Thế vị lớp kép và bài toán Dirichlet đối với hàm điều hòa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN VĂN TOÀN THẾ VỊ LỚP KÉP VÀ BÀI TỐN DIRICHLET ĐỐI VỚI HÀM ĐIỀU HỊA Chun nghành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Góc khối 1.2 Mặt Lyaponov 1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại II 19 1.4 Phương trình Laplace 21 1.5 Tính nghiệm tốn Dirichlet 23 Thế vị lớp kép tốn Dirichlet hàm điều hịa 26 2.1 Thế vị lớp đơn 26 2.2 Thế vị lớp kép 27 2.3 Đưa tốn Dirichlet phương trình Laplace phương trình tích phân biên 37 2.4 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet 39 2.5 Thế vị khối tốn Dirichlet cho phương trình Poisson 45 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Mở đầu Nghiệm phương trình Laplace quan trọng toán học, đặc biệt toán vật lý, sinh học Việc khảo sát nghiệm phương trình Laplace cần thiết Luận văn ‘’ Thế vị lớp kép tốn Dirichlet hàm điều hịa” tốn biên thứ phương trình Laplace Trước người ta chứng minh tính tồn nghiệm toán Dirichlet miền hình cầu nhiều phương pháp khác nhau, phương pháp tách biến, phương pháp biến thiên tham số, phương pháp hàm Green Tuy nhiên, việc khảo sát nghiệm tốn mở rộng miền ( khơng thiết miền hình cầu), với phương pháp gặp khó khăn Vì luận văn ‘’ Thế vị lớp kép toán Dirichlet hàm điều hịa” trình bầy phương pháp để khảo sát nghiệm tốn đó, phương pháp Thế vị Đó phương pháp tìm nghiệm phương trình dạng vị hàm điều hòa Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bầy số khái niệm tính chất bao gồm: Định nghĩa góc khối, định nghĩa mặt Lyapunov tính chất mặt Lyapunov với đánh giá có liên quan định nghĩa phương trình tích phân Fredhlom loại II, định lý Fredhlom cuối trình bầy tốn Dirchlet ngồi, tính nghiệm tốn Chương Thế vị lớp kép tốn Dirchlet cho hàm điều hòa Nội dung chương chứng minh tồn nghiệm toán Dirchlet cho hàm điều hòa, gồm bước Đầu tiên ta đưa khái niệm vị lớp kép tính chất Bước thứ ta chuyển tốn Dirchlet phương trình Laplace phương trình tích phân Fredholm loại II Bước thứ ta chứng minh tồn nghiệm tốn Luận văn tham khảo tài liệu [1], [2] [3] Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Hà Tiến Ngoạn Thầy dành nhiều thời gian quý báu để kiên trì hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Tơi muốn gửi tới tồn thể thầy Khoa Tốn Cơ Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt thầy tham gia giảng dạy nhóm giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành cơng lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, anh chị em nhóm Cao học Tốn 2012-2014, đặc biệt anh chị em nhóm Giải tích quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để tơi hồn thành khóa học Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Trần Văn Toàn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Góc khối Cho S mặt trơn, nói chung khơng kín,định hướng, xét phía xác định − S vecto pháp tuyến → n hướng phía ấy, mà ta quy ước pháp tuyến dương Giả sử P điểm nằm không gian cho với điểm Q ∈ S −→ − π → r = P Q hợp với − n→ Q góc nhỏ tức là: − cos(→ r ;− n→ Q ) ≥ (1.1) −→ Từ P, xét tất bán kính vecto P Q, Q ∈ S Các bán kính vecto lấp đầy khối nón, đỉnh P đường sinh mặt bên tựa biên mặt S Từ P, xét mặt cầu đơn vị tâm P, kí hiệu Mặt cầu cắt khối nón theo mảnh cầu σ1 , có diện tích |σ1 | phần khơng gian chiếm khối nón nói gọi góc khối mà từ P nhìn mặt S Diện tích |σ1 | gọi số đo góc khối, kí hiệu là: ωP (S) = |σ1 | (1.2) Chú ý Nếu xét mặt cầu tâm P bán kính R , R cắt khối nón theo mảnh σR có diện tích |σR | tính đồng dạng δR δ1 ta có : |σ11 | = |σRR2 | Do ta viết: ωP (S) = |σR | R2 (1.3) −→ → − → − Nếu pháp tuyến dương − n→ hợp với bán kính vecto r góc tù cos ( r; nQ ) ≤ Q ta quy ước số đo góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm |σR | ωP (S) = − (1.4) R −→ − Giả sử S mặt trơn mảnh mảnh, đại lượng cos(→ r; nQ ) đổi −→ − dấu, ta chia S thành nhiều mảnh nhỏ Sj cho cos(→ r; nQ ) khơng đổi dấu Khi ωP (S) = ωP (Sj ) (1.5) j Định lý 1.1(Định lý 5.3.1,[1]) Giả sử P ∈ / S Góc khối mà từ điểm P nhìn mặt S có giá trị ∂ ωP (S) = − ( )dSQ ∂nQ rP Q S r = P Q, khoảng cách hai điểm P Q, − n→ Q pháp tuyến dương Q ∈ S, ∂n∂Q đạo hàm theo hướng − n→ Q −→ − Chứng minh Ta xét trường hợp mặt S mà cos(→ r; nQ ) không đổi dấu, −→ − trường hợp ngược lại, ta chia S thành mảnh nhỏ Sj cho cos(→ r; nQ ) không −→ đổi dấu Khi P Q cắt S Q −→ − Giả sử cos(→ r; n ) ≥ Xét mặt cầu tâm P với bán kính R đủ nhỏ cho Q R σR khơng cắt S Xét miền D giới hạn mặt S, mặt σR phần không gian nằm S σR Kí hiệu phần mặt nón S0 Ta ý hàm 1r hàm điều hòa D ∪ S ∪ S0 ∪ σR theo tính chất hàm điều hịa ta có: ∂ ( )dSQ = (1.6) ∂νQ r S∪σR ∪S0 − ν→ Q pháp tuyến miền D điểm Q (Để đơn giản cách viết ta thay ∂νQ ≡ ∂ν) − − Trên mặt nón S0 → ν thẳng góc với→ r nên ta có → − − ∂ − cos(→ r ; ν) ( )= = (1.7) ∂ν r r2 Trên mặt S, ta có → − v = −− n→ Q nên ∂ ( )dSQ = − ∂ν r ∂ ( )dSQ ∂nQ r (1.8) S S Trên σR ta có: ∂ ( )dSQ = ∂ν r σR ∂ ( )dSQ = − ∂nQ r R σR dSQ = −|σR | R2 (1.9) σR Từ công thức (1.6), (1.7), (1.8) (1.9) ta có ∂ ( )dSQ + ωP (S) = ∂ν r S hay ∂ ( )dSQ ∂nQ r ωP (S) = − (1.10) S −→ − Nếu cos(→ r; nQ ) ≤ mặt S ta có: → − ν =− n→ Q ∂ ( )dSQ = ∂ν r ∂ ( )dSQ ∂nQ r (1.11) S S Từ đẳng thức ωP (S) = −|σR | R2 suy ∂ −|σR | ( )dSQ = − = ωP (S) ∂nQ r R ∂ ( )dSQ = ∂ν r − S S Vậy ta có (1.10) Định lý chứng minh (1.12) 1.2 Mặt Lyaponov 1.2.1 Khái niệm mặt Lyapunov Định