Chương 1 1 MỞ ĐẦU Bài toán bất đẳng thức biến phân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, kĩ thuật, vật lí toán Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu bởi Hartman[.]
1 MỞ ĐẦU: Bài toán bất đẳng thức biến phân ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác kinh tế, kĩ thuật, vật lí tốn…Bài tốn bất đẳng thức biến phân giới thiệu Hartman Stampacchia vào năm 1966 Những nghiên cứu toán liên quan tới việc giải toán điều khiển tối ưu toán biên phương trình đạo hàm riêng Trong năm gần toán bất đẳng thức biến phân đề tài thu hút nhiều quan tâm nhiều nhà nghiên cứu khoa học, hướng nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh cho toán bất đẳng thức biến phân Hiệu chỉnh phương pháp quan trọng để giải tốn đặt khơng chỉnh (nghĩa tốn khơng nghiệm nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu ban đầu) Có hai phương pháp hiệu chỉnh hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh điểm gần kề Ý tưởng phương pháp xây dựng toán hiệu chỉnh cách cộng vào toán tử toán gốc toán tử đơn điệu mạnh phụ thuộc vào tham số cho tốn hiệu chỉnh có nghiệm Khi với điều kiện phù hợp, dãy lặp nhận cách giải tốn hiệu chỉnh, có giới hạn nghiệm tốn gốc cho tham số dần đến điểm giới hạn thích hợp Luận văn nhằm giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân hai phương pháp hiệu chỉnh cho toán bất đẳng thức biến phân Luận văn bao gồm chương Chương nhắc lại số khái niệm giải tích hàm giải tích lồi Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bất đẳng thức biến phân Chương trình bày phương pháp điểm gần kề cho toán bất đẳng thức biến phân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương nhắc lại số tính chất giải tích hàm, giải tích lồi, toán bất đẳng thức biến phân Các kiến thức lấy chủ yếu tài liệu [1], [2], [5] 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho H khơng gian tuyến tính trường số thực Hàm số , : H H x, y với x,y H ; a) y, x b) x c) gọi tích vơ hướng H y, z x, y d) x, x x, z y, z , x, y, z H ; ; x, y , x, y H , với x H , x, x x Không gian H trang bị tích vơ hướng , gọi không gian Unita hay không gian tiền Hilbert Định lí 1.1.1 Cho H khơng gian tiền Hilbert, với x, y H ta ln có bất đẳng thức sau: x, y x, x y , y Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Schwarz Định lí 1.1.2 Cho H khơng gian tiền Hilbert x x, x , x H xác định chuẩn H Định nghĩa 1.1.2 Cho H không gian tiền Hilbert x x, x , x H xác định chuẩn H H khơng gian tuyến tính định chuẩn Nếu H khơng gian đầy đủ ta gọi H khơng gian Hilbert Định lí 1.1.3 Cho H khơng gian Hilbert, , :H H hàm liên tục , Định lí 1.1.4 (Đẳng thức hình bình hành) Nếu H khơng gian tiền Hilbert x y x y x y , x, y H Định lí 1.1.5 (Tích vô hướng sinh chuẩn) Cho X , khơng gian tuyến