THẾ VỊ LỚP ĐƠN VÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI HÀM ĐIỀU HÒA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG VĂN LUẬN THẾ VỊ LỚP ĐƠN VÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI HÀM ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Góc khối 1.2 Mặt Lyapunov 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại II 1.4 Phương trình Laplace 1.5 Tính nghiệm toán Neumann 11 Thế vị lớp đơn toán Neumann hàm điều hòa 14 2.1 Thế vị lớp kép 14 2.2 Thế vị lớp đơn 16 2.3 Đưa toán Neumann phương trình Laplace phương trình tích phân 18 2.4 Sự tồn nghiệm toán Neumann 20 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 Mở đầu Nghiệm phương trình Laplace quan trọng toán học mà đặc biệt toán vật lý, sinh học Việc tìm nghiệm toán Laplace cần thiết, có nhiều phương pháp để tồn nghiệm Một phương pháp phương pháp vị Đó phương pháp tìm nghiệm phương trình dạng vị hàm điều hòa Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bầy số khái niệm tính chất bao gồm: định nghĩa góc khối; định nghĩa mặt Lyapunov tính chất mặt Lyapunov với đánh giá có liên quan; định nghĩa phương trình tích phân Fredholm loại II, định lý Fredholm cuối trình bày toán Neumann ngoài, tính nghiệm toán Chương 2: Thế vị lớp đơn toán Neumann cho hàm điều hòa Nội dung chương chứng minh tồn nghiệm toán Neumann cho hàm điều hòa, gồm bước: Đầu tiên ta đưa khái niệm vị lớp đơn tính chất Bước thứ ta chuyển toán Neumann phương trình Laplace phương trình tích phân Fredholm loại II Bước thứ ta khảo sát tồn nghiệm toán Các kết luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [1],[2], [3] Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Hoàng Văn Luận Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thầy dành nhiều thời gian quý báu để kiên trì hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Tôi muốn gửi tới toàn thể thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt thầy cô tham gia tham gia giảng dạy nhóm Giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, anh chị em nhóm Cao học Toán 2012-2014, đặc biệt anh chị em nhóm Giải tích quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để hoàn thành khóa học Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Góc khối Cho S mặt trơn, nói chung không kín, định hướng, xét phía xác định − S vectơ pháp tuyến → n hướng phía ấy, mà ta quy ước pháp tuyến dương Giả sử P điểm nằm không gian cho với điểm −→ − π Q ∈ S → r = P Q hợp với − n→ Q góc nhỏ tức là: − cos(→ r ,− n→ Q) ≥ (1.1) −→ Từ P, xét tất bán kính vectơ P Q, Q ∈ S Các bán kính vectơ lấp đầy khối nón, đỉnh P đường sinh mặt bên tựa biên mặt S Từ P, xét mặt cầu đơn vị tâm P, kí hiệu σ1 Mặt cầu cắt khối nón theo mảnh cầu σ1 , có diện tích |σ1 | Khi phần không gian chiếm khối nón nói gọi góc khối mà từ P nhìn mặt S Diện tích |σ1 | gọi số đo góc khối, kí hiệu ωP (S) = |σ1 | (1.2) Chú ý 1.1 Nếu xét mặt cầu tâm P bán kính R : R cắt khối nón theo mảnh σR có diện tích |σR | tính đồng dạng σR σ1 ta có : |σ11 | = |σRR2 | Do ta viết: ωP (S) = |σR | R2 (1.3) −→ → − → − Nếu pháp tuyến dương − n→ hợp với bán kính vectơ r góc tù cos( r, nQ ) ≤ Q ta quy ước số đo góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm ωP (S) = − |σR | R2 (1.4) −→ − Giả sử S mặt trơn mảnh mảnh đại lượng cos(→ r, nQ ) đổi −→ − dấu, ta chia S thành nhiều mảnh nhỏ S cho cos(→ r, n ) không đổi dấu j Q Khi ta đặt ωP (S) ≡ ωP (Sj ) (1.5) j Định lí 1.1 (Định lý 5.3.1, [1]) Giả sử P ∈ / S Góc khối mà từ điểm P nhìn mặt S có giá trị ∂ ωP (S) = − ( )dSQ ∂nQ r S r=PQ khoảng cách hai điểm P Q, − n→ Q pháp tuyến dương Q ∈ S , ∂n∂Q đạo hàm theo hướng − n→ Q 1.2 Mặt Lyapunov Dưới định nghĩa mặt Lyapunov không gian ba chiều 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Mặt S gọi mặt Lyapunov thỏa mãn điều kiện sau: 1) Tại điểm mặt S tồn pháp tuyến xác định → − − 2) Gọi Q Q’ điểm nằm mặt S → n , n hai vectơ pháp → − − tuyến tương ứng Q Q’, ϕ góc hợp vectơ pháp tuyến (ϕ = (→ n , n )), r khoảng cách hai điểm Q,Q’ r = QQ Khi tồn số dương A α cho: ϕ ≤ Arα (1.6) Nhận xét 1.1 Nếu mặt S có phương trình z = f (x, y) f (x, y) hàm có đạo hàm cấp hai liên tục S mặt Lyapunov Do mặt cong có độ cong liên tục mặt Lyapunov Hơn định nghĩa định lý phần không gian n chiều tổng quát Định lí 1.2 (Định lý 5.4.2, [1]) Giả sử S mặt Lyapunov kín Khi tồn số dương d > cho lấy điểm Q S làm tâm bán − kính d đường thẳng song song với pháp tuyến → n Q cắt mặt S phía hình cầu không điểm Mặt cầu với tâm điểm Q ∈ S nói gọi mặt cầu Lyapunov, kí hiệu (Q) 1.2.2 Một vài đánh giá Giả sử Q0 điểm cố định nằm mặt S S (Q0 ) phần mặt nằm mặt cầu Lyapunov tâm Q0 Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với − gốc Q0 , trục Q0 ζ trùng với pháp tuyến → n0 Q0 trục Q0 ξ Q0 η nằm mặt phẳng tiếp xúc với S Q0 Theo Định lý 1.1 phần mặt S (Q0 ) biểu diễn hệ tọa độ Q0 ξηζ phương trình ζ = f (ξ, η) (1.7) − Gọi Q(ζ, ξ, η) điểm chạy mặt S (Q0 ) ; → n pháp tuyến Q r = − Q0 Q Ta đánh giá cosin phương → n , đại lượng f (ξ, η) (1.15) − − cos(→ r ,→ n ) theo r Q chạy mặt S (Q0 ) ta có: → − − cos(→ n, ζ ) ≥ (1.8) → − − | cos(→ n , ξ )| ≤ Arα (1.9) − − | cos(→ n,→ η )| ≤ Arα (1.10) |ζ| ≤ Crα+1 − − | cos(→ r ,→ n )| ≤ C1 rα (1.11) (1.12) Định lí 1.3 (Định lý 5.4.3, [1]) Nếu S mặt Lyapunov giới nội tồn số C cho: ∂ ( ) dSQ ≤ C ∂nQ rP Q (1.13) S P nằm không gian Ý nghĩa hình học (1.13) góc khối mà P nhìn mặt S (1.5) sau: Giả sử S = Sj , tổng trị tuyệt đối số đo góc khối bị chặn j |ωP (Sj )| ≤ C j Chứng minh Để chứng minh định lý ta chia làm trường hợp: điểm P nằm mặt S điểm P nằm mặt S 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại II 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2 Cho Ω miền giới nội không gian En ; f (P ) hàm liên tục cho trước; K(P, Q) hàm thực liên tục P ∈ Ω; Q ∈ Ω