Tìm hiểu tính chất của hàm chỉnh hình, hệ thống các phương pháp biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình

Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM QUANG TUYẾN BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN CỦA HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2016 Footer Page of 258 Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM QUANG TUYẾN BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN CỦA HÀM CHỈNH HÌNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN HUY LỢI HÀ NỘI – 2016 Footer Page of 258 Header Page of 258 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình PGS TS Nguyễn Huy Lợi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Trong q trình học tập hồn thành luận văn, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ giảng viên: Khoa Tốn; Phịng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tác giả xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ quý báu Được tạo điều kiện Trường THPT Nguyễn Trường Thúy bạn bè đồng nghiệp nhà trường Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn trân trọng! Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Phạm Quang Tuyến Footer Page of 258 Header Page of 258 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài “Biểu diễn tích phân hàm chỉnh hình” cơng trình nghiên cứu tìm hiểu tác giả Bản luận văn hoàn thành sở kế thừa kết nhà Toán học lĩnh vực khoa học trình bày Tơi xin trân trọng cảm ơn! Tác giả Phạm Quang Tuyến Footer Page of 258 Header Page of 258 Mục lục MỞ ĐẦU Một số kiến thức hàm chỉnh hình 1.1 Khơng gian C, C, Cn 1.2 Hàm chỉnh hình 18 1.3 Nguyên hàm tích phân hàm biến phức 26 Biểu diễn tích phân hàm chỉnh hình 33 2.1 Tích phân Cauchy 33 2.2 Tích phân loại Cauchy 38 2.3 Tích phân Fourier 43 2.4 Tích phân Laplace 45 2.5 Mối liên hệ tích phân Fourier tích phân loại Cauchy 48 2.6 Một số ứng dụng 52 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 Footer Page of 258 Header Page of 258 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết giải tích phức có nhiều ứng dụng việc giải số vấn đề toán học thực tiễn Ngay từ năm đầu kỷ XVIII nhiều nhà tốn học có thành cơng việc nghiên cứu ứng dụng Lý thuyết giải tích phức để giải toán thủy động học khí động học Trong mơn giải tích phức hàm chỉnh hình đóng vai trị quan trọng số vấn đề lý thuyết thực tiễn Đặc biệt giải vấn đề thực tiễn ta thường dẫn tới toán biểu diễn tích phân hàm chỉnh hình Hơn phương pháp biểu diễn tích phân hàm chỉnh hình giúp nhìn nhận kiến thức giải tích phức cách sâu rộng từ đáp ứng tốt yêu cầu dạy học Với lý với giúp đỡ, hướng dẫn tận tình PGS TS Nguyễn Huy Lợi, chọn đề tài: “Biểu diễn tích phân hàm chỉnh