Phẳng trong không gian ơclit

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ NGUYỄN THỊ HUYỀN PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ƠCLIT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Hà Nội – Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ NGUYỄN THỊ HUYỀN PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ƠCLIT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội – Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người tận tình hướng dẫn, giúp em hoàn thành khóa luận Xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội nhiệt tình giảng dạy, rèn luyện suốt thời gian em học tập trường Sau em xin cảm ơn người thân gia đình tất bạn bè động viên giúp đỡ em suốt thời gian qua Trong trình thực khóa luận, thời gian kinh nghiệm hạn chế nên đề tài không tránh khỏi sai sót định, kính mong giúp đỡ Thầy Cô để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận kết trình học tập, nghiên cứu nỗ lực thân với giúp đỡ Thầy cô, bạn sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn, bảo tận tình thầy Nguyễn Năng Tâm Khóa luận "Phẳng không gian Ơclit" trùng lặp với khóa luận khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian afin 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ 1.2 Độc lập afin 1.3 Mục tiêu afin tọa độ afin 1.3.1 Mục tiêu afin 1.3.2 Đổi mục tiêu afin 1.3.3 Tọa độ afin Phẳng không gian afin 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Phương trình tham số m- phẳng 1.4.3 Phương trình tổng quát m- phẳng Vị trí tương đối phẳng 10 1.5.1 Định nghĩa 10 1.5.2 Định lý 10 1.5.3 Định lý 11 1.4 1.5 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.5.4 Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán Định lý số chiều giao tổng hai phẳng 11 1.6 Bài tập 12 1.7 Một số tập 20 Kết luận 21 PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ƠCLIT 22 2.1 Không gian ơclit 22 2.1.1 Định nghĩa 22 2.1.2 Ví dụ 22 2.2 Mục tiêu trực chuẩn 23 2.3 Đổi mục tiêu trực chuẩn 23 2.4 Khoảng cách hai điểm 24 2.5 Phương trình phẳng không gian ơclit 25 2.5.1 Phương trình tham số m- phẳng 25 2.5.2 Phương trình tổng quát m- phẳng 26 Sự trực giao phẳng En 28 2.6.1 Định nghĩa 28 2.6.2 Định lý 28 2.6.3 Định lý 28 Khoảng cách hai phẳng 29 2.7.1 Định nghĩa 29 2.7.2 Định nghĩa đường vuông góc chung 29 2.7.3 Định lý 29 2.7.4 Định lý 30 2.6 2.7 Phẳng không gian Ơclit ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán 2.7.5 Định thức Gram 30 2.7.6 Khoảng cách từ điểm đến m- phẳng 31 2.7.7 Khoảng cách hai phẳng 33 2.7.8 Khoảng cách từ điểm đến siêu phẳng 34 Góc En 36 2.8.1 Góc hai vectơ 36 2.8.2 Góc hai đường thẳng 37 2.8.3 Góc hai siêu phẳng 38 2.8.4 Góc đường thẳng siêu phẳng 38 Thể tích En 38 2.9.1 Thể tích hộp 38 2.9.2 Thể tích đơn hình 39 2.10 Ánh xạ đẳng cự không gian ơclit 39 2.10.1 Định nghĩa 39 2.10.2 Định lý 39 2.10.3 Biến đổi đẳng cự 40 2.10.4 Phép dời hình phép phản chiếu 40 2.10.5 Phép đối xứng qua m- phẳng 41 2.10.6 Phép quay quanh (n - 2)- phẳng 41 2.8 2.9 2.10.7 Điểm bất động vectơ bất động phép biến đổi đẳng cự 42 2.11 Bài tập 44 2.12 Một số tập 58 Kết luận Phẳng không gian Ơclit 59 