ia’ THU VIEN TOAN
MOT SO BAI TOAN HAY
LIEN QUAN DEN Ti LE THUC PGS TS LE QUOC HAN GV Khoa Toan Dai hoc Vinh Tỉ lệ thức và dãy ti số bằng nhau là các vấn
đề học sinh được học ở lớp 7 Tuy nhiên các bai tap trong sách giáo khoa và sách bài tập khá đơn giản Trong bài viết này, chúng tôi xin trình bày một sổ phương pháp thường dùng để giải các bài toán hay thuộc nội dung này 1 Sử dụng định nghĩa của tỉ số Dat 2 =~ =k sa=bk: b d c=dk ¬ >in an a C , Bai toán 1 Cho tí lệ thức bd’ Chung 2 12 minh rang ab ab" (với giả thiết các mâu thức khác 0) Lời giải Bat —=—=k = a=bk; c= dk Do đó ab_bkb_ bế cd dkd d2 a*—b* b*k*-b* b^(kˆ-1) bố c2-d2 d2k2-d2 d2k2-1 d2 ab a2-bˆ SUY ra ——=— y cd c? -đˆ
Bài toán 2 Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x, y, z) thỗa mãn đồng thời các điều Kiện X + YV2013 _—_ v+ZzA2013 là số nguyên tố (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên tính Bắc Ninh năm học 2013 - 2014) 2 là số hữu tỈ và x2 + yˆ+z Lời giải Đát XYYZ913 _m với mne Z, y+zV2013 n (m,n) =1 Suy ra nx - my = (mz -ny)2013 nx —my mz —ny e Néu mz z ny thì 2013 = là số hữu ti (vô lô => nx -my =mz—-ny =0 XML gy? yn z Kết hợp với x* + y* 4.2% =(x+z)*-y? =(X+Z—YV)(X+Z+V) Mà xế + yˆ + z^ là số nguyên tố Kết hợp với x + z + y >1 ta được x+z- y =† và Xˆ+Vy“ˆ+Z2=X+V+z Vậy xX=y=z-=l 2 Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức Ta có ake ad =be (b,d #0) Bai toan 3 Cho cac s6 nguyén x, y thoa man 2_ 2_ = 6 : Chứng minh rằng x? - y? chia hết cho 40 (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội năm học 2016 - 2017) Lời giải Từ giả thiết suy ra 3x^ - 2y“ =1
Từ đó suy ra 3x2 -2yˆ =1 (mod 8);
Trang 2Chú ý rằng x? =0, 1, 4 (mod 8); yˆ =0, 1, 4 (mod 8) Do đó 3x2 - 2y? =0, 6, 3, 4, 1, 2 (mod 8) Suy ra 3x2 - 2yˆ =1 (mod 8) © xˆ = yˆ =1 (mod 8) Do đó x - y2:8 Ta lại có x? =0, 14, 4 (mod 5); yˆ =0, 1, 4 (mod 5) Suy ra 3x2 -2y^ˆ =0, 3, 2, 1 (mod5) Do đó 3x2 -2y2 =1 (mod 5) © x? = yˆ =1 (mod 5) Suy ra x? -yˆ 5 Vi (8, 5)=18x5=40 nên x2 - y^:40 Bài toán 4 Tìm các chữ số a, b, c đôi một b khác nhau và khác 0 thỏa mãn ab =— ca Cc
(Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên
Quốc học Huế năm học 2010 -2011) 48 on “ ab b Lời giải Ta có —=_—, Suy ra ca Cc b(a —c) = 10c(a —b) > b(a—c):5 Do d6b=5hoac a-c=+5 e Xét b=5 Ta có 9 2a-9: Từ đó suy ra 2a—9 là ước của 9 Suy ra 2a-9c{9, 3; 1 —1, - 3} Từ đó (a, b, c) = (6; 5; 2); (9; 5; 1) se Xét a-c=5 Ta có a—c= 2c(a -5) > 2c = 1+ 9 b=2c(c+5—b)> 2b=2c+9- 2c +1 Do đó 2c + 1e {†, 3; 9} Suy ra (a; b; c) = (6; 4; 1); (9; 8; 4)
se Xét a-c=-—5 (Giải tương tự, ta thấy trường
hợp này vơ nghiệm)
Bài tốn 5 Tìm x, y thỏa mãn 1+2y _1+4y _ 1+ 6y (1) 18 24 6x Lời giải Ta có They _ iy 4y 18 24 Suy ra 24(1 + 2y) = 18(1 + 4y) 1 Do đó y =— y 4 Thay y =2 vào (1) ta được 1141 1+6.1 4 ——2=——”>x=5 24 6x 1 Vậy x=5, y=— Ay y 4 Bai tap van dung