Phẳng trong không gian ơclit

Trong quá trình thực hiện khóa luận, do thời gian và kinh nghiệmcòn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót nhất định, kínhmong sự giúp đỡ của các Thầy Cô để đề tài được hoàn t

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS NguyễnNăng Tâm, người đã tận tình hướng dẫn, giúp em hoàn thành khóa luậnnày.

Xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô trong khoa Toántrường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy, rèn luyệntrong suốt thời gian em học tập tại trường

Sau cùng em xin cảm ơn những người thân trong gia đình cùng tất

cả các bạn bè đã động viên giúp đỡ em trong suốt thời gian qua

Trong quá trình thực hiện khóa luận, do thời gian và kinh nghiệmcòn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót nhất định, kínhmong sự giúp đỡ của các Thầy Cô để đề tài được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình học tập,nghiên cứu nỗ lực của bản thân cùng với sự giúp đỡ của các Thầy cô, cácbạn sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướngdẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm Khóa luận "Phẳngtrong không gian Ơclit" không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền

LỜI NÓI ĐẦU 1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian afin 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Ví dụ 4

1.2 Độc lập afin 4

1.3 Mục tiêu afin và tọa độ afin 5

1.3.1 Mục tiêu afin 5

1.3.2 Đổi mục tiêu afin 5

1.3.3 Tọa độ afin 6

1.4 Phẳng trong không gian afin 7

1.4.1 Định nghĩa 7

1.4.2 Phương trình tham số của m- phẳng 7

1.4.3 Phương trình tổng quát của m- phẳng 9

1.5 Vị trí tương đối của các phẳng 10

1.5.1 Định nghĩa 10

1.5.2 Định lý 10

1.5.4 Định lý về số chiều của giao và tổng của hai cái

phẳng 11

1.6 Bài tập 12

1.7 Một số bài tập 20

Kết luận 21 2 PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ƠCLIT 22 2.1 Không gian ơclit 22

2.1.1 Định nghĩa 22

2.1.2 Ví dụ 22

2.2 Mục tiêu trực chuẩn 23

2.3 Đổi mục tiêu trực chuẩn 23

2.4 Khoảng cách giữa hai điểm 24

2.5 Phương trình của phẳng trong không gian ơclit 25

2.5.1 Phương trình tham số của m- phẳng 25

2.5.2 Phương trình tổng quát của m- phẳng 26

2.6 Sự trực giao của các phẳng trong En 28

2.6.1 Định nghĩa 28

2.6.2 Định lý 28

2.6.3 Định lý 28

2.7 Khoảng cách giữa hai phẳng 29

2.7.1 Định nghĩa 29

2.7.2 Định nghĩa đường vuông góc chung 29

2.7.3 Định lý 29

2.7.4 Định lý 30

2.7.5 Định thức Gram 30

2.7.6 Khoảng cách từ một điểm đến một m- phẳng 31 2.7.7 Khoảng cách giữa hai phẳng 33

2.7.8 Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng 34 2.8 Góc trong En 36

2.8.1 Góc giữa hai vectơ 36

2.8.2 Góc giữa hai đường thẳng 37

2.8.3 Góc giữa hai siêu phẳng 38

2.8.4 Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng 38

2.9 Thể tích trong En 38

2.9.1 Thể tích của hộp 38

2.9.2 Thể tích của đơn hình 39

2.10 Ánh xạ đẳng cự của các không gian ơclit 39

2.10.1 Định nghĩa 39

2.10.2 Định lý 39

2.10.3 Biến đổi đẳng cự 40

2.10.4 Phép dời hình và phép phản chiếu 40

2.10.5 Phép đối xứng qua m- phẳng 41

2.10.6 Phép quay quanh (n - 2)- phẳng 41

2.10.7 Điểm bất động và vectơ bất động của phép biến đổi đẳng cự 42

2.11 Bài tập 44

2.12 Một số bài tập 58

KẾT LUẬN 60TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống và khoa học kĩ thuật.Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác.Toán học giúp chúng ta rèn luyện phương pháp suy luận, giải quyếtvấn đề

