Luận văn thế vị lớp kép và bài toán dirichlet đối với hàm điều hòa

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN TR N VĂN TOÀN TH V L P KÉP VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET Đ I V I HÀM ĐI U HÒA Chuyên nghành: TOÁN GI Mã s : 60.46.01.02 LU N VĂN TH C S TOÁN H C Ngư i hư ng d n khoa h c PGS TS HÀ TI N NGO N HÀ N I - NĂM 2015 I TÍCH M cl c M đu Ki n th c chu n b 1.1 Góc kh i 51.2 M t Lyaponov 1.3 Phương trình tích phân Fredholm lo i II 19 1.4 Phương trình Laplace 21 1.5 Tính nh t nghi m c a toán Dirichlet 23 Th v l p kép toán Dirichlet đ i v i hàm u hòa 26 2.1 Th v l p đơn 26 Th v l p kép 2.2 27 2.3 Đưa toán Dirichlet c a phương trình Laplace v phương trình tích phân biên 37 2.4 2.5 S t n t i nghi m c a toán Dirichlet 39 Th v kh i toán Dirichlet cho phương trình Poisson 45 K t lu n 48 Tài li u tham kh o 49 M đu Nghi m c a phương trình Laplace r t quan tr ng toán h c, đ c bi t toán v t lý, sinh h c Vi c kh o sát nghi m c a phương trình Laplace c n thi t Lu n văn '' Th v l p kép toán Dirichlet đ i v i hàm u hòa" toán biên th nh t c a phương trình Laplace Trư c ngư i ta ch ng minh đư c tính t n t i nh t nghi m c a toán Dirichlet mi n hình c u b ng nhi u phương pháp khác nhau, phương pháp tách bi n, phương pháp bi n thiên tham s , phương pháp hàm Green Tuy nhiên, vi c kh o sát nghi m c a toán m r ng mi n ( không nh t thi t mi n hình c u), v i nh ng phương pháp g p khó khăn Vì v y lu n văn '' Th v l p kép toán Dirichlet đ i v i hàm u hòa" trình b y m t phương pháp m i đ kh o sát nghi m c a toán đó, phương pháp Th v Đó phương pháp tìm nghi m c a phương trình dư i d ng m t th v c a hàm u hòa b n C u trúc lu n văn g m chương: Chương Ki n th c chu n b Chương trình b y m t s khái ni m tính ch t bao g m: Đ nh nghĩa v góc kh i, đ nh nghĩa v m t Lyapunov tính ch t c a m t Lyapunov v i đánh giá có liên quan đ nh nghĩa v phương trình tích phân Fredhlom lo i II, đ nh lý Fredhlom cu i trình b y v toán Dirchlet ngoài, tính nh t nghi m c a toán Chương Th v l p kép toán Dirchlet cho hàm u hòa N i dung c a chương ch ng minh s t n t i nghi m c a toán Dirchlet cho hàm u hòa, g m bư c Đ u tiên ta đưa khái ni m th v l p kép tính ch t c a Bư c th ta chuy n toán Dirchlet c a phương trình Laplace v phương trình tích phân Fredholm lo i II Bư c th ta ch ng minh s t n t i nghi m c a toán Lu n văn đư c tham kh o tài li u [1], [2] [3] L i c m ơn Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n t n tình c a PGS TS Hà Ti n Ngo n Th y dành nhi u th i gian quý báu c a đ kiên trì hư ng d n gi i đáp th c m c c a su t c trình làm lu n văn Tôi mu n bày t lòng bi t ơn chân thành sâu s c nh t t i ngư i th y c a Tôi mu n g i t i toàn th th y cô Khoa Toán Cơ Tin h c trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, th y cô đ m nh n gi ng d y khóa Cao h c 2012 - 2014, đ c bi t th y cô tham gia gi ng d y nhóm gi i tích 2012-214 l i c m ơn chân thành đ i v i công lao d y d su t th i gian c a khóa h c Tôi xin c m ơn gia đình, b n