nghĩa 1.1 Dưới ta định nghĩa mặt Lyapunov không gian ba chiều Mặt S gọi mặt Lyapunov thỏa mãn 1, Tại điểm mặt S tồn pháp tuyến xác định → − − 2, Gọi Q Q’ điểm nằm mặt S → n ; n hai vecto pháp → − − tuyến tương ứng Q Q’, ϕ góc hợp vecto pháp tuyến (ϕ = (→ n ; n )) r khoảng cách hai điểm Q,Q’ r = QQ Khi tồn số dương A α cho: ϕ ≤ Arα (1.13) nhận xét Nếu mặt S có phương trình z = f (x, y) f (x, y) hàm có đạo hàm cấp liên tục thi S mặt Lyapunov Do mặt cong có độ cong liên tục mặt Lyapunov Hơn định nghĩa định lý phần không gian n chiều tổng quát Định lý 1.2(Định lý 5.4.2, [1]) Giả sử S mặt Lyapunov kín Khi tồn số dương d > cho lấy điểm Q S làm tâm bán − kính d đường thẳng song song với pháp tuyến → n Q cắt mặt S phía hình cầu khơng q điểm Mặt cầu với tâm Q ∈ S nói gọi mặt cầu Lyapunov, kí hiệu (Q) Chứng minh Chọn d đủ nhỏ cho: Adα ≤ (1.14) ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại, tồn hình cầu bán kính d tâm Q0 ∈ S cắt mặt S theo mảnh S (Q0 ) cho có tia qua Q0 cho → − − có tia n0 song song với pháp tuyến → n0 tài Q0 S cắt S (Q0 ) hai điểm Q Q’ Giả sử pháp tuyến mặt S pháp tuyến trong, gọi Q → − → − điểm mặt S n0 hướng phía ngồi, cịn Q’ điểm n0 hướng − − vào phía S Xét mặt phẳng tiếp xúc Q với S Khi đó, → n → n0 nằm phía mặt phẳng tiếp xúc đó: → − π − − − (→ n;→ n0 ) = ( → n ; n0 ) > > Điều khơng thể sảy theo (1.13) (1.14) ta phải có: − − (→ n;→ n0 ) ≤ Arα ≤ Adα ≤ → − Trường hợp n0 tiếp xúc với s (Q0 ) xảy → − π − − − (→ n;→ n0 ) = (→ n ; n0 ) = > Vậy định lý chứng minh 1.2.2 Một vài đánh giá Giả sử Q0 điểm cố định nằm mặt S S (Q0 ) phần mặt nằm mặt cầu Lyapunov tâm Q0 Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với gốc Q0 , trục Q0 ζ = − n→ 0Q trục Q0 ξ Q0 η nằm mặt phẳng tiếp xúc với S Q0 Theo Định lý 1.1 phần mặt S (Q0 ) biểu diễn hệ tọa độ Q0 ξηζ phương trình ζ = f (ξ, η) (1.15) − Gọi Q(ξ, η, ζ) điểm chạy mặt S (Q0 ) ; → n pháp tuyến Q r = Q0 Q − Ta đánh giá cosin phương → n , đại lượng f (ξ, η) (1.15) − − cos(→ r ;→ n ) theo r Q chạy mặt S (Q0 ) → − − 1, Đại lượng cos(→ n; ζ ) ∂ ( )dSQ ≤ C ∂nQ rP Q (2.15) S P không gian Gọi S (P0 ) S (P0 ) phần mặt S bên bên S2 (P0 ; R) Vì ν(Q) hàm liên tục nên ∀ε > tùy ý, ta chọn R đủ nhỏ cho Q ∈ S (P0 ) ta có : |ν(Q) − ν(P0 )| < ε C (2.16) với C hắng số tùy ý vế phải (2.15) Với R chọn để thỏa mãn (2.15) Gọi V1 (P0 ; R2 ) khối cầu giới hạn mặt cầu S1 (P0 ; R2 ) Trong định nghĩa hội tụ tích phân ta chon lân cận δ(ε) P0 khối cầu V1 (P0 ; R2 ) miền ω(ε) mảnh S (P0 ) tích phân W1 (P ) thỏa mãn hai điều kiện định nghĩa tích phân hội tụ Chú ý nếu: P ∈ V1 (P0 ; R ), rP Q > Q ∈ S (P0 ) R −→ → ∂ cos(P Q; − nQ ) ( ) ν(Q) − ν(P0 ) = − ν(Q) − ν(P0 ) ∂nQ rP Q rP2 Q Là hàm