Phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình toán tử không chỉnh loại hammerstein

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ TUYẾT PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LIÊN TỤC CHO PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ KHƠNG CHỈNH LOẠI HAMMERSTEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ TUYẾT PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LIÊN TỤC CHO PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ KHƠNG CHỈNH LOẠI HAMMERSTEIN Chun ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn Lời nói đầu Một số ký hiệu chữ viết tắt Một số khái niệm 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Toán tử đơn điệu 1.3 Bài tốn đặt khơng chỉnh 11 1.4 Phương trình tốn tử loại Hammerstein 16 Phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình tốn tử loại Hammerstein 2.1 19 Hiệu chỉnh liên tục cho tốn khơng chỉnh với tốn tử đơn điệu 19 2.2 Hiệu chỉnh liên tục vô hạn chiều 22 2.3 Hiệu chỉnh liên tục với xấp xỉ hữu hạn chiều 25 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn trình bày hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc thầy giáo GS TS Nguyễn Bường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tơi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo TS Nguyễn Thị Thu Thủy thầy giáo giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010 - 2012, người đem tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức sở Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K4B quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Hải Phịng, tháng 07 năm 2012 Tác giả Đào Thị Tuyết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Cho H khơng gian Hilbert với chuẩn tích vơ hướng ký hiệu tương ứng x∗ , x Cho Fi , i = 1, 2, toán tử phi tuyến đơn điệu liên tục H Nội dung chủ yếu nghiên cứu phương pháp ổn định để tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình tốn tử Hammerstein có dạng: x + F2 F1 (x) = f, f ∈ R(I + F2 F1 ), (1.1) dựa việc xây dựng hệ phương trình vi phân bậc một, I toán tử đơn vị R(A) ký hiệu ảnh A Sau đó, phương pháp xét liên kết với trình xấp xỉ hữu hạn chiều H Lưu ý tập nghiệm (1.1), ký hiệu S0 , tập đóng lồi (xem [7]) Thơng thường, thay cho Fi , i = 1, 2, f ta biết xấp xỉ Fih fδ thỏa mãn: F1h (x) − F1 (x) hg ( x ) , F2h (x) − F2 (x) fδ − f δ hg ( x ) ∀x ∈ H, g(t) hàm thực không âm, không giảm giới nội (đưa tập giới nội lên tập giới nội) Nếu khơng có thêm điều kiện bổ xung lên Fi tính đơn điệu mạnh, phương trình (1.1) tốn đặt khơng chỉnh Thật vậy, xét tốn sau với H = E2 , khơng gian Ơcơlit, F1 = −1 , F2 = −1 1 , x = (x1 , x2 ) Dễ dàng kiểm tra F1 x, x = x21 ≥ 0, F2 x, x = x22 ≥ ∀x ∈ E2 Có nghĩa Fi , i = 1, 2, có tính đơn điệu Phương trình (1.1) có dạng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 0x1 = f1 , 2x1 = f2 với f = (f1 , f2 ) Rõ ràng, hệ phương trình có nghiệm f = (0, f2 ) với f2 Khi fδ = (f1δ , f2 ) với f1δ = phương trình khơng có nghiệm Vì vậy, (1.1) tốn đặt khơng chỉnh Để giải (1.1) ta phải dùng phương pháp ổn định Một phương pháp ổn định dựa việc giải phương trình h h x + F2,α F1,α (x) = fδ (1.2) h (xem[7], [11]), Fi,α = Fih + αI , α > tham số hiệu chỉnh h,δ Với α > 0, phương trình (1.2) có nghiệm xh,δ α , dãy {xα } hội tụ đến nghiệm x0 thỏa mãn x0 + x∗0 = x∈S0 x + F1 (x) , x∗0 = F1 (x0 ), (1.3) (h + δ)/α, α → Hơn nữa, nghiệm xh,δ α này, với α > cố định, phụ thuộc liên tục vào Fih , i = 1, fδ Mới đây, việc sử dụng phương trình vi phân để hiệu chỉnh tốn khơng chỉnh nghiên cứu rộng rãi (xem [1], [18] tài liệu dẫn), rời rạc phương trình vi phân ta thu nhiều phương pháp lặp khác Tư tưởng áp dụng phương pháp để tìm nghiệm cho phương trình tốn tử loại Hammerstein (1.1) Chúng ta tìm hàm khả vi mạnh u(t) : [t0 , +∞) → H, t0 ≥ 0, nghiệm phương trình vi phân cho lim u(t) = x0 (1.4) t→+∞ Trong phần 2, nghiên cứu hệ phương trình vi phân với nghiệm u(t), u∗ (t) u(t) thỏa mãn (1.4) Xấp xỉ hữu hạn chiều un (t) cho u(t) thỏa mãn lim un (t) = x0 , n,t→+∞ xét chương Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm Các vấn đề liên quan đến đề tài tốn đặt khơng chỉnh trình bày chương Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình tốn tử loại Hammerstein Hiệu chỉnh liên tục vô hạn chiều phương pháp hiệu chỉnh liên tục với xấp xỉ hữu hạn chiều trình bày chương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Không gian Hilbert thực ký hiệu H Không gian Banach thực ký hiệu X Không gian liên hợp X ký hiệu X ∗ Tập rỗng ký hiệu φ Với x ký hiệu ∀x infimum tập {F (x) : x ∈ X} ký hiệu inf F (x) x∈X Ánh xạ đơn vị ký hiệu I Tập số thực ký hiệu R Miền xác định toán tử A ký hiệu D(A) Ma trận chuyển vị ma trận A ký hiệu AT Toán tử liên hợp A ký hiệu A∗ Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x ký hiệu xn → x x := y tức x định nghĩa y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số khái niệm Chương trình bày số vấn đề khái niệm khơng gian Hilbert, tốn tử đơn điệu; tốn đặt khơng chỉnh khái niệm phương trình tốn tử loại Hammerstein 1.1 Khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn thực khơng gian tuyến tính thực X ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: x > 0, ∀x = 0, x = ⇔ x = 0; x + y x + y , ∀x, y ∈ X; αx = |α| x , ∀x ∈ X, α ∈ R Định nghĩa 1.2 Cặp (H, , ) H khơng gian tuyến tính , :H×H→R (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện : x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = ⇔ x = 0; x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H, gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1 L2[a,b] khơng gian hàm bình phương khả tích [a,b] b với f ∈ L2[a,b] cho f (x) dx < +∞ khơng gian Hilbert với tích a vô hướng b f, g = f (x) g (x) dx a chuẩn f L2[a,b]  21 b  f (x)dx = a 1.2 Toán tử đơn điệu Cho X không gian Banach thực, A : D (A) → X∗ toán tử với miền xác định D(A) = X miền ảnh (A) nằm X ∗ Định nghĩa 1.3 Toán tử A gọi a)Đơn điệu, A (x) − A (y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D (A) b)Đơn điệu chặt dấu xảy x = y c)Đơn điệu đều, tồn hàm không âm δ (t), không giảm với t 0, δ (0) = A (x) − A (y) , x − y ≥ δ ( x − y ) , ∀x, y ∈ D (A) ; Nếu δ (t) = cA t2 với cA số dương A tốn tử đơn điệu mạnh Định nghĩa 1.4 Toán tử A đơn điệu x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A (x) , y ∗ ∈ A (y) Tập Gr (A) gọi đơn điệu thỏa mãn bất đẳng thức Nếu Gr (A) không chứa thực tập đơn điệu khác X × X∗ tốn tử A gọi tốn tử đơn điệu cực đại Toán tử A gọi nửa đơn điệu, tồn toán tử compact C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cho A + C toán tử đơn điệu Toán tử A gọi