SKKN phát triển tư duy học sinh trong khi giảng bài dạy chuyên đề phương pháp thể tích trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÀO CAI TRƯỜNG THPT SỐ BẢO THẮNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN TÊN ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH KHI GIẢNG DẠY CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Người thực hiện: Nguyễn Văn Hiển Năm học: 2013 – 2014 A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mơn hình học khơng mơn học địi hỏi tư duy, tưởng tượng cao Vì tạo đam mê, hứng thú học tập cho học sinh nghiên cứu phần phương pháp thể tích tạo điều kiện tốt cho học sinh phát triển tư duy, bao gồm: phân tích, tổng hợp, tưởng tượng, quy lạ quen Tính thể tích khối đa diện dạng tốn có chương trình lớp 12, đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi Vì giáo viên cần trang bị cho kiến thức, phương pháp để giảng dạy, việc lựa chọn hệ thống tập, phân dạng tập đóng vai trị định tới chất lượng giảng dạy Đối với thân số giáo viên gặp khơng khó khăn giảng dạy chun đề phương pháp thể tích hình học khơng gian, năm học vừa qua tơi cố gắng biên soạn đề tài “ Phát triển tư học sinh qua giảng dạy chuyên đề phương pháp thể tích hình học khơng gian” vận dụng dạy học khóa khơi 12, dạy ôn thi đại học ông thi học sinh giỏi Đề tài lựa chọn tập bản, xếp liên quan chặt chẽ theo thứ tự từ dễ đến khó, tập chia làm dạng toán là: 1) Quy tốn lập tỉ số thể tích hình học khơng gian tốn lập tỉ số diện tích hình học phẳng 2) Hình chóp có chung góc tam diện tỉ số thể tích tích tỉ số độ dài cạnh 3) Phân chia khối đa diện thành khối chóp bổ sung số khối chóp để tính thể tích khối đa diện phức tạp Hy vọng đề tài tài liệu dạy học cho số thầy cô dạy môn toán trường THPT huyện mà học sinh có học lực tương tự trường THPT số Bảo Thắng B NỘI DUNG 1) Cơ sở lí luận * Để tính thể tích hình chóp cần tìm độ dài đường cao Muốn tính độ dài này, phải xác định rõ vị trí chân đường cao đáy, chọn tam giác thích hợp chứa đường cao đó, dùng hệ thức lượng tam giác để tính độ dài đường cao Trong trường hợp sau xác định chân đường cao hình chóp tương đối dễ dàng a) Hình chóp có cạnh bên nghiêng đáy hình chóp có cạnh bên tạo với đáy góc Với loại hình chóp ta có kết sau: Với hình chóp SA1A2…An , điều kiện sau tương đương: 1) Hình chóp có cạnh bên nghiêng đáy 2) Hình chóp có cạnh bên 3) Đáy A1A2…An đa giác nội tiếp chân đường cao hình chóp tâm đường trịn ngoại tiếp đáy b) Hình chóp có mặt bên nghiêng đáy hình chóp có mặt bên lập với đáy góc Tương tự ta có kết sau: Với hình chóp SA1A2…An , điều kiện sau tương đương: 1) Hình chóp có mặt bên nghiêng đáy 2) Hình chóp có đường cao h mặt bên ( xuất phát từ đỉnh S hình chóp ) 3) Đáy A1A2…An đa giác ngoại tiếp đường trịn hình chiếu đỉnh tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy * Cơng thức tính thể tích khối chóp: V = Bh B diện tích đáy, h chiều cao khối chóp * Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ: V = Bh B diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ 2) Thực trạng Mơn hình học khơng gian mơn học trừu