Về k thể tích trong không gian ơclit en

Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Đ1. Khái niệm k - thể tích 2 Đ2. Thể tích của hộp 14 Đ3. Thể tích của đơn hình 22 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Lời nói đầu Thể tích là một nội dung rất quan trọng, nó đợc đề cập rất nhiều trong sách giáo khoa phổ thông và giáo trình toán học ở Đại học. Trong các giáo trình của môn học Không gian Ơclit, các công thức tính thể tích của các vật thể đơn giản nh hộp, đơn hình trong không gian có số chiều lớn hơn 3, đợc đa ra sử dụng có tính chất áp đặt. Tuy nhiên với n=1,2,3 thì vấn đề độ dài, diện tích, thể tích đã đợc xây dựng một cách chặt chẽ (xem tài liệu tham khảo [2]). Khoá luận này nhằm mục đích xây dựng khái niệm thể tích trong không gian hữu hạn chiều E n của hộp và đơn hình, chứng minh sự tồn tại của thể tích trong E n và các tính chất của nó, chứng minh các công thức tính thể tích của hộp, thể tích của đơn hình và mối liên hệ giữa chúng. Khoá luận đợc trình bày theo 3 mục: Đ1. Khái niệm k - thể tích Đ2. Thể tích của hộp Đ3. Thể tích của đơn hình. Khoá luận này đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự h- ớng dẫn của thầy giáo- T.S. Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp này tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy. Đồng thời cảm ơn ban chủ nhiệm khoa toán cùng thầy cô giáo trong khoa và tổ hình học cùng các bạn bè đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và rèn luyện tại Trờng Đại học Vinh. Do sự hạn chế về thời gian cũng nh năng lực nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý, chỉ bảo của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 05 năm 2003 Sinh viên: Nguyễn Thị Kim Thuý Đ 1. Khái niệm K- thể tích 1.1. Định nghĩa. Cho (m+1) điểm độc lập P 0 , P 1 , ., P m . Tập hợp các điểm M sao cho = = m 1i i0i0 PPtMP với 0 t i 1. đợc gọi là m-hộp . Ký hiệu m - hộp nói trên là H(P 0 , P 1 , ., P m ). Rõ ràng: 0 - hộp là 1 điểm. 1 - hộp là đoạn thẳng 2 - hộp là hình bình hành. Nếu hệ véc tơ }PP{ i0 , i=1,2, ,m là hệ trực chuẩn thì m-hộp H(P 0 ,P 1 , .,P m ) gọi là m - lập phơng. Cho m-q chỉ số phân biệt {j 1 ,j 2 , .,j k-q }{1,2, ., m}. Tập điểm M của m-hộp xác định bởi k jjj ttt , .,, 21 bằng 0 hay 1 thì đợc gọi là q-mặt bên của m-hộp đã cho (q = 0,1, ., m-1); 0- mặt bên gọi là đỉnh, 1- mặt gọi là cạnh của m-hộp. (m-1) - mặt bên của m- hộp đợc gọi là đáy của m- hộp. Hai đáy của m-hộp không có đỉnh chung đợc gọi là hai đáy đối diện hay cặp đáy đối diện. Cạnh của m-hộp có hai mút nằm trên hai đáy đối diện đợc gọi là cạnh nối hai đáy đối diện. 1.2. Nhận xét. m-hộp H(P 0 , P 1 , ., P m ) có m cặp đáy đối diện. Thật vậy mỗi một (m-1)-hộp H i =H(P 0 , P 1 , .,P i-1 ,P i+1 , ,P m ), i=1,2, ,m là một đáy của H(P 0 , P 1 , ., P m ). Hơn nữa ảnh của H i qua phép tịnh tiến theo véc tơ i0 PP chính là đáy đối diện với H i . Giả sử d là đờng thẳng có phơng i0 PP cắt H(P 0 , P 1 , ., P m ). Khi đó d cắt đáy H i =H(P 0 , P 1 , .,P i-1 ,P i+1 , ,P m ) và đáy đối diện tơng ứng tại M, N sao cho đoạn thẳng [MN] nằm trong H(P 0 , P 1 , ., P m ). Thật vậy ta chứng minh cho i=m, các tr- ờng hợp khác tơng tự. Giả sử MH m thì ,PPMP i0 1m 1i i0 = = 0 i 1. Gọi N là điểm đợc xác định bởi ,PPPPNP m0i0 1m 1i i0 += = 0 i 1. Dễ thấy N là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ m0 PP vì vậy N thuộc đáy đối diện với H m . Mỗi một điểm K[MN] khi và chỉ khi = MNMK m , 0 m 1 khi và chỉ khi i0 m 1i i0 PPKP = = . Suy ra [MN]H(P 0 , P 1 , ., P m ). 1.3. Xây dựng khái niệm k-thể tích. Cho hình bị chặn trong E k . Xuất phát từ một hình k- lập phơng đơn vị (cơ sở) ta xây dựng một dàn k- lập phơng bằng những (k-1) phẳng song song với các (k-1) mặt bên của hình k-lập phơng đơn vị và cách các (k-1) - mặt bên đó những khoảng cách bằng những bội số của cạnh. Khi đó ta tạo nên một lới k - lập phơng mà ta sẽ gọi là lới của bớc chia thứ nhất. Gọi n 1 là số hình k - lập phơng của bớc chia thứ nhất hoàn toàn nằm trong hình . Gọi N 1 là số hình k- lập phơng của bớc chía thứ nhất có ít nhất 1 điểm của hình . Ta chia mỗi cạnh của hình k- lập phơng đơn vị làm 10 phần bằng nhau và dựng qua các điểm chia ấy những (k-1) - phẳng song song với các (k-1) - mặt bên của cơ sở. Khi đó hình k- lập phơng đơn vị ban đầu đợc chia làm 10 k hình k- lập phơng bằng nhau. Dùng một trong các hình k-lập phơng đó và cũng bằng cách trên ta sẽ tạo nên lới của bớc chia thứ hai các hình k-lập phơng. Chia mỗi cạnh của các hình k-lập phơng ở bớc chia thứ hai làm 10 phần bằng nhau ta lại tạo tiếp lới của bớc chia thứ ba, . Gọi n 2 , n 3 , . tơng ứng là số hình k-lập phơng của bớc chia thứ 2, thứ 3, . hoàn toàn thuộc hình . Gọi N 2 , N 3 , tơng ứng là số hình k-lập phơng của bớc chia thứ 2, thứ 3, . chứa ít nhất 1 điểm của hình . Khi đó các số: n 1 , 2 32 )10( , 10 kk n n , . (I) gọi tơng ứng là xấp xỉ thiếu thứ nhất, thứ hai, thứ ba, . với k- thể tích hình . Còn các số N 1 , 2 32 )10( , 10 kk n n . (II) gọi là xấp xỉ thừa thứ nhất, thứ hai, thứ ba, . với k - thể tích hình . Rõ ràng: n i+1 10 k n i ; N i+1 10 k N i . Do đó ta có: n 1 1 12 32 . )10( . )10(10 N nn n ik i kk N 1 1 12 32 . )10( )10(10 n nn n ik i kk Dãy (I) không giảmvà bị chặn trên 1 )10( lim ik i i n Dãy (II) không tăng và bị chặn dới 1 )10( lim ik i i N Nếu 1 )10( lim ik i i n = 1 )10( lim ik i i N thì giá trị chung đó gọi là k - thể tích của hình đối với đơn vị đo ký hiệu là. V() hay V k (). Khi đó ta nói rằng khả thể. Vậy điều kiện để khả thể là 1 )10( lim ik ii i nN = 0, hay 1 )10( lim ik i i à = 0 với à i = N i - n i . Chú ý. Trong cách xây dựng trên V() phụ thuộc vào nên nói chung là ký hiệu V()/ . Trong những trờng hợp không sợ nhầm lẫn ta viết V(). Từ nay về sau khi viết V() luôn hiểu là V()/ , trong đó là đơn vị đo ( k- lập phơng đơn vị) đã cho. 1.4. Các tính chất của k - thể tích. 1.4.1. Tính cộng tính. Nếu hình là hợp của một số hữu hạn các hình khả thể 1 , 2 , ., l , đôi một không có điểm trong chung thì hình cũng khả thể và V() = V( 1 ) + V( 2 ) + + V( l ). Chứng minh. Vì biên giới của hình là một bộ phận của hợp các biên giới của tất cả các hình j nên : à i à i (1) + à i (2) + .+ à i (l) . Trong đó à i (j) là số hình k-lập phơng của bớc chia thứ i, cắt biên giới của hình j à i = N i - n i . 0 )10( . )10()10( 1 )( 1 )1( 1 ++ ik l i ik i ik i ààà khi i (vì các hình j khả thể j = l,1 ) 0 )10( lim 1 = ik i i à hay là hình khả thể. Mặt khác, số hình k-lập phơng của bớc chia thứ i nằm hoàn toàn trong hình là: n i = ][)()2()1( . il iii nnnn ++++ (*) Với n [i] là số hình k-lập phơng của bớc chia thứ i nằm hoàn toàn trong hình và bị các biên giới của các hình j cắt. Dễ thấy: n [i] )()2()1( . l iii ààà +++ (vì trong các số )( j i à cũng có cả những hình k- lập phơng cắt biên giới của hình ). Vì các hình 1 , . l khả thể nên 0 )10( . lim 1 )()2()1( = +++ ik l i iii ààà 0 )10( lim 1 ][ = ik i i n 1 )( 1 )2( 1 )1( 1 )10( lim . )10( lim )10( lim )10( lim +++= ik l i ik i ik i ik i i nnnn (vì ( * ) ) V () = V ( 1 ) + V ( 2 ) + .