Luận văn thế vị lớp đơn và bài toán newmann đối với hàm điều hòa

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN HOÀNG VĂN LU N TH V L P ĐƠN VÀ BÀI TOÁN NEUMANN Đ I V I HÀM ĐI U HÒA Chuyên ngành: TOÁN GI Mã s : 60.46.01.02 LU N VĂN TH C S KHOA H C Ngư i hư ng d n khoa h c PGS.TS HÀ TI N NGO N HÀ N I - NĂM 2015 I TÍCH M cl c M đu Ki n th c chu n b 1.1 Góc kh i 41.2 M t Lyapunov 1.3 Phương trình tích phân Fredholm lo i II 19 1.4 Phương trình Laplace 21 1.5 Tính nh t nghi m c a toán Neumann 23 Th v l p đơn toán Neumann đ i v i hàm u hòa 28 2.1 Th v l p kép 28 Th v l p đơn 2.2 30 2.3 Đưa toán Neumann c a phương trình Laplace v phương trình tích phân 42 2.4 S t n t i nghi m c a toán Neumann 44 K t lu n 51 Tài li u tham kh o 52 M đu Nghi m c a phương trình Laplace r t quan tr ng toán h c mà đ c bi t toán v t lý, sinh h c Vi c tìm nghi m c a toán Laplace c n thi t, có nhi u phương pháp đ ch s t n t i nghi m c a M t nh ng phương pháp phương pháp th v Đó phương pháp tìm nghi m c a phương trình dư i d ng m t th v c a hàm u hòa b n C u trúc lu n văn g m chương: Chương Ki n th c chu n b Chương trình b y m t s khái ni m tính ch t bao g m: đ nh nghĩa v góc kh i; đ nh nghĩa v m t Lyapunov tính ch t c a m t Lyapunov v i đánh giá có liên quan; đ nh nghĩa v phương trình tích phân Fredholm lo i II, đ nh lý Fredholm cu i trình bày v toán Neumann ngoài, tính nh t nghi m c a toán Chương 2: Th v l p đơn toán Neumann cho hàm u hòa N i dung c a chương ch ng minh s t n t i nghi m c a toán Neumann cho hàm u hòa, g m bư c: Đ u tiên ta đưa khái ni m th v l p đơn tính ch t c a Bư c th ta chuy n toán Neumann c a phương trình Laplace v phương trình tích phân Fredholm lo i II Bư c th ta kh o sát s t n t i nghi m c a toán Các k t qu lu n văn đư c trình bày d a tài li u tham kh o [1],[2], [3] Hà N i, tháng năm 2015 H c viên Hoàng Văn Lu n L i c m ơn Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n t n tình c a PGS.TS Hà Ti n Ngo n Th y dành nhi u th i gian quý báu c a đ kiên trì hư ng d n gi i đáp th c m c c a su t c trình làm lu n văn Tôi mu n bày t lòng bi t ơn chân thành sâu s c nh t t i ngư i th y c a Tôi mu n g i t i toàn th th y cô Khoa Toán-Cơ-Tin h c trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, th y cô đ m nh n gi ng d y khóa Cao h c 2012 - 2014, đ c bi t th y cô tham gia tham gia gi ng d y nhóm Gi i tích 2012-214 l i c m ơn chân thành đ i v i công lao d y d su t th i gian c a khóa h c Tôi xin c m ơn gia đình, b n bè, đ ng nghi p, anh ch em nhóm Cao h c Toán 2012-2014, đ c bi t anh ch em nhóm Gi i tích quan tâm, giúp đ , t o u ki n đ ng viên tinh th n đ có th hoàn thành khóa h c Chương Ki n th c chu n b 1.1 Góc kh i