tượng, gây nhiều khó khăn cho học sinh học tập Đây môn hoc gây khơng khó khăn cho giáo viên giảng dạy, đặc biệt việc chọn lựa hệ thống tập cho phù hợp với lực nhận thức học sinh phải đảm bảo tính lơgic (các tốn bố trí có liên quan mật thiết theo trình tự từ dễ đến khó) Phương pháp thể tích phần kiến thức quan trọng ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học việc bồi dưỡng học sinh giỏi 3) Phân chia tốn tỉ số thể tích thành dạng thường gặp phương pháp giải cho dạng I MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Nhiều việc giải tốn phẳng khó khăn ta xem xét tốn phẳng để tìm hướng giả ngược lại giải tốn phẳng ta khái qt tốn xem chúng cịn khơng gian hay khơng Qua rèn luyện tốt tư cụ thể hóa khái quát hóa Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G, chứng minh S∆GAB = S∆GAC = S∆GBC Từ việc giải tốn ta khái qt tốn khơng gian sau: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Chứng minh rằng: VG ABC = VG ACD = VG BCD = VG ACD A Lời giải: +) Ta có: G S ∆GBC GH ' 1 = = ⇒ S ∆GBC = S∆ABC S ∆ABC AH 3 Tương tự có: S ∆GAC B H’ = S∆ABC C H A S ∆GAB = S∆ABC Vậy S∆GAB = S∆GAC = S∆GBC +) Gọi G1, G2 trọng tâm ∆ BCD ∆ ABD, M trung điểm BD, kẻ G1I // AM Trong tam giác AMC ta có CG2 cắt AG1 G Ta có: GG1 IG1 IG1 CG1 = = = = AG AG2 MG2 2CM G2 G B I C M G1 D Do đường trung tuyến cắt điểm nằm ¼ đường kể từ đáy ⇒ đường trung tuyến đồng quy điểm G, Điểm G chia đường trung tuyến làm phần Ta có: VGBCD GH ' GG1 = = = VABCD AH AG1 ⇒ VGBCD = VABCD 3 Tương tự ta có: VGACD = VABCD ;VGABD = VABCD Vậy: VG ABC = VG ACD = VG.BCD = VG ACD Bài S AM AN ∆AMN = a) Cho ∆ABC cạnh AB, AC ta lấy điểm M, N CMR S AB AC ∆ABC b) Cho tứ diện SABC, SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ CMR: VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = VSABC SA SB SC A H’ H M Lời giải: N B C a) Gọi H, H’ tương ứng hình chiếu B, M xuống AC Ta có: S ∆AMN S ∆ABC AM AN SinA AM AN = = AB AC AB AC.SinA b) Gọi H, H’ tương ứng hình chiếu A, A’ mặt (SBC)A A ' H S ∆SB 'C ' VSA ' B ' C ' = VSABC AH S ∆SBC SA ' SB ' SC ' = SA SB SC A’ C’ S H’ C H B’ B Bài a) Cho ∆ABC , M điểm tam giác đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh tam giác A’, B’, C’ CMR: MA ' MB ' MC ' + + =1 AA ' BB ' CC ' b) Cho tứ diện ABCD, M điểm tứ diện đường thẳng AM, BM, CM, DM cắt mặt tứ diện A’, B’, C’, D’ CMR: MA MB MC MD + + + =3 AA ' BB ' CC ' CC ' A Lời giải B’ C’ a) Ta có: MA ' MB ' MC ' S ∆MBC S ∆MAC S ∆MAB + + = + + =1 AA ' BB ' CC ' S ∆ABC S ∆ABC S ∆ABC M B A’ C b) Ta có: A MA ' MB ' MC ' MD ' + + + = AA ' BB ' CC ' DD ' V V V V = ∆MBCD + ∆MACD + ∆MABC + ∆MABD = VABCD VABCD VABCD VABCD D’ C’ M B’ B 1− C MA ' MB ' MC ' MD ' +1− +1− +1− =3 AA ' BB ' CC ' DD ' MA MB MC MD + + + =3 Hay AA ' BB ' CC ' CC ' A’ D Luyện tập 1) Cho điểm M tùy ý nằm khối tứ diện ABCD cạnh a Gọi d 1, d2, d3, d4, khoảng cách từ M đến mặt tứ diện Tính tổng khoảng cách T = d1 + d2 + d3 + d4 Đs: T = a 2) Cho tứ diện ABCD, gọi h1, h2, h3, h4 khoảng cách từ đỉnh A, B, C, D đến mặt đối diện Giả sử M điểm tùy ý nằm tứ diện Gọi x, y, z, t khoảng