Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa

Header Page of 166 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG VĂN LUẬN THẾ VỊ LỚP ĐƠN VÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI HÀM ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI - NĂM 2015 Footer Page of 166 Header Page of 166 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Góc khối 1.2 Mặt Lyapunov 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại II 19 1.4 Phương trình Laplace 21 1.5 Tính nghiệm toán Neumann 23 Thế vị lớp đơn toán Neumann hàm điều hòa 28 2.1 Thế vị lớp kép 28 2.2 Thế vị lớp đơn 30 2.3 Đưa toán Neumann phương trình Laplace phương trình tích phân 42 2.4 Sự tồn nghiệm toán Neumann 44 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Footer Page of 166 Header Page of 166 Mở đầu Nghiệm phương trình Laplace quan trọng toán học mà đặc biệt toán vật lý, sinh học Việc tìm nghiệm toán Laplace cần thiết, có nhiều phương pháp để tồn nghiệm Một phương pháp phương pháp vị Đó phương pháp tìm nghiệm phương trình dạng vị hàm điều hòa Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bầy số khái niệm tính chất bao gồm: định nghĩa góc khối; định nghĩa mặt Lyapunov tính chất mặt Lyapunov với đánh giá có liên quan; định nghĩa phương trình tích phân Fredholm loại II, định lý Fredholm cuối trình bày toán Neumann ngoài, tính nghiệm toán Chương 2: Thế vị lớp đơn toán Neumann cho hàm điều hòa Nội dung chương chứng minh tồn nghiệm toán Neumann cho hàm điều hòa, gồm bước: Đầu tiên ta đưa khái niệm vị lớp đơn tính chất Bước thứ ta chuyển toán Neumann phương trình Laplace phương trình tích phân Fredholm loại II Bước thứ ta khảo sát tồn nghiệm toán Các kết luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [1],[2], [3] Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Hoàng Văn Luận Footer Page of 166 Header Page of 166 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thầy dành nhiều thời gian quý báu để kiên trì hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Tôi muốn gửi tới toàn thể thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt thầy cô tham gia tham gia giảng dạy nhóm Giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, anh chị em nhóm Cao học Toán 2012-2014, đặc biệt anh chị em nhóm Giải tích quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để hoàn thành khóa học Footer Page of 166 Header Page of 166 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Góc khối Cho S mặt trơn, nói chung không kín, định hướng, xét phía xác định − S vectơ pháp tuyến → n hướng phía ấy, mà ta quy ước pháp tuyến dương Giả sử P điểm nằm không