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 Phẳng không gian Ơclit iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán LỜI NÓI ĐẦU Lí chọn đề tài Toán học có vai trò quan trọng đời sống khoa học kĩ thuật Toán học tảng cho tất ngành khoa học tự nhiên khác Toán học giúp rèn luyện phương pháp suy luận, giải vấn đề Ở phổ thông, môn Toán môn quan trọng, hay, đòi hỏi nhiều tư duy, kĩ Đặc biệt môn Hình học Hình học môn xuất sớm, phận quan trọng tương đối khó chương trình toán phổ thông Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu hình học ơclit, chọn đề tài "Phẳng không gian Ơclit" làm khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu Khóa luận nhằm mục đích: giúp sinh viên có nhìn sâu không gian ơclit Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu phẳng không gian ơclit - Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học ơclit Nhiệm vụ nghiên cứu Phẳng không gian Ơclit Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán Nghiên cứu kiến thức không gian En Các phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu Cấu trúc luận văn Ngoài phần lời nói đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm có: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Phẳng không gian ơclit Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Phẳng không gian Ơclit Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán ⇒ x0j − x0j = kaj kaj + 2x0j x0j + x0j = ; j = 1, n ⇒ 2 Ta có n kai + x0i + a0 = I ∈ α ⇒ i=1 − ⇒k= n i=1 2ai x0i − 2a0 n a2i i=1 n Vậy M x01 , x02 , , x0n mà x0j = x0j +kaj = i=1 x0j − 2ai x0i + 2a0 n i=1 a2i aj Bài tập 2.11.4 Phép chiếu (afin) lên phẳng α theo phương → − → − → → − − α ⊕ β = En gọi phép chiếu vuông góc → β − α ⊥ β a) Chứng minh f phép chiếu vuông góc En lên m− − phẳng α với mục tiêu trực chuẩn {O; → e , → e , , − e→} α m ta có: Phẳng không gian Ơclit 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học −−→ OM = m Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán −−→ → − OM − ei → ei (trong M = f (M )) i=1 b) Cho f phép chiếu (afin) từ En lên phẳng α Chứng minh với cặp điểm M, N ∈ En M = f (M ), N = f (N ), điều kiện d (M , N ) ≤ d (M, N ) xảy f phép chiếu vuông góc Lời giải − → a) Trong En với sở trực chuẩn n − − − {→ e1 , , → en }, → u = − xi → ei i=1 − − ta có xi = → u → ei , i = 1, 2, , n − − Trong m- phẳng α chọn mục tiêu trực chuẩn {O; → e1 , → e2 , , − e→ m } → − −→, , → − Trong β chọn sở trực chuẩn {− em+1 en } để: − − −−→ → − n {O; → e1 , → e2 , , − e→ m , em+1 , , en } mục tiêu trực chuẩn E −−→ Lấy M ∈ E ⇒ OM = n n m − xi → ei = i=1 − xi → ei + i=1 n − xj → ej , j=m+1 −−→ − với xi = OM → ei , (i = 1, 2, , m) Khi m −−→ OM = i=1 − ei = xi → m −−→ → − OM − ei → ei i=1 b) Với mục tiêu −−→ OM = n i=1 Phẳng không gian Ơclit −−→ − xi → ei ; ON = n − yi → ei ; i=1 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học −−→ OM = m Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán −−→ − xi → ei ; ON = i=1 m − yi → ei i=1 n m (yi − xi )2 , nên (yi − xi ) d (M , N ) = d (M, N ) = i=1 i=1 d (M , N ) ≤ d (M, N ) Nếu f phép chiếu vuông góc khẳng định không Chẳng hạn, xét E2 , lấy đường thẳng ∆ có phương → − − − u chiếu