Cho S m t trơn, nói chung không kín, đ nh hư ng, xét m t phía xác đ nh c a S vectơ pháp − ng v phía y, mà ta quy c pháp n n hư → dương n Gi s P m t m b t kỳ n m không gian cho v i m b t kỳ Q ∈S π − = −→ p v −Q m t góc nh ho c b ng t c là: h i → PQ r n cos(− , − ) ≥ Q → (1.1) →n r→ −→ T P, xét t t c bán kính vectơ P Q , Q ∈ S Các bán kính vectơ l p đ y kh i nón, đ nh P đư ng sinh c a m t bên t a biên c a m t S T P, xét m t c u đơn v tâm P, kí hi u σ1 M t c u y c t kh i nón theo m nh c u σ1, có di n tích |σ1| Khi ph n không gian chi m b i kh i nón nói đư c g i góc kh i mà t P nhìn m t S Di n tích |σ1| đư c g i s đo c a góc kh i, đư c kí hi u ωP (S) = |σ1| Chú ý 1.1 N u xét m t c u tâm P bán kính R : R c t kh i nón theo m nh σR có di n tích |σR| tính đ ng d ng c a σR σ1 ta có : |σ11| = |σR2| R Do ta có th vi t: ωP (S) = |σR| (1.2) R2 (1.3) −Q h p v i bán kính vectơ − t góc tù cos(−, nQ) ≤ m → →−→ n r r → ta quy c s đo c a góc kh i mà t P nhìn S có giá tr âm N u pháp n dương ωP (S) = −|σR| R (1.4) Gi s S m t trơn t ng m nh m i m nh đ i lư ng cos(−, nQ) đ i →−→ r d u, ta chia S thành nhi u m nh nh Sj cho cos(−, nQ) không đ i d u → −→ Khi ta đ t r ωP (Sj) ω (S) ≡ P j Đ nh lí 1.1 (Đ nh lý 5.3.1, [1]) Gi s P ∈ S Góc kh i mà t m P nhìn m t / S có giá tr b ng ωP (S) = − ∂ (1)dS Q ∂ nQ r r=PQ kho ng cách gi a hai m P − pháp n dương t i Q, Q n→ Q ∈ S, ∂ đ o hàm theo hư ng − ∂ Q n Q S n→ Ch ng minh Ta ch xét trư ng h p m t S mà cos(−, nQ) không đ i d u,trong →−→ r trư ng h p ngư c l i, ta chia S thành m nh nh Sj cho cos(− , nQ) không → −→ đ i d u Khi P Q −→ c t S t i Q nh t ch r Gi s cos(− , nQ) ≥ → −→ r Xét m t c u R tâm P v i bán kính R đ nh cho σR không c t S Xét mi n D gi i h n b i m t S, m t σR ph n không gian n m gi a S σR Kí hi u S0 (1.5) Ta ý r ng hàm hàm u hòa D ∪ S ∪ σR ∪ S0 theo tính r ch t c a hàm u hòa ta có: S∪σR∪S0 ∂ (1)dS = Q ∂ νQ r −Q pháp n đ i v i mi n D t i m Q ν→ (1.6) Trên m t nón S0 véctơ −Q th ng góc v − ta có → i nên ν → r ∂ (1) = − cos(− , − ) = ∂ν r →→ rν r Trên m t S, ta có → −Q = −−Q ν n→ nên ∂ (1)dS Q ∂ nQ r ∂ (1)dS = − Q ∂ νQ r S ∂ (1)dS = − Q ∂ (1)dS = Q σR (1.8) S Trên σR ta có: ∂ νQ r (1.7) σR dSQ = −|σ2R| R2 ∂ nQ r (1.9) R σR T công th c (1.6), (1.7), (1.8) (1.9) ta có S ∂ (1)dS + ω (S) = Q P ∂ nQ r hay ωP (S) = − N u cos(−, nQ) ≤ m t S ta có: →−→ S ∂ (1)dS Q ∂ nQ r (1.10) →n ν r −Q = −Q → ∂ (1)dS = Q ∂ νQ r ∂ ∂ nQ r (1)dS Q S S T đ ng th c ωP (S) = −|σ2R| R (1.11) ( S cho: T ∆u = Ω ì m (2.31) ∂u| = h f (P ); P∈S m ∂n S ( ) u ( P |u| A ) i n t c t r o n ∂ đ o hàm u|S đư c hi u đ o hàm đ u theo pháp n, hàm f (P ) ∂n hàm liên t c m t S R kho ng cách t P t i g c t a đ Ta kí hi u toán Neumann l n