tính định chuẩn khơng gian Hilbert thực H Giả sử với x, y X thỏa mãn x y x y 2 x y Khi X có tích vô hướng thỏa mãn x, x x 1.2 Tập lồi, hàm lồi vi phân Định nghĩa 1.2.1 Một tập C H gọi tập lồi x, y C, 0,1 Định nghĩa 1.2.2 Một tập C x y C H gọi nón x C, x C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập lồi C nón lồi có tính chất sau: i) C C, ii) C C C Tập C H ta giả thiết C tập lồi (nếu khơng giải thích thêm) Định nghĩa 1.2.3 Cho x C , nón pháp tuyến ngồi C x, kí hiệu NC ( x) : Cho C H f : H w H : w, y x 0, y C H ta kí hiệu epi f : x, H H | f ( x) domf : x H | f ( x) Tập epif gọi đồ thị hàm f Tập domf gọi miền hữu hiệu f Hàm f gọi thường domf f ( x) Định nghĩa 1.2.4 Cho hàm f : H ,C , x C H Khi hàm f gọi i) lồi C f ( x (1 ) y) f ( x) (1 ) f ( y), x, y C, 0,1 ii) lồi chặt C f ( x (1 ) y) iii) lồi mạnh với hệ số f ( x (1 f ( x) (1 ) f ( y), x, y C, x C với x, y C , ) y) f ( x) (1 Định nghĩa 1.2.5 Giả sử f : H ) f ( y) (1 y, (0,1) (0,1) ta có ) x hàm lồi tập C y H ta định nghĩa vi phân hàm lồi sau: Véc tơ w H gọi đạo hàm (gradient) f xo C H w, x xo f ( xo ) f ( x), x C Tập tất đạo hàm (gradient) hàm f xo gọi vi phân f xo, kí hiệu f ( xo ) , tức f ( xo ) : w H : w, x xo f ( xo ) f ( x), x C Hàm f gọi khả vi phân xo f xo 1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho K tập khác rỗng, lồi không gian Hilbert thực H, tích kí hiệu , Cho F : K H '( H ) , xác định tốn tử đơn trị từ K vào khơng gian kép H’ H (Chúng ta đồng H’ với H topo yếu H’ với topo yếu H) K xét với topo cảm sinh từ chuẩn topo H Ta nói F là: (i) Đơn điệu mạnh K F ( y ) F ( x), y x y x với số; x, y K (ii) Đơn điệu K F ( y) F ( x), y x với x, y K ; (iii) Giả đơn điệu K với x, y K bất đẳng thức F ( x), y x F ( y), y x 0; (iv) Tựa đơn điệu K với x, y K bất đẳng thức F ( x), y x F ( y), y x 0 Từ định nghĩa rõ ràng giả đơn điệu yếu đơn điệu mạnh tựa đơn điệu Bài tốn tìm x K cho F ( x), y x , y K (VI) gọi toán bất đẳng thức biến phân (VIP) Chúng ta viết tắt toán VI(K, F) tập nghiệm tương ứng SOL(K, F) Các giả thiết sau toán tử F : K H sử dụng: (A1) F liên tục giao K với khơng gian hữu hạn chiều H H trang bị topo yếu (A2) F liên tục với topo K topo theo chuẩn H Để ngắn gọn ta nói F liên tục yếu K (A1) thỏa mãn Tương tự, F liên tục K (A2) thỏa mãn Rõ ràng liên tục liên tục yếu Cho dãy xk xk x lim xk k x H , ta nói dãy hội tụ đến véc tơ x H viết Nếu xk hội tụ đến x topo yếu ta nói xk hội tụ yếu đến x viết xk w x 1.4 Ánh xạ đơn điệu cực đại Mệnh đề 1.4.1 cung cấp kĩ thuật đơn giản đặc tính ánh xạ đơn điệu Một ánh xạ đơn trị F -đồng tồn cho: F x F y T x y F x Mệnh đề 1.4.1 Cho ánh xạ đa trị F : n F y , x, y domF n Các điều sau tương đương (a) F đơn điệu; (b) Với số dương c, cF đơn trị, ánh xạ xác định tồn khơng gian x y x y