hình” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biểu diễn tích phân hàm chỉnh hình sau nêu số ứng dụng lý thuyết thực tiễn Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu tính chất hàm chỉnh hình, hệ thống phương pháp biểu diễn tích phân hàm chỉnh hình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung Footer Page of 258 Header Page of 258 nghiên cứu số phương pháp biểu diễn tích phân hàm chỉnh tích phân Cauchy, tích phân Fourier, tích phân Laplace ứng dụng hàm chỉnh hình việc giải phương trình vi phân thường số phương trình đạo hàm riêng đặc biệt Phương pháp nghiên cứu Đọc, dịch, tra cứu, tổng hợp theo chủ đề tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học cách logic có hệ thống Giả thuyết khoa học Nghiên cứu sâu khái niệm Tốn học, nâng lên thành đề tài nghiên cứu đề xuất ứng dụng việc giải số vấn đề lý thuyết, giải toán thực tiễn Footer Page of 258 Header Page of 258 Chương Một số kiến thức hàm chỉnh hình Trong chương trình bày tóm tắt số kiến thức không gian không gian C, C, Cn , kiến thức hàm chỉnh hình, ngun hàm, tích phân hàm phức làm sở để nghiên cứu cho chương II Tài liệu dùng để viết chương chủ yếu dựa vào X ([2] , [3]) 1.1 Không gian C, C, Cn 1.1.1 Không gian C, C Trong mặt phẳng Oxy ta gọi điểm z = (x, y) số phức Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng phức, ký hiệu C Ta gọi x phần thực số phức z, ký hiệu Re(z); y gọi phần ảo số phức z, ký hiệu Im(z); trục Ox gọi trục thực, Oy gọi trục ảo Với hai số phức z1 = (x1 , y1 ) z2 = (x2 , y2 ), ta nói z1 = z2 x1 = x2 y1 = y2 Các phép tốn tính chất Ta đồng số thực x với số phức (x, 0) viết x = (x, 0) Đặc biệt (0, 0) = (1, 0) = Ký hiệu số phức (0, 1) = i gọi đơn vị ảo Trên tập hợp số phức, ta xây dựng hai phép toán z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ); z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) Footer Page of 258 Header Page of 258 Từ đồng x = (x, 0) phép toán tập hợp số thực bảo tồn Thật vậy, ta số điều x + y = (x, 0) + (y, 0) = (x + y, + 0) x.y = (x, 0).(y, 0) = (x.y − 0.0, x.0 + y.0) = (xy, 0) z + = (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = z z.0 = (x, y).(0, 0) = (x.0 − y.0, x.0 + y.0) = z.1 = (x, y).(1, 0) = (x.1 − y.0, x.0 + y.1) = (x, y) = z i.i = (0, 1).(0, 1) = (0.0 − 1.1, 0.1 + 1.0) = (−1, 0) = −1 Bởi (y, 0) = y với y ∈ R nên (0, y) = (0, 1).(y, 0) = i.y Do đó, ta nhận dạng biểu diễn sau số phức z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy Số phức z¯ = x − iy gọi số phức liên hợp số phức z = x + iy Ta dễ dàng chứng minh tích chất sau: Với số phức z = x + iy, z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ta có (i) z = z; z1 + z2 = z¯1 + z¯2 ; z1 z2 = z¯1 ¯ z2 (ii) z + z¯ = Rez = 2x; z − z¯ = 2iImz = 2iy (iii) z.