lư t là: Ni; Ne Đ i v i toán ta tìm nghi m dư i d ng th v l p đơn Ta bi t hàm u hòa Ω Ω , th a mãn phương trình (2.29) (2.31) sau ta bu c th v ph i th a mãn u ki n biên Sau ta đưa toán tìm nghi m u(P) v toán tìm hàm m t đ th v đó, v y g Ω ∪ OP → ∞ (2.33) R l ê đưa đ n nh ng phương trình tích phân đ xác đ nh hàm m t đ , c th sau: 2.3.1 Bài toán Neuimann ( Ni) Ta tìm nghi m dư i d ng th v l p đơn: µ(Q)dS u(P ) = S (2.34) Q r PQ Đi u ki n (2.30) có th vi t lim ∂u(P ) = ∂u(P0) = f (P0) (P ti n t ra) ∂ n0 ∂ n 0i P → P0 Dùng công th c th nh t c a (2.18) (cho (2.34)) ta đư c phương trình: ∂ ( )µ(Q)dS = −f (P ) 2πµ(P0) − S ∂n0 rP0Q Q hay µ(P0) − K(Q , P0)µ(Q)dSQ = F (P0) (2.35) S (2.36) K(Q , P0) = 21π ∂∂ (r ) n P0 Q F (P0) = −21π f (P0) V −0 pháp n c a m t S t i m P0 ∈ S nên ta có i n → K(Q , P0) = 21π ∂n (r ) = 21π ∂n (r ) ∂ P0 P0 Q ∂ P0 Phương trình liên h p c a (2.35) phương trình ν(P0) − K(P0, Q)ν(P )dSQ = Φ(P0) S QP0 43 2.3.2 Bài toán Neumann ( Ne) Ta tìm nghi m dư i d ng th v đơn (2.34) dùng công th c th hai c a (2.18) (2.32) vi t đư c: K(Q , P0)µ(P )dSQ = Φ(P0) µ(P0) + (2.37) S v i K(Q , P0) (2.35) Φ(P0) = 21π f (P0) Phương trình liên h p c a (2.37) phương trình sau ν(P0) + K(P0, Q)ν(P )dSQ = F (P0) (2.38) S 2.4 S t n t i nghi m c a toán Neumann 2.4.1 M t s tính ch t b sung c a th v l p đơn Tích phân phương trình (2.35), (2.37) tich phân l y m t S, t c m t đa t p hai chi u Nhân K(P,Q) nhân b t thư ng lo i y u Mu n th y rõ u y, ch c n vi t nhân dư i d ng ∂ ( ) = − cos(−0→ −Q) P−Q, n → r2 0Q P π K(P0, Q) = 2π ∂n r Q P0 Q Và t b t đ ng th c (1.35) Vì v y phương trình tích phân nói phương trình tích phân Fredholm lo i II ta có đ nh lý Fredhoom Trư c kh o sát phương trình ta xét b đ : B đ 2.2 (B đ 5.13.1, [1]) Gi s S m t Lyapunov kín, µ(Q) m t hàm liên t c S N u th v l p đơn µ(Q)dS rP Q V (P ) = S 44 Q (2.39) có đ o hàm theo pháp n ngoài: ∂V (P0) ≡ ∂ n 0e đ i v i m i P0 ∈ S, µ(Q) ≡ Ch ng minh Ta có th v (2.37) m t hàm u hòa k c thi t vô theo gi ∂V (P0) ≡ ∂ n 0e Như v y V(P) có th coi nghi m c a toán Neumann thu n nh t Theo đ nh lý nh t c a toán Neumann V (P ) ≡ Ω T suy Ve(P0) ≡ v i m i P0 ∈ S Nhưng V(P) m t hàm liên t c toàn không gian đ t bi t liên t c P xuyên qua m t S, nên t Vi(P0) = ta suy Vi(P0) ≡ Do đ nh lý nh t c a toán Dirichlet trong, nên t Vi(P0) ≡ ta suy V (P ) ≡ Ω T ta suy ∂V (P0) ≡ Ω ∂ n0 hay T đó, công th c (2.18) ta có ∂V (P0) ≡ ∂n0i ∂V (P0) − ∂V (P0) = 4πµ(P ) ≡ 0 ∂n0i ∂n0i 45 (2.40) B đ 2.3 (Đ nh lý 5.13.2, [1]) Gi s S m t Lyapunov kín, µ(Q) hàm liên t c N u đ i v i th v l p đơn (2.39) ta có Vi(P0) ≡ đ i v i m i P0 ∈ S, µ(Q) ≡ Ch ng minh Th t v y, t Vi ≡ ta suy V (P ) ≡ Ω, tương t ta có ∂V (P0) ≡ ∂n0i