liên tục P = Q P → Q có bất thường loại yếu: K(P, Q) = O( ), rα r = P Q, α≤n Khi phương trình: µ(P ) + K(P, Q)µ(Q)dVQ = f (P ) (1.14) Ω gọi phương trình tích phân Fredholm loại II Với µ(P ) hàm liên tục cần tìm gọi nghiệm phương trình tích phân (1.15) Nếu f (P ) = ta có phương trình tương ứng µ(P ) + K(P, Q)µ(Q)dVQ = Ω Phương trình liên hợp (1.14) có dạng ν(P ) + K(Q, P )ν(Q)dVQ = Ω nhân K(Q,P) có từ K(P,Q) cách trao đổi vị trí P Q Đối với phương trình tích phân Fredholm loại II ta có định lý sau, gọi định lý Fredholm 1.3.2 Một số định lý ( Về phương trình tích phân Fredholm loại II) Định lí 1.4 (Định lý 5.11.1, [1]) Phương trình µ(P ) + K(P, Q)µ(Q)dVQ = (1.15) Ω phương trình liên hợp ν(P ) + K(Q, P )ν(Q)dVQ = (1.16) Ω có số hữu hạn nghiệm độc lập tuyến tính số nghiệm độc lập tuyến tính hai phương trình Gọi hệ đầy đủ nghiệm độc lập tuyến tính (1.15) {µ1 (P ); ; µp (P )} (1.16) là: {ν1 (P ); ; νp (P )} Khi nghiệm tổng quát (1.15) có dạng p ∗ µ(P ) = µ (P ) + Ck µk (P ) (1.17) k=1 µ∗ (P ) nghiệm riêng (1.14) Ck số tùy ý Định lí 1.5 (Định lý 5.11.2, [1]) Điều kiện cần đủ để phương trình (1.15) giải vế phải f (P ) thỏa mãn hệ thức f (P )νk (P )dVP = k = 1, 2, , p (1.18) Ω Điều kiện gọi điều kiện trực giao, {νk (P )} hệ đầy đủ nghiệm độc lập tuyến tính phương trình liên hợp (1.16) Từ suy Định lí 1.6 (Định lý 5.11.3, [1]) Điều kiện cần đủ để phương trình (1.14) giải với vế phải f (P ) liên tục phương trình (1.15) có nghiệm tầm thường µ(P ) = Khi phương trình (1.14) có nghiệm 1.4 Phương trình Laplace Giả sử Ω miền Rn Định nghĩa 1.3 Kí hiệu n ∆u := uxi xi i=1 gọi biểu thức Laplacian hàm u Khi phương trình ∆u(x) = 0, x∈Ω (1.19) gọi phương trình Laplace Nghiệm phương trình (1.19) gọi hàm điều hòa miền Ω Để tìm nghiệm phương trình (1.19) Trước tiên ta tìm nghiệm hiển Do tính tuyến tính phương trình (1.19) nên ta xây dựng nghiệm phức tạp thông qua nghiệm hiển biết Chú ý phương trình Laplace bất biến phép quay, nên ta tìm nghiệm hiển dạng hàm số r = |x| Ta tìm nghiệm (1.60) dạng u(x) = υ(r), x ∈ Rn 1.5 Tính nghiệm toán Neumann 1.5.1 Bài toán Neumann Giả sử Ω miền giới nội R3 Bài toán Neumann phương trình Laplace đặt sau: Tìm hàm điều hòa u(P), liên tục miền đóng Ω ∪ S cho đạo hàm theo pháp tuyến đơn vị biên S trùng với hàm f(Q) cho trước biên S Nói khác đi: ∆u(P ) = 0, P ∈ Ω ∂u(P ) lim = f (Q), Q ∈ S, P →Q ∂nQ (1.23) P ∈ Ω (1.24) Nếu Ω miền bên Ω biên S ta có toán Neumann Đối với toán Neumann (1.23), (1.24), hàm u(P) ràng buộc thêm điều kiện vô tận ∆u(P ) = 0, P ∈ Ω ∂u(P ) = f (Q), Q ∈ S, P ∈ Ω ∂nQ S C , r = OP → ∞ |u(P )| r (1.25) (1.26) (1.27) Bài toán Neumann thường gọi toán biên thứ hai phương trình Laplace 1.5.2 Công thức Green Giả sử Ω miền giới nội R3 , giới hạn mặt biên S trơn mảnh, u(x), υ(x) hàm riêng cấp liên tục Ω ∪ S có đạo hàm riêng cấp hai liên tục Ω, ta có công thức Green thứ nhất: υ(x)(∆u(x))dx = − Ω Ω j=1 ∂υ(x) ∂u(x) dx + ∂xj ∂xj υ(x) ∂u(x) dSx ∂nx (1.28) ∂Ω → véctơ pháp tuyến đơn vị, x ∈ ∂Ω − n x Trong công thức (1.69), tráo đổi vai trò u, υ , sau lấy (1.69) trừ công 11 thức vừa nhận ta công thức Green thứ hai [υ(x)(∆u(x)) − u(x)∆(υ(x))] dx = Ω υ(x) ∂υ(x) ∂u(x) dSx − u(x) ∂nx ∂nx ∂Ω (1.29) 1.5.3 Bài toán Neumann (1.23), (1.24) Ta chứng minh hàm f(Q) (1.24) cho tùy ý (1.23), (1.24) có nghiệm, để có nghiệm, hàm f(Q) phải thỏa mãn điều kiện xác định − Thật vậy, điểm Q ∈ S dựng pháp tuyến → n pháp tuyến ấy, lấy điểm Q’ cho QQ = h h số dương cố định Khi điểm Q chạy mặt S điểm Q’ tạo nên mặt mà ký hiệu Sh thường gọi mặt song song mặt S Theo kết hình học vi phân h nhỏ, mặt S mặt trơn, mặt − − Sh mặt trơn, → n pháp tuyến mặt S → n pháp tuyến mặt Sh Gọi ωh miền tọa lớp hai mặt S Sh Ωh miền lại, tức Ωh = Ω \ Ωh Vì u(P) hàm điều hòa Ω, nên liên tục với đạo hàm riêng tới cấp hai miền đóng Ωh ∪ Sh Do đó, áp dụng công thức Green thứ hai cho hàm điều hòa u(P) ta có: ∂u(Q) dSh = (1.30) ∂nQ Sh Vì hàm u(P) có đạo hàm theo pháp tuyến nên ∂u(Q) ∂nQ |Sh hội tụ ∂u ∂n |S chuyển (1.23) qua giới hạn h → được: ∂u dS = ∂n S 12 (1.31) Chú ý từ (1.30), viết (1.31) f (Q)dSQ = (1.32) S Vậy, để toán (1.23),(1.24) có nghiệm f(Q) (1.24) phải thỏa mãn điều kiện (1.32) Nhận xét 1.2 Đây điều kiện cần để toán Neumann (1.23),(1.24) có nghiệm Trong Chương ta chứng minh (1.32) điều kiện đủ Nhận xét 1.3 Nếu u(P) nghiệm toán Neumann (1.23), (1.24) U(P)+C nghiệm với C số tùy ý Bây ta kiểm tra tập hàm u(P)+C với C số tùy ý vét cạn tập nghiệm toán Neumann trong, ta có: Định lí 1.7 (Định lý 4.9.1, [1]) Hai nghiệm toán Neumann phương trình Laplace sai khác số cộng 1.5.4 Bài toán Neumann ∆u(P ) = 0, P ∈ Ω ∂u(P ) = f (Q), Q ∈ S, P ∈ Ω ∂nQ S C |u(P )| , r = OP → ∞ r (1.33) (1.34) (1.35) Định lí 1.8 (Định lý 4.9.2, [1]) (Định lý nhất) Bài toán Neumann (1.33),(1.34),(1.35) có nghiệm nghiệm 13 Chương Thế vị lớp đơn toán Neumann hàm điều hòa Trong chương này, luận văn trình bày tồn nghiệm toán Neumann R3 công vụ vị lớp đơn Để nghiên cứu tính chất vị lớp đơn trước hết ta xét khái niệm vị lớp kép 2.1 Thế vị lớp kép Giả sử S mặt Lyapunov kín R3 bao quanh miền bị chặn Ω 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Tích phân phụ thuộc tham biến P ∈ R3 ∂ ( )ν(Q)dSQ ∂nQ rP Q W (P ) = (2.1) S gọi vị lớp kép P, gây nên hàm mật độ ν(Q) xác định S Sau ta đưa số tính chất vị lớp kép 2.2.2 Một số tính chất vị lớp kép Định lí 2.1 (Định lý 5.6.1, [1]) Nếu hàm mật độ vị lớp kép (2.1) hàm giới nội khả tích S, W(P) hàm điều hòa P ∈ / S 14 Định lí 2.2 (Định lý 5.6.2, [1]) Giả sử S mặt Lyapunov kín hàm mật độ ν(Q) vị lớp kép (2.1) hàm giới nội khả tích S Khi vị lớp kép có giá trị hoàn toàn xác định P ∈ S giá trị hàm liên tục P S 2.2.3 Tích phân Gauss Định nghĩa 2.2 Giả sử S mặt kín, − n→ Q pháp tuyến Q Tích phân Gauss tích phân có dạng: ∂ ( )dSQ ∂nQ rP Q W0 (P ) = (2.2) S Nó trường