¯ z = x2 + y ≥ Các phép toán ngược z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ) z1 ¯ z2 x x + y1 y2 z1 = = z2 z2 ¯ z2 x22 + y22 Mặt cầu số phức Riemann Trong không gian Oξηζ, xét mặt 1 bán kính , cực bắc mặt cầu điểm N (0; 0; 1) 2 Mặt phẳng Oξη trùng với mặt phẳng Oxy Với z ∈ C, đường thẳng cầu S tâm Footer Page of 258 0; 0; Header Page 10 of 258 zN cắt mặt cầu S điểm Π(z) Phép tương ứng z → Π(z) xác định song ánh từ C lên S\{N } Nếu điểm z = x + iy Π(z) có tọa độ x y |z|2 ξ= ;η = ;ζ = + |z|2 + |z|2 + |z|2 (1.1.1) Trong phép ánh xạ Π : C → S, điểm N điểm không tương ứng với điểm C Ta thấy |z| → ∞ Π(z) → N Một cách tự nhiên cần bổ sung điểm ∞ để tương ứng với N Ta kí hiệu C = C ∪ {∞} gọi mặt phẳng phức mở rộng Với z1 , z2 ∈, ta đặt d(z1 , z2 ) = (ξ1 − ξ2 )2 + (η1 − η2 )2 + (ζ1 − ζ2 )2 , Π (z1 ) = (ξ1 ; η1 ; ζ1 ), Π (z2 ) = (ξ2 ; η2 ; ζ2 ) Số d (z1 ; z2 ) gọi khoảng cách cầu hai số phức z1 z2 Tập điểm mặt phẳng phức Giả sử a ∈ C số thực r > Ta gọi tập hợp S(a, r) = {z ∈: |z − a| < r} S(a, r) = {z ∈: |z − a| ≤ r} tương ứng hình trịn mở hình trịn đóng tâm a bán kính r Tập hợp G ⊂ C gọi tập hợp mở a ∈ G tồn đĩa mở S(a, r) ⊂ G Điểm a gọi điểm biên tập hợp X ⊂ C với r > ta có S(a, r) ∩ X = φ S(a, r) ∩ (C\X) = φ Tập tất điểm biên X gọi biên X ký hiệu ∂X Footer Page 10 of 258 Header Page 47 of 258 khơng đổi tích phân lấy dọc theo đường thẳng x + iy với y số Vì ∞ fˆ (µ) = √ 2π Với y = ∞ e−α(x+iy) −∞ e−iµ(x+iy) dx = √ eαy +µy 2π e−αx −ix(2αy+µ) dx −∞ −µ 2α ∞ µ2 fˆ (µ) = √ e− 4α 2π −∞ µ2 e−αx dx = √ e− 4α , 2α ∞ e−αx dx = π α −∞ µ2 x2 f (x) = e− ; fˆ (µ) = e− Khi ta nói f fˆ có dạng giống µ2 Vậy biến đổi Fourier hàm f (x) fˆ (µ) = √ e− 4α 2α Nếu α = 2.4 Tích phân Laplace 2.4.1 Một số khái niệm Giả sử f hàm biến thực phức biến t > s tham số thực phức Biến đổi Laplace f xác định ký hiệu ∞ e−st f (t)dt F (s) = (Lf (t)) = τ e−st f (t)dt = lim τ →∞ (2.4.1) Biến đổi Laplace hàm f (t) gọi tồn tích phân (2.4.1) hội tụ miền Trường hợp tích phân phân kỳ ta nói khơng tồn biến đổi Laplace xác định hàm f Footer Page 47 of 258 45 Header Page 48 of 258 Ký hiệu L(f ) sử dụng cho biến đổi Laplace hàm f , tích phân tích phân Riemann thơng thường với cận vô tận Hàm F (s) gọi hàm ảnh biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace gọi thực hay phức biến số s hàm ảnh F (s) thực hay phức Tham số s thuộc miền đường thẳng thực mặt phẳng phức Chúng ta chọn s thích hợp cho tích phân (2.4.1) hội tụ Trong toán học kỹ thuật, miền biến đóng vai trị quan trọng Tuy nhiên, trường hợp đặc biệt, phương trình vi phân giải được, miền tham số s thường không cần xét đến Khi biến s phức ta thường sử dụng ký hiệu s = x + iy Ký hiệu L biến đổi Laplace, tác động lên hàm