liên tục P Q Khi P ∈ V1 (p0 ; R2 ); Q ∈ S điều kiện định nghĩa thỏa mãn Ta kiểm tra điều kiện thứ hai Khi Q ∈ S (P0 ) ta có: S (P0 ) ∂ ∂nQ ( rP Q )[ν(Q) ∂ ∂nQ ( rP Q ) − ν(P0 )]dSQ ≤ ν(Q) − ν(P0 ) dSQ ≤ S (P0 ) ∂ ≤ Cε ∂nQ ( rP Q ) S (R) dSQ ≤ ε C S | ∂∂ nQ ( rP1Q )|dSQ ≤ Cε C = ε 35 Đối với P không gian, bất đẳng thức P ∈ V1 (P0 ; R2 ) Vậy W1 (P ) liên tục tại P = P0 Ta kí hiệu (.)i (.)e giới hạn đại lượng (.) P → P0 từ mặt S từ mặt S vào Theo (2.25) ta có: Wi (P0 ) = Wi1 (P0 ) + ν(P0 )W0i (P ) We (P0 ) = We1 (P0 ) + ν(P0 )W0e (P ) (2.17) Do W1 (P ) hàm liên tục P0 nên từ biểu thức W1 (P ) ta có : ∂ ∂nQ ( rP0 Q )[ν(Q) W1i (P0 ) = W1e (P0 ) = W1 (P0 ) = S = S ∂ ∂nQ ( rP0 Q )ν(Q)dSQ − S − ν(P0 )]dSQ ∂ ∂nQ ( rP0 Q )ν(P0 )dSQ = W (P0 ) − ν(P0 ).W0 (P0 ) với W (P0 ); W0 (P0 ) giá trị trực tiếp W (P0 ),W0 (P0 ) điểm P = P0 Ta biết W0 (P0 ) = 2π, W0i (P0 ) = 4π, Woe (P0 ) = nên từ (2.28) ta có : Wi (P0 ) = W (P0 ) − ν(P0 ).W0 (P0 ) + 4πν(P0 ) = W (P0 ) + 2πυ(P0 ) We (P0 ) = W (P0 ) − ν(P0 )W0 (P0 ) = W (P0 ) − 2πν(P0 ) Vậy (2.12),(2.13) chứng minh Nhận xét Thế vị lớp kép khơng gian chiều khơng gian có số chiều n ≥ có dạng sau: ∂(ln( 1r )) ν(Q)dSQ ∂nQ W (P ) = S ∂( rn−2 ) ν(Q)dSQ ∂nQ W (P ) = S Với hàm mật độ ν(Q) liên tục cơng thức có giá trị giới hạn : Wi (P ) = W (P0 ) + πν(P0 ) 36 We (P ) = W (P0 ) − πν(P0 ); Wi (P ) = W (P0 ) + We (P ) = W (P0 ) − 2.3 (n = 2) (2.18) (n − 2)|S1 | ν(P0 ) (n − 2)|S1 | ν(P0 ); n≥3 (2.19) Đưa toán Dirichlet phương trình Laplace phương trình tích phân biên Xét mặt Lyapunov kín S, giới hạn miền Ω miền Ω = R3 \Ω Ta nhắc lại toán sau: Bài tốn Dirichlet Tìm hàm u(P ) liên tục Ω ∪ S thỏa mãn: ∆u = ∀P ∈ Ω u s = f (P0 ), P0 ∈ S (2.20) (2.21) Bài tốn Diricchlet ngồi Tìm hàm u(P) liên tục Ω ∪ S cho ∆u = ∀P ∈ Ω (2.22) u s = f (P0 ) P0 ∈ S A |u| ≤ , R = PQ → ∞ R (2.23) (2.24) Trong f (P ) hàm liên tục mặt S R khoảng cách từ P tới gốc tọa độ Ta kí hiệu tốn Dirichlet ngồi là: Di , De Đối với tốn ta tìm nghiệm dạng vị lớp kép Ta biết hàm điều hịa Ω Ω thỏa mãn phương trình (2.20) (2.22) Sau ta buộc vị phải thỏa mãn điều kiện biên Ta đưa tốn tìm nghiệm u(P) tốn tìm hàm mật độ vị đó, dẫn tới phương trình tích phân Fredholm loại II để tìm hàm mật độ, cụ thể sau: 37 2.3.1 Bài tốn Di Ta tìm nghiệm dạng vị lớp kép: ∂ ( )ν(P )dSQ ∂nQ rP Q u(P ) = (2.25) S Với hàm mật độ ν(P ) chưa biết cần tìm Điều kiện (2.21) ta viết lại lim u(P ) = ui (P0 ) = f (P0 ) P →P0 (2.26) Theo công thức (2.12) (2.26) viết: 2ν(P0 ) + S ∂ ( )ν(Q)dSQ = f (P0 ) ∂nQ rP0 Q hay ν(P0 ) + K(P0 ; Q)ν(Q)dSQ = F (P0 ) (2.27) S đó: K(P0 ; Q) = F (P0 ) = ∂ ( ) 2π ∂nQ rP0 Q f (P0 ) 2π (2.28) Tương tự ta có tốn Dirichlet ngồi 2.3.2 Bài tốn De Giả sử