Ở phổ thông, môn Toán là một môn khá là quan trọng, khá hay,đòi hỏi nhiều tư duy, kĩ năng Đặc biệt là môn Hình học Hình học

là môn xuất hiện rất sớm, một bộ phận quan trọng và tương đối khótrong chương trình toán phổ thông

Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâuhơn nữa về hình học ơclit, tôi đã chọn đề tài "Phẳng trong không gianƠclit" làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục tiêu nghiên cứu

Khóa luận nhằm mục đích: giúp sinh viên có cái nhìn sâu hơn vềkhông gian ơclit

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu về các phẳng trong không gian ơclit

- Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học ơclit

Nghiên cứu kiến thức cơ bản trong không gian En

5 Các phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan đếnnội dung nghiên cứu

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần lời nói đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, cấutrúc luận văn gồm có:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

• Chương 2: Phẳng trong không gian ơclit

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viênNguyễn Thị Huyền

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng ta cần chú ý đến một số khái niệm cơbản về không gian afin Những kiến thức này chủ yếu được lấy từ [1],[2]

1.1 Không gian afin

K - không gian afin A ) Không gian vectơ liên kết V thường được kíhiệu là −→

A

Không gian afin A gọi là n chiều (kí hiệu dimA = n ) nếu dimV = n.Khi trường K là trường số thực R, ta nói A là không gian afin thực,khi K = C, ta nói A là không gian afin phức

1.1.2 Ví dụ

a) Không gian ơclit hai chiều E2 và ba chiều E3 đã học ở trườngphổ thông trung học là những không gian afin liên kết với không gianvectơ (tự do) hai chiều, ba chiều ở phổ thông trung học

b) Nếu V là một K - không gian vectơ và ánh xạ ϕ : V × V → Vcho bởi ϕ

1.2 Độc lập afin

Hệ m + 1 điểm A0, A1, , Am (m ≥ 1) của không gian afin

A gọi là độc lập nếu m vectơ −−−→

A0A1, −−−→

A0A2, , −−−→

A0Am của −→

A là hệvectơ độc lập tuyến tính Hệ gồm một điểm A0 bất kì ( tức trườnghợp m = 0 ) luôn được xem là độc lập

1.3 Mục tiêu afin và tọa độ afin

i của mục tiêu

1.3.2 Đổi mục tiêu afin

Trong không gian afin n chiều A cho hai mục tiêu afin: {O;−→e1, −→e

Biểu thức trên gọi là công thức đổi mục tiêu.

Gọi C = (Cij) là ma trận chuyển từ cơ sở ε sang cơ sở ε0 của khônggian −→

Trong không gian afin n chiều A cho mục tiêu afin {O;−→e1, −→e

2, , −→e

n}.Với mỗi điểm X ∈ A ta có vectơ −−→OX ∈ −→

A , và vì vậy có duy nhất nphần tử x1, x2, , xn của trường K sao cho

1.4 Phẳng trong không gian afin

1.4.1 Định nghĩa

Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ −→A Gọi I làmột điểm của A và −→α là một không gian vectơ con của −→

A Khi đótập hợp

1.4.2 Phương trình tham số của m- phẳng

Trong không gian afin An chọn mục tiêu afin {O; ε} Giả sử α làm- phẳng qua điểm I ∈ An và có phương là không gian vectơ con mchiều −→α của −→

An.Chọn trong −→α m vectơ độc lập tuyến tính −→a

1, −→a

2, , −a→

m Giả sửbiết tọa độ của vectơ −→a

i đối với cơ sở ε là −→a

Với trường hợp đường thẳng (m = 1) ta có hệ phương trình thamsố.