bè, đ ng nghi p, anh ch em nhóm Cao h c Toán 2012-2014, đ c bi t anh ch em nhóm Gi i tích quan tâm, giúp đ , t o u ki n đ ng viên tinh th n đ có th hoàn thành khóa h c Hà N i, tháng năm 2015 Tác gi Tr n Văn Toàn Chương Ki n th c chu n b 1.1 Góc kh i Cho S m t trơn, nói chung không kín,đ nh hư ng, xét m t phía xác đ nh c a S vecto pháp n − hư ng v phía y, mà ta quy c pháp n → dương n Gi s P m t m b t kỳ n m không gian cho v i m Q ∈ S π − = P Q h p v i −Q m t góc nh ho c b ng t c là: → −→ n cos(− ; −Q) ≥ r → →n r→ (1.1) −→ T P, xét t t c bán kính vecto P Q, Q ∈ S Các bán kính vecto l p đ y kh i nón, đ nh P đư ng sinh c a m t bên t a biên c a m t S T P, xét m t c u đơn v tâm P, kí hi u M t c u y c t kh i nón theo m nh c u σ1, có di n tích |σ1| ph n không gian chi m b i kh i nón nói đư c g i góc kh i mà t P nhìn m t S Di n tích |σ1| đư c g i s đo c a góc kh i, đư c kí hi u là: ωP (S) = |σ1| Chú ý N u xét m t c u tâm P bán kính R , R c t kh i nón theo m nh σR | có di n tích |σR| tính đ ng d ng c a δR δ1 ta có : |σ11 = |σR2| R Do ta có th vi t: ωP (S) = |σR| R2 (1.2) (1.3) N u pháp n dương −Q h p v i bán kính vecto − m t góc tù cos(−; nQ) ≤ → →−→ n r → r ta quy c s đo c a góc kh i mà t P nhìn S có giá tr âm ωP (S) = −|σR| R2 (1.4) Gi s S m t trơn t ng m nh m i m nh, đ i lư ng cos(−; nQ) đ i →−→ d u, ta chia S thành nhi u m nh nh Sj cho cos( r r Khi ωP (S) = →nQ) −; −→ không đ i ωP (Sj) d u j (1.5) Đ nh lý 1.1(Đ nh lý 5.3.1,[1]) Gi s P ∈ S Góc kh i mà t m P nhìn m t / S có giá tr b ng ωP (S) = − S ∂ ( )dS Q n ∂ Q rPQ r = P Q, kho ng cách gi a hai m P Q, −Q pháp n dương n→ t i Q ∈ S, ∂∂Q nlà đ o hàm theo hư ng −Q n→ Ch ng minh Ta ch xét trư ng h p m t S mà cos(−; nQ) không đ i d u, →−→ r trư ng h p ngư c l i, ta chia S thành m nh nh Sj cho cos(−; nQ) không →−→ đ i d u Khi P Q −→ ch c t S t i Q nh t r Gi s cos(−; nQ) ≥ Xét m t c u →−→ R tâm P v i bán kính R đ nh cho r σR không c t S Xét mi n D gi i h n b i m t S, m t σR ph n không gian n m gi a S σR Kí hi u ph n m t nón S0 Ta ý r ng hàm hàm u hòa D ∪ S ∪ S0 ∪ σR theo tính r ch t c a hàm u hòa ta có: S∪σR∪S0 ∂ (1)dS = Q ∂ νQ r (1.6) −Q pháp n đ i v i mi n D t i m Q (Đ đơn gi n cách ν→ vi t ta thay ∂νQ ≡ ∂ν) Trên m t nón S0 − th ng góc v i− nên ta có → → → r ν ∂ (1) = − cos(− ; ν) = ∂ν r →− r r2 (1.7) Trên m t S, ta có − = −−Q n n → ∂ ∂ ( Q (1)d (1)dS ∂ S n = − Qr Q ∂ν r S S T r ê n σ R t a c ó : ∂ ∂ (1)dS ( =−1Q ) dSQ = −| σ2R| d S = Q nQ r R2 ∂ν r ∂ ( ) Ch ng minh Xét th v l p kép đ c bi t (tích phân Gauss): ∂ ( )dS Q n ∂ Q rPQ W0(P ) = S Theo Đ nh lý 2.4 giá tr tr c ti p c a m t S b ng: W0(P0) = 2π, P0 ∈ S , u có nghĩa ∂ ( )dS = 2π Q ∂nQ rP0Q S hay 1− K(P0, Q)dSQ = S K(P0; Q) = 2π ∂nQ ( rP0Q ) 1∂ ν(Q) ≡ V y (2.33) có nghi m Ta ch ng minh phương trình (2.33) không th có nghi m khác đ c l p n tính v i nghi m nói Do Đ nh lý 1.4 ta ch ng minh phương trình thu n nh t liên h p c a (2.33) µ(P0) − K(Q, P0)µ(Q)dSQ = (2.34) S không th có hai nghi m đ c l p n tính Th t v y, gi s phương trình (2.34) có