cách từ M tới mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC) CMR: x y z t + + + =1 h1 h2 h3 h4 3) Trên đáy ABC tứ diện OABC ta lấy điểm M, đường thẳng song song với cạnh OA, OB, OC qua M cắt mặt (OBC), (OCA), (OAB) A1, B1, C1 CMR: MA1 MB1 MC1 + + =1 OA OB OC 4) Cho tứ diện ABCD M điểm nằm tứ diện Các mặt phẳng (ABM), (BCM), (CAM) cắt cạnh CD, AD, BD A 1, B1, C1 DM cắt mặt đối diện D1 CMR: DA1 DB1 DC1 DM + + = AA1 BB1 CC1 MD1 5) Trong góc tam diện Oxyz cho điểm M Mặt phẳng (P) qua M cắt cạnh góc tam diện A, B, C CMR: VOABC có giá trị khơng đổi VOMBC VOMAB VOMAC 6) Cho điểm M nằm tứ diện ABCD, D1 giao điểm DM với mặt đối diện CMR: VMABD + VMCBD + VMCDA DM = VMCAB D1M II SỬ DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP TAM GIÁC S Cơng thức tỉ số thể tích : C' Cho hình chóp S.ABC, A ' ∈ SA, B ' ∈ SB , C ' ∈ SC , ta có: VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VSABC SA SB SC A' A B' C B Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC = a ,SA vng góc với đáy ABC , SA = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải: a) Tính thể tích khối chóp S.ABC a)Ta có: VS ABC = S S ABC SA SA = a + ∆ABC cân có : AC = a ⇒ AB = a ⇒ S ABC N G 1 a3 = a Vậy: VSABC = a a = A I b) Gọi I trung điểm BC G trọng tâm,ta có : C M B SG = SI α // BC ⇒ MN// BC ⇒ SM = SN = SG = SB SC SI b) Tính thể tích khối chóp S.AMN Gọi I trung điểm BC Vì G trọng tâm,ta có : SG = SI α // BC ⇒ MN// BC ⇒ SM = SN = SG = Vậy: VSAMN = VSABC = 2a SB SC SI 27 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, EMBED Equation.DSMT4 SA = a Gọi B’, D’ hình chiếu A lần S lượt lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: B' C' D' I B A a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD O D C Ta có: VS ABCD = a3 S ABCD SA = 3 b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ') Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' & SB ⊥ AB ' Suy ra: AB ' ⊥ ( SBC ) nên AB' ⊥ SC Tương tự AD' ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AB'D') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ • Tính VS AB ' C ' : Ta có: VSAB 'C ' SB ' SC ' = (*) VSABC SB SC SC ' SB ' SA2 2a 2a 2 = , • Ta có: ∆SAC vng cân nên = = = = SC SB SB SA2 + AB 3a VSAB 'C ' 1 a3 a3 (*) ⇒ = Từ ⇒ VSAB ' C ' = = VSABC 3 Bài 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng (α) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng Lời giải: S Kẻ MN // CD (N ∈ SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) N VSAND SN 1 = = ⇒ VSANB = VSADB = VSABCD +V SD 2 SADB M D VSBMN SM SN 1 1 = = = ⇒ VSBMN = VSBCD = VSABCD VSBCD SC SD 2 4 8 A O Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD VSABMN = = VSABCD Do : V ABMN ABCD C B Nhận xét: • Học sinh thường sai lầm áp dụng công thức tỉ số thể tích hai tứ diên cho tỉ số thể tích chóp tứ giác ? • Học sinh khơng biết cắt chóp tứ giác thành tứ diện để áp dụng cơng thức tỉ số thể tích tứ diện ? Luyện tập Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A vuông góc với SB H cắt SC K Tính thể tích hình Đs: V = chóp SAHK a3 40 Bài 