nghiệm tìm dạng vị lớp kép (2.25) điều kiện (2.23) viết lại sau : lim u(P ) = ue (P0 ) = f (P0 ) P →P0 Dùng công thức (2.13) (2.29) viết lại: −2ν(P0 ) + S ∂ ( )ν(Q)dSQ = f (P0 ) ∂nQ rP0 Q 38 (2.29) hay: ν(P0 ) − K(P0 ; Q)ν(Q)dSQ = Φ(P0 ) (2.30) S Trong K(P0 ; Q) giống (2.28) Φ(P0 ) = − 2.4 f (P0 ) 2π Sự tồn nghiệm toán Dirichlet Trong Mục 1.5 ta chứng minh rằng, tốn Dirichlet ngồi có nghiệm nghiệm Sau ta chứng minh tồn nghiệm hai tốn nhờ cơng cụ vị lớp kép hàm điều hòa Ta khảo sát phương trình tích phân (2.27) (2.30) Các tích phân (2.27) (2.30) tích phân lấy mặt S, tức tích phân đa tạp hai chiều mà nhân K(P;Q) nhân bất thường loại yếu Thật vậy, ta viết nhân K(P;Q) lại sau: −−→ → 1 cos(P0 Q; − nQ ) ∂ ( )=− K(P0 ; Q) = 2π ∂nQ rP0 Q 2π r2 −−→ → ý công thức (1.35) cos(P0 Q; − nQ ) ≤ Crα Do phương trình tích phân nói phương trình tích phân Fredholm loại II có định lý Fredholm Sau ta khảo sát nghiệm toán 2.4.1 Sự tồn nghiệm tốn Dirichlet Trước tiên ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.3 Giả sử S mặt Lypunov kín, ν(Q) hàm liên tục S Nếu vị lớp kép ∂ ( )ν(Q)dSQ ∂nQ rP Q W (P ) = S có Wi (P0 ) ≡ 39 (2.31) P0 , Q ∈ S ν(Q) ≡ Chứng minh Gọi Ω miền giới hạn S Do vị lớp kép (2.31) hàm điều hịa nên coi nghiệm tốn Dirichlet ∆W (P ) = 0, ∀P ∈ Ω Wi (P ) = ∀P ∈ S Theo Định lý tính nghiệm toán Dirchlet nên Wi (P ) = ∀P ∈ Ω ∂W (P0 ) = 0, ∂n0i ∀P0 ∈ S Vì đạo hàm vị lớp kép hàm liên tục tồn khơng gian,(Mục 3.4, [3]) nên ∂W (P0 ) ∂W (P0 ) = = 0, ∀P ∈ /S ∂n0i ∂n0e Lại tính nghiệm tốn Neumann ngồi nên ta có: Wi (P ) = ∀P ∈ /Ω Theo công thức (2.12), (2.13) ta có: Wi (P ) − We (P ) = 4πυ(Q) = từ suy ν(Q) ≡ Bây ta khảo sát phương trình (2.27) tức phương trình tương ứng với tốn Dirchlet Định lý 2.7 Phương trình (2.27) có nghiệm 40 Chứng minh Theo Định lý 1.6 ta cần chứng minh phương trình tương ứng (2.27) ν(P0 ) + K(P0 ; Q)ν(Q)dSQ = S có nghiệm tầm thường, ta viết (2.27) dạng 2π ν(P0 ) + K(P0 ; Q)ν(Q)dSQ = S ∂ ( )ν(Q)dSQ = ∂nQ rP0 Q = 2πν(P0 ) + S (2.32) Theo (2.12) (2.32) viết Wi (P ) = W(P) vị lớp kép Nhưng theo Bổ đề 2.3 ν(Q) ≡ Vậy định lý chứng minh Lấy nghiệm thu (2.27) vào (2.25) ta tìm nghiệm tốn Dirchlet Từ đó, ta suy Định lý 2.8 Bài tốn Dirchlet với vế phải f(P) liên tục điều kiện (2.21) có nghiệm nghiệm 2.4.2 Bài tốn Dirichet ngồi Bây ta xét phương trình (2.30) tương ứng với tốn Dirichlet ngồi, ta có định lý sau: Định lý 2.9 (Định lý 5.13.5, [1]) Phương trình tương ứng (2.30) ν(P0 ) − K(P0 ; Q)ν(Q)dSQ = S có nghiệm độc lập tuyến tính 41 (2.33) Chứng minh Xét vị lớp kép đặc biệt (tích phân Gauss): ∂ ( )dSQ ∂nQ rP Q W0 (P ) = S Theo Định lý 2.4 giá trị trực tiếp mặt S bằng: W0 (P0 ) = 2π, P0 ∈ S, điều có nghĩa S ∂ ( )dSQ = 2π ∂nQ rP0 Q hay 1− K(P0 , Q)dSQ = S K(P0 ; Q) = ∂ 2π ∂nQ ( rP0 Q ) Vậy (2.33) có nghiệm ν(Q) ≡ Ta chứng minh phương trình (2.33) khơng thể có nghiệm khác độc lập tuyến tính với nghiệm nói Do Định lý 1.4 ta chứng minh phương trình liên hợp (2.33) µ(P0 ) − K(Q, P0 )µ(Q)dSQ = (2.34) S khơng thể có hai nghiệm độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử phương trình (2.34) có hai nghiệm µ1 (P0 ) µ2 (P0 ) độc lập tuyến tính Khi đó: 2πµ1 (P0 ) − S 2πµ2 (P0 ) − S ∂ ( )µ1 (Q)dSQ = ∂nQ rP0 Q (2.35) ∂ ( )µ2 (Q)dSQ = ∂nQ rP0 Q (2.36) 42 Ta xây dựng hai vị lớp đơn V1 (P ) = ( rP Q )µ1 (Q)dSQ S V2 (P ) = ( rP Q )µ2 (Q)dSQ S Khi theo Định lý 2.1 (2.35), (2.36) viết dạng ∂V1 (P ) = 0, ∂n0i ∂V2 (P ) =0 ∂n0i Do V1 (P ) V2 (P ) nghiệm tốn Newmann Vì ta có V1 (P ) = C1 ; V2 (P ) = C2 , P ∈Ω C1 , C2 số Hai số phải khac nhau, C1 = C2 hiệu V1 (P ) − V2 (P ) = C1 − C2 = 0, ∀P ∈ Ω Khi [V1 (P ) − V2 (P )]i = theo bổ đề 2.2 mật độ hiệu µ1 (P0 ) − µ2 (P0 ) = P0 ∈ S tức µ1 (P0 ) = µ2 (P0 ) trái với giả thiết Bây ta xây dựng vị lớp đơn với hàm mật độ C2 µ1 (Q) − C1 µ2 (Q), ta có C2 µ1 (Q) − C1 µ2 (Q) dSQ = V (P ) = rP Q S = C2 V( P ) − C1 V2 (P ) ≡ 0, P0 ∈ Ω Từ Vi (P0 ) ≡ 0, P0 ∈ S Theo Bổ đề 2.5 C2 µ1 (Q) − C1 µ2 (Q) ≡ tức µ1 (Q) µ2 (Q) phụ thuộc tuyến tính lẫn nhau.Vậy định lý chứng minh 43 Bây ta xét tốn Dirchlet ngồi Để ý dẫn tới phương trình (2.30) ta giả sử nghiệm u(P) biểu diễn dạng vị lớp kép Hơn chứng minh Định lý 2.2 lân cận vơ vị thỏa mãn đánh giá: |u(P )| ≤ R= const R2 (2.37) x2 + y + z Mặt khác, nghiệm toán De ta địi hỏi đánh giá (2.24) Khi phương trình (2.30) cho ta nghiệm ν(Q) ứng với nghiệm toán De thỏa mãn đánh giá (2.37) Trong trường hợp bình thường, nghiệm tốn De dần tới không A R r = P Q → ∞ khơng thể giải tốn phương trình tích phân (2.30) Để khắc phục điều ta biểu diễn nghiệm tốn De dạng sau: α (2.38) u(P ) = + u1 (P ) R R= x2 + y + z u1 (P ) hàm biểu diễn dạng vị lớp kép, α số cần tìm Khi điều kiện (2.34) cho ta: α + u1 S = f (P0 ) R S hay α u1 S = f (P0 ) − S R Từ biểu diễn u1 (P ) dạng vị lớp kép (2.25) thay cho (2.30) ta có phương trình ν(P0 ) − K(P0 ; Q)ν(Q)dSQ = − α f (P0 ) + 2π 2πR S (2.39) S Theo Định lý 1.5 điều kiện cần đủ để (2.39) có nghiệm vế phải phải thỏa mãn: 44 − ν0 (Q) =0 rOQ f (Q)ν0 (Q)dSQ + α S (2.40) S (rOQ = R S , O gốc tọa độ) µ0 (Q) nghiệm phương trình liên hợp với phương trình (2.30) Trong chứng minh Định lý 2.9 ta biết, vị lớp đơn V0 (P ) với hàm mật độ µo (Q) số với P ∈Ω µ0 (Q) V0 (P ) = dSQ = C ∀P ∈ Ω rP Q S Hằng số C phải khác khơng từ hệ thức ta suy Vi (P ) = 0, ∀P ∈ S Nhưng theo Bổ đề 2.2 µ0 (Q) ≡ trái với giả thiết Vậy tích phân thứ hai (2.40) số khác Ta nhân thêm µ0 (Q) với số thích hợp ta có C=1, α= f (Q)µ0 (Q)dSQ (2.41) S Chọn α (2.41) (2.40) thỏa mãn (2.39) có nghiệm Lấy nghiệm ν(Q) (2.39) thay vào (2.25) ta u1 (P ), từ theo (2.38) ta có u(P) tốn Dirchlet ngồi giải Như vậy, ta có Định lý 2.10 Với hàm f(P) liên tục, toán Dirichlet ngồi có nghiệm nghiệm 2.5 Thế vị khối toán Dirichlet cho phương trình Poisson Giả sử Ω miền giới nội R3 với biên S 2.5.1 Thế vị khối tính chất Định nghĩa 2.4 Tích phân: ρ(Q) dVQ rP Q U (P ) = Ω 45 (2.42) gọi vị khối P gây nên hàm mật độ ρ(Q) Ω Sau ta đưa số tính chất vị khối Định lý 2.11 (Định lý 5.5.2, [1]) Thế vị khối có tính chất sau: 1.Nếu hàm ρ(Q) vị khối (2.42) hàm giới nội miền Ω phía ngồi miền Ω vị hàm điều hòa Hơn nữa, mật độ ρ(Q) liên tục có đạo hàm riêng cấp liên tục Ω ∪ S bên miền Ω vị (2.42) thỏa mãn phương trình ∆U = −4πρ(P ) (2.43) 2.5.2 Bài tốn Dirichlet cho phương trình Poisson Bài tốn Dirichlet phương trình Poisson có dạng: ∆u = f (P ), P ∈ Ω (2.44) = ϕ(P ), P ∈ S (2.45) u S f (P ) hàm khả vi liên tục Ω ∪ S ϕ(P ) hàm liên tục S 2.5.3 Đưa toán Dirichlet cho phương trình Poisson tốn Dirichlet cho hàm điều hịa Áp dụng tính chất vị lớp khối ta đưa tốn Dirichlet phương trình Poisson tốn Dirichlet phương trình Laplace Thật vậy, ta xây dựng nghiệm riêng u∗ (P ) phương trình (2.44) Theo Định lý 2.11 ta chọn u∗ (P ) hàm u∗ (P ) = − 4π f (Q) Ω từ cách đặt: u = u∗ + u0 46 rP Q dVQ , ý ∆u∗ = f (P ) ta có ∆u0 = u0 S =u S − u∗ S = ϕ(P ) − u∗ (2.46) S = ψ(P ) (2.47) Như ta đưa tốn Dirichlet phương trình Poisson (2.44)(2.45) tốn Dirichlet phương trình Laplace (2.46)-(2.47) Vì vậy, từ Định lý 2.8 ta suy định lý sau: Định lý 2.12 Bài toán Dirichlet phương trình Poisson (2.44)-(2.45) với hàm f (P ) khả vi liên tục miền Ω ∪ S ln có nghiệm nghiệm 47 Kết luận Luận văn “Thế vị lớp kép tốn Dirchlet hàm điều hịa” trình bầy số vấn đề sau: - Khái niệm góc khối, độ lớn góc khối, mặt Lyapunov S kín khơng gian ba chiều - Phương trình tích phân Fredholm loại II tính giải chúng - Trình bầy khái niệm vị lớp kép sinh hàm mật độ mặt Lyapunov kín S tính chất - Đưa tốn Dirichlet ngồi hàm điều hịa miền Ω ∈ R3 biên S phương trình tích phân Fredhlom loại II Trên sở khảo sát phương trình tích phân Fredholm chứng minh tính giải nghiệm tốn Dirichlet ngồi hàm điều hịa - Mở rộng toán Dirichlet cho phương trình Poisson phương pháp vị khối 48 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp,(2005) Phương trình vi phân đạo hàm riêng Nhà xuất ĐHQG- Hà Nội [2] Trần Đức Vân,(2005) Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng Nhà xuất ĐHQG- Hà Nội [3] A V Bitsdze,(1994) Partaial differential equations, World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong 49