f = f (t) sinh hàm theo biến s hàm F (s) = L (f (t)) 2.4.2 Một số ví dụ Nếu f (t) ≡ với t ≥ 0, ∞ (Lf (t)) = e −st 1dt = lim τ →∞ e−st −s τ = lim τ →∞ e−sτ + −s s (2.4.2) Trường hợp s số thực dương ta nhận (1) = ; s > 0, s (2.4.3) s ≤ tích phân phân kỳ dĩ nhiên khơng có lời giải biến đổi Laplace Nếu s biến phức mà Re(s) > tính tốn tương tự ta có L(1) = Thực vậy, để kiểm tra tính tốn đây, ta cần đến s cơng thức Euler eiθ = cos θ + i sin θ; θ thực (2.4.4) Dĩ nhiên, ta có |eiθ | = Chúng ta cần chứng tỏ (có thể bỏ qua Footer Page 48 of 258 46 Header Page 49 of 258 dấu trừ cận lấy tích phân để đơn giản hóa tính tốn) est , e dt = s st (2.4.5) với số phức tùy ý s = x + iy khác Để thấy điều này, theo cơng thức Euler có nhận xét est dt = e(x+iy)t dt = ext cos ytdt + i ext sin ytdt Tích phân phần hai tích phân ta nhận ext e dt = [(x cos yt + y sin yt) + i(x sin yt − y cos yt)] x + y2 st Ta biểu diễn vế phải (2.4.5) sau est e(x+iy)t ext (cos yt + i sin yt)(x − iy) = = s x + iy x2 + y ext [(x cos yt + y sin yt) + i(x sin yt − y cos yt)] = x + y2 Như đẳng thức (2.4.5) chứng minh Thêm nữa, thu đẳng thức (2.4.3) tham số phức s lấy Re(s) = x > Bởi lim e−sτ = lim e−xτ e−iyτ = lim e−xτ = 0, τ →∞ τ →∞ τ →∞ nên ta nhận giới hạn (2.4.3) Sử dụng kết đây, tính L(cos ωt) L(sin ωt), với ω số thực Trước hết ta tính ∞ e(iω−s)t e dt = lim τ →∞ iω − s τ −st iωt iωt L(e ) = e = s − iω Bởi x = Re(s) > nên lim eiωt e−sτ = lim e−xt = Tương tự ta τ →∞ τ →∞ tính L(e−iωt ) = Sử dụng tính chất tuyến tính phép s + iω Footer Page 49 of 258 47 Header Page 50 of 258 biến đổi Laplace L tích phân tốn tử tuyến tính, ta suy L(eiωt ) + L(e−iωt ) eiωt + e−iωt =L 2 = L(cos ωt) Do L(cos ωt) = 1 + s − iω s + iω = s s2 + ω (2.4.6) Hoàn toàn tương tự L(sin ωt) = 2i 1 − s − iω s + iω = ω ; Re(s) > s2 + ω (2.4.7) Biến đổi Laplace hàm xác định phân đoạn xử lý dễ dàng sau Cho hàm  t f (t) = 1 ≤ t ≤ Từ định nghĩa phép biến đổi t > Laplace, ta có ∞ e−st f (t)dt L (f (t)) = te−st = −s 1 + s −st e e−st dt + lim τ →∞ −s τ 1 − e−s ; Re(s) > = s2 2.5 Mối liên hệ tích phân Fourier tích phân loại Cauchy Giả sử F (ζ) hàm xác định đường cong L Ta nhớ lại tích phân 2πi F (ζ) dζ ζ −z L gọi tích phân loại Cauchy Footer Page 50 of 258 48 (2.5.1) Header Page 51 of 258 + Trường hợp đường L đường thẳng, ta có   F + (z), Imz ≥ F (ζ) dζ =  F − (z), Imz < 2πi ζ − z (2.5.2) L + Nếu F (ζ) ∈ {{0}} tồn giới hạn hàm số F ± (z) trục thực giới hạn có mối liên hệ với F tích phân ∞ 1 F + (x) = F (x) + 2πi F (ζ) dζ ζ −x −∞ ∞ 1 F − (x) = − F (x) + 2πi F (ζ) dζ ζ −x (2.5.3) −∞ Hoặc biểu diễn theo hai công thức sau F + (x) − F − (x) = F (x) (2.5.4) ∞ F (ζ) dζ ζ −x F + (x) + F − (x) = πi (2.5.5) −∞ Tích phân (2.5.5) hiểu tốn đặc biệt với