hợp đặc biệt vị lớp kép trường hợp với hàm mật độ ν(Q) ≡ Ta biết giá trị tích phân Gauss P ∈ / S là: W0 (P ) = −ωP (S) giá trị góc khối mà từ P ta nhìn mặt S, với quy ước pháp tuyến pháp tuyến dương Định lí 2.3 (Định lý 5.7.1, [1]) Đối với mặt Gauss có giá trị sau:  4π ∂ W0 (P ) = ( )dSQ = 2π  ∂nQ rP Q S Lyapunov kín R3 tích phân P nằm bên S P nằm S P nằm bên S Định lí 2.4 (Định lý 5.8.1, [1]) Giả sử S mặt Lyapunov kín R3 ν(Q) hàm liên tục S Khi vị lớp kép ∂ ( )ν(Q)dSQ ∂nQ rP Q W (P ) = S thỏa mãn hệ thức sau: Wi (P0 ) = W (P0 ) + 2πν(P0 ) (2.3) We (P0 ) = W (P0 ) − 2πν(P0 ) (2.4) 15 P0 ∈ S, W (P0 ) giá trị trực tiếp W(P) P = P0 , Wi (P0 ) giá trị giới hạn W(P) P → P0 từ bên S ra, We (P0 ) giá trị giới hạn W(P) P → P0 từ bên S vào 2.2 Thế vị lớp đơn Giả sử S mặt Lyapunov kí R3 bao quanh miền bị chặn Ω 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.3 Tích phân phụ thuộc tham biến P ∈ R3 V (P ) = µ(Q)dSQ rP Q (2.5) S gọi vị lớp đơn P, gây nên S với hàm mật độ µ(Q) 2.2.2 Một số tính chất vị lớp đơn Định lí 2.5 (Định lý 5.9.1, [1]) Nếu hàm mật độ vị lớp đơn (2.5) hàm giới nội khả tích S V(P) hàm điều hòa P ∈ / S Định lí 2.6 (Định lý 5.9.2, [1]) Giả sử S mặt Lyapunov kín R3 hàm mật độ µ(Q) vị lớp đơn (2.5) hàm giới nội khả tích S Khi vị lớp đơn (2.5) hàm liên tục toàn không gian 2.2.3 Đạo hàm theo pháp tuyến vị lớp đơn − Bổ đề 2.1 Giả sử S mặt Lyapunov kín, P0 điểm cố định S, → n0 vectơ pháp tuyến mặt S P0 Xét vị lớp đơn ta nghiên cứu đạo − hàm P V(P) theo hướng pháp tuyến → n0 : ∂V (P ) ∂n0 Nếu P ∈ / S ta tính ∂V (P ) ∂n0 cách lấy đạo hàm dấu tích phân ∂( rP1Q ) ∂V (P ) = ∂n0 ∂n0 S 16 µ(Q)dSQ (2.6) Định lí 2.7 (Định lý 5.10.1, [1]) Giả sử S mặt Lyapunov kín µ(Q) hàm giới nội khả tích S Khi ∂( rP1Q ) ∂V (P ) = ∂n0 ∂n0 µ(Q)dSQ = S S −→ − cos(P Q, → n0 ) µ(Q)dSQ rP2 Q hoàn toàn xác định P = P0 ∈ S Giá trị tích phân gọi giá trị trực tiếp thường ký hiệu ∂V (P0 ) ∂n0 , ∂V (P ) ∂n0 P = P0 ∈ S cụ thể là: ∂V (P0 ) = ∂n0 S −−→ − cos(P0 Q, → n0 ) µ(Q)dSQ rP2 Q Chú ý 2.1 Giá trị ∂V∂n(P00 ) tích phân (2.6) thay P P0 Nó không − phải đạo hàm theo pháp tuyến → n0 V(P) P = P0 , tức ∂V (P ) V (P ) − V (P0 ) = lim P →P0 ∂n0 P0 P ) (P ) Xét S mặt Liapunốp kín Ta ký hiệu ∂V∂n(P ∂V ∂n0e giá trị giới 0i − hạn ∂V∂n(P0 ) P → n0 dần tới P0 ∈ S từ mặt S từ mặt S vào Định lí 2.8 (Định lý 5.10.2, [1]) Nếu S mặt Lyapunov kín, µ(Q) hàm liên tục mặt S, ta có ∂V (P0 ) ∂V (P0 ) = − 2πµ(P0 ), ∂n0i ∂n0 ∂V (P0 ) ∂V (P0 ) = + 2πµ(P0 ) ∂n0e ∂n0 (2.7) Chú ý: Thế vị lớp đơn mặt phẳng (n=2) không gian (n ≥ 3) chiều có dạng: V (P ) = ln µ(Q)dSQ , r Γ 17 V (P ) = rn−2 µ(Q)dSQ S Khi với giả thiết mật độ liên tục công thức giới hạn (2.7) có dạng Với n = ∂V (P0 ) ∂V (P0 ) = − πµ(P0 ) ∂n0i ∂n0 ∂V (P0 ) ∂V (P0 ) = + πµ(P0 ) ∂n0e ∂n0 (2.8) ∂V (P0 ) ∂V (P0 ) (n − 2)|S1 | = − µ(P0 ) ∂n0i ∂n0 ∂V (P0 ) ∂V (P0 ) (n − 2)|s1 | = + µ(P0 ) ∂n0e ∂n0 (2.9) Với n ≥ 