gian cho với điểm −→ − π Q ∈ S → r = P Q hợp với − n→ Q góc nhỏ tức là: − cos(→ r ,− n→ Q) ≥ (1.1) −→ Từ P, xét tất bán kính vectơ P Q, Q ∈ S Các bán kính vectơ lấp đầy khối nón, đỉnh P đường sinh mặt bên tựa biên mặt S Từ P, xét mặt cầu đơn vị tâm P, kí hiệu σ1 Mặt cầu cắt khối nón theo mảnh cầu σ1 , có diện tích |σ1 | Khi phần không gian chiếm khối nón nói gọi góc khối mà từ P nhìn mặt S Diện tích |σ1 | gọi số đo góc khối, kí hiệu ωP (S) = |σ1 | (1.2) Chú ý 1.1 Nếu xét mặt cầu tâm P bán kính R : R cắt khối nón theo mảnh σR có diện tích |σR | tính đồng dạng σR σ1 ta có : |σ11 | = |σRR2 | Do ta viết: ωP (S) = Footer Page of 166 |σR | R2 (1.3) Header Page of 166 −→ → − → − Nếu pháp tuyến dương − n→ hợp với bán kính vectơ r góc tù cos( r, nQ ) ≤ Q ta quy ước số đo góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm ωP (S) = − |σR | R2 (1.4) −→ − Giả sử S mặt trơn mảnh mảnh đại lượng cos(→ r, nQ ) đổi −→ − dấu, ta chia S thành nhiều mảnh nhỏ S cho cos(→ r, n ) không đổi dấu j Q Khi ta đặt ωP (S) ≡ ωP (Sj ) (1.5) j Định lí 1.1 (Định lý 5.3.1, [1]) Giả sử P ∈ / S Góc khối mà từ điểm P nhìn mặt S có giá trị ∂ ωP (S) = − ( )dSQ ∂nQ r S r=PQ khoảng cách hai điểm P Q, − n→ Q pháp tuyến dương Q ∈ S , ∂n∂Q đạo hàm theo hướng − n→ Q −→ − Chứng minh Ta xét trường hợp mặt S mà cos(→ r, nQ ) không đổi dấu,trong −→ − trường hợp ngược lại, ta chia S thành mảnh nhỏ Sj cho cos(→ r , nQ ) không −→ đổi dấu Khi P Q cắt S Q −→ − Giả sử cos(→ r ,n ) ≥ Q Xét mặt cầu R tâm P với bán kính R đủ nhỏ cho σR không cắt S Xét miền D giới hạn mặt S, mặt σR phần không gian nằm S σR Kí hiệu S0 Ta ý hàm 1r hàm điều hòa D ∪ S ∪ σR ∪ S0 theo tính chất hàm điều hòa ta có: S∪σR ∪S0 ∂ ( )dSQ = ∂νQ r − ν→ Q pháp tuyến miền D điểm Q Footer Page of 166 (1.6) Header Page of 166 → − Trên mặt nón S0 véctơ − ν→ Q thẳng góc với r nên ta có − − − cos(→ r ,→ ν) ∂ ( )= =0 ∂ν r r2 (1.7) Trên mặt S, ta có − − → ν→ Q = −nQ nên ∂ ( )dSQ = − ∂νQ r ∂ ( )dSQ ∂nQ r S (1.8) S Trên σR ta có: σR ∂ ( )dSQ = ∂νQ r σR ∂ 1 ( )dSQ = − ∂nQ r R dSQ = −|σR | R2 (1.9) σR Từ công thức (1.6), (1.7), (1.8) (1.9) ta có ∂ ( )dSQ + ωP (S) = ∂nQ r S hay ∂ ( )dSQ ∂nQ r ωP (S) = − (1.10) S −→ − Nếu cos(→ r, nQ ) ≤ mặt S ta có: − − → ν→ Q = nQ ∂ ( )dSQ = ∂νQ r S ∂ ( )dSQ ∂nQ r S Từ đẳng thức ωP (S) = Footer Page of 166 −|σR | R2 (1.11) Header Page of 166 suy −|σR | ∂ ( )dSQ = − = ωP (S) ∂nQ r R ∂ ( )dSQ = ∂νQ r − S (1.12) S Vậy ta có (1.10) 1.2 Mặt Lyapunov Dưới định nghĩa mặt Lyapunov không gian ba chiều 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Mặt S gọi mặt Lyapunov thỏa mãn điều kiện sau: 1) Tại điểm mặt S tồn