c u v , (c) Với số dương c, cF x, u , y, v ghpF ; đơn trị, ánh xạ 1- đồng bức, x y T c u v y x y x , x, u , y , v gphF Chúng ta tìm hiểu khái niệm quan trọng ánh xạ “đơn điệu cực đại” Định nghĩa 1.4.1 Một ánh xạ đơn điệu F đơn điệu cực đại không tồn ánh xạ đơn điệu G cho gphF gphG Ánh xạ đơn điệu F đơn điệu cực đại nghiệm n bất đẳng thức n y, v T v u y x 0, x, u gphF , thuộc gphF Định lí 1.4.1 (Minty) Cho ánh xạ đa trị F : n n Các mệnh đề sau tương đương (a) F đơn điệu cực đại; (b) F đơn điệu ran n ; F (c) Với số dương c, dom I (d) Với dom I cF 1 xác định tồn khơng gian n cF cF số dương c, cF 1- đồng n Mệnh đề 1.4.1 cho ta biết y n hệ y x cu, u F x có nghiệm x F đơn điệu; cộng với F cực đại hệ ln có nghiệm x Ánh xạ cF đóng vai trị trung tâm Mệnh đề 1.4.1 Định lí 1.4.1 Ánh xạ thường gọi giải thức (Resovent) F (với số c) kí hiệu J cF Giải thức đơn trị, có tính không giãn Mệnh đề 1.4.2 Cho F ánh xạ đơn điệu c số dương Với véc tơ z n biểu diễn cách z = x cu với u F x Nếu F đơn điệu cực đại véc tơ z n viết cách z= x cu với u F x Tồn mối quan hệ mật thiết ánh xạ F giải thức mệnh đề sau Mệnh đề 1.4.3 Cho F ánh xạ đơn điệu cực đại Với số dương c x n ta có F x J cF x Mệnh đề 1.4.4 Cho K x n khác rỗng, lồi đóng F : K tính chất sau ánh xạ T ( x) F ( x) N x; K (a) J cT x SOL K , Fc, x Fc, x y y x cF y (b) N x; K đơn điệu cực đại (c) Nếu F đơn điệu T đơn điệu cực đại n liên tục Ba Chương HIỆU CHỈNH TIKHONOV Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bất đẳng thức biến phân Các kết chương lấy từ tài liệu [4], [6] Chúng ta biểu thị ánh xạ đồng H I đặt F F I với Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov mơ tả sau: Để tìm nghiệm (VI) tìm nghiệm tốn VI(K, F k ), với dãy số thực dương cho k chọn nghiệm xk Với k k N : 1,2, , SOL K , F k xét giới hạn lim xk Khi giới k hạn tồn tại, hi vọng cho nghiệm (VI) Để chấm dứt q trình tính tốn sau số hữu hạn bước để có nghiệm gần VI(K, F) thêm tiêu chuẩn dừng Do xk xk xk nghiệm xác (VI) nên ta dùng tiêu chuẩn dừng xk xk , với số cho trước 2.1 Trường hợp đơn điệu Như biết K lồi F : K n liên tục đơn điệu mạnh tốn bất đẳng thức biến phân VI(K, F) ln tồn nghiệm Dễ thấy F đơn điệu F Chúng ta xét tập K F I đơn điệu mạnh n cho bởi: N K Kv , (2.1.1) v N số nguyên dương Kv tập nv với N nv n v Chúng ta giả sử F liên tục K Với nghiệm VI K , F Tập , cho x x : (2.1.2) gọi quỹ đạo Tikhonov VI(K, F) Trước hết ta thiết lập tính chất khác quỹ đạo tính hội tụ tính liên tục với Mệnh đề 2.1.1 Cho K xác định (2.1.1) với Kv lồi đóng Cho n liên tục K Với F:K x bị chặn x : , tập , liên tục với (2.1.3) dương Chứng minh Ta chứng minh tính bị chặn nghiệm (2.1.3) Thật vậy, giả sử có dãy vơ hướng cho với x k , k lim xk k Ta suy tồn số v x k , 1, , N dãy bị chặn véc tơ y k cho