2.3 Đưa toán Neumann phương trình Laplace phương trình tích phân Xét mặt Lyapunov kín S bao quanh miền Ω R3 Gọi Ω = R3 Ω miền ngoài, f (P0 ) hàm liên tục biên S Ta xét hai toán sau: Bài toán Neumann (Ni ) Tìm hàm u(P ) liên tục Ω ∪ S cho: ∆u = Ω ∂u |S = f (P0 ); P0 ∈ S ∂n (2.10) (2.11) Bài toán Neumann (Ne ) Tìm hàm u(P ) liên tục Ω ∪ S cho: ∆u = Ω ∂u |S = f (P0 ); P0 ∈ S ∂n A |u| OP → ∞ R 18 (2.12) (2.13) (2.14) ∂u |S hiểu đạo hàm theo pháp tuyến, hàm f (P ) đạo hàm ∂n hàm liên tục mặt S R khoảng cách từ P tới gốc tọa độ Ta kí hiệu toán Neumann là: Ni ; Ne Đối với toán ta tìm nghiệm dạng vị lớp đơn Ta biết hàm điều hòa Ω Ω , thỏa mãn phương trình (2.10) (2.12) sau ta buộc vị phải thỏa mãn điều kiện biên Sau ta đưa toán tìm nghiệm u(P) toán tìm hàm mật độ vị đó, đưa đến phương trình tích phân để xác định hàm mật độ, cụ thể sau: 2.3.1 Bài toán Neuimann (Ni ) Ta tìm nghiệm dạng vị lớp đơn: u(P ) = µ(Q)dSQ rP Q (2.15) S Điều kiện (2.11) viết ∂u(P ) ∂u(P0 ) = = f (P0 ) (P tiến từ ra) P →P0 ∂n0 ∂n0i lim Dùng công thức thứ (2.7) (cho (2.15)) ta phương trình: 2πµ(P0 ) − S ∂ ( )µ(Q)dSQ = −f (P0 ) ∂n0 rP0 Q hay µ(P0 ) − K(Q, P0 )µ(Q)dSQ = F (P0 ) (2.16) S ∂ ( ) 2π ∂n0 rP0 Q F (P0 ) = − f (P0 ) 2π − Với → n0 pháp tuyến mặt S điểm P0 ∈ S nên ta có ∂ 1 ∂ K(Q, P0 ) = ( )= ( ) 2π ∂nP0 rP0 Q 2π ∂nP0 rQP0 K(Q, P0 ) = 19 (2.17) Phương trình liên hợp (2.16) phương trình ν(P0 ) − K(P0 , Q)ν(P )dSQ = Φ(P0 ) S 2.3.2 Bài toán Neumann (Ne ) Ta tìm nghiệm dạng vị đơn (2.15) dùng công thức thứ hai (2.7) (2.13) viết được: µ(P0 ) + K(Q, P0 )µ(P )dSQ = Φ(P0 ) (2.18) S với K(Q, P0 ) (2.16) f (P0 ) 2π Phương trình liên hợp (2.18) phương trình sau Φ(P0 ) = ν(P0 ) + K(P0 , Q)ν(P )dSQ = F (P0 ) (2.19) S 2.4 Sự tồn nghiệm toán Neumann 2.4.1 Một số tính chất bổ sung vị lớp đơn Tích phân phương trình (2.16), (2.18) tich phân lấy mặt S, tức đa tạp hai chiều Nhân K(P,Q) nhân bất thường loại yếu Muốn thấy rõ điều ấy, cần viết nhân dạng −−→ → ∂ 1 cos(P0 Q, − nQ ) K(P0 , Q) = ( )=− 2π ∂nQ rP0 Q 2π r P0 Q Và từ bất đẳng thức (1.12) Vì phương trình tích phân nói phương trình tích phân Fredholm loại II ta có định lý Fredhoom Trước khảo sát phương trình ta xét bổ đề: 20 Bổ đề 2.2 (Bổ đề 5.13.1, [1]) Giả sử S mặt Lyapunov kín, µ(Q) hàm liên tục S Nếu vị lớp đơn µ(Q) dSQ rP Q V (P ) = (2.20) S có đạo hàm theo pháp tuyến ngoài: ∂V (P0 ) ≡0 ∂n0e P0 ∈ S , µ(Q) ≡ Bổ đề 2.3 (Định lý 5.13.2, [1]) Giả sử S mặt Lyapunov kín, µ(Q) hàm liên tục Nếu vị lớp đơn (2.39) ta có Vi (P0 ) ≡ P0 ∈ S , µ(Q) ≡ 2.4.2 Sự tồn nghiệm toán Neumann Cặp phương trình ứng với toán Neumann toán Dirichlet gọi cặp phương trình liên hợp thứ là: µ(P0 ) + K(Q, P0 )µ(Q)dSQ = Φ(P0 ) (2.21) K(P0 , Q)ν(Q)dSQ = F (P0 ) (2.22) S ν(P0 ) + S Định lí 2.9 (Định lý 5.13.3, [1]) Các phương trình (2.21) (2.22) có nghiệm 21 Chứng minh Do Định lý 1.4 Định lý 1.6 cần chứng minh hai phương trình có nghiệm tầm