pháp tuyến xác định → − − 2) Gọi Q Q’ điểm nằm mặt S → n , n hai vectơ pháp → − − tuyến tương ứng Q Q’, ϕ góc hợp vectơ pháp tuyến (ϕ = (→ n , n )), r khoảng cách hai điểm Q,Q’ r = QQ Khi tồn số dương A α cho: ϕ ≤ Arα (1.13) Nhận xét 1.1 Nếu mặt S có phương trình z = f (x, y) f (x, y) hàm có đạo hàm cấp hai liên tục S mặt Lyapunov Do mặt cong có độ cong liên tục mặt Lyapunov Hơn định nghĩa định lý phần không gian n chiều tổng quát Footer Page of 166 Header Page of 166 Định lí 1.2 (Định lý 5.4.2, [1]) Giả sử S mặt Lyapunov kín Khi tồn số dương d > cho lấy điểm Q S làm tâm bán − kính d đường thẳng song song với pháp tuyến → n Q cắt mặt S phía hình cầu không điểm Mặt cầu với tâm điểm Q ∈ S nói gọi mặt cầu Lyapunov, kí hiệu (Q) Chứng minh Chọn d đủ nhỏ cho: Adα ≤ (1.14) Ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại, tồn hình cầu bán kính d → − − n0 tâm Q0 ∈ S cắt mặt S theo mảnh S (Q0 ) cho có tia qua Q0 ; n0 //→ S cắt S (Q0 ) điểm Q Q’ Giả sử pháp tuyến mặt S → − pháp tuyến trong, gọi Q điểm mặt S n0 hướng phía ngoài, Q’ → − điểm n0 hướng vào phía S Xét mặt phẳng tiếp xúc Q với − − S Khi đó, → n → n0 nằm phía mặt phẳng tiếp xúc đó: → − π − − − (→ n,→ n0 ) = (→ n , n0 ) > > Điều sảy theo (1.13) (1.14) ta phải có: − − (→ n,→ n0 ) ≤ Arα ≤ Adα ≤ → − Trường hợp n0 tiếp xúc với s (Q0 ) xảy → − π − − − (→ n,→ n0 ) = ( → n , n0 ) = > Vậy định lý chứng minh 1.2.2 Một vài đánh giá Footer Page of 166 Header Page 10 of 166 Giả sử Q0 điểm cố định nằm mặt S S (Q0 ) phần mặt nằm mặt cầu Lyapunov tâm Q0 Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với − gốc Q0 , trục Q0 ζ trùng với pháp tuyến → n0 Q0 trục Q0 ξ Q0 η nằm mặt phẳng tiếp xúc với S Q0 Theo Định lý 1.1 phần mặt S (Q0 ) biểu diễn hệ tọa độ Q0 ξηζ phương trình ζ = f (ξ, η) (1.15) − Gọi Q(ζ, ξ, η) điểm chạy mặt S (Q0 ) ; → n pháp tuyến Q r = − Q0 Q Ta đánh giá cosin phương → n , đại lượng f (ξ, η) (1.15) − − cos(→ r ,→ n ) theo r Q chạy mặt S (Q0 ) → − − a) Đại lượng cos(→ n, ζ ) Đặt: → − − − − ϕ = (→ n , ζ ) = (→ n,→ n0 ) (1.16) Ta có: cos ϕ = − ϕ2 ϕ4 + − = 2! 4! (−1)n n=0 ϕ2n (2n)! (1.17) chuỗi đan dấu có số hạng đơn điệu giảm, nên chuỗi ta giữ số hữu hạn hạng thức, phần dư có dấu hạng thức phần dư Từ ϕ2 cos ϕ ≥ − Theo công thức (1.13) ta có: cos ϕ ≥ − A2 r2α Mặt khác (1.14) nên mặt cầu Lyapunov chọn: Footer Page 10 of 166 (1.18) Header Page 39 of 166 ) (P ) Xét S mặt Liapunốp kín Ta ký hiệu ∂V∂n(P ∂V ∂n0e giá trị giới 0i − hạn ∂V∂n(P0 ) P → n0 dần tới P0 ∈ S từ mặt S từ mặt S vào Định lí 2.8 (Định lý 5.10.2, [1]) Nếu S mặt Lyapunov kín, µ(Q) hàm liên tục mặt S, ta có ∂V (P0 ) ∂V (P0 ) = − 2πµ(P0 ), ∂n0i ∂n0 ∂V (P0 ) ∂V (P0 ) = + 2πµ(P0 ) ∂n0e ∂n0 (2.18) Chứng minh Xét vị lớp kép tương ứng với mật độ µ(Q): ∂( rP1Q ) W (P ) = ∂nQ µ(Q)dSQ (2.19) S lập tổng Z(P)= ∂V∂n(P0 ) ∂( r ) PQ + W (P ) = S ∂n0 + ∂( r ) PQ µ(Q)dSQ = ∂nQ S cos ψ−cos θ µ(Q)dSQ rP2 Q −→ − ψ = (P Q, → n0 ) −→ → θ = (P Q, − n ) Q Ta chứng minh tổng Z(P) hàm liên tục P chuyển động → − n0 qua P0 ∈ S Ta chứng minh tích phân Z(P) hội tụ P = P0 Xét mặt cầu Σ(P0 , R) tâm P0 , bán kính R đủ nhỏ mà ta xác định sau Mặt cầu Σ(P0 , R) chia mặt S lầm hai phần: S (P0 ) bên trong, S”(P0 ) bên mặt cầu Trong định nghĩa tích phân hội tụ đều, ta việc chọn lân − cận δ(ε) điểm P0 lân cận đủ nhỏ chứa điểm P0 pháp tuyển → n0 chẳng hạn khoảng AB cho: P0 A = P B R miền chọn ω(ε) mảnh S (P0 ) Khi đó, tích phân Z(P) thỏa mãn hai điều kiện nêu định nghĩa tích phân hội tụ Chú ý 38 Footer Page 39 of 166 Header Page 40 of 166 P ∈ AB, Q ∈ S”(P0 ) rP Q > R nên rõ ràng tích phân: cos ψ − cos θ µ(Q)dSQ r2 S”(P0 ) liên tục với P Điều kiện 1) thỏa mãn Ta kiểm tra điều kiện 2) Muốn vậy, − ta đưa vào hệ tọa độ địa phương P0 ξηζ với P0 ζ trùng với pháp tuyến → n0 cònP0 ξη mặt phẳng tiếp xúc S P0 Gọi G (P0 ) hình chiếu S (P0 ) xuống P0 ξη Để đánh giá tích phân cos ψ − cos θ µ(Q)dSQ r2 S (P0 ) ta hay đánh giá cos ψ − cos θ Kí hiệu −→ → − r = PQ ký hiệu (0,0,z) tọa độ điểm P, (ξ, η, ζ) tọa độ Q, ta có: − − − → − → − → → cos θ = cos(→ r ,− n→ Q ) = cos( r , ξ ) cos(nQ , ξ )+ → − → − − − − − + cos(→ r ,→ η ) cos(− n→, → η ) + cos(→ r , ζ ) cos(− n→, ζ ) = Q Q → − → − η ζ −z ξ → − cos(− n→ cos(− n→ cos(− n→ Q, ξ ) + Q, η ) + Q , ζ ) r r r → − − Mặt khác cos ψ = cos(→ r , ζ ) = ζ−z r Từ = → − → − η ζ −z ξ − → → − cos ψ−cos θ = − cos(− n→ − cos(− n→ Q , ξ )− cos(nQ , η )+ Q , ζ ) (2.20) r r r Ký hiệu r0 = P0 Q đánh giá (1.22), (1.23), (1.18) cần R lyapunov) ta có: → − − → → − | cos(− n→ Q , ξ )|, | cos(nQ , η )| → − 2α cos(− n→ Q , ζ ) ≥ − A r0 39 Footer Page 40 of 166 Ar0α d (bán kính Header Page 41 of 166 tức là: → − − cos(− n→ Q, ζ ) 2α α Ar Ar 2 n0 bé Từ (2.12), (2.13) (2.11) ta có đánh giá → − − → → − | cos ψ − cos θ| cos(− n→ Q , ξ )| + | cos(nQ , η )|+ → − + |1 − cos(− n→ Cr0α Q, ζ ) (2.21) (2.22) Gọi ρ hình chiếu r0 (cũng r) xuống P0 ξη ta có ρ r (2.23) Kρ (2.24) Mặt khác (1.31) r0 Từ (2.13), (2.14) ta có: cos ψ − cos θ | | r2 r0α C r ρα M M = 2−α ρ ρ Từ (1.19) ta có cos ψ − cos θ µ(Q)dSQ | r2 | S (P0 ) M dSQ = r2−α S (P0 ) G (P0 ) dξdη M → − r2−α cos(− n→ Q, ζ ) M dξdη r2−α ρ2−α 2M (2.25) G (P0 ) Miền G (P0 ) nằm mặt tròn tâm P0 bán kính, | cos ψ − cos θ µ(Q)dSQ | r2 S (P0 ) 2M dξdη ρ2−α G (P0 ) 4πM α dξdη = R ρ2−α α ρ