(2) xi = ait + bi, i = 1, 2, , n

Đó là phương trình của đường thẳng đi qua điểm I (b1, b2, , bn)

và có phương là không gian vectơ một chiều sinh bởi vectơ −→a =(a1, a2, , an)

Nếu các ai đều khác không, ta khử t từ hệ (2) sẽ được

và A = (aij) là ma trận n dòng m cột thì công thức (1) có thể viếtdưới dạng ma trận

x = At + b hạng A = m1.4.3 Phương trình tổng quát của m- phẳng

Trong không gian afin n chiều An cho mục tiêu afin {O; ε} Giả

sử α là m- phẳng đi qua điểm I và có phương là −→α Ta chọn trong

A Như vậy ta được mục tiêu {I, ε0}.Với mỗi điểm X ∈ An ta gọi (x1, x2, , xn) là tọa độ của X đốivới mục tiêu {O; ε} và gọi (x01, x02, , x0n) là tọa độ của X đối vớimục tiêu {I, ε0}

Ta có công thức đổi mục tiêu là:

1.5 Vị trí tương đối của các phẳng

β

c) Các phẳng α và β gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau

và không song song với nhau

d) Giao α ∩ β hiểu theo nghĩa thông thường của lí thuyết tập hợp

và gọi là giao của hai cái phẳngα và β

e) Tổng α + β là giao của tất cả các phẳng chứa α và β, α + β gọi

là tổng của hai cái phẳng α và β

1.5.3 Định lý

Hai phẳng α và β cắt nhau khi và chỉ khi với mọi điểm I ∈ α, mọiđiểm J ∈ β ta có −→

IJ ∈ −→α +−→β 1.5.4 Định lý về số chiều của giao và tổng của hai cái phẳng

∗ Định lý: Trong không gian afin An cho hai cái phẳng α và β cóphương lần lượt là −→α và −→β

∗ Định lý: Một siêu phẳng α và m- phẳng β trong không gian afin

An thì hoặc β song song với α hoặc cắt α theo một (m − 1)- phẳng:

1 ≤ m ≤ n − 1

A0) là một không gian afin trên trường K vì

nó thỏa mãn hai tiên đề sau, thật vậy:

ϕ (M, N ) = −→u , ϕ0(M0, N0) =−→

u0

⇒ ((M, M0), (N, N0)) 7→ (ϕ(M, N ), ϕ0(M0, N0))b) Tiên đề tam giác của phép cộng vectơ

∀ (M, M0) , (N, N0) , (P, P0) ∈ A × A0.Suy ra

A0) là một không gian afin trên trường K

Bài tập 1.6.2 Trong không gian ba chiều A3 cho mục tiêu afin{O; −→e1, −→e

Suy ra ε0 là một cơ sở của không gian afin A3.

Bài tập 1.6.3 Trong không gian afin A cho m- phẳng α và điểm

P /∈ α Chứng minh rằng có (m + 1)- phẳng duy nhất chứa α và P

Lời giải

Ta có α là m- phẳng đi qua (m + 1) điểm độc lập A0, A1, , Am

và điểm P /∈ α Gọi −→β là không gian vectơ (m + 1) chiều mà

β là (m + 1)- phẳng đi qua A0 có phương là−→

Bài tập 1.6.4 Trong không gian afin An cho mục tiêu {O; −→e

1, −→e

2, , −→e

n}cho các điểm Pi với −−→

OPi = ai.−→e

i (ai 6= 0) (i = 1, 2, , n) Chứngminh rằng n điểm P1, P2, , Pn độc lập và phương trình siêu phẳng

đi qua n điểm ấy có thể viết dưới dạng:

α0 sao cho N ⊂ α và N0 ⊂ α0.

Lời giảiKhông làm mất tính chất tổng quát ta có thể giả thiết:

Điều này trái với giả thiết

Suy ra hệ P0, P1, , Pm không độc lập (trái với giả thiết)

Trường hợp tổng số điểm trong N và N0 nhỏ hơn (m + 1) thì chứngminh hoàn toàn tương tự chỉ xét như trên các điểm trong N và N0