tích phân Fourier ∞ F (x) = √ 2π f (t)eixt dt (2.5.6) −∞ Thay biến thực x biến phức z ta nhận ∞ F (z) = √ 2π f (t)eizt dt (2.5.7) −∞ Tích phân (2.5.7) tích phân tương ứng mặt phẳng z = x + iy (ở tích phân tuyệt đối giống nhau) Nếu lớp {{0}} không đặt vào trục thực, tích phân (2.5.7) phần Footer Page 51 of 258 49 Header Page 52 of 258 phân tích tích phân (2.5.6) mặt phẳng phức z = x + iy Tích phân (2.5.7) gọi tích phân Fourier Khi thay giá trị tích phân Fourier vào mặt phẳng phức trước tiên ta thiết lập mối liên hệ tích phân Fourier tích phân Cauchy với F (x) lấy theo trục Ta có: ∞ ∞ F (ζ) dζ = ζ −z 2πi 2πi −∞ −∞ ∞ =√ 2π eiζt dζ + √ ζ −z 2π f (t)dt 2πi −∞ −∞ ∞ 1 dζ √ ζ −z 2π f (t)eiζt dt −∞ ∞ ∞ f (t)dt 2πi eiζt dζ ζ −z −∞ Ta xét hai trường hợp (∗) Trường hợp điểm z nằm nửa mặt trục Ta có ∞ F (ζ) dζ ζ −z 2πi −∞ ∞ = 2πi −∞ eiζt dζ √ ζ −z 2π ∞ f (t)dt + 2πi −∞ −∞ eiζt dζ √ ζ −z 2π ∞ f (t)dt ∞ =√ 2π f (t)eizt dt; (Imz > 0) Do ∞ 2πi eiζt dζ = 0; Imz < ζ −z −∞ ∞ 2πi eiζt dζ = eizt ; Imz > ζ −z −∞ nên ∞ 2πi −∞ Footer Page 52 of 258 ∞ F (ζ) dζ = √ ζ −z 2π f (t)eizt dt; Imz > 0 50 (2.5.8) Header Page 53 of 258 (∗∗) Trường hợp điểm nằm nửa mặt Bằng lập luận tương tự ta ∞ 2πi −∞ F (ζ) dζ = − √ ζ −z 2π f (t)eizt dt; Imz < (2.5.9) −∞ Trong thực tế ta chứng minh ngược lại từ vế bên phải công thức cuối ta rút vế trái công thức Trước tiên ta thiết lập hai hệ thức liên kết eizt hệ số Cauchy Giả sử công thức t ζ số thực, z = x + iy ζ −z số phức Ta có ei(z−ζ)t = e−yt ei(x−ζ)t , y t dấu t → ∞ ei(z−ζ)t → Từ đó, ta nhận cơng thức sau ∞ e i(z−ζ)t ei(z−ζ)t dt = i(z − ζ) e i(z−ζ)t ei(z−ζ)t dt = i(z − ζ) −∞ ∞ ; Imz > i(ζ − z) = 0 =− −∞ ; Imz < i(ζ − z) (2.5.10) (2.5.11) Từ đó, ta nhận ∞ √ 2π ∞ f (t)eizt dt = 2π ∞ −∞ ∞ = F (ζ)e−itζ dζ eizt dt 2π ∞ ei(z−ζ)t dt F (ζ)dζ −∞ Theo (2.5.10) (2.5.11) ta nhận công thức (2.5.8) (2.5.9) Tuy nhiên vấn đề thực tế, để thuận tiện ta lấy công thức khởi đầu ∞ f (t) = √ 2π Footer Page 53 of 258 F (x)e−ixt dx −∞ 51 (2.5.12) Header Page 54 of 258 Tiếp theo ta chứng minh công thức ∞ F (x) = √ 2π f (t)eixt dt −∞ suy từ công thức (2.5.2) đồng thời theo (2.5.8) (2.5.9) ta có ∞ F + (z) = √ 2π f (t)eizt dt, 0 F − (z) = − √ 2π f (t)eizt dt −∞ Trong trường hợp với biến z tích phân thu giá trị giới hạn hàm số F ± (z) trục cách thay z vào x sau việc áp dụng cơng thức (2.5.3) 2.6 Một số ứng dụng Phần trình bày số ứng dụng tích phân vừa trình bày (tích phân lớp hàm chỉnh hình) 2.6.1 Bài tốn biên Riemann-Hilbert Bài tốn đặt sau: tìm hàm biến phức f (z) = u(z) + iv(z) chỉnh hình miền D liên tục D thỏa mãn biên ∂D điều kiện a(ζ)u(ζ) − b(ζ)v(ζ) = c(ζ) (2.6.1) a, b, c hàm số thực ∂D Ý tưởng giải toán diễn giải sau Trước hết, D miền liên thông việc sử dụng tốn