1. 5 Phơng trình của phép biến đổi đẳng cự
3.3.Dấu hiệu sử dụng phép quay
Điểm kép là tâm quay
Phép quay tâm O góc quay 1800 là phép quay đối xứng tâm O
Phép quay thờng đợc sử dụng đối với những bài toán có điểm cố định, có góc giữa hai tia hoặc hai đờng thẳng hoặc hai đoạn thẳng không đổi bằng a và có độ dài các đoạn thẳng bằng nhau.
Tóm lại, phép quay thờng đợc sử dụng khi bài toán có giả thiết là tam giác cân, tam giác đều, hình vuông.
3.3.1. bài 1.
Cho tam giác ABC.Trên các cạnh AB, AC ta dựng ra phía ngoài các hình vuông ABIN và ACPQ.
B y I M A A' x J
a) Chứng minh NC ⊥ BQ và NC = BQ
b) Gọi M là trung điểm của BC chứng minh rằng AM ⊥ QN và AM BQ 2 = . Giải a) Xét phép quay QA,π 2ữ biến điểm N thành điểm B, biến điểm C thành điểm Q. Do đó, theo tính chất của phép quay ta suy ra NC ⊥ BQ
và NC = BQ
b) Gọi B1 là điểm đối xứng với B qua A, ta có:
AM // B1C (do AM là đờng trung bình của ∆BCB1). Qua phép quay QA,π
2ữ
nói trê điểm C biến thành điểm Q và điểm B1 biến thành điểm N. Do đó, đờng thẳng CB1 ⊥ QN và AM ⊥ QN. Vì NC = CB1 mà NC = BQ nên CB1 = BQ Vì CB1 AM 2 = nên AM BQ 2 =
3.3.2. Bài 2: Qua tâm G của tam giác đều ABC kẻ đờng thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đờng thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời tạo với b một góc 600. Chứng minh rằng MPNQ là hình thang cân.
Giải
Giả sử MGP NGQ 60ã = ã = 0 thì
ã ã 0
QGM PGN 120= = .Xét phép quay tâm G với góc quay 1200 sao cho tia GM biến
N I B M C P Q B1 A •G A C B N b M P Q a 600
thành tia GQ, tia GN biến thành GP, các đỉnh của tam giác biến thành ảnh của nhau.
(Qua phép quay ta có A → C; C → B; B → A). Do M biến thành Q và N biến thành P. Ta suy ra các tam giác MGQ, NGP là các tam giác cân tại G với góc ở đỉnh là 1200 và các góc còn lại của hai tam giác đó đều bằng 300. Do đó, hai đờng thẳng NP và MQ song song với nhau, đồng thời MN = PQ nghĩa là MPNQ là một hình thang cân.
3.3.3. Bài 3: Trên đoạn thẳng AB ta lấy một điểm C nằm giữa A và B. Dựng các tam giác đều ACE và BCF sao cho E và F nằm cùng phía đối với đờng thẳng AB.
Chứng minh rằng AF = BE, gọi M, N lần lợt là trung điểm của các đoạn AF và BE. Chứng minh rằng tam giác CMN là tam giác đều.
Giải
Phép quay tâm C với góc quay
(CF,CB) (CA,CE)
α = uur uuur = uuur uuur biến điểm F thành điểm B và biến điểm A thành điểm E. Do đó AF = EB. Cũng qua phép quay đó trung điểm M của AF biến thành trung điểm N của EB, do đó CM = CN và
ã 0
MCN 60= .
Vậy CMN là tam giác đều. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3.3.4. Bài 4: Cho hai đờng tròn bằng nhau C (O. R) và C (O'; R) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAO' 120ã = 0. Trên đờng tròn C (O, R) ta lấy điểm M, trên đờng tròn C (O'. R) ta lấy điểm M' sao cho M và M' nằm ngoài đối với hai đ- ờng tròn và MM' đi qua điểm B. Gọi S là giao điểm các tiếp tuyến của hai đờng tròn tại M và M'. Xác định vị trí của hai điểm M và M' để bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác SMN lớn nhất.
A C B
F E
M
Giải
Giả sử AOMã = α (00 < α < 1800). Phép quay Q(A,120 )0 biến O thành O' nên Q(A,120 )0 biến M thành M" thuộc đờng tròn C (O', R) và AO'M"ã = α. Rõ ràng
ã
2ABM"= αnên ABM" ABM 180ã + ã = 0. Điểm M" trùng v`ới điểm
M'. Ta gọi d và tiếp tuyến của C (O,R) tại điểm M, d' là tiếp tuyến của C (O', R) tại M'.
Phép quay Q(A,120 )0 biến d thành d' và góc tù tạo bởi d, d' bằng 1200, do đó MSM ' 60ã = 0. áp dụng định lý sin cho tam giác
SMM' ta có 0 MM ' MM ' R 2sin 60 3 = = . R lớn nhất khi MM' lớn nhất.
Gọi H và K lần lợt là trung điểm của các dây BM và BM', khi đó KH là hình chiếu của đoạn thẳng OO' trên MM', nên ta có MM' = 2KH ≤ 2OO' và MM' lớn nhất khi MM' // OO'.
3.3.5. Bài 5 : Cho hai đờng thẳng song song a và b, với một điểm C không nằm trên hai đờng thẳng đó, hãy tìm trên a,b lần lợt hai điểm A,B sao cho ABC là tam giác đều. Giải : S M d d' M' A O O' H K • B •
Giả sử ta đã dựng đợc tam giác đều ABC thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Với phép quay 3
c
Qπ ta có điểm A biến thành điểm B, khi đó dờng thẳng a biến thành a'
cũng đi qua B. Từ đó ta suy ra cách dựng : - Dựng đờng thẳng a' là ảnh của a qua phép quay 3 c Qπ bằng cách kẻ CH⊥a tại H, tìm ảnh H' của H qua phép quay đó rồi vẽ a'⊥CH tại H'.
- Gọi B là giao điểm của a' với b và lấy điểm A là tạo ảnh của B trong phép quay nói trên ta có A nằm trên a, ta dễ dàng chứng minh đợc ABC là tam giác đều cần dựng.
Trong các ví dụ trên ta đã thấy đợc các ứng dụng của phép đẳng cự trong giải toán hình học phẳng. Có thể không phải lúc nào cách giải này cũng hay hơn ngắn gọn hơn những cách giải khác, nhng hi vọng bằng cách này ta có thể giải quyết đ- ợc nhiều bài toán nữa và sẽ giải đợc các bài toán phức tạp hơn.
• B a' A a b C H H' π 3 π 3
kết luận
Dựa vào các tài liệu tham khảo, khoá luận đã trình bày đợc hệ thống các khái niệm về ánh xạ đẳng cự, phép biến đổi đẳng cự, phép dời hình và phép phản dời hình trong mặt phẳng nh phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trợt. Đồng thời vận dụng định lí phân loại phép biến đổi đẳng cự để chứng minh đợc một số tính chất nh : Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến, tích của một phép tịnh tiến và một phép quay là một phép quay, tích của hai phép đối xứng trục hoặc là phép tịnh tiến hoặc là phép quay Bên cạnh đó tôi đã giải đ… ợc một số bài toán hình học sơ cấp nhờ phép biến đổi đẳng cự.
Trên đây chỉ là một số tổng hợp của tôi về phép đẳng cự. Mặc dù đã rất cố gắng nhng do còn nhiều điều hạn chế nên đề tài này vẫn cha thể hoàn thiện đợc hết những vấn đề có liên quan. Vậy nên tôi rất mong có đợc sự đóng góp của các thầy cô và mọi ngời để sau này khi có điều kiện cho phép tôi sẽ hoàn thiện đề tài này.
tài liệu tham khảo
[1]. Nguyễn Duy Bình-Phạm Ngọc Bội-Trơng Đức Hinh-Nguyễn Hữu Quang . (1999) Bài tập hình học Afin và hình học Ơclít. NXBGD
[2]. Nguyễn Duy Bình-Nguyễn Chiến Thắng. (2008) Phép đẳng cự và ứng dụng trong giải toán hình học phổ thông.
[3]. Văn Nh Cơng-Tạ Mân. (1998) Hình học Afin và hình học Ơclít. NXB
ĐHQG .
[4]. Văn Nh Cơng-Kiều Huy Luân-Hoàng Trọng Thái. Hình học 1. NXBGD [5]. Nguyễn Văn Đoành-Phạm Đình Đô-Trần Lê Tờng. (1984) Bài tập hình
học cao cấp - Tập I Hình học Afin và hình học Ơclít. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[6]. Nguyễn Mộng Hy. (1997) Các phép biến hình trong mặt phẳng. NXBGD [7]. Nguyễn Mộng Hy. Hình học cao cấp. NXBGD
Mục lục
Trang
Lời nói đầu...1
Đ1. Sơ lợc về phép đẳng cự...3
1.1. ánh xạ đẳng cự ...3
1.2. Phép biến đổi đẳng cự ...4
1.3. Định lí...4
1.4. Các tính chất của phép đẳng cự...5
1.5 . Phơng trình của phép biến đổi đẳng cự ...6
Đ2. Các phép đẳng cự trong mặt phẳng...7
2.1. Phép dời hình và phép phản dời hình trong mặt phẳng...7
2.2. Phép tịnh tiến ...8
2.3. Phép đối xứng trục ...9
2.4. Phép quay ...10
2.5. Phép đối xứng trợt...12
2.6. Phân loại các phép đẳng cự trong mặt phẳng ...13
Đ3. ứng dụng phép đẳng cự trong mặt hình học phẳng ...21
3.1. Dấu hiệu sử dụng phép tinh tiến...21
3.2 . Dấu hiệu sử dụng phép đối xứng trục...23
3.3. Dấu hiệu sử dụng phép quay ...25
Kết luận ...30