Bài tập 1.6.6 Cho hai siêu phẳng α và α0 có phương trình lần lượtlà:

a) Tìm điều kiện để α và α0 cắt nhau, để α và α0 song song, để α

và α0 chéo nhau, để α và α0 trùng nhau

b) Chứng minh rằng phương trình tổng quát của các siêu phẳng đi

M N ∈ −→α Đó là quan hệ tương đương Lớp tương đương chứa điểm

M kí hiệu là [M ] Tập hợp các lớp tương đương kí hiệu là A/−→α Kíhiệu −→

A /−→α là không gian vectơ thương của −→

A trên −→α Xét ánh xạ:

φ : A/−→α × A/−→α −→ −→

A /−→α([M ] , [N ]) 7→

h−−→

M N

i.Chứng tỏ rằng

A/−→α , φ,−→

A /−→α

là không gian afin

Bài tập 1.7.2 Trong không gian afin An với mục tiêu đã chọn cho

n điểm độc lập P1, P2, , Pn với Pj = (cj1, cj2, , cjn) Chứng minhrằng phương trình siêu phẳng đi qua n điểm đó có thể viết dưới dạng:

PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ƠCLIT

Trong chương này trình bày những kiến thức về phẳng trongkhông gian ơclit Những kiến thức này chủ yếu lấy từ [1], [2], [3]

2.1 Không gian ơclit

a) Không gian ơclit thông thường E3 học ở phổ thông

b) Mỗi không gian vectơ ơclit hữu hạn chiều với cấu trúc afin chínhtắc là một không gian ơclit, chẳng hạn như Rn.

c) Các không gian afin thực n chiều đều có thể trở thành khônggian ơclit n chiều bằng cách trang bị một tích vô hướng cho khônggian vectơ liên kết với không gian afin đã cho

d) Nếu E là không gian ơclit liên kết với −→E thì mỗi phẳng α của

nó cũng là không gian ơclit liên kết với −→α (trong −→α xét tích vô hướngcảm sinh từ tích vô hướng của −→

n} của không gian ơclit n chiều En gọi

là mục tiêu trực chuẩn (hay hệ tọa độ Đề các vuông góc) nếu cơ sở

2.3 Đổi mục tiêu trực chuẩn

Cho hai mục tiêu trực chuẩn:

1, −→e

2, , −→e

n}sang cơ sở ε0 =

x = Cx0 + a

trong đó C.Ct = In, a là ma trận cột tọa độ của gốc O0 đối với mụctiêu (I) và x và x0 là hai ma trận cột tọa độ của cùng một điểm đốivới mục tiêu thứ nhất và thứ hai

2.4 Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm M, N của không gian ơclit En Khoảng cách giữa haiđiểm đó, kí hiệu d (M, N ), được định nghĩa là số:

M P

e) Nếu trong En đã cho mục tiêu trực chuẩn và cho tọa độ trựcchuẩn của M = (x1, x2, , xn) và của N = (y1, y2, , yn) thì

d (M, N ) =

vuut

2.5.1 Phương trình tham số của m- phẳng

Trong không gian ơclit n chiều En liên kết với không gian vectơ ơclit

VnE cho m- phẳng Em xác định bởi m + 1 điểm độc lập E0, E1, , Emcho trước Giả sử với một mục tiêu đã cho là {E0, Ei} các điểm

E0, E1, , Emcó tọa độ là: Ei = (ei1, ei2, , ein) với i = 1, 2, , m.Gọi VmE là phương của Em nhận vectơ −−−→

[x] − [e0] = t1([e1] − [e0]) + t2([e2] − [e0]) + + tm([em] − [e0])

⇔ [x] = t1([e1] − [e0]) + t2([e2] − [e0]) + + tm([em] − [e0]) + [e0] (2)

xi = t1(e1i− e0i) + t2(e2i− e0i) + + tm(emi − e0i) + e0i (3)với i = 1, 2, , n

Ta cần chú ý rằng vì hệ m vectơ −−−→

E0E1, −−−→

E0E2, ,−−−→

E0Em độc lậptuyến tính nên từ các hệ số của phương trình (3) ta lập được ma trận

e1n − e0n

e21− e01

e22− e02

e2n − e0n

em1− e01

em2− e02

2.5.2 Phương trình tổng quát của m- phẳng

Trong không gian ơclit En cho m- phẳng có phương trình tham sốdạng (4):

xi = t1b1i+ t2b2i+ + tmbmmi + b0i (4)Với i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m và ma trận B = |bij| có hạng m