lim xvk k vơ số k yvk Điều mâu thuẫn T xvk Fv y k k gần đến x 0 với k Vì tập (2.1.3) bị chặn k Để chứng minh tính liên tục x cho k k v Do x k tùy ý, cố định bị chặn Hơn điểm tụ dãy (có điểm vậy) nghiệm VI K , F Từ VI có nghiệm suy x k giới hạn phải x có điểm tụ Do dãy hội tụ Để hiệu chỉnh VI(K, F) nghiên cứu giới hạn quỹ đạo x Không giống VI K , F với dương, tốn VI(K,F) có nhiều khơng có nghiệm Vì giới hạn 10 (2.1.4) lim x khơng ln tồn Thực tính khác rỗng SOL(K, F) điều kiện cần cho giới hạn tồn giới hạn nghiệm VI(K,F) Nhưng điều kiện không đủ Ví dụ sau minh họa tính khơng xác định quỹ đạo Tikhonov trường hợp toán bù Ví dụ 2.1.1 Xét tốn bất đẳng thức biến phân: Mx q, y x q với M 0, y 2 Ta có SOL , M Dễ x dàng chứng minh 1/ ,0 với x1,1 : x1 0, x2 : x2 q VI , M q I Sau nghiệm rõ ràng không bị chặn tiến dần đến không Khoảng cách nghiệm x với SOL ,M nghiệm đến tập SOL ,M q Ta ý ví dụ q khơng lồi Minh họa hình 2.1.1 x2 SOL ,M q x1 x Hình 2.1.1: Tập nghiệm quỹ đạo Tikhonov 26 thúc q trình tính tốn sau số hữu hạn bước có nghiệm gần VI(K, F) ta phải có tiêu chuẩn dừng (Ví dụ người ta kết thúc tính tốn xk xk với số) Có thể xét thuật tốn điểm gần kề khơng xác cách với k , thay tìm xk thỏa mãn (3.2.1.2) lấy véc tơ zk (k ) dist zk ,SOL K , F với z0 : x0 , F k x : kF x K cho (3.2.1.3) k x zk 1, dist zk ,SOL K , F k ) dung sai cách từ zk đến SOL( K , F k k khoảng thỏa mãn điều kiện k k Bổ đề sau phát biểu số điều kiện theo tập SOL( K , F k ) khác rỗng Bổ đề 3.2.1.1 Giả sử F đơn điệu liên tục yếu K Nếu SOL( K , F ) khác rỗng với k xk F k k H tập SOL( K , F ) khác rỗng giả đơn điệu K Hơn trường hợp SOL( K , F k ) tập bị chặn Chứng minh Bởi giả thiết Bổ đề 2.2.1 tồn x ref x K cho với x L F , xref Với x L F k , xref ta có x K k x xk 1, x x ref F x Do F x , x xref Nếu x xk 1, x ref ta có x x 1/ k x xk 1, xref F x , x xref Nếu x xk 1, x ref x x có nghĩa x L F , xref 27 x xk , x ref x, x ref x Nếu x xk x xk x xk xk x ref x ref x x ref Sau với x max ,1, xk xref xref x ref , Từ Bổ đề 2.2.1 bị chặn L F k , xref x L F k , x ref có nghĩa SOL( K , F k ) rỗng bị chặn Nhận xét 3.2.1.1 Từ Bổ đề 3.2.1 F thỏa mãn giả thiết nêu Định lí k) SOL( K , F 2.2.1 SOL( K , F ) zk với k k ) tập bị chặn Rõ ràng với H Bên cạnh SOL( K , F tồn zk thỏa mãn (3.2.1.3) Nếu 0 với k, phương pháp điểm gần kề khơng xác trở thành xác Trong Bổ đề 3.2.1.1 tính giả đơn điệu liên tục yếu F với tính khác rỗng SOL(K, F) khơng có nghĩa tập hợp nghiệm tốn phụ VI K , F k Ví dụ 3.2.1.1 Cho K : cách thiết lập F ( x) điểm Chúng ta xét ví dụ minh họa sau: 2; cho F : K x2 với x K Rõ ràng F giả đơn điệu liên tục K Chúng ta có SOL( K , F ) F x Cho x0 : : x x với x K Do SOL K , F Ví dụ 3.2.1.2 Cho a, b, F:K xác định 2, 1,0 số thực dương, a b Cho K cho công thức