toán tử lim A (x) , x / x = +∞ x →+∞ Một ví dụ tốn tử đơn điệu ánh xạ đối ngẫu U s , s Ánh xạ tồn không gian Banach X Khi s = U s thơng thường viết U gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian X Đối với không gian lp , < p < +∞, U (x) = x 2−p lp z , x = (x1 , x2 , , xn , , ) z = |x1 |p−2 x1 , |x2 |p−2 x2 , ∈ lp/(p−1) Cịn khơng gian Lp (Ω), với Ω tập đo không gian Rn chuẩn Lp (Ω) , < p < +∞, ánh xạ U có dạng U (ϕ) = ϕ 2−p p−2 ϕ (t) , t Lp (Ω) |ϕ (t)| ∈ Ω Ánh xạ đối ngẫu tốn tử đơn vị I không gian H U s U toán tử đơn điệu chặt có tính chất Trong số trường hợp khơng gian Lp (Ω), U s cịn có tính chất đơn điệu liên tục theo Holder, U s (x) − U s (y) , x − y U s (x) − U s (y) mU x − y c (r) x − y ϑ s , mU > 0, ,0 < ϑ 1, (1.5) c(r) hàm dương tăng dần r = max { x , y } Nếu X = L2 (Ω), khơng gian Hilbert, U s = I , s = 2, mU = 1, ϑ = c(R) = Với p = không gian lp , Lp , Wpm , p > 1, ta có < p < : s = 2, mU = p − 1, c (p) = p22p−1 ep Lp−1 , e = max {2p , 2p} , < L < 3.18, ϑ = p − 1; < p : s = p, mU = 22−p /p, c (p) = 2p pp−2 {p [p − + max {p, L}]}−1 , ϑ = Phiếm hàm ϕ (x) với x ∈ X gọi lồi, ϕ x+y [ϕ (x) + ϕ (y)] , x, y ∈ X Phiếm hàm ϕ (x) với x ∈ X gọi lồi đều, hàm δ (t) với tính chất cho x+y 1 ϕ [ϕ (x) + ϕ (y)] − δ ( x − y ) , x, y ∈ X 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Xét toán Cauchy: u˙ = Φ (u) , u (0) = u0 ; Φ := −A−1 ε [B (u) + εu − f ] , (2.2) u := uε (t) , Aε := A + εI, A := B (u), I toán tử đơn vị, ε > số, dấu phẩy đạo hàm Fréchet , Φ (u) hàm Lipschitz địa phương Vì tốn (2.2) có nghiệm địa phương Phương pháp hiệu chỉnh liên tục giải toán (2.1) thay giải toán (2.2) chứng minh với u0 ta có ∃u (t) , ∀t > 0, ∃Vε := u (∞) := lim u (t) , B (Vε ) + εVε − f = 0, t→∞ (2.3) lim Vε − y = (2.4) ε→0 Ta có định lý sau: Định lý 2.1 Nếu A) thỏa mãn (2.3), (2.4) lim uε (tε ) − y = 0, ε→0 (2.5) (với tε := −2 log (ε)) Nếu ωδ (t) nghiệm phương trình ω˙ δ = Φδ (ωδ ) , ωδ (0) = u0 , (2.6) lim ωδ (tδ ) − y = 0, (2.7) ∃tδ thỏa mãn δ→0 Chứng minh Đặt B (u) + εu − f := g (t) , u = uε (t) Sử dụng (2.2) ta có g g˙ = −g , g (t) = g0 e−t , g0 := g (0) Điều (2.2) suy u˙ g0 ε−1 e−t , A−1 ε−1 Như ∃u (∞) := Vε theo ε nguyên lý Cauchy ta có: u (t) − Vε g0 ε−1 e−t , (2.8) dẫn đến (2.3) thỏa mãn Sử dụng tε := −2 log (ε) (2.8) ta nhận u (tε ) − Vε g0 ε (2.9) Để chứng minh (2.4) sử dụng (2.1) viết (2.3) sau: B (Vε ) − B (y) + εVε = 0, nhân với Vε − y , sử dụng tính đơn điệu B ta nhận (Vε , Vε − y) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 0, (2.10) http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Suy Vε y Vε hội tụ yếu đến υ ε → 0, υ thành phần Vì tốn tử h-liên ω đóng yếu, Vε hội tụ yếu đến B (Vε ) + εVε → f suy B (υ) + ευ = f , bất đẳng thức Vε y suy υ lim inf Vε y , ta kết luận υ ε→0 nghiệm (2.1) có chuẩn nhỏ nhất, υ = y Để chứng ming Vε → y , ký hiệu → hội tụ mạnh H, sử dụng (3.1) ta (Vε − y, Vε − y) (y, y − Vε ) , (2.11) hội tụ yếu Vε đến y Ta có (2.4) Đẳng thức (2.5) suy từ (2.4) (2.9) Thật vậy: uε (tε ) − y uε (tε ) − Vε + Vε − y → 0, ε → Bây chứng minh (2.7) Cũng tương tự (2.1)-(2.2), ta có ωδ (t) − Wδ g0 (δ) ε−1 e−t , ωδ (tε ) − Wδ g0 (δ) ε, (2.12) g0 (δ) := B (u0 ) + εu0 − fδ , Wδ := Wδε := ωδ (∞) = lim ωδ (t) t→∞ Trong trường hợp tổng quát, fδ không nằm ảnh B, Wδε (∞) không hội tụ ε → 