Ta hãy xem hệ (4) là hệ phương trình với các ẩn là t1, t2, , tm.Theo giả thiết ma trận hệ số của các ẩn là B có hạng m nên ta có thểchọn trong n phương trình của (4) m phương trình độc lập Khônglàm mất tính tổng quát ta có thể giả thiết m hàng đầu là độc lập Khi

đó chúng ta lập thành một hệ phương trình tuyến tính với m ẩn là

t1, t2, , tm có định thức hệ số khác 0, do đó nó có nghiệm duy nhất

Ta tìm được giá trị của các ẩn t1, t2, , tm biểu thị bậc nhất đối với

x1, x2, , xm và thay thế các giá trị đó vào n − m phương trình cònlại của phương trình (4) ta được hệ phương trình có dạng bậc nhấtđối với các biến x1, x2, , xm, xm+1, , xn và có dạng:

1, , với biến xn ở hàng thứ n − m cũng bằng 1 Ma trận hệ số củaphương trình (5) có hạng bằng n − m vì có định thức con cấp n − mứng với biến xm+1, xm+2, , xn là:

0

01 .0

00 .0

00 .0

00 .1

Ngược lại, người ta chứng minh được rằng: Mỗi hệ phương trìnhtuyến tính với các biến x1, x2, , xn và có hạng n − m đều biểu thịmột m- phẳng hoàn toàn xác định của En.

2.6 Sự trực giao của các phẳng trong En

∗ Hệ quả 1: Hai phẳng cùng bù trực giao với phẳng thứ ba thì songsong với nhau (và có cùng số chiều).

∗ Hệ quả 2: Qua một điểm đã cho có duy nhất một phẳng bù trựcgiao với một phẳng đã cho

2.7 Khoảng cách giữa hai phẳng

2.7.2 Định nghĩa đường vuông góc chung

Đường thẳng ∆ gọi là đường vuông góc chung của hai phẳng α và βnếu ∆ trực giao với cả α và β và ∆ cắt cả α và β

2.7.3 Định lý

Nếu ∆ là đường vuông góc chung của hai cái phẳng α và β, và giaođiểm của ∆ với α và β là I và J thì

2.7.4 Định lý

Nếu hai phẳng α và β không có điểm chung thì chúng có đườngvuông góc chung, và đường vuông góc chung đó là duy nhất khi và chỉkhi

−

→α ∩−→β =n−→

0

o

Từ định lý trên ta suy ra các hệ quả sau:

∗ Hệ quả 1: Nếu điểm Ikhông thuộc α thì qua I có đường duy nhấtvuông góc và cắt α; giao điểm J của đường thẳng đó với phẳng α gọi

là hình chiếu vuông góc của I trên α Khi đó d (I, α) = d (I, J )

∗ Hệ quả 2: Nếu phẳng α song song với phẳng β và phương −→α củaphẳng α là không gian vectơ con của phương −→

β của phẳng β thì với Ithuộc α, đường thẳng đi qua I và trực giao với β, sẽ là đường vuônggóc chung của α và β Vậy d (α, β) = d (I, β) với bất kì I ∈ α

và gọi là định thức Gram của hệ vectơ {−→u

1, −→u

2, , −u→

m}

... data-page="30">

PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ƠCLIT< /h2>

Trong chương trình bày kiến thức phẳng trongkhông gian ơclit Những kiến thức chủ yếu lấy từ [1], [2], [3]

2.1 Không gian ơclit< /h3>... khơng gian ơclit, chẳng hạn Rn.

c) Các không gian afin thực n chiều trở thành khơnggian ơclit n chiều cách trang bị tích vơ hướng cho khônggian vectơ liên kết với không gian afin...

2.5.1 Phương trình tham số m- phẳng

Trong không gian ơclit n chiều En liên kết với không gian vectơ ơclit

VnE cho m- phẳng Em xác định