Do tính liên t c c a V(P) qua m t S, t Vi(P0) ≡ tính nh t c a toán Diriclê ngoài, suy V (P ) ≡ Ω v y ∂V (P0) ≡ ∂n0i Do (2.40), ta l i suy µ(P0) ≡ 2.4.2 S t n t i nghi m c a toán Neumann C p phương trình ng v i toán Neumann toán Dirichlet đư c g i c p phương trình liên h p th nh t là: µ(P0) + K(Q , P0)µ(Q)dSQ = Φ(P0) (2.41) K(P0, Q)ν(Q)dSQ = F (P0) (2.42) S ν(P0) + S Đ nh lí 2.9 (Đ nh lý 5.13.3, [1]) Các phương trình (2.41) (2.42) có nghi m nh t 46 Ch ng minh Do Đ nh lý 1.4 Đ nh lý 1.6 ch c n ch ng minh m t hai phương trình thu n nh t có nghi m t m thư ng Ta ch ng minh phương trình thu n nh t c a (2.41) ch có nghi m t m thư ng Th t v y   2π  µ(P0) + K(Q , P0)µ(Q)dSQ  = S = 2πµ(P0) + S (2.43) ∂ ( )µ(Q)dS = Q ∂n0 rP0Q Theo (2.18), (1.56) có th vi t ∂V (P0) = ∂n0e V(P) th v l p đơn Theo B đ 2.3 ta có µ(Q) = T Đ nh lý 1.4 ta suy đ nh lý sau v tính gi i đư c c a toán Neumann Đ nh lí 2.10 (Đ nh lý 5.13.4, [1]) Bài toán Dirichlet Neumann Ne v i b t kỳ v ph i liên t c f (P ) th a mãn u ki n biên đ u có nghi m nh t 2.4.3 Tính gi i đư c c a toán Neumann Phương trình tích phân thu n nh t ng v i toán Neumann là: µ(P0) − K(Q , P0)µ(Q)dSQ = (2.44) K(P0, Q)ν(Q)dSQ = (2.45) S phương trình liên h p v i ν(P0) − S Đ nh lí 2.11 (Đ nh lý 5.13.5, [1]) Các phương trình thu n nh t (2.44) (2.45) ch có m t nghi m đ c l p n tính 47 Ch ng minh Theo Đ nh lý 1.4 ta ch c n ch ng minh m t hai phương trình, ta s ch ng minh cho phương trình thu n nh t (2.45) Xét th v l p kép đ t bi t (tích phân Gauss): W0(P ) = S ∂ ( )dS Q ∂nQ rPQ Đ nh lý 2.3 ta có giá tr tr c ti p c a m t S b ng W0(P0) = 2π , P0 ∈ S u có nhĩa S ∂ ( )dS = 2π Q ∂nQ rP0Q hay 1− K(P0, Q)dSQ = S V y phương trình thu n nh t c a (2.45) có nghi m ν(Q) ≡ Bây gi ph i ch ng minh phương trình thu n nh t không th có nghi m khác đ c l p n tính v i nghi m nói Do Đ nh lý 1.4 ta ch c n ch ng minh phương trình thu n nh t liên h p v i không th có hai nghi m đ c l p n tính Th t v y, gi s phương trình thu n nh t c a (2.44) có hai nghi m µ1(P0) µ2(P0) khác Khi đó: ∂ ( )µ (Q)dS = 2πµ1(P0) − S ∂nQ rP0Q Q (2.46) ∂nQ rP0Q Q (2.47) ∂ ( )µ (Q)dS = 2πµ2(P0) − S N u ta xây d ng th v l p đơn V1(P ) = S ∂ ( )µ (Q)dS ∂nQ rP0Q 48 Q V2(P ) = S ∂ ( )µ (Q)dS ∂nQ rP0Q Q t h ì d o ( ) t a c ó t h v i t (2.4 ∂ h ng s n 6), (2.4 C1, C2 i C đ ó n u C1 = t h e o u d ng ∂ V ( P − đ y khác t 7) dư i C2 hi Đ = V ( , P n h ) ∀ ) = l ý n7 ∂ ( V ∈ V ( S V P (2.48) V )khi |V1(P ) − V2(P )|i = =và theo B đ 2.3 = i 0 P P ) − V P m t đ c a hi u Cđó (P0) − µ2(P0) = 0, ∀P0 ∈ S C2 , ∀ µ1 P ( ∈ Q S µ t c l h µ2 o đ Q ó , ( P t − t C1 ( µ , t e b V đ ) i S = = ( P µ C ( P V ) ) ( Q ≡ ) t r i t h ì v − i C g i V P t h i ( Q ) t , C ( Q ) ∈ − ≡ Bây gi ta xây d ng m t th v l p đơn V (P0) v i m t đ µ C S µ (Q) ≡ 0 (2.49) t c µ1(Q), µ2(Q) ph thu c S n tính l n (vì C1 = C2) V y ta có u p h i c h n g m i n h Đ nh lí 2.12 (Đ nh lý 5.13.6, [1]) Đi u ki n c n đ đ toán Neumann Ni có nghi m v ph i f(S) c a (2.30) ph i th a mãn h th c: f ( Q ) d S Q = Ch ng minh Ta ch ng minh đư c u ki n c n Chương Bây gi ta ph i ch ng minh u ki n đ Trong ch ng minh đ nh lý trư c, ta kh ng đ nh r ng phương trình thu n nh t liên h p v i (2.35) ch có nghi m đ c l p n tính (2.50) ν(Q) ≡ v y theo Đ nh lý 1.5 phương trình (2.35) gi i đư c ch (2.51) F (Q).1dSQ = S T (2.51) (2.36) suy (2.49) V y, (2.49) đư c th a mãn (2.35) gi i đư c theo (1.59) nghi m t ng quát c a ∗ µ(Q) = µ (Q) + Cµ0(Q) (2.52) C h ng s tùy ý, µ0(Q) nghi m c a phương trình thu n nh t (2.35) Thay (2.52)vào (2.32) ta đư c nghi m t ng quát c a toán Neumann (Ni) ∗ µ (Q)dS + C Q u(P ) = S r PQ µ (Q)dS S r PQ Q (2.53) Trong ch ng minh Đ nh lý 2.11 ta kh ng đ nh đư c r ng Ω th v l p đơn (2.34) m t h ng s n u hàm m t đ µ(Q) đư c thay th b i nghi m c a phương trình (2.53) V y tích phân th hai (2.53) h ng s , nghi m t ng quát c a toán Neumann là: ∗ u(P ) = u (P ) + const ∗ (2.54) v i u (P ) bi u th b i tích phân th nh t (2.53) m t nghi m riêng c a toán 50 K t lu n Lu n văn trình bày v n đ sau đây: - Các khái ni m góc kh i, đ l n c a góc kh i, m t Lyapunov kín S không gian ba chi u - Phương trình tích phân Fredholm lo i II tính gi i đư c c a chúng - Trình bày khái ni m th v l p đơn đư c sinh b i hàm m t đ m t cong kín Lyapunov tính ch t c a th v - Đưa toán Neumann c a hàm u hòa đ i v i mi n Ω ⊂ R3 v phương trình tích phân Fredholm biên S c a Ω - Trên s kh o sát phương trình tích phân Fredholm thu n nh t ch ng minh tính gi i đư c tính nh t nghi m c a toán Neumann đ i v i hàm u hòa 51 Tài li u tham kh o [1] Nguy n Th a H p (2005), Phương trình vi phân đ o hàm riêng, NXB Đ i H c Qu c Gia Hà N i [2] Tr n Đ c Vân (2005), Lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng, NXB Đ i H c Qu c Gia Hà N i [3] A V Bitsdze (1994), Partial differential equations, World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong 52 ... trình bày v toán Neumann ngoài, tính nh t nghi m c a toán Chương 2: Th v l p đơn toán Neumann cho hàm u hòa N i dung c a chương ch ng minh s t n t i nghi m c a toán Neumann cho hàm u hòa, g m bư... m c a toán Neumann 23 Th v l p đơn toán Neumann đ i v i hàm u hòa 28 2.1 Th v l p kép 28 Th v l p đơn 2.2 30 2.3 Đưa toán. .. S, m t σR ph n không gian n m gi a S σR Kí hi u S0 (1.5) Ta ý r ng hàm hàm u hòa D ∪ S ∪ σR ∪ S0 theo tính r ch t c a hàm u hòa ta có: S∪σR∪S0 ∂ (1)dS = Q ∂ νQ r −Q pháp n đ i v i mi n D t i