F x a, b cho x Rõ ràng F giả đơn điệu 28 liên tục K SOL( K , F ) F1 x b Cho x0 : với x K Vì SOL K , F 1 : K tập vô hạn Bổ đề sau sử dụng Noor Bổ đề 3.2.1.2 Giả sử F giả đơn điệu K, x0 H xk dãy tạo (3.2.1.2) Khi với x SOL K , F suy xk x Chứng minh Đặt k xk ,u x xk xk , k (3.2.1.4) xk áp dụng Bổ đề 2.2.2 xk 1, v Hệ 3.2.1.1 Giả sử F giả đơn điệu K, x0 H xk dãy tạo (3.2.1.2) Khi với x SOL K , F ta có k ` SOL( K , F ) B x, x0 x , k (3.2.1.5) k (3.2.1.6) dist xk ,SOL( K , F ) dist x0 ,SOL( K , F ) , k Chứng minh Lấy x SOL( K , F ) k Chọn xk x áp dụng Bổ đề 3.2.1.2 ta có xi x xi x xi xi i 1, , k Sau x x xk x xk x x1 x x0 x; Do (3.2.1.5) Tiếp theo với k , bất đẳng thức xk x x0 x cho x SOL( K , F ) có 29 inf xk x : x SOL K , F inf x0 x : x SOL K , F Vì (3.2.1.6) Nhận xét 3.2.1.2 Nếu x0 SOL K , F SOL( K , F ) ta có xk từ (3.2.1.6) tính đóng SOL( K , F ) Định lí 3.2.1.1 Giả sử F : K SOL( K , F ) khác rỗng, x0 H giả đơn điệu liên tục yếu K, H véc tơ cho trước xk dãy tạo (3.2.1.2) Khi xk dãy bị chặn Ngoài ra, F liên tục K tồn dãy x SOL( K , F ) xk xk j hội tụ đến số x H xk x Chứng minh Tính hội tụ xk có từ Hệ 3.2.1.1 Giả sử F liên tục K xk j x Một điểm x SOL K , F với k áp dụng k vào bất đẳng thức (3.2.1.4) ta có xk x x0 x k xi xi i Do xi xi x0 x i Vì ta có lim xi xi xk j i Khi xk j SOL K , F kj F xk j (3.2.1.7) cho kj xk j , y xk j y K 30 Từ tính liên tục F điều kiện với k , Cho k j k , từ tính chất ta có F ( x ), y x 0, y K Điều cho thấy x SOL( K , F ) Áp dụng (3.2.1.4) với x lấy từ x , ta có x xk Với xk x x1 x x , x0 k , ta tìm cho xk x (3.2.1.8) Từ (3.2.1.8) ta có xk x xkl Do lim xk k x , x k k Nếu H không gian hữu hạn chiều, H n định lí hội tụ phát biểu sau: Định lí 3.2.1.2 Giả sử K n tập lồi đóng, F : K liên tục K Nếu SOL(K, F) khác rỗng, x0 n giả đơn điệu n véc tơ tùy ý dãy xk tạo (3.2.1.2), tồn x SOL K , F cho lim xk k x Chứng minh Áp dụng Định lí 3.2.1.1 tính chất dãy bị chặn n phải có dãy hội tụ, ta có điều phải chứng minh Mệnh đề sau bước phương pháp điểm gần kề ta gặp phải tốn khơng đơn điệu Mệnh đề 3.2.1.1 Tồn toán tử khả vi, liên tục, giả đơn điệu F : 2 G x F x cho với u 2, tốn tử x u khơng giả đơn điệu Chứng minh Để chứng minh sử dụng phản ví dụ 2.2.1 Cho F x x12 x22 x2 , x1 với x x1, x2 Với 31 u , toán tử G x x u không giả đơn điệu F x toán tử x : F x G w : : 1/ x w u không giả đơn điệu Vì với 1/ khơng giả đơn điệu Như phản ví dụ 2.2.1 cho x : w 2, G y: ,2 ta có F x F y x, y x với w thỏa mãn điều kiện x ,y x G F x Do y, y x , suy w, y x x w, y x 0,1 w, y x y ,y x G F y y w, y x w, y x Điều chứng tỏ tốn tử khơng gian đơn điệu với w w :0 w, y x Cố định t Cho y : x t y x 1, x , y x G F x 0,1 t x w, t y x ,1 t , t ta có t w, y x y , y G t t2 t2 với x t F y t w, y x y w, t y t 1, t t t t , t , ,1 t w, y t x t w, y x giả đơn t Sau G điệu với w w : Cho t x w, y x t t t không giả đơn điệu với kết luận G w nửa không gian w : w, y x Bây chọn 32 u: x 0, v: y , Rõ ràng F u F x F y Vì vây t lấy z : u t v u F v u , z u G t z , z u G 0 ta có w, v u không giả đơn điệu t Điều cho thấy G t với w nửa không gian w : w, y x 3.2.2 Sự hội tụ phương pháp điểm gần kề toán VI giả đơn điệu Định lí 3.2.2.1 Giả sử F : K SOL( K , F ) khác rỗng, x0 H giả đơn điệu liên tục yếu K, H véc tơ cho trước zk dãy cho (3.2.1.3) Khẳng định sau đúng: (a) zk dãy bị chặn; zk hội tụ đến z H (b) Nếu F liên tục K tồn dãy zk j z SOL K , F zk z Chứng minh Để chứng minh (a) ta giả sử F liên tục yếu K Chúng ta thấy dãy xác định định lí bị chặn Cố định điểm zk x SOL K , F Với k , chọn xk zk xk SOL K , F k cho k (3.2.2.1) k ) với SOL(K , F (Chẳng hạn xk tồn (3.2.1.2) qui ước zk k ) Khi F k x : k xk Từ (3.2.2.1) x zk Từ bổ đề 2.2.2 suy F x x zk x xk zk , k (3.2.2.2) 33 zi Ta đặt x zi xi xi x i xi i x, (3.2.2.3) Do zi x i i xi x xi x xi zi Kết hợp với (3.2.2.2) ta có xi x i xi i x xi x , i Thêm tổng chạy từ đến k : k xi x k k i i i xi i x x0 x (3.2.2.4) i Với k sử dụng (3.2.2.2) (3.2.2.3) ta có xk x zk x xk x zk x k xk x k k zk x k k k k x0 x (3.2.2.5) i i Khi i suy xk dãy bị chặn Khi dãy xk bị chặn Từ x i (3.2.2.5) ta có zk x x0 x i i với tất k Do Điều kiện zk x zk bị chặn ngụ ý i i i i i đủ lớn Khi xk x dãy bị chặn ta suy Do i i với 34 i , xi i i x i Do từ (3.2.2.4) suy xi zi i Đặc biệt ta có: lim xi t zi (3.2.2.6) Để chứng minh (b), giả sử F liên tục K zk j xk j z k j F xk j , xk j SOL K , F kj xk j 1 kj zk j , y xk j : 0, Trong (3.2.2.6) tính liên tục F điều kiện kj F z , y z ta suy tính chất z Từ (3.2.2.6) suy (3.2.2.7) y K với k, cho k với y K Vì z SOL K , F z có zk Từ (3.2.2.6) có xk kì z Với bất cho trước, ta chọn số j cho z zk j i i kj Từ bổ đề 2.2.2, tính chất (3.2.2.2) có hiệu lực với nghiệm x SOL K , F Khi thay x z (3.2.2.2) ta có xk Do với k z zk z k j suy xk zk , k 35 xk z zk z xk z k zk z k xk z k k zk z k k k z zk j 2 kj z Điều cho thấy zk Chúng ta mở rộng Định lí 3.2.1.2 từ Định lí 3.2.2.1 khơng gian hữu hạn Định lí 3.2.2.2 Giả sử K n tập lồi đóng, F : K liên tục K Nếu SOL(K, F) khác rỗng, x0 n giả đơn điệu n véc tơ cho trước zk dãy tạo (3.2.1.3) tồn z SOL K , F cho lim zk k z Chứng minh Cố định điểm x SOL K , F Từ Định lí 3.2.2.1, xk dãy bị chặn Kết hợp điều với (3.2.2.6) ta thấy zk dãy bị chặn K n zk hội tụ đến z n Như từ Định lí 3.2.2.1 ta có dãy zk j có điều phải chứng minh Nếu F đơn điệu sau ta thiết lập hội tụ dãy zk với giả thiết F liên tục yếu K Định lí sau định lí hội tụ quen thuộc phương pháp điểm gần kề Định lí 3.2.2.3 Cho F : K SOL(K, F) khác rỗng, x0 H đơn điệu liên tục yếu K Giả sử H véc tơ cho trước zk (3.2.1.3) Khi tồn lim zk k z z k w z SOL K , F z Hơn 0, dãy tạo cho 36 lim zk zk k Chứng minh Giả sử x0 (3.2.1.3) Khi zk z K cho zk j (3.2.2.8) H véc tơ cho trước dãy bị chặn, tồn dãy zk j véc tơ zk z Ta z SOL K , F w Đầu tiên, suy từ (3.2.2.6) tính chất zk j k j dãy tạo zk w z mà zk j w z Thứ hai, xk j SOL K , F kj , (3.2.2.7) Khi từ tính đơn điệu F ta có F y , y xk j F xk j kj Cho k j , y xk j zk j xk j 1 , y xk j y K sử dụng (3.2.2.6), từ bất đẳng thức F y , y xk j ta suy F y , y z kj 1 zk j xk j , y xk j 1 với y K Từ Định lí Minty giả thiết F khẳng định z SOL K , F Chúng ta z zk z (3.2.2.5), dãy hội tụ Thay x ta suy zk z zm z k i , i m với m, k cho m k Khi zk bị chặn, số Chọn dãy zk p z zk z cho zk p : inf zk k z hữu hạn Với 37 cho trước, có thể chọn số lớn i i kp zkq z với kq k k p với kq k p thỏa mãn kq z zk k p thỏa mãn kq zk p k p Khi với k ta có k z i i kp z zk q z zk kq i zk z i k Suy luận zk zk z z với k k p Vì kết Bây sử dụng thủ thuật quen thuộc, chứng minh zk z w z Đề cập trở lại chọn z , ta có zk j w z Chúng ta thấy z Như trình bày z SOL K , F Bên cạnh đó, z giả sử zk với Khi z zk zk z z z 2 zk z , z z , thấy lim zk j kj Khi zk j w z , z z 2 2 z z z z z ta có 2 2 Thay đổi vai trò z z , zk j zk ta có 38 Suy z z 2 2 z z Vì khẳng định zk w z Nhận thấy zk zk zk xk xk zk k có (3.2.2.8) dễ dàng từ (3.2.2.6) xk zk , k , 39 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu hai phương pháp hiệu chỉnh cho toán bất đẳng thức biến phân Những vấn đề trình bày luận văn là: - Một số khái niệm tính chất khơng gian Hilbert, giải tích lồi, tốn bất đẳng thức biến phân toán tử đơn điệu cực đại - Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bất đẳng thức biến phân hai trường hợp đơn điệu giả đơn điệu - Phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề cho toán bất đẳng thức biến phân hai trường hợp đơn điệu giả đơn điệu 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1996), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền Nguyễn Hữu Điển, Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội (sẽ ra) [3] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà Nội Tiếng Anh [4] F Facchinei, J.S Pang (2003), Finite – Dimensional Variational Inequalities anh Complementarity Problems, Springer, New York [5] I.V Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, Berlin [6] N.N Tam, J.C Yao, N.D Yen (2008), Solution methods for pseudomotone variational inequalities, J Optim Theory Appl 253 – 273 [7] N.T.Hao (2006), Tikhonov regularization algorithm for pseudomonotone variational inequalites, Acta Math, Vietnam 283-289 [8] P.G Hung L.D Muu (2011), The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomonotone bifunctions, Nonlinear Anal, TMA 6121 – 6129