thường Ta chứng minh phương trình (2.21) có nghiệm tầm thường Thật   2π µ(P0 ) + K(Q, P0 )µ(Q)dSQ  = (2.23) S = 2πµ(P0 ) + S ∂ ( )µ(Q)dSQ = ∂n0 rP0 Q Theo (2.7), (1.15) viết ∂V (P0 ) =0 ∂n0e V(P) vị lớp đơn Theo Bổ đề 2.3 ta có µ(Q) = Từ Định lý 1.4 ta suy định lý sau tính giải toán Neumann Định lí 2.10 (Định lý 5.13.4, [1]) Bài toán Dirichlet Neumann (Ne ) với vế phải liên tục f (P ) thỏa mãn điều kiện biên có nghiệm 2.4.3 Tính giải toán Neumann Phương trình tích phân ứng với toán Neumann là: µ(P0 ) − K(Q, P0 )µ(Q)dSQ = (2.24) K(P0 , Q)ν(Q)dSQ = (2.25) S phương trình liên hợp với ν(P0 ) − S 22 Định lí 2.11 (Định lý 5.13.5, [1]) Các phương trình (2.24) (2.25) có nghiệm độc lập tuyến tính Định lí 2.12 (Định lý 5.13.6, [1]) Điều kiện cần đủ để toán Neumann (Ni ) có nghiệm vế phải f(S) (2.11) phải thỏa mãn hệ thức: f (Q)dSQ = S 23 (2.26) Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: - Các khái niệm góc khối, độ lớn góc khối, mặt Lyapunov kín S không gian ba chiều - Phương trình tích phân Fredholm loại II tính giải chúng - Trình bày khái niệm vị lớp đơn sinh hàm mật độ mặt cong kín Lyapunov tính chất vị - Đưa toán Neumann hàm điều hòa miền Ω ⊂ R3 phương trình tích phân Fredholm biên S Ω - Trên sở khảo sát phương trình tích phân Fredholm chứng minh tính giải tính nghiệm toán Neumann hàm điều hòa 24 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp (2005), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] A V Bitsdze (1994), Partial differential equations, World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong 25 [...]... duy nhất) Bài toán Neumann ngoài (1.33),(1.34),(1.35) nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất 13 Chương 2 Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa Trong chương này, luận văn trình bày sự tồn tại nghiệm của các bài toán Neumann trong và ngoài trong R3 bằng công vụ thế vị lớp đơn Để nghiên cứu các tính chất của thế vị lớp đơn trước hết ta xét khái niệm thế vị lớp kép 2.1 Thế vị lớp kép Giả... tới gốc tọa độ Ta kí hiệu các bài toán Neumann trong và ngoài lần lượt là: Ni ; Ne Đối với các bài toán đó ta đi tìm nghiệm dưới dạng thế vị lớp đơn Ta đã biết nó là hàm điều hòa trong Ω và Ω , do đó nó thỏa mãn phương trình (2.10) và (2.12) sau đó ta buộc thế vị đó phải thỏa mãn điều kiện biên Sau đó ta đưa bài toán tìm nghiệm u(P) về bài toán tìm hàm mật độ trong thế vị đó, như vậy đã đưa đến những... thế vị lớp kép tại P, gây nên bởi hàm mật độ ν(Q) xác định trên S Sau đây ta đưa ra một số tính chất của thế vị lớp kép 2.2.2 Một số tính chất của thế vị lớp kép Định lí 2.1 (Định lý 5.6.1, [1]) Nếu hàm mật độ của thế vị lớp kép (2.1) là hàm giới nội và khả tích trên S, thì W(P) là hàm điều hòa khi P ∈ / S 14 Định lí 2.2 (Định lý 5.6.2, [1]) Giả sử S là mặt Lyapunov kín và hàm mật độ ν(Q) của thế vị. .. trên S Nếu thế vị lớp đơn µ(Q) dSQ rP Q V (P ) = (2.20) S có đạo hàm theo pháp tuyến ngoài: ∂V (P0 ) ≡0 ∂n0e đối với mọi P0 ∈ S , thì µ(Q) ≡ 0 Bổ đề 2.3 (Định lý 5.13.2, [1]) Giả sử S là mặt Lyapunov kín, µ(Q) là hàm liên tục Nếu đối với thế vị lớp đơn (2.39) ta có Vi (P0 ) ≡ 0 đối với mọi P0 ∈ S , thì µ(Q) ≡ 0 2.4.