0, δ > cố định Ta sử dụng (2.9) để chứng minh tồn ε := ε (δ) → δ → 0, cho (2.7) thỏa mãn Thật Wδ := Wδε nghiệm phương trình : B (Wδ ) + εWδ − fδ = (2.13) Trừ (2.13) phương trình (2.3), ký hiệu Wδ − Vε := ψδ := ψδε , fδ − f := hδ , hδ δ , nhận phương trình vừa thu theo ψδ , sử dụng tính đơn điệu B ta nhận ε (ψδ , ψδ ) δ ψδ , δε−1 W δ − Vε (2.14) Bây giả thiết rằng: lim δε−1 = 0, lim ε (δ) = δ→0 δ→0 (2.15) Chẳng hạn, lấy ε = δ b , < b < Nếu (2.15) thỏa mãn, lim Wδ − Vε(δ) = δ→0 Từ (2.12), (2.14)-(2.16), (2.4) ta có (2.7) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.16) 22 2.2 Hiệu chỉnh liên tục vô hạn chiều Xét hệ phương trình vi phân du(t) h(t) + γ(t) F1 (u(t)) + α(t)u(t) − u∗ (t) = θ, dt du∗ (t) h(t) + γ(t) F2 (u∗ (t)) + α(t)u∗ (t) + u(t) − f (t) = θ, dt u(t0 ) = u0 , u∗ (t0 ) = u∗0 , t ≥ t0 ≥ 0, (2.17) u0 , u∗0 hai phần tử cố định H , θ ký hiệu phần tử không H, h = h(t), α = lpha(t) > 0, t ≥ 0, α(t) hàm lồi, không âm, khả vi giảm dần, γ(t) hàm không giảm khả vi cho lim α(t) = lim h(t) = 0, t→+∞ t→+∞ h(t) α (t) γ (t) = lim = lim = t→+∞ α(t) t→+∞ α (t)γ(t) t→+∞ α(t)γ (t) (2.18) lim Để chứng minh limt→+∞ u(t) = x0 , nghiên cứu hệ phương trình vi phân sau: dy(t, τ ) + γ(t) F1 (y(t, τ )) + α(τ )y(t, τ ) − y ∗ (t, τ ) = θ, dt dy ∗ (t, τ ) + γ(t) F2 (y ∗ (t, τ )) + α(τ )y ∗ (t, τ ) + y(t, τ ) − f = θ, dt y(t0 , τ ) = u0 , y ∗ (t0 , τ ) = u∗0 , ∀t ≥ t0 (2.19) phụ thuộc vào tham số τ ≥ t0 Ta có kết sau Định lý 2.2 Cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) toán (2.17) (2.19) có nghiệm thuộc lớp C [t0 , +∞) với u0 , u∗0 ∈ H u(t) , u∗ (t) ≤ d1 , d1 > 0, t ≥ t0 (ii) hàm α(t), h(t) γ(t) thỏa mãn điều kiện nêu Khi đó, limτ →+∞ u(τ ) = x0 Chứng minh Đặt r˜ (t, τ ) = r˜1 (t, τ ) + r˜2 (t, τ ) , r˜1 (t, τ ) = y (t, τ ) − xα (τ ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên , http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 r˜2 (t, τ ) = y ∗ (t, τ ) − x∗α (τ ) , (xα (τ ), x∗α (τ )), x∗α (τ ) = F1 (xα (τ )), nghiệm hệ phương trình sau F1 (xα (τ )) + α(τ )xα (τ ) − x∗α (τ ) = θ, F2 (x∗α (τ )) + α(τ )x∗α (τ ) + xα (τ ) − f = θ, (2.20) limτ →+∞ xα (τ ) = x0 (xem [7]) Vì F1 liên tục, x∗0 = lim x∗α (τ ) τ →+∞ Bây giờ, từ (2.19) (2.20) cho ta d(y(t, τ ) − xα (τ )) , y(t, τ ) − xα (τ ) + γ(t) F1 (y(t, τ )) − F1 (xα (τ )), dt y(t, τ ) − xα (τ ) + α(τ )˜ r1 (t, τ ) + x∗α (τ ) − y ∗ (t, τ ), y(t, τ ) − xα (τ ) = 0, d(y ∗ (t, τ ) − x∗α (τ )) ∗ , y (t, τ ) − x∗α (τ ) + γ(t) F2 (y ∗ (t, τ )) − F2 (x∗α (τ )), dt y ∗ (t, τ ) − x∗α (τ ) + α(τ )˜ r2 (t, τ ) + y(t, τ ) − xα (τ ), y ∗ (t, τ ) − x∗α (τ ) = Cộng hai bất đẳng thức sử dụng d x(t) dt =2 dx(t) , x(t) dt với đơn điệu Fi , i = 1, 2, ta có d˜ r(t, τ ) + 2γ(t)α(τ )˜ r(t, τ ) ≤ dt Do đó, t r˜(t, τ ) ≤ r˜(t0 , τ ) exp[−2α(τ ) γ(t)dt], (2.21) t0 r˜(t0 , τ ) = y(t0 , τ ) − xα (τ ) + y ∗ (t0 , τ ) − x∗α (τ ) ≤ 2[ y(t0 , τ ) + xα (τ ) + y ∗ (t0 , τ ) + x∗α (τ ) ] ≤ 2[ u0 + u∗0 + x0 + F1 (x0 ) ] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Chính vậy, từ (2.18), (2.21) tính chất hàm γ(t), α(t) ta nhận (xem [17]) lim r˜(τ, τ ) = τ →+∞ tính giới nội {y(t, τ )} {y ∗ (t, τ )} Suy ra, lim y(τ, τ ) = x0 , τ →+∞ tồn số dương d2 cho y(t, τ ) , y ∗ (t, τ ) ≤ d2 Tiếp theo, đặt ˜ (t, τ ) = R ˜ (t, τ ) + R ˜ (t, τ ) , R ˜ (t, τ ) = u (t) − y (t, τ ) , R ˜ (t, τ ) = u∗ (t) − y ∗ (t, τ ) R Trên sở (2.17) (2.19), ta viết d(u(t) − y(t, τ )) h(t) , u(t) − y(t, τ ) + γ(t) F1 (u(t)) − F1 (y(t, τ )), dt u(t) − y(t, τ ) + α(t)u(t) − α(τ )y(t, τ ), u(t) − y(t, τ ) + y ∗ (t, τ ) − u∗ (t), u(t) − y(t, τ ) = 0, d(u∗ (t) − y ∗ (t, τ )) ∗ h(t) , u (t) − y ∗ (t, τ ) + γ(t) F2 (u∗ (t)) − F2 (y ∗ (t, τ )), dt u∗ (t) − y ∗ (t, τ ) + α(t)u∗ (t) − α(τ )y ∗ (t, τ ), u∗ (t) − y ∗ (t, τ ) + u(t)−y(t, τ ), u∗ (t) − y ∗ (t, τ ) = Cho nên, ˜ τ) dR(t, ˜ τ) ≤ +2γ(t)α(τ )R(t, dt γ(t)[h(t)g( y(t, τ ) ) + |α(t) − α(τ )| y(t, τ ) ] u(t) − y(t, τ ) + γ(t)[h(t)g( y ∗ (t, τ ) ) + |α(t) − α(τ )| y ∗ (t, τ ) ] u∗ (t) − y ∗ (t, τ ) Vì vậy, ˜ (t, τ ) dR ˜ (t, τ ) , Dγ (t) [h (t) + |α (t) − α (τ )|] − 2˜ α (t) R dt α ˜ (t) = γ (t) α (τ ) , D = max {g (d2 ) (d1 + d2 ) , d2 } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Khơng khó để kiểm tra ˜ (τ, τ ) R R1 (τ ) + R2 (τ ) τ R1 (τ ) = D γ (t) h (t)ξ (t) dt/ξ (τ ) t0 τ γ (t) α (t) (t − τ )ξ (t) dt/ξ (τ ) R2 (τ ) = D t0 s ξ (s) = exp α ˜ (t) dt t0 Dẫn đến, limt→+∞ R1 (τ ) = limt→+∞ R2 (τ ) = Vì x0 − u(τ ) ≤ x0 − xα (τ ) + xα (τ ) − y(τ, τ ) + y(τ, τ ) − u(τ ) , limτ →+∞ u(τ ) = x0 Định lý chứng minh Chú ý 2.1 Vấn đề tồn nghiệm (2.17) (2.19) suy từ [3],[4] h(t) [5], Fi liên tục Lipschitz t ≥ t0 2.3 Hiệu chỉnh liên tục với xấp xỉ hữu hạn chiều Xét hệ toán hữu hạn chiều dun (t) h(t) + γ(t) F1,n (un (t)) + α(t)un (t) − u∗n (t) = θ, dt du∗n (t) h(t) + γ(t) F2,n (u∗n (t)) + α(t)u∗n (t) + un (t) − fn (t) = θ, dt un (t0 ) = Pn u0 , u∗n (t0 ) = Pn u∗0 , h(t) h(t) h(t) h(t) (2.22) Ở F1,n = Pn∗ F1 Pn , F2,n = Pn F2 Pn∗ , fn (t) = Pn f (t), Pn phép chiếu tuyến tính từ H lên khơng gian hữu hạn chiều Hn cho Hn ⊂ Hn+1 , Pn x → x, n → ∞ với x ∈ H , Pn∗ đối ngẫu Pn với Pn ≤ c˜ = số, với n, un (t), u∗n (t) : [t0 , +∞) → Hn Để chứng minh lim un (t) = x0 , n,t→+∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 sử dụng toán hữu hạn chiều dyn (t, τ ) + γ(t) F1,n (yn (t, τ )) + α(τ )yn (t, τ ) − yn∗ (t, τ ) = θ, dt ∗ dyn (t, τ ) + γ(t) F2,n (yn∗ (t, τ )) + α(τ )yn∗ (t, τ ) + yn (t, τ ) − fn = θ, dt yn (t0 , τ ) = Pn u0 , yn∗ (t0 , τ ) = Pn u∗0 , ∀t ≥ t0 , (2.23) ∗ ∗ phụ thuộc tham số τ ≥ t0 , F1,n = Pn F1 Pn , F2,n = Pn F2 Pn , fn = Pn f Chúng ta có kết Định lý 2.3 Cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) toán (2.22) (2.23) có nghiệm thuộc lớp C [t0 , +∞) với u0 , u∗0 ∈ H un (t) , u∗n (t) ≤ d3 , d3 > 0, t ≥ t0 (ii) hàm α(t), h(t) γ(t) thỏa mãn điều kiện (iii) Fi , i = 1, 2, toán tử khả vi Fréchet với đạo hàm liên tục Lipschitz (cùng chung số Lipschitz L), tồn x1 x2 cho F1 (x0 )∗ x1 + x2 = x0 , F2 (x∗0 )∗ x2 − x1 = x∗0 , L maxi=1,2 xi /2 < 1, lim ξn /α(τ ) = 0, n,τ →+∞ ξn = max{ (I−Pn )x0 , (I−Pn∗ )F1 (x0 ) , (I−Pn )f , (I−Pn∗ )x1 , (I−Pn )x2 } Khi đó, limn,τ →+∞ un (τ ) = x0 Chứng minh Nhắc lại toán hữu hạn chiều n n x + F2,α F1,α (x) = fn , x ∈ Hn , n n F2,α = F2,n +α(τ )I, F1,α = F1,n +α(τ )I , có nghiệm xα,n (τ ) ∗ Nghiệm xα,n (τ ) nghiệm F1,n (xα,n (τ )) + α(τ )xα,n (τ ) − x∗α,n (τ ) = θ, F2,n (x∗α,n (τ )) + α(τ )x∗α,n (τ ) + xα,n (τ ) − fn = θ, với điều kiện (iii) cộng với limτ →+∞ α(τ ) = ta có lim xα,n (τ ) = x0 , lim x∗α,n (τ ) = x∗0 n,τ →+∞ n,τ →+∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.24) 27 (xem [11]) Đặt r˜n (t, τ ) = r˜1,n (t, τ ) + r˜2,n (t, τ ) , r˜1,n (t, τ ) = yn (t, τ ) − xα,n (τ ) r˜2,n (t, τ ) = yn∗ (t, τ ) − x∗α,n (τ ) , , Từ (2.23)và (2.24) suy d(yn (t, τ ) − xα,n (τ )) ,yn (t, τ ) − xα,n (τ ) + γ(t) F1,n (yn (t, τ )) dt −F1,n (xα,n (τ )), yn (t, τ ) − xα,n (τ ) + α(τ )˜ r1,n (t, τ ) + x∗α,n (τ ) − yn∗ (t, τ ), yn (t, τ ) − xα,n (τ ) = 0, d(yn∗ (t, τ ) − x∗α,n (τ )) ∗ ,yn (t, τ ) − x∗α,n (τ ) + γ(t) F2,n (yn∗ (t, τ )) dt −F2,n (x∗α,n (τ )), yn∗ (t, τ ) − x∗α,n (τ ) + α(τ )˜ r2,n (t, τ ) + xα,n (τ ) − yn (t, τ ), yn∗ (t, τ ) − x∗α,n (τ ) = Do đó, d˜ rn (t, τ ) + 2γ(t)α(τ )˜ rn (t, τ ) ≤ dt Cho nên, t r˜n (t, τ ) ≤ r˜n (t0 , τ ) exp[−2α(τ ) γ(t)dt] t0 với r˜n (t0 , τ ) = yn (t0 , τ ) − xα,n (τ ) + yn∗ (t0 , τ ) − x∗α,n (τ ) ≤ 2c[ y(t0 , τ ) + xα (τ ) ≤ 2c[ u0 + u∗0 + x0 + y ∗ (t0 , τ ) + x∗α (τ ) ] + F1 (x0 ) ] Vì vậy, lim r˜n (τ, τ ) = n,τ →+∞ Cho nên, lim yn (τ, τ ) = x0 , τ →+∞ tồn số dương d4 cho yn (t, τ ) , yn∗ (t, τ ) ≤ d4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Tiếp theo, đặt ˜ n (t, τ ) = R ˜ 1,n (t, τ ) + R ˜ 2,n (t, τ ), R ˜ 1,n (t, τ ) = un (t) − yn (t, τ ) , R ˜ 2,n (t, τ ) = u∗n (t) − yn∗ (t, τ ) R Khi đó, từ (2.22) (2.23) ta có d (un (t) − yn (t, τ )) h(t) , un (t) − yn (t, τ ) + γ (t) F1,n (un (t)) − F1,n (yn (t, τ )) , dt un (t) − yn (t, τ ) + α (t) un (t) − α (τ ) yn (t, τ ) , un (t) − yn (t, τ ) + yn∗ (t, τ ) − u∗n (t) , un (t) − yn (t, τ ) ] = 0, d (u∗n (t) − yn∗ (t, τ )) ∗ h(t) , un (t) − yn∗ (t, τ ) + γ (t) F2,n (u∗n (t)) − F2,n (yn∗ (t, τ )) , dt u∗n (t) − yn∗ (t, τ ) + α (t) u∗n (t) − α (τ ) yn∗ (t, τ ) , u∗n (t) − yn∗ (t, τ ) + un (t) − yn (t, τ ) , u∗n (t) − yn∗ (t, τ ) ] = Vì vậy, ˜ n (t, τ ) dR ˜ n (t, τ ) + 2γ (t) α (τ ) R dt γ (t) [h (t) g ( yn (t, τ ) ) + |α (t) − α (τ )| y (t, τ ) ] un (t) − yn (t, τ ) + γ (t) [h (t) g ( yn∗ (t, τ ) ) + |α (t) − α (τ )| yn∗ (t, τ ) ] u∗n (t) − yn∗ (t, τ ) Suy ra, ˜ n (t, τ ) dR ˜ n (t, τ ), ≤ D1 γ(t)[h(t) + |α(t) − α(τ )|] − 2˜ α(t)R dt α ˜ (t) = γ(t)α(τ ), D1 = max{g(d4 )(d3 + d4 ), d4 } Bằng lập luận chứng minh Định lý 2.2, ta nhận ˜ n (τ, τ ) ≤ Rn (τ ) + Rn (τ ) R τ R1n (τ ) = D1 γ(t)h(t)ξ(t)dt/ξ(τ ), t0 τ R2n (τ ) = D1 γ(t)α (t)(t − τ )ξ(t)dt/ξ(τ ), t0 s ξ(s) = exp( α ˜ (t)dt t0 Do đó, limn,τ →+∞ R1n (τ ) = limn,τ →+∞ R2n (τ ) = Vì x0 − un (τ ) ≤ x0 − xα,n (τ ) + xα,n (τ ) − yn (τ, τ ) + yn (τ, τ ) − un (τ ) , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 x0 − xα,n (τ ) → suy từ điều kiện (iii) định lý (xem [1], [11]) Khi limn,τ →+∞ u(τ ) = x0 Định lý chứng minh Ví dụ 2.1 Xét ví dụ minh họa Cho F1 , F2 xấp xỉ h(t) F1 = −1 + 1+t h(t) , F2 −1 1 + 1+t = 1 T f = (0; 2)T xấp xỉ fδ(t) = ( 1+t ; + 1+t ) Khi đó, h(t) = → 0, với t → +∞ Xét trường hợp γ(t) ≡ lược đồ cho δ(t) = 1+t (2,1) có dạng u1n+1 = u1n − τn (1 + )u1n − u2n + αn u1n − yn1 , + tn u2n+1 = u2n − τn u1n + αn u2n − yn2 , yn+1 = yn1 − τn −yn2 + αn yn1 + u1n − yn+1 = yn2 − τn u2n + yn1 + (1 + , + tn 1 yn2 αn yn2 − (2 + ) , + tn + tn u∗ (t) thay y(t) = (y (t), y (t))T Nghiệm xác (1, a) với a số Dễ dàng kiểm tra nghiệm x0 = (1, 1) thỏa mãn (1.3) Để lập trình, ta đưa trình dạng zn+1 = zn − τn [An (zn ) + αn zn − fn ], z0 ∈ R4    An =   1+tn 1+ 1  −1 −1 0 −1   ,z = 0 −1  n 1 1 + 1+t n   u1n  2 un    , fn  yn  yn2       =   1+tn  + 1+t n Các xấp xỉ nghiệm tính tốn với tn = 100n, τn = (1 + 100n)−1/2 , αn = (1 + 100n)−1/4 (xem [2]),và z0 = (2; 2; 0.5; 0.5) kết tính tốn u320 = (1.0335417312; 1.0344848263) Phụ lục Nếu điều kiện (iii) Định lý 2.3 limτ →+∞ α(τ ) = thỏa mãn, limn,τ →+∞ xα,n (τ ) = x0 Chứng minh Đặt B = x0,n − xα,n (τ ) + x∗0,n − x∗α,n (τ ) , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 x0,n = Pn x0 , x∗0,n = Pn∗ x∗0 Từ (1.1), (2.24), tính đơn điệu Fi,n , i = 1, 2, x0,n + Pn F2 (x∗0 ) = fn suy B = x0,n , x0,n − xα,n (τ ) + x∗0,n , x∗0,n − x∗α,n (τ ) + α(τ ) x∗α,n (τ ) − F1,n (xα,n (τ )) , xα,n (τ ) − x0,n + fn − xα,n (τ ) − F2,n x∗α,n (τ ) , x∗α,n (τ ) − x∗0,n = x0 , x0,n − xα,n (τ ) + x∗0 , x∗0,n − x∗α,n (τ ) + α(τ ) x∗α,n (τ ) − x∗0,n + P∗n x∗0 − F1,n (xα,n (τ )) , xα,n (τ ) − x0,n + x0,n − xα,n (τ ) + Pn F2 (x∗0 ) − F2,n x∗α,n (τ ) , x∗α,n (τ ) − x∗0,n x0 , x0,n − xα,n (τ ) + x∗0 , x∗0,n − x∗α,n (τ ) [ F1 (x0 ) − F1 (x0,n ) , xα,n (τ ) − x0,n + α (τ ) + F2 (x∗0 ) − F2 x∗0,n , x∗α,n (τ ) − x∗0,n ≤ x0 , x0,n − xα,n (τ ) + x∗0 , x∗0,n − x∗α,n (τ ) γn C1 xα,n (τ ) − x0,n + C2 x∗α,n (τ ) − x∗0,n + α(τ ) , Ci > 0, i = 1, Vì vậy, {xα,n (τ )} {x∗α,n (τ )} giới nội, n, τ → +∞ γn /α(τ ) → Mặt khác, x0 , x0,n − xα,n (τ ) ≤ γn x0 + x0 , x0 − xα,n (τ ) ≤O(γn ) + x1 , F1 (x0 ) − F1 (xα,n (τ ) + x2 , x0 − xα,n (τ ) ˜ x1 L + x0,n − xα,n (τ ) Bằng phương pháp tương tự, ta có x∗0 , x∗0,n − x∗α,n (τ ) ≤O(γn ) + x2 , F2 (x∗0 ) − F2 (x∗α,n (τ )) − x1 , x∗0 − x∗α,n (τ ) ˜ x2 L + x∗0,n − x∗α,n (τ ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Nhờ x1 , F1 (x0 ) − F1 (xα,n (τ )) = x1 , x∗0 − x∗α,n (τ ) + x1 , x∗α,n (τ ) − F1,n (xα,n (τ )) − (I − Pn )x1 , F1 (xα,n (τ )) ≤ O γn + x1 , x∗0 − x∗α,n (τ ) + α(τ ) x1 xα,n (τ ) , x2 , F2 (x∗0 ) − F2 (x∗α,n (τ )) = x2 , −x0 + xα,n (τ ) + x2 , f − fn + x2 , fn − xα,n (τ ) − F2,n (x∗α,n (τ )) − (I − Pn∗ )x2 , F2 (x∗α,n (τ )) ≤ O γn − x2 , x0 − xα,n (τ ) + α(τ ) x2 x∗α,n (τ ) , ta nhận L x1 1− xα,n (τ ) − x0,n L x2 + 1− 2 L x1 ≤ 1− x∗α,n (τ ) − x∗0,n xα,n (τ ) − x0,n ≤ O (γn + α(τ ) + γn /α(τ ) Do đó, lim xα,n (τ ) = x0 , n,τ →+∞ lim x∗ (τ ) n,τ →+∞ α,n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên = x∗0 http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 KẾT LUẬN Luận văn trình bày phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình tốn tử khơng chỉnh loại Hammerstein Sự tồn nghiệm phương trình chứa tốn tử gián đoạn, phương pháp hiệu chỉnh, tốc độ hội tụ xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương trình hiệu chỉnh mơ tả phương trình Hammerstein Phương trình tích phân dạng x + F2 F1 (x) = f (1.1) lần đưa nhà toán học Đức A Hammerstein Sau đó, lý thuyết chung tồn nghiệm cho phương trình tốn tử chứng minh H Amann, H Bresiz, F Browder, D deFigueiredo, C Gupta, W Petryshyn L Tartar Phương trình (1.1) đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính, tốn điều khiển tối ưu, học, đặc biệt, việc nghiên cứu toán phát sinh từ kỹ thuật Do nhiều tốn thực tế lý thuyết hệ thống có rơle phi tuyến lý thuyết hệ thống với cấu trúc thay đổi dẫn đến việc giải phương trình vi tích phân với phần phi tuyến gián đoạn, tốn cịn quan tâm nhiều khía cạnh tồn nghiệm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Tài liệu tham khảo [1] A.S Antipin Minimization of convex functions on convex sets by mean of