* là một điểm tới han cia f + cP Bỗ đề 3.2.9 Giá sử X C R* là một tập thỏa mãn tới mỗi z € R hệ bắt phương trình theo d g;(x) + Vgj(x)'d < 0, Vj € J(2), có ít nhất một nghiệm Có dinh H > 0, va gid sit ton tai s6 thuc c > 0 c6 tinh chất sau: Với mọi z € X, (QP)o(x,H, J(a)) có tập các nhân tử Lagrange {uj(œ)|N2 € J)}, thỏa mãn c> YS w(2) j€J()
Khi đó, tới mọi e > c°, ta có:
(a) Nếu z* € X là một điểm tới hạn của ƒ + eP thà tên tại một p* € R* sao cho (2*, u*) la mét cap nhan tit Lagrange cia (ICP)
(b) Nếu (z*.u`) là một cặp nhân tử Lagrange của (ICP) và +" € X, thà
Trang 3829
Chứng minh: a) Giả sử z* € X là điểm tới hạn Gọi {đ", {4)(2")|j €
J(z*)}} cặp nhân tử Lagrange tương ứng của (QP)o(+*, H, J(+*)) Đặt
e>e,vic> 3) m(z") từ Mệnh đề 3.2.5 {d*,£€ = 0} là nghiệm tối ưu j€J(z") của (QP),(z*, H, J(z*)) Vì z* là điểm tới hạn, Mệnh dé 3.2.3 cho thay a =0, P(x") =0 Tit Menh dé 3.2.4, {*, (uj, ,%)}, trong dé „={m) - vảjeJ@°), j#0, J—10 voij F J(a"), § 40
là một cặp nhan tit Lagrange cia (ICP)
b) Gia sit {x*, (uj, , u2)} là một cặp nhân tử Lagrange của (ICP)
và z° € X Khi đó, theo Mệnh đề 3.2.4, đ* = 0 là nghiệm tối ưu của
(QP)o(a*, H, J(a*)) Giả sử g„(#*) là các nhân tử Lagrange thỏa mãn © > YO pj(c*) theo giả thiết Từ Mệnh đề 3.3.5 {đ* = 0,£* = 0} là
j€J(z")
một nghiệm tối ưu của (QP)c(#*, H, J(x*)) v6i moi e > e* Sử dụng Mệnh
đề 3.2.3, ta có z* là điểm tới hạn của ƒ + eP với mọi c > c’
Mệnh đề tiếp theo cũng tương tự Mệnh đề 3.1.7 nhưng sử dụng giả thiết lồi ở vị trí giả định độc lập tuyến tính
Mệnh đề 3.2.10 Giả sử gi, , gr la ldi trén R" va ton tai mot vector =
sao cho:
g/(#) < 0,Ÿj = 1, r
Khi đó, uới mỗi tập compact X, tồn tại số thực e` > ( sao cho uới mọi
c>e:
(a) Nếu +* là một điểm tới hạn ctia f +P va x* € X, thì tồn tại một ue’ ER" sao cho (x*, pn") la mét ctip nhan tit Lagrange cho (ICP)
(b) Néu (x*,p*) la mét cap nhan tit Lagrange cho (ICP) va x* € X, thi
+* là một điểm tới hạn của ƒ + eP
Chứng minh: Có định H > 0, béi tính lồi của g;, ta có
Trang 39Do đó, với mỗi z € R", (QP)g(z, H, J(z)) có đ = (# —#) như một nghiệm
chấp nhận được Giả sử đ(z) là nghiệm tối ưu và {ø;()|j € J(z)} là một
Trang 4031 Cho trước mot tap compact X va H > 0 cé dinh, đặt ce = maxe(c), và chú ý rằng c>ec(œ)> YO (a), ve eX j€10)
Bây giờ áp dụng Bồ đề 3.2.9 ta nhận được điều phải chứng minh ll
Vi du 3.2.11 Cho n = 2,r = 1, va với mọi 4
S (a) = (a1 — 1)? +23, gi(x) = a7
Khi đó, f va gy là các hàm lồi và bài toán (ICP) có nghiệm tối ưu duy nhất là {z‡ = 0,z$ = 0} Xét hàm s =(I;#2), ƒ(#) +eP(#) = (2 — 1)? +23 + cmax{0, z?} (3.35) = (a — 1)? +23 + ex} 'Với mọi số thực e > 0, hàm số có một điểm tới hạn duy nhất {z¡(e) zz(e)} là
#4(e) = 1/(1+e) #a(e) =0
Như vậy nghiệm tối ưu {z‡ = 0.zÿ — 0} của (ICP) không là điểm
tới hạn của ƒ + eP với bất kỳ số thực e > 0 dương nào đó Ngược lại,
iểm nào trong số các điểm tới hạn {z¡(e).#za(c)} e > 0 là
một nghiệm tối ưu của bài toán (ICP) Ở đây, {z‡ = 0,zÿ = 0} không
không một
phải là điểm chính quy (vì [Vøi(#*) = 0]), và người ta có thể chỉ ra rằng
không có nhân tử Lagrange tương ứng g‡ Vì thế Mệnh đề 3.2.8 không thể 4p dung cho mét tap compact chtta {xj = 0,23 = 0} Bởi vì không tồn tại
# sao cho g¡(#) < 0, nên giả thiết của Mệnh đề 3.2.10 cũng bị vi phạm
Vi dy 3.2.12 Cho n = 1,r =9, và với mọi z
ƒ(z) = 0, 91(2) = —# g(+) = Hàm số P(z) có dạng: