Một số tính chất đại số và tôpô của tập lồi trong rn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Xa MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ VÀ TÔ PÔ CỦA TẬP LỒI TRONG Rn KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Xa MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ VÀ TÔ PÔ CỦA TẬP LỒI TRONG Rn Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.s Trần Văn Nghị Hà Nội – Năm 2017 i Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận với đề tài: “Một số tính chất đại số tô pô tập lồi Rn ”, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo tổ Hình học, thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Th.s Trần Văn Nghị, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu để em hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế thời gian kiến thức thân nên chắn đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận cảm thông đóng góp thầy cô, bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin trân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Xa Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận kết trình em học tập nghiên cứu với giúp đỡ thầy cô khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo - Th s Trần Văn Nghị Trong trình làm khóa luận em có tham khảo tài liệu có liên quan hệ thống mục tài liệu tham khảo Khóa luận “Một số tính chất đại số tô pô tập lồi Rn ” trùng lặp với khóa luận khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm! Sinh viên Nguyễn Thị Xa ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu 1 Khái niệm tập lồi Tính chất đại số tô pô tập lồi 2.1 Tính chất đại số 2.2 Phần tương đối bao đóng tập lồi 19 2.3 Bao lồi 26 2.4 Cực tập lồi 32 2.5 Điểm cực biên mặt tập lồi 36 2.6 Tập lồi đóng 38 2.7 Tập lồi không bị chặn 40 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa Lời mở đầu Lý chọn đề tài Tập lồi đối tượng giải tích lồi, hình học lồi tối ưu lồi Ngoài tập lồi có nhiều ứng dụng thực tế Việc nghiên cứu tính chất đại số tô pô tập lồi có ý nghĩa quan trọng Với mong muốn nghiên cứu sâu tập lồi bổ sung kiến thức cho thân em chọn đề tài: “Một số tính chất đại số tô pô tập lồi Rn ” để làm đề tài khóa luận Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu kỹ kiến thức tập lồi - Hệ thống tính chất đại số tô pô tập lồi Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức tập lồi - Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất tập lồi không gian vectơ Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết tính chất tập lồi Các phương pháp nghiên cứu - Thiết lập nghiên cứu tổng hợp tài liệu liên quan, đặc biệt Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa báo sách viết vấn đề mà khóa luận đề cập tới Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Khái niệm tập lồi Chương 2: Một số tính chất đại số tô pô tập lồi Chương Khái niệm tập lồi Nội dung chương trình bày số định nghĩa ví dụ liên quan đến tập lồi Định nghĩa 1.1 Tập A ∈ Rn gọi tập lồi, (1 − λ)x + λy ∈ A, ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0; 1] Chú ý Theo định nghĩa trên, tập ∅ xem tập lồi Định nghĩa 1.2 Đoạn thẳng nối x1 x2 tập hợp có dạng [x1 , x2 ] := {x ∈ A : x = λx1 + (1 − λ)x2 , ≤ λ ≤ 1} Nhận xét 1.1 Cho tập A lồi, ∀x1 , x2 ∈ A, ta có [x1 , x2 ] ⊂ A Định nghĩa 1.3 Tập C ∈ Rn gọi tập affine (1 − λx) + λy ∈ C, ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R, nghĩa là, x, y ∈ C đường thẳng qua x, y nằm C Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa Ví dụ 1.1 Các nửa không gian tập lồi Các tam giác hình tròn mặt phