Phép chiếu và áp dụng giải bài toán tìm nghiệm chung giữa ánh xạ không giãn và bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————— TRẦN QUANG HUY PHÉP CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TỐN TÌM NGHIỆM CHUNG GIỮA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN VÀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN QUANG HUY PHÉP CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TỐN TÌM NGHIỆM CHUNG GIỮA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN VÀ BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ĐỨC HIỀN Đà Nẵng - Năm 2021 i LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày đề tài, cơng trình nghiên cứu riêng cộng Các kết đề tài chưa công bố cơng trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Nhóm tác giả TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: PHÉP CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TỐN TÌM NGHIỆM CHUNG GIỮA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN VÀ BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Ngành: Tốn giải tích Khóa: K39 Họ tên học viên: Trần Quang Huy Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Đức Hiền Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng Tóm tắt *Những kết luận văn: - Đề tài trình bày hệ thống kiến thức sở giải tích lồi nhằm phục vụ cho cơng tác nghiên cứu - Đề tài trình bày hệ thống toán bất đẳng thức biên phân mối liên hệ toán khác toán cân bằng, toán tối ưu, toán điểm bất động - Đề xuất phương pháp chiếu lần để tìm nghiệm gần cho toán cân *Ý nghĩa nghĩa khoa học thực tiễn luận văn - Đề tài thực dựa nguồn tài liệu tham khảo phong phú gồm 13 tài liệu tham khảo, 02 tài liệu tiếng Việt, với kiến thức trình bày nghiên cứu cách tương đối đầy đủ kĩ lưỡng phản ánh sở khoa học đề tài - Các nội dung trình bày luận văn, cụ thể thông qua tập ví dụ ứng dụng phần làm bật vấn đề nghiên cứu * Hướng nghiên cứu tiếp đề tài - Mở rộng nghiên cứu giải toán cân hai cấp - Mở rộng hướng nghiên cứu cho tốn tìm nghiệm chung toán cân họ hữu hạn ánh xạ không giãn, không điều kiện liên tục kiểu Lipschitz song hàm f Xác nhận giáo viên hướng dẫn TS Nguyễn Đức Hiền Người thực đề tài Trần Quang Huy INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Thesis title: THE PROJECTION AND THE APPLICATION TO THE PROBLEM OF FINDING A COMMON POINT OF A VARIATIONAL INEQUALITIES AND A FINITE SYSTEM OF NONEXPANSIVE MAPPINGS Major: Analysis Code: K39 Name of Master student: Tran Quang Huy Name of Scientific Supervisor: Dr Nguyen Duc Hien Educational Institution: The University of DaNang, University of Uducation Summary * Content of thesis: - Thesis presented the basic knowledge system about convex analysis to serve the research work - Thesis presented a systematic presentation of the variational inequalities problems and the relationship between other problems such as equilibrium problem, optimization problem, fixed point problem - Proposed one-time projection method to find approximate solution for equilibrium problem * Sciencetific and pratical meaning of thesis: - The thesis is based on a rich source of references including 13 references, of which 02 are in Vietnamese, along with the knowledge that has been presented and researched in a relatively complete and accurate manner carefully reflected the scientific basis of the topic - The content presented in the thesis, specifically through exercises and application examples, also partly highlights the research problem * The next research direction of thesis: - Expanding the study of solving two-level equilibrium problems - Extend this research direction to the problem of finding a common solution between the equilibrium problem and the finite family of Lipschitz-type continuous nonexpanding and unconditional mappings of bifunctions f Signature of Supervisor TS Nguyen Duc Hien Researcher Tran Quang Huy iv LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình tác giả làm đề tài này, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp q báu thầy Khoa Khoa học Tự nhiên, Viện nghiên cứu phát triển cơng nghệ cao, Phịng quản lý Khoa học Trường đại học Duy Tân Đà Nẵng, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian thực đề tài Nhóm tác giả v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập số tự nhiên R tập số thực R = R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng Rs không gian Euclide thực s chiều x, y = xT y tích vơ hướng hai véc tơ x y x = chuẩn véc tơ x x, x epi f đồ thị hàm số f ∂ϕ(x) vi phân ϕ x vi PC (x) hình chiếu x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến ngồi C x EP(C, f ) toán cân VIP(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) Sol(C, F ) tập nghiệm toán VIP(C, F ) u.s.c nửa liên tục l.s.c nửa liên tục vii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn iv Danh mục ký hiệu chữ viết tắt v MỞ ĐẦU Chương TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tiền Hilbert 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Một số tính chất 1.2 Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 12 Chương PHÉP CHIẾU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 18 2.1 Định nghĩa ví dụ 18 2.2 Một số tính chất phép chiếu 20 viii 2.3 Một số ví dụ phép chiếu 22 2.3.1 Chiếu xuống hình hộp chữ nhật 22 2.3.2 Chiếu xuống hình cầu đóng 22 2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân 23 2.5 Những trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân 24 2.5.1 Bài toán tối ưu 24 2.5.2 Bài toán bù phi tuyến 25 2.5.3 Bài toán cân 26 2.5.4 Bài toán điểm bất động 27 2.6 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 27 2.7 Kết luận 28 Chương PHƯƠNG PHÁP MỘT LẦN CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 29 3.1 Tổng quan số kết quan trọng 29 3.2 Phát biểu toán 32 3.3 Một số giả thiết kỹ thuật chuẩn bị 33 47 KẾT LUẬN CHUNG 3.7 Kết đạt Đề tài đạt mục tiêu đề với kết sau: Bằng cách kết hợp kỹ thuật chiếu, vi phân, phương pháp chiếu, đề xuất thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ không giãn Kết thể Bổ đề 3.4.1 Định lý hội tụ 3.4.2 3.8 Kiến nghị số hướng nghiên cứu Thời gian đến mở rộng nghiên cứu giải toán cân hai cấp Mở rộng hướng nghiên cứu cho toán tìm nghiệm chung tốn cân họ hữu hạn ánh xạ không gian, không cần điệu kiện liên tục kiểu Lipschitz song hàm f 48 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU Nguyen Duc Hien and Ngo Xuan Phuong (2016), On A System Of Variational Inequalities And A Quasi-Nonexpansive Mapping, Far East Journal of Applied Mathematics Volume 95, Number 5, Pages 311328 P.N Anh, N.D Hien, N.X Phuong (2019), A parallel subgradient method extended to variational inequalities involving nonexpansive mappings, Applicable Analysis, doi/full/10.1080/00036811.2019.1584288 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] L D Mưu (1998), Nhập Môn Các Phương Pháp Tối Ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] H Tụy (2003), Hàm Thực Và Giải Tích Hàm, Viện toán học, Hà Nội Tiếng Anh [3] P.N Anh, N.D lel subgradient ties involving Hien, method N.X Phuong (2019), to variational inequali- mappings, Applicable Analysis, extended nonexpansive A paral- doi/full/10.1080/00036811.2019.1584288 [4] G.M Korpelevich, The extragradient method for finding saddle points and other problems, Ekon Mat Metody, 12 (1976), pp 747-756 [5] Combettes., P.L.: Quasi-Fejérian analysis of some optimization algorithms In: Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and Their Applications Studies in Computational Mathematics, North-Holland, Amsterdam, 115-152 (2001) [6] Ermoliev, Y.M.: On the method of generalized stochastic gradients and quasi-Fejér sequences Cybern 5, 208-220 (1969) [7] Iusem, A.N., Svaiter, B.F., Teboulle, M.: Entropy-like proximal methods in convex programming Math Oper Res 19, 790-814 (1994) [8] Korpelevich, G.M.: The extragradient method for finding saddle points and other problems Ekon Mat Metody 12, 747-756 (1976) 50 [9] Maingés, P.E.: A hybrid extragradient-viscosity method for monotone operators and fixed point problems SIAM J Control Optim 47, 14991515 (2008) [10] Nadezhkina, N., Takahashi, W.: Strong convergence theorem by a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipschitz-continuous monotone mappings SIAM Optim 16, 1230-1241 (2006) [11] Schu, J.: Weak and strong conergence to fixed points of asymptotically nonexpansive mappings Bull Australian Math Soc 43, 153-159 (1991) point in Hilbert space J Math Anal Appl 331(1), 506-515 (2007) [12] Xu, H.K.: Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings Math Anal Appl 298, 279-291 (2004) [13] Alber, Y., Ryazantseva, I.: Nonlinear ill-posed problems of monotone type Springer, Dordrecht: Academic Press (2006) ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN Họ tên học viên: Trần Quang Huy Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Khóa: K39 Tên đề tài luận văn: PHÉP CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TỐN TÌM NGHIỆM