hai nghi m µ1(P0) µ2(P0) đ c l p n tính Khi đó: 2πµ1(P0) − S ∂ ( )µ (Q)dS = ∂nQ rP0Q (2.35) Q ∂ ( )µ (Q)dS = 2πµ2(P0) − S ∂nQ rP0Q 42 Q (2.36) Ta xây d ng hai th v l p đơn V1(P ) = (r1 )µ1(Q)dSQ PQ S V ( S r ) µ ( Q ) d S Q P Q Khi theo Đ nh lý 2.1 (2.35), (2.36) có th vi t dư i d ng ∂ V t r ( P o n ) = g ó V ( P ) t h , u = C ∂ n ; n V h V ( P ( P ) t ) = = ∂ n V ì v C , i ∂ n i y P t a Do V1(P ) V2(P ) nghi m c a toán Newmann c ∈ Ω t s khac nhau, n u C1 = C2 hi u r o n n g o đ đ V1( P)− V2( P )= C1 − C2 = 0, ∀P ∈Ω ó y C , H a C l c c µ − µ2(P0) = P0 ∈ S 1(P0) t c µ1(P0) = µ2(P0) h trái v i gi thi t n Bây gi ta xây d ng m t th v l p đơn v i g hàm m t đ C2µ1(Q) − C1µ2(Q), t s a i n c ó y V (P C µ = (Q) − C p µ (Q) dS h = h n Khi [V1(P ) − V2(P )]i = theo b đ 2.2 m t đ c a hi u b ng S g i rP Q2 1 Q = T (Q) ≡ đót c µ1(Q) µ2(Q) ph thu c n tính l C V n nhau.V y đ nh lý đư c ch ng (P m V 0) ( P i ≡ n h 0, P ) ∈ − S T h C e o V B đ ( P th ) ì C ≡ µ , ( Q ) P − ∈ C Ω µ Bây gi ta xét toán Dirchlet Đ ý r ng d n t i phương trình (2.30) ta gi s nghi m u(P) đư c bi u di n dư i d ng th v l p kép Hơn n a ch ng minh Đ nh lý 2.2 lân c n vô th v th a mãn đánh giá: |u(P )| ≤ const R= (2.37) R2 x2 + y + z M t khác, đ i v i nghi m c a toán De ta ch đòi h i đánh giá (2.24) Khi phương trình (2.30) cho ta nghi m ν(Q) ng v i nghi m c a toán De th a mãn đánh giá (2.37) Trong trư ng h p bình thư ng, n u nghi m c a toán De ch d n t i không A r = P Q → ∞ không th gi i toán b ng phương trình tích R phân (2.30) Đ kh c ph c u ta bi u di n nghi m c a toán De dư i d ng sau: u(P ) = α + u1(P ) R R= x2 + y + z (2.38) u1(P ) m t hàm bi u di n dư i d ng th v l p kép, α m t h ng s c n tìm Khi u ki n (2.34) cho ta: α + u = f (P ) 1S RS hay u1 S = f (P0) − α S R T bi u di n u1(P ) dư i d ng th v l p kép (2.25) thay th cho (2.30) ta có phương trình ν(P0) − K(P0; Q)ν(Q)dSQ = −21π f (P0) + 2πR α S S Theo Đ nh lý 1.5 u ki n c n đ đ (2.39) có nghi m v ph i c a ph i th a mãn: 44 (2.39) − f (Q)ν0(Q)dSQ + α S S ν0(Q) = rOQ (2.40) (rOQ = R S, O g c tađ) µ0(Q) m t nghi m c a phươ ng trình thu n nh t liên h pvi phươ ng trình (2.30 ) Tron g ch ng minh Đ nh lý 2.9 ta bi t, o B đ 2.2 hàm m t đ µo(Q) m u µ0(Q) ≡ trái v i gi thi y t V y tích phân th t h ng s v i m i hai (2.40) P r m t h ng s khác Ta có th nhân ∈ a Ω thêm µ0(Q) v i m V V µ i t S0 ( ( P h Q th v l p đơn V0(P ) v i s ) ) d S = C ∀ P ∈ Ω Q r P Q H ng s C ph i khác n u không t h th c ta n g = s t , h í ∀ c P h c hư (2.41) (2.40) đư c th a mãn C (2.39) = có nghi m Ly , nghi m v ν(Q) c a v y t h ì D i r c h l e t (2.39) thay vào (2.25) n h n ta đư c u1(P ), t theo (2.38) ta có u ( P ) n g o i đ c v g i p α= k f( h i t h ì C đ h ó ∈ h S N h n g đ t a t c h ó e (2.41) i n α n N h b i v t o t a y , c ó Đ nh lý 2.10 V i m i hàm f(P) liên t c, toán Dirichlet đ u có nghi m v n g h i m đ ó l d u y n h t 2.5 Th v kh i toán D i r i c h l e t P o i s s o n t r o n g G c h o p h n g t r ì n h t i o v n T r g c R c s Ω l m i n g i