lên ∆ theo phương → v (không vuông góc với → u ) Khi lấy −−→ → M N ⊥− v d (M , N ) ≥ d (M, N ) Bài tập 2.11.5 Tìm tập hợp điểm M không gian En a) Cách hai điểm cho trước b) Cách m điểm cho trước Lời giải − − a) Lấy mục tiêu trực chuẩn {O; → e1 , , → en }, cho A (a1 , , an ) B (b1 , , bn ) với A = B Với M (x1 , x2 , , xn ) ta có n n MA = MB ⇔ (xi − bi )2 (xi − ) = i=1 n i=1 n ⇔2 a2i − b2i = 0, (bi − ) xi + i=1 (1) i=1 n (bi − )2 > i=1 Phẳng không gian Ơclit 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán Khi (1) xác định siêu phẳng vuông góc với AB qua trung điểm AB b) Cho m điểm A0 , A1 , , Am−1 − − Chọn mục tiêu trực chuẩn {A0 ; → e1 , , → en } En , đó: Ai (ai1 , , ain ) , i = 1, 2, , m − Tập điểm cách {A0 , A1 , , Am } có tọa độ thỏa mãn n n a2ij = 0, i = 1, 2, , m − aij xj − j=1 (∗) j=1 − Nếu hạng (aij ) = m−1 tập điểm M cách A0 , A1 , , Am (n − m + 1)- phẳng có phương trình (*) − Nếu hạng (aij ) = r    a11   B=    a(m−1)1 a1n a(m−1)n n  a21j j=1 n a2(m−1)j         j=1 + Nếu hạng B > r quỹ tích tập rỗng + Nếu hạng B = r quỹ tích (n − r)- phẳng − − − Bài tập 2.11.6 Cho mục tiêu trực chuẩn {O; → e1 , → e2 , , → en }.Với − − − vectơ → u ta gọi α góc → u → e i i Chứng minh rằng: − a) → u = → − − − − u (→ e1 cos α1 + → e2 cos α2 + + → en cos αn ); b) cos2 α1 + cos2 α2 + + cos2 αn = Phẳng không gian Ơclit 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán Lời giải − a) Đặt → u = n − xi → ei Theo tập 2.11.4a) ta có: i=1 − − − xi = → u → ei = → u cos αi − Suy → u = → − − − − u (→ e1 cos α1 + → e2 cos α2 + + → en cos αn ) n − − b) Ta có → u = → u = → − ei cos αi i=1 − Vì từ → u = kéo theo cos2 α1 + cos2 α2 + + cos2 αn = − − − Bài tập 2.11.7 Trong En với mục tiêu trực chuẩn {O; → e1 , → e2 , , → en } −−→ − Gọi Pi điểm mà OPi = → ei , i = 1, 2, , n Tính thể tích (n − 1)- đơn hình S (P1 , P2 , , Pn ) Lời giải Ta có: −−→ −−→ −−→ − − P1 Pi = OPi − OP1 = → ei − a1 → e1 ; −−→ −−→ − − − − P1 Pi P1 Pj = (ai → ei − → e1 ) (aj → e j − a1 → e1 ) = a21 , i = j V (S) = (n − 1)! −−→ −−→ −−→ Gr P1 P2 , P1 P3 , , P1 Pn Trước hết tính −−→ −−→ −−→ Gr P1 P2 , P1 P3 , , P1 Pn a21 + a22 = a21 a21 a21 a21 + a23 a21 a21 a21 a21 + a2n Phẳng không gian Ơclit = Dn−1 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học a21 a22 a21 a21 + a23 a21 a21 a21 + a23 a21 a21 a21 a21 + a2n a21 a21 a21 + a2n a21 = = Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán a21 a21 a21 a21 a23 a21 0 a2n + + a22 Dn−2 = a21 a23 a2n + a22 Dn−2 Tiếp tục trình ta Dn−2 = a21 a24 a2n + a23 Dn−3 ⇒ Dn−1 = a21 a23 a2n + a21 a22 a24 a2n + a22 a23 Dn−3 Tiếp tục trình n a21 a22 a2i a2i+1 a2n Dn−1 = i=1 (kí hiệu a2i nghĩa không chứa a2i tích) Suy V (S) = (n − 1)! n a21 a22 a2i+1 a2n i=1 a21 + a22 1! −−→ ∗ Với n = P1 P2 = ∗ Với n = ta có: OH = a1 a2 a21 + a22 Phẳng không gian Ơclit , 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học P3 H = a23 Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán a21 a22 a21 a22 + a21 a23 + a22 a23 + = a1 + a22 a21 + a22 Khi P1 P P3 H = a21 + a22 S∆P1 P2 P3 = = (3 − 1)! a21 a22 + a21 a23 + a22 a23 a21 + a22 a21 a22 + a21 a23 + a22 a23 Bài tập 2.11.8 Cho f : En → En biến