CHUNG GIỮA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN VÀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ĐỨC HIỀN Ngày bảo vệ luận văn: 28 tháng 11 năm 2021 Sau tiếp thu ý kiến Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 28/11/2021, chúng tơi giải trình số nội dung sau: 1.Những điểm bổ sung, sửa chữa: - Chỉnh sữa sai sót câu chữ, lỗi tả, lỗi đánh máy luận văn - Chỉnh sữa lỗi dịch thuật Chương III Những điểm bảo lưu ý kiến, không sửa chữa, điều chỉnh (nếu có) lý sau: - Khơng Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021 Cán hướng dẫn xác nhận Học viên - Đã kiểm tra luận văn lỗi sau chỉnh sửa - Đã kiểm tra thông tin luận văn tiếng Việt tiếng Anh TS.Nguyễn Đức Hiền Trần Quang Huy Xác nhận BCN Khoa Xác nhận luận văn sau chỉnh sửa đồng ý cho học viên nộp lưu chiểu ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ SƠ HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Học viên: Trần Quang Huy STT Biên Hội đồng  Bảng điểm học viên cao học  Lý lịch khoa học học viên  Biên kiểm phiếu  Phiếu ghi nội dung câu hỏi trả lời học viên  Nhận xét  Phiếu chấm điểm  HỌ VÀ TÊN TRÁCH NHIỆM TRONG HỘI ĐỒNG NHẬN XÉT Bản nhận xét Phiếu điểm Chủ tịch HD X X TS Phạm Quý Mười TS Nguyễn Thị Thùy Dương Thư ký HD X X TS Lê Hải Trung Phản biện X X TS Nguyễn Văn Bồng Phản biện X X PGS.TS Kiều Phương Chi Uỷ viên X X TS Nguyễn Đức Hiền Người hướng dẫn Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021 Thư ký Hội đồng TS.Nguyễn Thị Thùy Dương ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Phép chiếu áp dụng giải toán tìm nghiệm chung ánh xạ khơng giãn toán bất đẳng thức biến phân Ngành: Toán giải tích Lớp K39.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2035/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Phạm Quý Mười Chủ tịch TS Nguyễn Thị Thùy Dương Thư ký TS Lê Hải Trung Phản biện TS Nguyễn Văn Bồng Phản biện PGS.TS Kiều Phương Chi a Thành viên có mặt: Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Luận văn đạt yêu cầu Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết chấm luận văn Hội đồng cấp thạc sĩ chuyên ngành Tốn Giải tích cho học viên b) u cầu chỉnh, sửa nội dung: - Sửa luận văn theo góp ý thành viên Hội đồng, đặc biệt nhận xét góp ý phản biện - Học viên chỉnh sửa luận văn, gửi file luận văn (PDF) tới phản biện qua email luận văn phải chấp nhận phản biện qua email c) Các ý kiến khác: Khơng có d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8.0 Bằng chữ: Tám chấm không 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG Nguyễn Thị Thùy Dương CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Phạm Quý Mười ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc CÂU HỎI VÀ TRẢ LỜI Kèm theo Biên họp Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Của học viên Trần Quang Huy Câu hỏi: Phương pháp extra-gradient lặp lại nhiều luận văn, em viết hóa có nghĩa gì? Phương pháp đóng góp nội dung trọng tâm luận văn? Trả lời: Hv trả lời chưa xác Nó có nghĩa phương pháp gradient tăng cường Hv trả lời được, cấu trúc luận văn hợp lí _ THƯ KÝ HỘI ĐỒNG TS Nguyễn Thị Thùy Dương CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN KIỂM PHIẾU CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Cho học viên: Trần Quang Huy Về đề tài: Phép chiếu áp dụng giải tốn tìm nghiệm chung ánh xạ khơng giãn toán bất đẳng thức biến phân Bảo vệ tại: Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Thời gian: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Tham gia kiểm phiếu gồm: TS Nguyễn Thị Thùy Dương Chủ tịch Hội đồng TS Phạm Quý Mười Uỷ viên Thư ký Kết kiểm phiếu: - Số phiếu phát ra:05 - Số phiếu thu về: 05 - Tổng số điểm: 40 - Điểm trung bình: 8.0 Đà Nẵng, ngày 28 tháng 11 năm 2021 THƯ KÝ HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TS.Nguyễn Thị Thùy Dương TS Phạm Quý Mười ... trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân 2.6 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương Phương pháp lần chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ không giãn 3.1 Tổng qua số... Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Nội dung Tổng quan lại phương pháp lần chiếu giải tốn tìm nghiệm chung tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Phương... SƯ PHẠM ——————————– TRẦN QUANG HUY PHÉP CHIẾU VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TỐN TÌM NGHIỆM CHUNG GIỮA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN VÀ BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN