Vật lồi và khối đa diện lồi trong Rn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ Thị Dung VẬT LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI TRONG Rn KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ Thị Dung VẬT LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI TRONG Rn Chuyên ngành: Toán hình học Mã số : KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Thạc Sĩ Trần Văn Nghị Hà Nội – Năm 2017 Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU Vật lồi Định lý Minkowski 1.1 Không gian vật lồi 1.2 Định lí Blichfeldt 11 1.3 Định lí Minkowski vật lồi 13 1.4 Hàm Gamma thể tích hình cầu đơn vị 14 1.4.1 Định nghĩa 14 1.4.2 Bổ đề 14 Khối đa diện lồi 16 2.1 Đa diện 16 2.2 Tập đa diện 21 2.3 Hình chóp, bipyramids lăng trụ 25 2.4 Đa diện cyclic 31 2.5 Hệ thức Euler 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung Lưới định thức lưới 47 3.1 Lưới 47 3.2 Định thức lưới 51 KẾT LUẬN 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian thực khóa luận, nỗ lực thân, em nhận giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc Sĩ Trần Văn Nghị- giảng viên khoa Toán- Trường Đại học sư phạm Hà Nội Thầy dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn truyền kinh nghiệm quý báu cho em trình em thực khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng để thực đề tài cách hoàn chỉnh nhất, nhiên bước đầu em làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, tiếp cận với nên hạn chế kiến thức kinh nghiệm tránh khỏi thiếu sót định mà thân chưa thấy Vì vậy, em mong nhận góp ý bạn sinh viên, đặc biệt Thầy giáo, Cô giáo để khóa luận em hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 22 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Vũ Thị Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài em nghiên cứu tìm hiểu hướng dẫn Thạc Sĩ Trần Văn Nghị- giảng viên khoa Toán- Trường Đại học sư phạm Hà Nội Đề tài em nghiên cứu hoàn thành sở kế thừa phát huy công trình nghiên cứu có liên quan Kết đề tài trung thực, không trùng lặp với đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Vũ Thị Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung LỜI NÓI ĐẦU Lí chọn đề tài Hình học lồi ngành hình học nghiên cứu tính lồi hình Các công cụ sử dụng hình học lồi lý thuyết tập lồi hàm lồi Đây ngành hình học tương đối khó chứa đựng nhiều điều thú vị Vật lồi đối tượng trung tâm hình học lồi với nhiều ứng dụng thực tế Với mong muốn tìm hiểu sâu sắc vật lồi, khối đa diện lồi lưới, em chọn đề tài "Vật lồi khối đa diện lồi Rn " để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu thực khóa luận tốt nghiệp Nghiên cứu Vật lồi khối đa diện lồi Rn lĩnh vực Toán học Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan đến khái niệm, tính chất số định lí liên quan Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc giáo trình, tài liệu liên quan tới vật lồi khối đa diện lồi Rn để phân loại hệ thống hóa kiến thức Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung hình thức khóa luận Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội có mong muốn tìm hiểu vật lồi khối đa diện lồi Rn Với thân em, nghiên cứu vật lồi khối đa diện lồi Rn giúp em hiểu rõ khái niệm, tính chất vật lồi khối đa diện lồi Rn thấy vật lồi khối đa diện lồi Rn có nhiều ứng dụng quan trọng mối liên hệ rộng rãi với phần khác Toán học Cấu trúc khóa luận Ngoài phần lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương Chương 1: Vật lồi Định lí Minkowski Chương 2: Khối đa diện lồi Chương 3: Lưới định thức lưới Chương Vật lồi Định lý Minkowski 1.1 Không gian vật lồi Chương trình bày vật lồi (tập compact lồi khác rỗng) Rn không gian Kn vật lồi Vì không yêu cầu vật lồi có điểm nên vật có chiều thấp nằm Kn Không gian Kn đóng kín phép cộng vật lồi K, L ∈ Kn =⇒ K + L ∈ Kn đóng kín phép nhân vô hướng không âm với vật lồi K ∈ Kn , α ≥ =⇒ αK ∈ Kn (Do αK ∈ Kn với α ∈ R −K vật lồi.) Vậy Kn nón lồi Ta xét hàm tựa hk vật lồi hàm mặt cầu đơn vị S n−1 (vì tính dương hk , giá trị S n−1 xác định hk cách đầy đủ) Đặt C(S n−1 ) không gian vectơ hàm số liên Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung tục S n−1 Đó không gian Banach với chuẩn max ||f || := max |f (u)|, f ∈ C(S n−1 ) n−1 (1.1) u∈S Ta gọi hàm số f : S n−1 → R lồi, mở rộng   x  ||x||f ,x = ||x|| ˜ f :=   0, x=0 lồi Rn Cho Hn tập hợp tất hàm lồi S n−1 Hn nón lồi C(S n−1 ) Định lí 1.1.1 ([3, Theorem 3.1.1]) Ánh xạ T : K → hk tuyến tính (dương) Kn ánh xạ nón lồi Kn − vào nón lồi Hn Hơn nữa, T tương thích với thứ tự bao hàm Kn thứ tự ≤ Hn Đặc biệt, T nhúng nón lồi (có thứ tự) Kn vào không gian vectơ (có thứ tự) C(S n−1 ) Chú ý Tính chất tuyến tính dương T nón lồi Kn nghĩa T (αK + βL) = αT (K) + βT (L) với K, L ∈ Kn ; α, β ≥ Tính chất tuyến tính không mở rộng với α, β âm, đặc biệt hiệu K−L = K+(−L) Một lí hàm số hK −hL nói chung không lồi, hK −hL =hM với M ∈ Kn , vật M khác vật K − L Ta viết K hiệu Minkowski K L := M gọi L tồn trường hợp đặc biệt, cụ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung 3, h2 (F ) = 3, h3 (F ) = Ta lưu ý h0 (F ) − h1 (F ) + h2 (F ) − h3 (F ) = − + − = ta xét tổng xen kẽ trường hợp tổng quát hk (F ) − hk+1 (F ) + + (−1)1−k hr (F ) Như việc sử dụng đối số nhị nguyên kết tổ hợp, ta thấy tổng xen kẽ số không Điều khái quát Hệ thức Euler, tương tự với trường hợp F rỗng P Trước chứng minh khái quát Hệ thức Euler, ta cần áp dụng số kết tính hai cực đa diện Cho P r-đa diện Rr (r ≥ 1) chứa gốc điểm Khi tính hai cực P ∗ P tập compact lồi Rr chứa gốc điểm Giả sử P có điểm cực a1 , , am Khi P = conv{a1 , , am } P ∗ giao điểm m không gian đóng a1 x ≤ với i = 1, , m Vì P ∗ tập đa diện Do P ∗ tập đa diện bị chặn, tức đa diện Giả sử thêm Fi i-mặt P (i = 1, , r) Khi dãy F−1 , , Fi , , Fr r + mặt P cho F−1 ⊂ ⊂ F1 ⊂ ⊂ Fr Kí hiệu ϕ ánh xạ mặt cực P Nhớ lại ϕ song ánh bao gồm đảo ngược từ họ mặt P đến họ mặt P ∗ , ta thấy 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung ϕ(F−1 ), , ϕ(Fi ), , ϕ(Fr ) dãy r + mặt P cho ϕ(Fr ) ⊂ ⊂ ϕ(Fi ) ⊂ ⊂ ϕ(F−1 ) Bây dimϕ(Fi ) = r − i − Vì số lượng i-mặt P giống số lượng (r − i − 1)−mặt P ∗ Ta chứng minh tổng quát hóa Hệ thức Euler Định lí 2.5.2 ([2, Theorem 3.5.2]) Cho F k-mặt r-đa diện (k = 1, , r − 1) Rn Khi hk (F ) − hk+1 (F ) + + (−1)r−k hr (F ) = 0, hi (F ), với i = k, , r biểu thị số i-mặt P chứa F Chứng minh Giả sử không tính tổng quát r = n P chứa gốc điểm Kí hiệu ϕ ánh xạ mặt P Khi số hi (F ) i-mặt P chứa F số fn−i−1 (ϕ(F )) (n − i − 1)-mặt ϕ(F ) Hệ thức Euler áp dụng cho đa diện ϕ(F ) f1 (ϕ(F )) − f0 (ϕ(F )) + + (−1)n−k fn−k−1 (ϕ(F )) = hn (F ) − hn−1 (F ) + + (−1)n−k hk (F ) = Theo Hệ thức Euler, r-đa diện P (r ≥ 1), số mặt f0 (P ), , fr−1 (P ) P có số chiều 0, , r − tương ứng thỏa mãn phương trình tuyến tính f0 (P ) − f1 (P ) + + (−1)r−1 fr−1 (P ) = − (−1)r Ta chứng minh phương trình tuyến tính thỏa mãn số 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung f0 (P ), , fr−1 (P ) với r-đa diện P (r ≥ 1) Định lí 2.5.3 ([2, Theorem 3.5.3]) Cho r số nguyên dương Giả sử α0 , , αr số thực cho số fi (P ) i-mặt (i = 0, , r−1) r-đa diện P thỏa mãn phương trình α0 f0 (P ) + α1 f1 (P ) + + αr−1 fr−1 (P ) = αr α1 = −α0 , α2 = α0 , , αr−1 = (−1)r−1 α0 , αr = (1 − (−1)r )α0 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp R Định lí r = 1, trường hợp f0 (P ) = với 1-đa diện Giả sử định lí chứng minh trường hợp r số nguyên dương k, α0 , , αk+1 số thực cho α0 f0 (P ) + α1 f1 (P ) + + αk fk (P ) = αk+1 , (2.8) với mọi(k + 1)-đa diện P Cho Q k-đa diện Cho S (k + 1)-hình chóp với sở tương đương với Q, T (k + 1)-bipyramid với sở tương đương với Q Theo định lí 2.3.1 2.3.2 fi (S) = fi−1 (Q) + fi (Q); (i = 0, , k) fi (T ) = 2fi−1 (Q) + fi (Q); (i =, , k − 1) fk (T ) = 2fk−1 (Q) Thay giá trị fi (S) fi (T ) công thức (2.5.3) trừ kết 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung ta thấy α1 f0 (Q) + α2 f1 (Q) + + αk fk−1 (Q) = αk − α0 Vì phương trình cho tất k-đa diện Q, giả thiết quy nạp cho thấy α2 = −α1 , α3 = α1 , , αk = (−1)k−1 α1 , αk −α0 = (1−(−1)k )α1 , α1 = −α0 Phương trình (2.5.3) viết dạng α0 f0 (P ) − f1 (P ) + + (−1)k fk (P ) = αk+1 Nhưng theo Hệ thức Euler áp dụng cho (k + 1)-đa diện P f0 (P ) − f1 (P ) + + (−1)k fk (P ) = − (−1)k+1 Vì αk+1 = (1 − (−1)k+1 )α0 Định lí chứng minh Định lí 2.5.4 (Phương trình Dehn-Sommerville) ([2, Theorem 3.5.4]) Cho P r-đa diện đơn hình r ≥ Rn Khi r−1 j=k (−1)j j+1 fj (P ) = (−1)r−1 fk (P ), với k = −1, , r − k+1 Chứng minh Với k-mặt F P (k = −1, , r − 2), xét phương trình định lí 2.5.2 Ta thêm vào phương trình tương ứng với tất k-mặt F P hk − hk+1 + + (−1)r−k hr = hj (j = k, , r) biểu thị tổng số dạng Fk ⊆ Fj , Fk Fj tương ứng k-mặt j-mặt P Nếu j < r, fj (P ) j-mặt P 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung j+1 j+1 k-mặt, hj = fj (P ) k+1 k+1 Nếu j = r có j-mặt P P , có fk (P ) k-mặt, j-đơn hình có hr = fk (P ) Phương trình Dehn-Sommerville chứng minh Phương trình Delta-Sommerville tương ứng với k = −1 trường hợp đơn giản Hệ thức Euler Ta có phương trình Dehn-Sommerville k = 0, , r −2 cho r-đa diện đơn hình P với r = 2, 3, Cho k = r = 2, ta có f0 (P ) − 2f1 (P ) = −f0 (P ) giống Hệ thức Euler Cho k = 0, r = 3, ta có phương trình f0 (P ) − 2f1 (P ) + 3f2 (P ) = f0 (P ); −f1 (P ) + 3f2 (P ) = f1 (P ), tương tự nhau, khác từ Hệ thức Euler Cho k = 0, 1, r = 4, ta có f0 (P ) − 2f1 (P ) + 3f2 (P ) − 4f3 (P ) = −f0 (P ); −f1 (P ) + 3f2 (P ) − 6f3 (P ) = −f1 (P ); f2 (P ) − 4f3 (P ) = −f2 (P ) Cuối hai số giống nhau, suy từ Hệ thức Euler phương trình thứ hai (hoặc thứ ba) 46 Chương Lưới định thức lưới Chương trình bày khái niệm lưới, hạng lưới, sở lưới, định thức lưới số tính chất có liên quan 3.1 Lưới Định nghĩa 3.1.1 Một tập Λ ⊂ Rd gọi nhóm (đối với phép cộng) Rd với (i) ∈ Λ; (ii) x + y ∈ Λ với x, y ∈ Λ; (iii) −x ∈ Λ với x ∈ Λ Một nhóm Λ ⊂ Rd gọi rời rạc tồn ε > cho hình cầu B(0, ε) bán kính ε tâm gốc không chứa lưới điểm khác 0: B(0, ε) ∩ Λ = {0} B(0, ε) = {x : x ≤ ε} với ε > Một nhóm rời rạc Λ Rd thỏa mãn span(Λ) = Rd gọi lưới Chiều d gọi hạng Λ kí hiệu rankΛ Cho lưới Λ ⊂ Rd , tập vectơ độc lập tuyến tính u1 , , ud ⊂ Λ gọi sở Λ x ∈ Λ viết dạng 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung x = µ1 x1 + + µd xd , µi ∈ Z, i = 1, , d 4.1.2 Ví dụ 4.1.2.1.Cho Zd ⊂ Rd tập điểm với tọa độ nguyên: Zd = {(ξ1 , , ξd ) : ξi ∈ Z với i = 1, , d} Lưới Zd gọi lưới nguyên chuẩn tắc 4.1.2.2 Ta định nghĩa Dn ⊂ Zn , Dn = {(ξ1 , , ξn ) : ξi ∈ Z với i = 1, , n ξ1 + + ξn số nguyên 1 4.1.2.3 Cho n số x0 = , , ∈ Rn Ta định nghĩa 2 + Dn = Dn ∪ (Dn + x0 ), Dn + x0 = {x + x0 : x ∈ Dn } thay đổi Dn (kiểm tra n lẻ, tập Dn+ định nghĩa không lưới) Lưới D8+ đặc biệt gọi E8 4.1.2.4 Ta xác định R6 với không gian L ∪ R8 , L = {(ξ1 , , ξ8 ) : ξ1 + ξ8 = ξ1 + + ξ7 = 0} Ta kí hiệu E6 = E8 ∩ L, E6 lưới R6 Ta chứng minh lưới có sở Trong thực tế, ta có kết hay cho tập lưới vectơ độc lập tuyến tính b1 , , bd ∈ Λ với d = rankΛ, sở u1 , , ud Λ mà đóng hợp lí đến b1 , , bd Ta gọi hàm khoảng cách Rd : dist(x, y) = x − y , với x, y ∈ Rd cho dist(x, A) = inf dist(x, y) y∈A với x ∈ Rd , A ⊂ Rd Đầu tiên ta chứng minh không gian kéo dài lưới điểm mà không chứa toàn lưới, lưới điểm với khoảng cách tối 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung thiểu đến không gian Ta sử dụng kí hiệu sau: Với số thực ξ, đặt |ξ| biểu thị số nguyên không vượt ξ cho {ξ} = ξ − |ξ|, ≤ {ξ} < với ξ Bổ đề 3.1.1 Cho Λ ⊂ Rd lưới b1 , , bk ∈ Λ, k < d, điểm độc lập tuyến tính Đặt L =span(b1 , , bk ) Khi tồn điểm v ∈ Λ\L điểm x ∈ L cho dist(v, x) ≤ dist(w, y), với w ∈ Λ\L, y ∈ L Bằng chữ: tất lưới điểm không L, tồn điểm gần L Chứng minh Cho Π lục diện kéo dài b1 , , bk : k Π={ αi bi : ≤ αi ≤ với i = 1, , k} i=1 Khi Π tập compact Tất lưới điểm không L, có điểm v gần Π Thật vậy, ta chọn a ∈ Λ\L ρ = dist(a, Π) > Ta xét ρ-lân cận Π Π = {x ∈ Rd : dist(x, Π) ≤ ρ} Khi Πρ tập đóng Λ rời rạc, giao điểm Πρ ∩ Λ hữu hạn Hơn nữa, điểm Πρ ∩ Λ không chứa L Ta chọn lưới điểm v ∈ Λρ \L gần Π dist(v, Π) ≤ dist(w, Π), với lưới điểm w ∈ Πρ \L Cho x ∈ Π điểm cho dist(v, x) = dist(v, Π) Ta cho x v thỏa mãn yêu cầu bổ đề Thật vậy, ta chọn w ∈ Λ\L y ∈ L Ta viết 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung k y= γi bi với số thực γ i=1 Ta thấy k |γi | bi Z=y= w−z i=1 lưới điểm, w − z ∈ / L k y−z = {γ}bi i=1 điểm từ Π Do đó, dist(w, y) = dist(w − z, y − z) ≥ dist(w − z, Π) ≥ dist(v, Π) = dist(v, x) kết Định lí 3.1.1 ([1, Theorem 1.4]) Cho d > cho Λ ⊂ Rd lưới Cho b1 , , bd ∈ Λ lưới vectơ độc lập tuyến tính Ta định nghĩa không gian {0} = L0 ⊂ L1 ⊂ ⊂ Ld ⊂ Rd Lk = span(b1 , , bk ) với k = 1, , d Với k = 1, , d, cho uk lưới điểm Lk \Lk−1 gần đến Lk−1 Khi u1 , ud sở Λ Đặc biệt lưới hạng dương sở Chứng minh Ta có điểm u1 , , ud tồn Cho Λk = Λ ∩ Lk Ta kết luận Λk lưới Lk Ta chứng minh phản chứng k u1 , , uk sở Λk Với k = 1, ta có u1 = α1 b1 , với 50 α1 = Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung Cho v ∈ Λ1 \{0} điểm Khi v = βb1 , Ta thấy µ = với β ∈ R βk số nguyên Hơn < {µ} < lưới điểm αk k−1 uk = v − [µ]uk = v − µuk + {µ}uk = {µ}αk bk + (βi − [µ]αki ) bi i=1 điểm từ Λk \Λk−1 gần Lk−1 uk , mâu thuẫn Do µ ∈ Z v −µuk ∈ Λk−1 Áp dụng giả thiết quy nạp, ta kết luận v tổ hợp tuyến tính u1 , , uk kết cần chứng minh Định nghĩa 3.1.2 Cho Λ ⊂ Rd lưới u1 , , ud sở Λ Tập d Π= αi ui : ≤ αi < i = 1, , d i=1 gọi lục diện sở u1 , , ud lục diện lưới Λ 3.2 Định thức lưới Bổ đề 3.2.1 Cho Λ ⊂ Rd lưới Π lục diện Λ Khi đó, x ∈ Rd , tồn v ∈ Λ y ∈ Π cho x = v + y Chứng minh Giả sử Π lục diện sở u1 , , ud Λ Khi u1 , , ud sở Rd điểm x viết dạng x = α1 u1 + + αd ud với số thực α1 , , αd Cho 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung d v= d [αi ]ui y= i=1 {αi }ui , i=1 [.] phần nguyên {.} phần thập phân số Rõ ràng, v ∈ Λ, y ∈ Π x = v + y d Giả sử x = v1 + y1 x = v2 + y2 , v1 , v2 ∈ Λ y1 = αi ui , i=1 d y2 = βi ui , ≤ αi , βi < 1, i = 1, , d i=1 Khi d v1 − v2 = y2 − y1 = γi ui , γi = βi − αi i=1 Ta thấy |γi | < với i = 1, , d v1 − v2 ∈ Λ Từ u1 , , ud sở Λ, số γi số nguyên Vì |γi | < nên γi = αi = βi với i = 1, , d Vì y2 = y1 v2 = v1 Hệ 3.2.1 Cho Λ ⊂ Rd lưới Π lục diện Λ Khi tịnh tiến {Π + u : u ∈ Λ} phủ toàn không gian Rd mà không chồng chéo Định lí trình bày bất biến quan trọng lưới Định lí 3.2.1 ([1, Theorem 2.3]) Cho Λ ⊂ Rd lưới Khi thể tích lục diện sở Λ không phụ thuộc vào sở Nó gọi định thức Λ kí hiệu detΛ Với ρ > 0, cho B(ρ) = {x ∈ Rd : x < ρ} hình cầu có bán