đổi afin không gian ơclit En Gọi A0 , A1 , , An n + điểm độc lập En Ai = f (Ai ) Chứng minh f ánh xạ đẳng cự d (Ai , Aj ) = d Ai , Aj với i, j = 0, 1, 2, , n Lời giải a) Điều kiện cần: f : En → En ánh xạ đẳng cự, f (Ai ) = Ai , i = 0, 1, 2, , n Suy f đẳng cự kéo theo d (Ai , Aj ) = d Ai , Aj với i, j = 0, 1, 2, , n Phẳng không gian Ơclit 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán b) Điều kiện đủ: Giả sử f : En → En biến đổi afin f (Ai ) = Ai , i = 0, 1, 2, , n; với điều kiện A0 , A1 , , An hệ điểm độc lập d (Ai , Aj ) = d Ai , Aj f biến đổi trực giao En Lấy M, N ∈ En f (M ) = M , f (N ) = N Khi n −−→ MN = −−−→ xi A0 Ai i=1 Nên n → − −−→ f MN = → − −−−→ xi f A0 Ai = −−→2 MN = −−−→ x2i A0 Ai + i=1 −−−→2 MN = −−−→ −−−→ xi A0 Ai = M N , i=1 i=1 n n n −−−→ −−−→ xi xj A0 Ai A0 Aj , i=j n −−−→ x2i A0 Ai i=1 n +2 −−−→ −−−→ xi xj A0 Ai A0 Aj , i=j Ta có: −−→2 Ai Aj = −−→2 Ai Aj = −−−→ A0 Aj − −−−→ A0 Aj − −−−→ −−−→ −−−→ A0 Ai = (A0 Aj )2 + (A0 Ai )2 − 2A0 Aj A0 Ai , −−−→ −−−→ −−−→ A0 Ai = A0 Aj + (A0 Ai )2 − 2A0 Aj A0 A0i , −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ Do d (Ai , Aj ) = d Ai , Aj ⇒ A0 Aj A0 Ai = A0 Aj A0 Ai −−−→ −−→ ⇒ M N = M N ⇒ d (M, N ) = d (M , N ) Suy f phép biến đổi đẳng cự En Bài tập 2.11.9 Trong En với mục tiêu trực chuẩn chọn, cho siêu phẳng có phương trình: n a1 x1 + a2 x2 + + an xn + a0 = với a2i = i=1 Phẳng không gian Ơclit 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán Hãy viết biểu thức tọa độ phép đối xứng qua siêu phẳng Lời giải Siêu phẳng α có phương trình n a2i = a1 x1 + a2 x2 + + an xn + a0 = với i=1 Giả sử M (x1 , x2 , , xn ), M đối xứng với M qua α M (x1 , x2 , , xn ) ⇒  −−−→  − − M M = k → n , → n (a1 , a2 , , an )  I trung điểm M M thuộc α   xi = xi + kai , i = 1, 2, , n ⇔  xI = xi + k , I xI , xI , , xI n i Do I ∈ (α) nên ta có: Phẳng không gian Ơclit 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học n i=1 Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán k −k x i + + a0 = ⇒ = 2 n x i + a0 i=1 n Suy ra: xi = xi − xi + a0 , i = 1, 2, , n i=1 Bài tập 2.11.10 Hai siêu phẳng α β gọi đối vuông góc → − − hai không gian bù vuông góc → α β vuông góc với Chứng minh tích hai phép đối xứng qua hai siêu phẳng α β phép đối xứng qua phẳng α ∩ β α β hai siêu phẳng đối vuông góc Lời giải Gọi γ = α ∩ β, M1 = Dα (M ) , M = Dβ (M1 ) −−−→ − − Siêu phẳng α có vectơ pháp tuyến → n ⇒ M M1 = k → n → − −−−→ → − Siêu phẳng β có vectơ pháp tuyến n ⇒ M1 M = t n −−−→ → − −−−→ −−−→ − Khi đó: M M = M M1 + M1 M = k → n + tn Phẳng không gian Ơclit 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán → − → − − − Ta có → n , n bù vuông góc với → α ∩ β suy M M cắt α ∩ β điểm P −−−→ −−−→ Trong ∆ M M1 M α β đối vuông góc nên M M1 ⊥M1 M Gọi I trung điểm M M1 J trung điểm M1 M −→ −−−→ −→ −−−→ Suy P J⊥M1 M IP ⊥ M M1 nên P trung điểm M M Do Dβ ◦ Dα phép đối xứng qua (n − 2) phẳng (α ∩ β) Ngược lại, giả sử Dβ ◦ Dα phép đối xứng qua (n − 2) phẳng (α ∩ β), ta phải chứng minh siêu phẳng α β đối xứng vuông góc Thật vậy, gọi β siêu phẳng qua α ∩ β β đối xứng vuông góc với α Theo cách chứng minh thuận suy Dβ ◦ Dα = Dβ ◦ Dα ⇒ β ≡ β Phẳng không gian Ơclit 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.12 Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán Một số tập Bài tập 2.12.1 Trong không gian afin An cho mục tiêu afin − − {O; → e1 , , → en } Chứng minh có cách định nghĩa tích vô hướng cho En trở thành không gian ơclit mà mục tiêu − − {O; → e1 , , → en } trở thành mục tiêu trực chuẩn Bài tập 2.12.2 Cho phương trình tham số phẳng α phương trình tổng quát phẳng β mục tiêu trực chuẩn không gian ơclit En Tìm điều kiện (về hệ số phương trình đó) để α β trực giao Bài tập 2.12.3 Đơn hình S (P0 , P1 , , Pm ) gọi vuông đỉnh P0 −−→ −−→ P0 Pi P0 Pj = với i = j Ta xét (m − 1)- đơn hình Si P0 , , Pi , , Pm kí hiệu Pi nghĩa bỏ điểm Pi tập hợp điểm (P0 , P1 , , Pm ) Chứng minh rằng: m V (Si ) V (S0 ) = i=1 Bài tập 2.12.4 Hai đơn hình n chiều S (A0 , A1 , , An ) S (A0 , A1 , , An ) gọi nếu: d (Ai , Aj ) = d Ai , Aj ; i, j = 0, 1, , n Chứng minh hai đơn hình có phép đẳng cự f : En → En cho f (Ai ) = Ai Phẳng không gian Ơclit 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán Bài tập 2.12.5 Cho phép đẳng cự f : En → En điểm bất động Chứng minh I điểm mà d (I, I ) ≤ d (M, M ) với điểm M ∈ En (ở ta kí hiệu I = f (I) M = f (M )) đường thẳng qua I I đường thẳng bất động Bài tập 2.12.6 Trong E3 cho ba đường thẳng qua điểm đôi vuông góc Gọi f phép đẳng cự biến tập ba đường thẳng thành Có phép khác vậy? Kết luận Trong chương ta trình bày phẳng không gian Ơclit trình bày số toán minh họa với lời giải cụ thể số tập tự luyện Phẳng không gian Ơclit 59 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán KẾT LUẬN Phần nội dung khóa luận này, em trình bày khái niệm "Phẳng không gian Ơclit" Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm số kiến thức Em hi vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề có liên quan tới không gian Ơclit thuận lợi Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi sai sót định Vì vậy, em kính mong Thầy Cô bạn thông cảm đóng góp ý kiến để em tích lũy nhiều kinh nghiệm Cuối lần em xin chân thành cảm ơn bảo hướng dẫn tận tình Thầy Cô tổ Hình học Trường đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm giúp em hoàn thành khóa luận Phẳng không gian Ơclit 60 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Hình học Afin Ơclit, NXB Giáo Dục, 1998 [2] Hà Trầm, Bài tập Hình học Afin Ơclit, NXB Đại học Sư phạm 2008 [3] Phạm Khắc Ban, Phạm Bình Đô, Bài tập Hình học Afin Ơclit, NXB Đại học Sư phạm 2008 Phẳng không gian Ơclit 61 ... sau Phẳng không gian Ơclit 21 Chương PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ƠCLIT Trong chương trình bày kiến thức phẳng không gian ơclit Những kiến thức chủ yếu lấy từ [1], [2], [3] 2.1 2.1.1 Không gian ơclit. .. nghĩa Không gian ơclit không gian afin liên kết với không gian vectơ ơclit hữu hạn chiều Không gian ơclit gọi n chiều kí hiệu En không gian vectơ ơclit liên kết với có chiều n Không gian ơclit. .. quát m- phẳng α Phẳng không gian Ơclit Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.5 1.5.1 Nguyễn Thị Huyền - K39 Khoa Toán Vị trí tương đối phẳng Định nghĩa Trong không gian afin An cho p- phẳng α q- phẳng