2: Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD Đs: k = Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA cho SM = x Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần tích SA Đs: x = −1 Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a ,SA = 2a Sa vuông góc với mp(ABC) Gọi M,N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB,SC Tính thể tích khối chóp A.BCMN Đs: V = III PHÂN CHIA CÁC KHỐI ĐA DIỆN Lý thuyết: A 1) Cho khối lăng trụ tam giác, phân chia 3a3 50 B C khối lăng trụ tam giác thành khối chóp tam giác thể tích khối chóp tam giác Chứng minh Gọi V thể tích khối lăng trụ, ta có A’ C’ B’ VC A ' B ' C ' = V ( đáy, chiều cao với lăng trụ) 3 Tương tự: VA ' ABC = V ⇒ Đpcm 2) Để tính thể tích đa diện có hình dạng phức tạp ta thường phải dùng cách sau: a) Bổ sung vào số tứ diện để đa diện tích tính Hiệu số thể tích tổng thể tích tứ diện bổ sung thể tích cần tìm b) Chia khối cần tính thể tích thành khối đơn giản, tính thể tích khối cộng lại Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ Lời giải Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ B A bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ D C có diện tích đáy chiều cao nên có thể tích A' 1 2 Khối CB’D’C’ có V1 = a a = a +Khối lập phương tích: V2 = a ⇒ VACB ' D ' = a − a = B' C' D' a 3 a Bài Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC E A I b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’C’E) B F C c) cắt BC F Tính thể tích khối CA’C’FE Lời giải: a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB, B' A' J C' Ta có: Lăng trụ chia thành khối chóp tích nên thể tích khối chóp cần tính là: VA ' B ' BC = VLT a 3 = 12 b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’C’ + Tính thể tích khối A’CEF: VB A 'È BE CF = = ⇒ VBEFA ' = a3 VB.AA 'C AB BC 4 12 VA ' ACE = a3 a3 = 12 24 ⇒ VA ' CFE = VB.AA ' C − VB A 'EF − VE.AA ' C = a VF A 'C 'C = 1 a3 (1 − − ) = 12 48 VB A ' C 'C a 3 = 24 Vậy VC EFA'C ' = VC A ' FE + VC A 'C ' E = a 3 a 3 3a 3 + = 48 24 48 Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ đáy tam giác cạnh a, AA’ = A’B = A’C = a Tính thể tích khối chóp A’BCC’ Lời giải Lưu ý hình chóp có cạnh bên hình chiếp đỉnh tâm đường trịn ngoại tiếp đáy Đề tính thể tích khối chóp ta tính thể tích khối lăng trụ Gọi O tâm tam giác ABC O hình chiếu A’ mặt ABC B’ Ta có: A’ A ' O = CA '2 − CO ⇒ A ' O = Thể tích lăng trụ: V = S ABC A ' O = C’ a3 a B C O A ⇒ VA ' BB ' C = V a3 = 12 Bài Cho hình lập M ∈ BB ', N ∈ DD ' : MB ' = ND ' = phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Các điểm a Mặt phẳng (AMN) chia hình lập phương thành phần Tính thể tích phần Lời giải A P = AM ∩ A’B’; Q = AN ∩ A’D’ D B I = PQ ∩ C’B’; K = PQ ∩ C’D’ Vậy mặt cắt ngũ giác AMIKN C Đề tính thể tích V khối đa diện phía bên N A’ M D’ Q K B’ (là khối đa diện chứa đỉnh A’) ta bổ sung vào I C’ P khối tứ diện MPB’I NKD’Q 1 VAA ' PQ = AA ' A ' P A ' Q 2 1  3a  3a = a  ÷ = 2  VMPB ' I = VND ' KQ a 1a a3 3a a 25a = = ⇒ V = − =  ÷ 3   72 72 72 Bài Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có cạnh AB = AD = a, AA’ = a góc( BAD ) = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Tìm VABDMN ? S Lời giải Ta có mặt phẳng (BDMN), (AA’B’B), (ADD’A’) cắt theo giao tuyến AA’, BN, DM nên giao tuyến đồng quy S VSABD 1 a a3 = SA.S∆ABD = a = 3 4 M D’ A’ N C’ B’ D A O C B VSA ' MN a3 a3 a 3a3 = ⇒ VSA ' MN = ⇒ VABDMN = − = VSABD 32 32 16 Luyện tập Bài Cho hình chóp SABCD, O tâm đáy (α ) mặt phẳng qua O song song với mặt phẳng (SAB) Tính tỉ số thể tích phần tạo (α ) chia cắt hình chóp ĐS: V = V' Bài Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp SABCD phân chia mặt phẳng (α ) , qua điểm M, N, E AB, AD, SC ĐS: V =1 V' Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có mặt bên nghiêng đáy góc α Mặt phẳng qua AC vng góc với mặt phẳng (SAD) chia hình chóp thành phần Tính tỷ số thể tích phần ĐS: V = cos α V' Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vng, cạnh SA vng góc với đáy Cạnh SC lập với mặt phẳng (SAB) góc α Mặt phẳng qua A vng góc với SC chia hình chóp thành phần Tính tỉ số thể tích phần ĐS: C KẾT LUẬN V cos 2α = V ' sin α sin 3α Chuyên đề phát triển tư học sinh qua việc giảng dạy chuyên đề phương pháp thể tích hình học khơng gian hồn thiện tháng tơi vận dụng vào giảng dạy công tác ôn thi đại học công tác ôn thi học sinh giỏi thu số hiệu cụ thể sau: Đề tài xếp tốn có liên quan chặt chẽ cấp độ từ dễ đến khó, tốn chia thành dạng cụ thể giúp cho học sinh tiếp cận toán nhanh chủ động hơn, tạo hứng thú học sinh học tập mơn hình học khơng gian nói chung phần tính thể tích hình học nói riêng Đề tài có hệ thống tập vận dụng giúp giáo viên lựa chọn vào giảng dạy cho đối tượng khác nhau, có tập để giao nhà cho học sinh Đề tài có lợi lớn công tác ôn luyện thi đại học cho học sinh xu hướng thi đại học năm trở lại thường nghiêng tốn tính thể tích khối đa diện, hệ thống tập lựa chọn đa số tập nên phù hợp với học sinh ôn luyện thi đại học Vì điều kiện thời gian hồn thiện đề tài cịn ngắn nên có vấn đề cịn chưa thực sâu sắc, đặc biệt hệ thống tập hay khó cịn chưa nhiều đề tài chưa phát huy hiệu công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi hy vọng với cố gắng thân đóng góp đồng nghiệp đề tài ngày hoàn thiện Bảo Thắng, ngày 14 tháng 04 năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Hiển V TÀI LIỆU THAM KHẢO TT TÊN TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học 12 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp Bài tập hình học nâng cao 12 TÁC GIẢ Trần Văn Hạo Phan Đức Văn Như Cương ... phương pháp thể tích hình học khơng gian, năm học vừa qua cố gắng biên soạn đề tài “ Phát triển tư học sinh qua giảng dạy chun đề phương pháp thể tích hình học không gian? ?? vận dụng dạy học khóa... ĐỀ TÀI Mơn hình học khơng mơn học địi hỏi tư duy, tư? ??ng tư? ??ng cao Vì tạo đam mê, hứng thú học tập cho học sinh nghiên cứu phần phương pháp thể tích tạo điều kiện tốt cho học sinh phát triển tư. .. số thể tích phần ĐS: C KẾT LUẬN V cos 2α = V '' sin α sin 3α Chuyên đề phát triển tư học sinh qua việc giảng dạy chun đề phương pháp thể tích hình học khơng gian hồn thiện tháng vận dụng vào giảng