+ V ( l ). Điều phải chứng minh. 1.4.2. Tính đơn điệu. Nếu một hình khả thể A nằm trong 1 hình khả thể B thì V(A) < V(B). Chứng minh. Gọi là k - lập phơng đơn vị (cơ sở) bất kỳ. Từ cơ sở ta xây dựng một dàn k- lập phơng tơng tự nh cách xây dựng khái niệm k- thể tích. Gọi n i , n i ' lần lợt là số hình k - lập phơng của bớc chia thứ i hoàn toàn thuộc hình A và hình B. Do A , B là các hình khả thể nên V(A) = 1 )10( lim ik i i n ;V(B) = 1 )10( ' lim ik i i n Theo giả thiết hình A nằm trong hình B nên n i < n i ' Suy ra 1 )10( lim ik i i n < 1 )10( ' lim ik i i n Hay V(A) < V(B) (Điều phải chứng minh). 1.4.3. Mệnh đề. Qua phép tịnh tiến k-thể tích (V k ) không đổi (đối với k-lập phơng đơn vị (cơ sở) ). Chứng minh. Cho hình bị chặn trong E n . Gọi T v là phép tịnh tiến biến thành '. Ta cần chứng minh V() = V(') . Thật vậy, Từ cơ sở ta xây dựng lới các hình k-lập phơng của hình . Giả sử hình chứa hình k-lập phơng của bớc chia thứ i và bị phủ bởi N i hình k-lập phơng của bớc chia đó . Ta dời cơ sở (cùng toàn bộ lới chia ) cũng qua phép tịnh tiến T v ta đợc cơ sở '. Gọi n i , N i tơng ứng là số hìnhk-lập phơng của bớc chia thứ i của lới đợc chuyển dời hoàn toàn nằm trong ' và có ít nhất một điểm của hình ' . Rõ ràng n i = n' i , N i = N' i hay V() = V(') ' Khi đó bài toán đa về chứng minh V(') = V(') ' Từ hai cơ sở và ' ta lập hai lới k-lập phơng L 1 , L 2 của hình '. Do ' là ảnh của qua T v nên các (k-1) - mặt bên của và ' tơng ứng và song song với nhau. Do đó ở bớc chia thứ i nếu hai k- lập phơng của hai lới L 1 , L 2 có điểm chung thì khoảng cách giữa hai (k-1) - mặt bên song song gần nhau nhất luôn bé hơn 1 )10( 1 ik . Ta có 0 )10( 1 lim 1 = ik i suy ra lới L 1 tiến tới trùng lới L 2 khi i hay V(') = V(') ' . Trong phần sau ta sẽ chứng minh trong E n mỗi một n - hộp khả thể. Bây giờ ta quy ớc rằng nói hai hộp có thể tích bằng nhau theo nghĩa chúng cùng khả thể và thể tích bằng nhau hoặc cả hai hộp đều không khả thể. 1.4.4. Mệnh đề. Trong E k+1 , hai (k+1) - hộp có chung 1 đáy còn đáy đối diện của chúng cùng nằm trong một k- phẳng thì V k+1 của chúng bằng nhau (đối với cơ sở ) Chứng minh. Giả sử H là (k+1) - hộp xác định bởi P 0 , , P k , P k+1 H' là (k+1) - hộp xác định bởi P' 0 , , P' k , P' k+1 Gọi đ 1 là k - hộp xác định bởi P 0 , , P k . đ 2 là k - hộp xác định bởi P' 0 , , P' k . Giả sử đ 1 và đ 2 cùng nằm trong k - phẳng còn đáy đối diện của chúng (của mỗi một hộp H và H' đi qua P k+1 trùng nhau), ký hiệu là đ Vì đ 1 và đ 2 là ảnh của đ qua các phép tịnh tiến nên đ 2 là ảnh của đ 1 qua phép tịnh tiến T v , với v = 00 'PP . Trờng hợp 1. Nếu v song song với một cạnh J' I' J M' M P k +1 P 1 ' P 0 P 1 P k P k ' P 0 ' I của đ 1 , không mất tính tổng quát ta giả sử v song song với P 0 P 1 . a) Nếu v = . 10 PP với < 1 (tức điểm P' 0 hoặc điểm P' 1 nằm trên cạnh P 0 P 1 ). Ta chứng minh 10 PP T (H\H') = H'\H. Giả sử M H\H' Gọi là đờng thẳng qua M song song với v . cắt (k-1) - mặt bên (P 0 , P 2 , , P k+1 ) của hộp H và đáy đối diện của nó tại I và I'. cắt (k-1) - mặt bên (P' 0 , P' 2 , , P k+1 ) và đáy đối diện của nó tại J và J'. Khi đó [II'] H và [JJ'] H'. Suy ra M [II'] và M [JJ'] (vì M H\H') Gọi M' = 10 PP T (M) Khi đó )(''' 10 PPJJIIMM === Nếu > 0 thì M [IJ] M' [I'J'] ]'[' ]'[' JJM IIM '' ' HM HM M' H'\H. Nếu < 0 thì M [I'J'] Chứng minh tơng tự ta có M' H'\H Dễ thấy 10 PP T là song ánh từ H\H' lên H'\H. Do tính chất cộng tính của V k và tính bất biến qua phép tịnh tiến của V k nên: V k + 1 (H) = V k + 1 (H\H') + V k + 1 (H H') = V k + 1 (H'\H) + V k + 1 (H H') I . M J M'I' J' J . M' I MJ' I'