kính ρ, tâm gốc cho |B(ρ) ∩ Λ| số lưới điểm B(ρ) Khi 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung volB(ρ) = det Λ ρ→+∞ |B(ρ) ∩ Λ| lim Nói cách khác, detΛ hiểu "thể tích lưới điểm" Định nghĩa 3.2.1 Cho Λ ⊂ Rd lưới Một lưới Λ0 ⊂ Λ gọi lưới Λ Với x ∈ Λ tập x + Λ0 = {x + y : y ∈ Λ0 } gọi lớp Λ môđun Λ0 Tập tất lớp kí hiệu Λ/Λ0 Số lớp Λ môđun Λ0 gọi số Λ0 Λ kí hiệu |Λ/Λ0 | Định lí 3.2.2 Cho Λ ⊂ Rd lưới Λ0 ⊂ Λ lưới Cho Π0 khối đa diện Λ0 Khi |Λ/Λ0 | = |Π0 ∩ Λ| = detΛ0 detΛ Đặc biệt, số điểm từ Λ khối đa diện Λ0 không phụ thuộc vào khối đa diện Chứng minh Từ bổ đề 3.2.1, x ∈ Λ đại diện x = v+y, v ∈ Λ0 y ∈ Π0 Từ x ∈ Λ v ∈ Λ, ta kết luận y ∈ Λ Do điểm Π0 ∩ Λ lớp đại diện Λ/Λ0 , |Λ/Λ0 | = |Π0 ∩ Λ| Đặc biệt ta kết luận |Λ/Λ0 | hữu hạn Cho B(ρ) = {x ∈ Rd : x ≤ ρ} hình cầu bán kính ρ Ta có 1 |B(ρ) ∩ Λ| |B(ρ) ∩ Λ0 | = lim = ρ→+∞ volB(ρ) ρ→+∞ volB(ρ) detΛ detΛ0 lim 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung Ta thấy với x ∈ Rd , |B(ρ) ∩ (Λ0 + x)| = ρ→+∞ volB(ρ) detΛ0 lim Thật vậy, cho B(−x, ρ) hình cầu bán kính ρ tâm −x Khi B(ρ) ∩ (Λ0 +x) = B(−x, ρ)∩Λ0 Vì B(0, ρ− x ) ⊂ B(−x, ρ) ⊂ B(0, ρ+ x ), nên ta giới hạn mong muốn Từ Λ = (x + Λ0 ) coset x∈Π0 không giao nhau, ta có |B(ρ) ∩ Λ| = |B(ρ) ∩ (Λ0 + x)| x∈Π0 ∩Λ Tổng kết |Π0 ∩ Λ| detΛ0 = |Λ/Λ0 | = detΛ detΛ0 detΛ có điều cần chứng minh Hệ 3.2.2 Cho u1 , , ud ∈ Zd vectơ độc lập tuyến tính Khi số điểm nguyên lục diện nửa mở (semi-open) d : ≤ αi < 1, i = 1, , d Π= i=1 Nó với thể tích Π, giá trị tuyệt đối định thức ma trận với cột u1 , , ud 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Dung KẾT LUẬN Trong khóa luận, em trình bày vấn đề liên quan đến vật lồi khối đa diện lồi Rn , có ứng dụng to lớn giải tích lồi, hình học lồi tối ưu lồi Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan toán học thuận lợi Vì thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận nhiều thiếu sót khó tránh khỏi Kính mong quý thầy cô bạn góp ý để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 55 Tài liệu tham khảo [1] [Alexander Barvinok] A Course in Convexity, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, 2002 [2] [Roger Webster] Convexity, Oxford University Press, 1994 [3] [Daniel Hug, Wolfgang Weil] A Course on Convex Geometry, University of Karlsruhe, 2011 56 ... tìm hiểu vật lồi khối đa diện lồi Rn Với thân em, nghiên cứu vật lồi khối đa diện lồi Rn giúp em hiểu rõ khái niệm, tính chất vật lồi khối đa diện lồi Rn thấy vật lồi khối đa diện lồi Rn có nhiều... Γ(d/2 + 1) Chương Khối đa diện lồi 2.1 Đa diện Một đa diện lồi bao lồi của hữu hạn điểm Rn Điểm, đường thẳng, đa giác, tứ diện, lập phương, khối tám mặt, khối mười hai mặt khối hai mươi mặt... đối tượng trung tâm hình học lồi với nhiều ứng dụng thực tế Với mong muốn tìm hiểu sâu sắc vật lồi, khối đa diện lồi lưới, em chọn đề tài "Vật lồi khối đa diện lồi Rn " để làm đề tài khóa luận