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Neumann ngoài Cặp phương trình ứng với bài toán Neumann. .. đơn (2.5) là hàm giới nội và khả tích trên S thì V(P) là hàm điều hòa khi P ∈ / S Định lí 2.6 (Định lý 5.9.2, [1]) Giả sử S là mặt Lyapunov kín trong R3 và hàm mật độ µ(Q) của thế vị lớp đơn (2.5) là hàm giới nội và khả tích trên S Khi đó thế vị lớp đơn (2.5) là một hàm liên tục trong toàn không gian 2.2.3 Đạo hàm theo pháp tuyến của thế vị lớp đơn − Bổ đề 2.1 Giả sử S là mặt Lyapunov kín, P0 là một... S vào 2.2 Thế vị lớp đơn Giả sử S là mặt Lyapunov kí trong R3 bao quanh miền bị chặn Ω 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.3 Tích phân phụ thuộc tham biến P ∈ R3 1 V (P ) = µ(Q)dSQ rP Q (2.5) S được gọi là thế vị lớp đơn tại P, gây nên bởi S với hàm mật độ µ(Q) 2.2.2 Một số tính chất của thế vị lớp đơn Định lí 2.5 (Định lý 5.9.1, [1]) Nếu hàm mật độ trong thế vị lớp đơn (2.5) là hàm giới nội và khả tích trên... là thế vị lớp đơn Theo Bổ đề 2.3 ta có µ(Q) = 0 Từ Định lý 1.4 ta suy ra định lý sau đây về tính giải được của bài toán Neumann ngoài Định lí 2.10 (Định lý 5.13.4, [1]) Bài toán Dirichlet trong và Neumann ngoài (Ne ) với bất kỳ vế phải liên tục f (P ) thỏa mãn điều kiện biên đều có nghiệm duy nhất 2.4.3 Tính giải được của bài toán Neumann trong Phương trình tích phân thuần nhất ứng với bài toán Neumann. .. Fredholm loại II và tính giải được của chúng - Trình bày khái niệm thế vị lớp đơn được sinh bởi hàm mật độ trên mặt cong kín Lyapunov và các tính chất của thế vị này - Đưa bài các toán Neumann trong và ngoài của hàm điều hòa đối với miền Ω ⊂ R3 về phương trình tích phân Fredholm trên biên S của Ω - Trên cơ sở khảo sát các phương trình tích phân Fredholm thuần nhất đã chứng minh tính giải được và tính duy... Tìm hàm điều hòa u(P), liên tục trong miền đóng Ω ∪ S sao cho đạo hàm theo pháp tuyến ngoài đơn vị trên biên S của nó trùng với một hàm f(Q) cho trước trên biên S Nói khác đi: ∆u(P ) = 0, P ∈ Ω ∂u(P ) lim = f (Q), Q ∈ S, P →Q ∂nQ (1.23) P ∈ Ω (1.24) Nếu Ω là miền bên ngoài Ω cùng biên S thì ta có bài toán Neumann ngoài Đối với bài toán Neumann ngoài (1.23), (1.24), hàm u(P) được ràng buộc thêm bởi điều. .. c (n ≥ 3) ở đây b và c là các hằng số Định nghĩa 1.4 Hàm số Φ(x) = 1 ; 2π log |x| n=2 (1.21) và Φ(x) = 1 1 ; n(n − 2)α(n) |x|n−2 n≥3 (1.22) với x ∈ Rn ; x = 0 được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace, trong đó α(n) là thể tích của hình cầu đơn vị 10 1.5 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann 1.5.1 Bài toán Neumann trong Giả sử Ω là một miền giới nội trong R3 Bài toán Neumann trong của