i n i c h p v i í i t h í â n n h : b i c ê h n t S Đ n h n T g h h ĩ v a k h U 45 đư c g i th v kh i t i P gây nên b i hàm m t đ ρ(Q) Ω Sau ta đưa m t s tính ch t c a th v kh i Đ nh lý 2.11 (Đ nh lý 5.5.2, [1]) Th v kh i có tính ch t sau: 1.N u hàm ρ(Q) c a th v kh i (2.42) hàm gi i n i mi n Ω phía c a mi n Ω th v hàm u hòa Hơ nn a, n um tđ ρ(Q ) liên tc có đo hà m riên gc pm t liên t c t r ong Ω ∪ S bên mi n Ω th v (2.42) th a mãn phương trình ∆U = −4πρ(P ) (2.43) 2.5.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson Bài toán Dirichlet c a phương trình Poisson có d ng: ∆u = f (P ), P ∈ Ω (2.44) u = ϕ(P ), P ∈ S (2.4 5) S f (P ) m t hàm kh vi liên t c Ω ∪ S ϕ(P ) hàm liên t c S 2.5.3 Đưa toán Dirichlet cho phương trình Poisson v toán Dirichlet cho hàm u hòa Áp d ng tính ch t c a th v l p kh i ta có th đưa toán Dirichlet c a phương trình Poisson v toán Dirichlet c a phương trình Laplace Th t v y, ta xây d ng m t nghi m riêng u∗(P ) c a phương trình (2.44) Theo Đ nh lý 2.11 ta có th ch n u∗(P ) hàm u∗(P ) = −41π f (Q)r1 dVQ, Ω t b ng cách đ t: PQ u = u∗ + u0 ý ∆u∗ = f (P ) ta có ∆u0 = u0 S =u S − u∗ S = ϕ(P ) − u∗ (2.46) S = ψ(P ) (2.47) Như v y ta đưa toán Dirichlet c a phương trình Poisson (2.44)(2.45) v toán Dirichlet c a phương trình Laplace (2.46)-(2.47) Vì v y, t Đ nh lý 2.8 ta suy đ nh lý sau: Đ nh lý 2.12 Bài toán Dirichlet c a phương trình Poisson (2.44)-(2.45) v i b t kỳ hàm f (P ) kh vi liên t c mi n Ω ∪ S có nghi m nghi m nh t 47 K t lu n Lu n văn "Th v l p kép toán Dirchlet đ i v i hàm u hòa" trình b y m t s v n đ sau: - Khái ni m v góc kh i, đ l n c a góc kh i, m t Lyapunov S kín không gian ba chi u - Phương trình tích phân Fredholm lo i II tính gi i đư c c a chúng - Trình b y khái ni m th v l p kép đư c sinh b i hàm m t đ m t Lyapunov kín S tính ch t c a - Đưa toán Dirichlet c a hàm u hòa đ i v i mi n Ω ∈ R3 biên S v phương trình tích phân Fredhlom lo i II Trên s kh o sát phương trình tích phân Fredholm thu n nh t ch ng minh tính gi i đư c nh t nghi m c a toán Dirichlet đ i v i hàm u hòa - M r ng đ i v i toán Dirichlet cho phương trình Poisson b ng phương pháp th v kh i 48 Tài li u tham kh o [1] Nguy n Th a H p,(2005) Phương trình vi phân đ o hàm riêng Nhà xu t b n ĐHQG- Hà N i [2] Tr n Đ c Vân,(2005) Lý thuy t phương trình vi phân đ o hàm riêng Nhà xu t b n ĐHQG- Hà N i [3] A V Bitsdze,(1994) Partaial differential equations, World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong 49 ... toán Dirichlet 23 Th v l p kép toán Dirichlet đ i v i hàm u hòa 26 2.1 Th v l p đơn 26 Th v l p kép 2.2 27 2.3 Đưa toán Dirichlet. .. c n thi t Lu n văn '' Th v l p kép toán Dirichlet đ i v i hàm u hòa" toán biên th nh t c a phương trình Laplace Trư c ngư i ta ch ng minh đư c tính t n t i nh t nghi m c a toán Dirichlet mi n... trình b y v toán Dirchlet ngoài, tính nh t nghi m c a toán Chương Th v l p kép toán Dirchlet cho hàm u hòa N i dung c a chương ch ng minh s t n t i nghi m c a toán Dirchlet cho hàm u hòa, g m bư