Thế vị lớp kép và bài toán dirichlet đối với hàm điều hòa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN VĂN TOÀN THẾ VỊ LỚP KÉP VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI HÀM ĐIỀU HÒA Chuyên nghành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Góc khối 1.2 Mặt Lyaponov 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại II 19 1.4 Phương trình Laplace 21 1.5 Tính nghiệm toán Dirichlet 23 Thế vị lớp kép toán Dirichlet hàm điều hòa 26 2.1 Thế vị lớp đơn 26 2.2 Thế vị lớp kép 27 2.3 Đưa toán Dirichlet phương trình Laplace phương trình tích phân biên 37 2.4 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet 39 2.5 Thế vị khối toán Dirichlet cho phương trình Poisson 45 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Mở đầu Nghiệm phương trình Laplace quan trọng toán học, đặc biệt toán vật lý, sinh học Việc khảo sát nghiệm phương trình Laplace cần thiết Luận văn ‘’ Thế vị lớp kép toán Dirichlet hàm điều hòa” toán biên thứ phương trình Laplace Trước người ta chứng minh tính tồn nghiệm toán Dirichlet miền hình cầu nhiều phương pháp khác nhau, phương pháp tách biến, phương pháp biến thiên tham số, phương pháp hàm Green Tuy nhiên, việc khảo sát nghiệm toán mở rộng miền ( không thiết miền hình cầu), với phương pháp gặp khó khăn Vì luận văn ‘’ Thế vị lớp kép toán Dirichlet hàm điều hòa” trình bầy phương pháp để khảo sát nghiệm toán đó, phương pháp Thế vị Đó phương pháp tìm nghiệm phương trình dạng vị hàm điều hòa Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bầy số khái niệm tính chất bao gồm: Định nghĩa góc khối, định nghĩa mặt Lyapunov tính chất mặt Lyapunov với đánh giá có liên quan định nghĩa phương trình tích phân Fredhlom loại II, định lý Fredhlom cuối trình bầy toán Dirchlet ngoài, tính nghiệm toán Chương Thế vị lớp kép toán Dirchlet cho hàm điều hòa Nội dung chương chứng minh tồn nghiệm toán Dirchlet cho hàm điều hòa, gồm bước Đầu tiên ta đưa khái niệm vị lớp kép tính chất Bước thứ ta chuyển toán Dirchlet phương trình Laplace phương trình tích phân Fredholm loại II Bước thứ ta chứng minh tồn nghiệm toán Luận văn tham khảo tài liệu [1], [2] [3] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Hà Tiến Ngoạn Thầy dành nhiều thời gian quý báu để kiên trì hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Tôi muốn gửi tới toàn thể thầy cô Khoa Toán Cơ Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt thầy cô tham gia giảng dạy nhóm giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, anh chị em nhóm Cao học Toán 2012-2014, đặc biệt anh chị em nhóm Giải tích quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để hoàn thành khóa học Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Trần Văn Toàn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Góc khối Cho S mặt trơn, nói chung không kín,định hướng, xét phía xác định − S vecto pháp tuyến → n hướng phía ấy, mà ta quy ước pháp tuyến dương Giả sử P điểm nằm không gian cho với điểm Q ∈ S −→ − π → r = P Q hợp với − n→ Q góc nhỏ tức là: − cos(→ r ;− n→ Q ) ≥ (1.1) −→ Từ P, xét tất bán kính vecto P Q, Q ∈ S Các bán kính vecto lấp đầy khối nón, đỉnh P đường sinh mặt bên tựa biên mặt S Từ P, xét mặt cầu đơn vị tâm P, kí hiệu Mặt cầu cắt khối nón theo mảnh cầu σ1 , có diện tích |σ1 | phần không gian chiếm khối nón nói gọi góc khối mà từ P nhìn mặt S Diện tích |σ1 | gọi số đo góc khối, kí hiệu là: ωP (S) = |σ1 | (1.2) Chú ý Nếu xét mặt cầu tâm P bán kính R , R cắt khối nón theo mảnh σR có diện tích |σR | tính đồng dạng δR δ1 ta có : |σ11 | = |σRR2 | Do ta viết: ωP (S) = |σR | R2 (1.3) −→ → − → − Nếu pháp tuyến dương − n→ hợp với bán kính vecto r góc tù cos ( r; nQ ) ≤ Q ta quy ước số đo góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm |σR | ωP (S) = − (1.4) R −→ − Giả sử S mặt trơn mảnh mảnh, đại lượng cos(→ r; nQ ) đổi −→ − dấu, ta chia S thành nhiều mảnh nhỏ Sj cho cos(→ r; nQ ) không đổi dấu Khi ωP (S) = ωP (Sj ) (1.5) j Định lý 1.1(Định lý 5.3.1,[1]) Giả sử P ∈ / S Góc khối mà từ điểm P nhìn mặt S có giá trị ∂ ωP (S) = − ( )dSQ ∂nQ rP Q S r = P Q, khoảng cách hai điểm P Q, − n→ Q pháp tuyến dương Q ∈ S, ∂n∂Q đạo hàm theo hướng − n→ Q −→ − Chứng minh Ta xét trường hợp mặt S mà cos(→ r; nQ ) không đổi dấu, −→ − trường hợp ngược lại, ta chia S thành mảnh nhỏ Sj cho cos(→ r; nQ ) không −→ đổi dấu Khi P Q cắt S Q −→ − Giả sử cos(→ r; n ) ≥ Xét mặt cầu tâm P với bán kính R đủ nhỏ cho Q R σR không cắt S Xét miền D giới hạn mặt S, mặt σR phần không gian nằm S σR Kí hiệu phần mặt nón S0 Ta ý hàm 1r hàm điều hòa D ∪ S ∪ S0 ∪ σR theo tính chất hàm điều hòa ta có: ∂ ( )dSQ = (1.6) ∂νQ r S∪σR ∪S0 − ν→ Q pháp tuyến miền D điểm Q (Để đơn giản cách viết ta thay ∂νQ ≡ ∂ν) − − Trên mặt nón S0 → ν thẳng góc với→ r nên ta có → − − ∂ − cos(→ r ; ν) ( )= = (1.7) ∂ν r r2 Trên mặt S, ta có → − v = −− n→ Q nên ∂ ( )dSQ = − ∂ν r ∂ ( )dSQ ∂nQ r (1.8) S S Trên σR ta có: ∂ ( )dSQ = ∂ν r σR ∂ ( )dSQ = − ∂nQ r R σR dSQ = −|σR | R2 (1.9) σR Từ công thức (1.6), (1.7), (1.8) (1.9) ta có ∂ ( )dSQ + ωP (S) = ∂ν r S hay ∂ ( )dSQ ∂nQ r ωP (S) = − (1.10) S −→ − Nếu cos(→ r; nQ ) ≤ mặt S ta có: → − ν =− n→ Q ∂ ( )dSQ = ∂ν r ∂ ( )dSQ ∂nQ r (1.11) S S Từ đẳng thức ωP (S) = −|σR | R2 suy ∂ −|σR | ( )dSQ = − = ωP (S) ∂nQ r R ∂ ( )dSQ = ∂ν r − S S Vậy ta có (1.10) Định lý chứng minh (1.12) 1.2 Mặt Lyaponov 1.2.1 Khái niệm mặt Lyapunov Định nghĩa 1.1 Dưới ta định nghĩa mặt Lyapunov không gian ba chiều Mặt S gọi mặt Lyapunov thỏa mãn 1, Tại điểm mặt S tồn pháp tuyến xác định → − − 2, Gọi Q Q’ điểm nằm mặt S → n ; n hai vecto pháp → − − tuyến tương ứng Q Q’, ϕ góc hợp vecto pháp tuyến (ϕ = (→ n ; n )) r khoảng cách hai điểm Q,Q’ r = QQ Khi tồn số dương A α cho: ϕ ≤ Arα (1.13) nhận xét Nếu mặt S có phương trình z = f (x, y) f (x, y) hàm có đạo hàm cấp liên tục thi S mặt Lyapunov Do mặt cong có độ cong liên tục mặt Lyapunov Hơn định nghĩa định lý phần không gian n chiều tổng quát Định lý 1.2(Định lý 5.4.2, [1]) Giả sử S mặt Lyapunov kín Khi tồn số dương d > cho lấy điểm Q S làm tâm bán − kính d đường thẳng song song với pháp tuyến → n Q cắt mặt S phía hình cầu không điểm Mặt cầu với tâm Q ∈ S nói gọi mặt cầu Lyapunov, kí hiệu (Q) Chứng minh Chọn d đủ nhỏ cho: Adα ≤ (1.14) ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại, tồn hình cầu bán kính d tâm Q0 ∈ S cắt mặt S theo mảnh S (Q0 ) cho có tia qua Q0 cho → − − có tia n0 song song với pháp tuyến → n0 tài Q0 S cắt S (Q0 ) hai điểm Q Q’ Giả sử pháp tuyến mặt S pháp tuyến trong, gọi Q → − → − điểm mặt S n0 hướng phía ngoài, Q’ điểm n0 hướng − − vào phía S Xét mặt phẳng tiếp xúc Q với S Khi đó, → n → n0 nằm phía mặt phẳng tiếp xúc đó: → − π − − − (→ n;→ n0 ) = ( → n ; n0 ) > > Điều sảy theo (1.13) (1.14) ta phải có: − − (→ n;→ n0 ) ≤ Arα ≤ Adα ≤ → − Trường hợp n0 tiếp xúc với s (Q0 ) xảy → − π − − − (→ n;→ n0 ) = (→ n ; n0 ) = > Vậy định lý chứng minh 1.2.2 Một vài đánh giá Giả sử Q0 điểm cố định nằm mặt S S (Q0 ) phần mặt nằm mặt cầu Lyapunov tâm Q0 Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với gốc Q0 , trục Q0 ζ = − n→ 0Q trục Q0 ξ Q0 η nằm mặt phẳng tiếp xúc với S Q0 Theo Định lý 1.1 phần mặt S (Q0 ) biểu diễn hệ tọa độ Q0 ξηζ phương trình ζ = f (ξ, η) (1.15) − Gọi Q(ξ, η, ζ) điểm chạy mặt S (Q0 ) ; → n pháp tuyến Q r = Q0 Q − Ta đánh giá cosin phương → n , đại lượng f (ξ, η) (1.15) − − cos(→ r ;→ n ) theo r Q chạy mặt S (Q0 ) → − − 1, Đại lượng cos(→ n; ζ ) Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp,(2005) Phương trình vi phân đạo hàm riêng Nhà xuất ĐHQG- Hà Nội [2] Trần Đức Vân,(2005) Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng Nhà xuất ĐHQG- Hà Nội [3] A V Bitsdze,(1994) Partaial differential equations, World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong 49 [...]...Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp,(2005) Phương trình vi phân đạo hàm riêng Nhà xuất bản ĐHQG- Hà Nội [2] Trần Đức Vân,(2005) Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng Nhà xuất bản ĐHQG- Hà Nội [3] A V Bitsdze,(1994) Partaial differential equations, World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong 49