ánh xạ quy trường hợp D đường tròn đơn vị |z| < Trường hợp này, giả định thêm hm s a, b, c tha iu kin Hăolder a2 + b2 = khắp nơi ∂D Điều kiện biên (2.6.1), viết lại dạng 2Re(a + ib)f (ζ) = (a + ib)f (ζ) + (a − ib)f (ζ) = 2c Footer Page 54 of 258 52 (2.6.2) Header Page 55 of 258 Bên đường trịn đơn vị ta có f∗ (z) = f z¯ (2.6.3) Biểu thức F (z) hàm số f (z) nằm hình trịn |z| < f∗ (z) nằm bên Giá trị giới hạn F (z) ∂D bên phải F + (ζ) = f (ζ), giá trị giới hạn bên trái F − (ζ) = f (ζ) Khi đó, điều kiện (2.6.2) viết lại sau (a + ib)F + (ζ) + (a − ib)F − (ζ) = 2c; (2.6.4) F − (ζ) = A(ζ)F + (ζ) + B(ζ) (2.6.5) với −2c a + ib , B(ζ) = (2.6.6) a − ib a − ib Vì vậy, lời giải tốn Riemann – Hilbert quy lời giải A(ζ) = − tốn Hilbert – Privalov [4] Tuy nhiên, khơng phải lời giải F (z) toán (2.6.5) cho lời giải toán (2.6.2), điều kiện (2.6.3) liên kết giá trị F (z) tương xứng với số điểm vòng tròn, nói chung khơng thỏa mãn Tuy nhiên, với lời giải F (z) dễ dàng xây dựng lời giải thỏa mãn điều kiện Để làm điều này, với hàm F (z) ta xét hàm F∗ (z) = F z¯ Lưu ý rằng, hàm thỏa mãn điều kiện (2.6.4) nên thỏa mãn điều kiện (2.6.5) Như thế, hàm {F (z) + F∗ (z)} đương nhiên thỏa mãn điều kiện (2.6.4) Như vậy, hình trịn đơn vị ta nhận lời giải toán biên Riemann–Hilbert Footer Page 55 of 258 53 Header Page 56 of 258 2.6.2 Ứng dụng tích phân Fourier vào tìm nghiệm tốn Dirichlet nửa mặt phẳng Cho phương trình ∂ 2u ∂ 2u + = 0, ∂x2 ∂y −∞ < x < ∞, (2.6.7) y > thỏa mãn điều kiện u (x, 0) = f (x) , −∞ < x < ∞ (2.6.8) Ta tìm nghiệm phương trình (2.6.7) Giả sử hàm có tính chất đủ tốt, ta có ∞ uˆ (µ, y) = √ 2π u (x, y) e−iµx dx −∞ Ta có ∂u ∂x ∂ 2u ∂x2 ∧ = iµˆ u, ∧ = −µ2 uˆ, ∧ ∂ 2u ∂ uˆ = ∂y ∂y Từ (2.6.7) (2.6.8) ta có ∂ uˆ −µ uˆ + = ∂y (2.6.9) Giải phương trình (2.6.9) ta nghiệm uˆ (µ, y) = C1 e−|µ|y + C2 e|µ|y Vì e−|µ|y khơng có biến đổi Fourier ngược, nên ta xét trường hợp C2 = Khi uˆ (µ, y) = C1 e−|µ|y , điều kiện (2.6.8) nên ta có uˆ (µ, y) = fˆ (µ) e−|µ|y Footer Page 56 of 258 54 Header Page 57 of 258 Đặt gˆ (µ) = e−|µ|y , ∞ g (x, y) = √ 2π −∞  =√  2π ∞ gˆ (µ) eixµ dµ = √ 2π e−|µ|y eixµ dµ −∞ ∞ e(ix+y)µ dµ + −∞  e(ix−y)µ dµ 1 =√ − 2π ix + y ix − y y π x2 + y 2y =√ = 2π x2 + y Từ ta có ∞ u (x, y) = (f ∗ g) (x, y) = g (x − t, y) f (t) dt −∞ ∞ = π −∞ y f (t) dt (x − t)2 + y Vậy nghiệm phương trình Dirichlet ∞ u (x, y) = π −∞ y f (t) dt (x − t)2 + y 2.6.3 Ứng dụng tích phân Laplace giải số phương trình đạo hàm riêng đặc biệt Cho phương trình a ∂u ∂ 2u ∂u ∂ 2u + b + cu + a + b =0 1 ∂x2 ∂x ∂t2 ∂t (2.6.10) a, b, c, a1 , b1 hàm số liên tục biến số x với điều kiện ≤ x ≤ l t > Đối với tốn có hai trường hợp phân biệt sau Trường hợp Nếu a1 < 0, (2.6.10) phương trình Hypebol Footer Page 57 of 258 55 Header Page 58 of 258 Trường hợp Nếu a1 = b1 < 0, (2.6.10) phương trình Parabol Để tìm nghiệm u(x, t) phương trình (2.6.10) với ≤ x ≤ l, t > thỏa mãn điều kiện ban đầu u(x, 0) = ϕ(x), ∂u(x, 0) = ψ(x) ∂t (2.6.11) điều kiện biên u(0, t) = f (t), α ∂u(l, t) ∂u(l, t) +β = γu(l, t) ∂x ∂t (2.6.12) α, β, γ số Đặt ∞ u(x, t)e−st dt (2.6.13) ∂u −st ∂U e dt = ∂x ∂x (2.6.14) ∂ 2U ∂ u −st e dt = ∂x2 ∂x2 (2.6.15) U (x, s) = ta nhận ∞ ∂u L = ∂x ∂ 2u = L ∂x2 ∞ Sử dụng công thức đạo hàm gốc ta L ∂u ∂ 2u ∂u(x, 0) = sU − u(x, 0); L = s U − su(x, 0) − ∂t ∂t2 ∂t Từ kiện đầu toán ta nhận L ∂u = sU − ϕ(x) ∂t (2.6.16) ∂ 2u L = s2 U − sϕ(x) − ψ(x) ∂t (2.6.17) Đặt F (s) = L[f (t)], ta có U |x=0 = F (s), [α Footer Page 58 of 258 ∂U + β(sU − ϕ)] ∂x 56 = γ U |x=1 x=1 (2.6.15) Header Page 59 of 258 Thay điều kiện (2.6.14), (2.6.15), (2.6.16), (2.6.17) vào phương trình (2.6.10), ta phương trình tốn tử ∂ 2u ∂u a +b + AU + B = ∂x ∂x với A = c + a1 s2 + b1 s, B = −a1 sϕ − a1 ϕ − b1 ϕ Footer Page 59 of 258 57 Header Page 60 of 258 KẾT LUẬN Luận văn hệ thống hóa số kiến thức về: Tích phân Cauchy, tích phân loại Cauchy, tích phân Fourier, tích phân Laplace Mục đính đề tài nghiên cứu số biểu diễn dạng tích phân hàm chỉnh sau Ứng dụng tích phân loại Cauchy vào giải số tốn biên phương trình đạo hàm riêng Ứng dụng tích phân Fourier vào tìm nghiệm tốn Dirichlet nửa mặt phẳng Ứng dụng tích phân Laplace việc giải số phương trình đạo hàm riêng đặc biệt Tác giả chân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp thành viên hội đồng để luận văn hoàn thiện Footer Page 60 of 258 58 Header Page 61 of 258 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Đ T Cấp (2003), Bài tập hàm biến phức, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] N V Khuê, L M Hải (2006), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] B V Sabat (1979), Nhập mơn giải tích phức, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [4] H Triebel (1978), Interpolation theorem, Function spaces differential operators, Berlin Footer Page 61 of 258 59 ... ? ?Biểu diễn tích phân hàm chỉnh hình? ?? Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biểu diễn tích phân hàm chỉnh hình sau nêu số ứng dụng lý thuyết thực tiễn Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu tính chất hàm. .. hàm chỉnh hình, hệ thống phương pháp biểu diễn tích phân hàm chỉnh hình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung Footer Page of 258 Header Page of 258 nghiên cứu số phương pháp biểu diễn tích. .. diễn tích phân hàm chỉnh tích phân Cauchy, tích phân Fourier, tích phân Laplace ứng dụng hàm chỉnh hình việc giải phương trình vi phân thường số phương trình đạo hàm riêng đặc biệt Phương pháp nghiên