differential equations, Differential Equations, Belorussian, 1994 T.30 C 1365-1375 (in Russian) [2] A Bakushinsky and A Goncharsky Ill-posed problems: Theory and Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London 1994 [3] J.Botle Continuous gradient projection method in Hilbert spaces, J Optim Theory and Appl., 2003 V 119 P 235-259 [4] W.E Fitzgibbon, Weak continuous accretive operators, Bull.AMS., 1973 V 79 P 473-474 [5] T Kato Nonlinear semigroups and evolution equations, J Math Soc Japan, 1967.V.4 P 508-520 [6] N guyenBuong , DangT hiT haiHa2 Continuous regularization method for ill-posed operator equations of Hammerstein type, 2007 T.23, S.2, 99-109 [7] Nguyen Buong On solutions of the equations of Hammerstein type in Banach spaces, Zh Vychisl Matematiki i Matem Fiziki, 1985 T 25 C 1256-1280 (in Russian) [8] Nguyen Buong On solution of Hammerstein’s equation with monotone perturbations, Vietnamese Math Journal, 1985.T.3 Tr 28-32 (in Vietnamese) [9] Nguyen Buong Convergence rates in regularization for Hammerstein equations, Zh Vychisl Matematiki i Matem Fiziki, 1999.T.39 P 3-7 [10] Nguyen Buong Convergence rates in regularization for the case of monotone perturbations, Ukrainian Math Zh., 2000 T.52 P 285-293 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 [11] Nguyen Buong Solution of the Hammerstein equations under nonmonotone perturbations, New Zealand J of Math., 2004.V.33 P 1-11 [12] A.G Ramm Dynamical systems method for ill-posed equations with monotone operators, J Math Anal Appl., 2001 V 258 P 448-456 [13] A.G Ramm Global convergence for ill-posed equations with monotone operator: the dynamical systems method, J.Phys A, 2003 V 36 L248-L254 [14] A.G Ramm Dynamical systems method for solving nonlinear operator equations, Int J Appl.Math Sci., 2004 V P 97-110 [15] A.G Ramm Dynamical systems method (DSM) for nonlinear equation in Banach spaces, Proc AMS., 2006 V 134 P 1059-1063 [16] I.P Ryazantseva On several mehtods of continuous regularization for monotone equations, Zh Vychisl Matematiki i Matem Fiziki, 1994 V 24 C 1572-1576 (in Russian) [17] I.P Ryazantseva A first order continuous regularization method for monotone variational inequalities in Banach spaces, Differential Equations, Belorussian, 2003 T 39 C 113-117 (in Russian) [18] I.P Ryazantseva A first order continuous and iterative methods with generalized projector for monotone variational inequalities, Zh Vychisl Matematiki i Matem Fiziki, 2005 T 45 C 400-410 (in Russian) [19] D Vaclav, Monotone Operators and Applications in Control and Network Theory, Ams.-New York, Elsevier, 1979 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Chương Phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình tốn tử loại Hammerstein Trong chương chúng tơi trình bày hai vấn đề: Hiệu chỉnh liên tục cho phương trình với tốn tử đơn điệu [12] cho phương. .. Phương trình tốn tử loại Hammerstein 16 Phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình tốn tử loại Hammerstein 2.1 19 Hiệu chỉnh liên tục cho tốn khơng chỉnh với tốn tử đơn điệu ... LUẬN Luận văn trình bày phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình tốn tử khơng chỉnh loại Hammerstein Sự tồn nghiệm phương trình chứa toán tử gián đoạn, phương pháp hiệu chỉnh, tốc độ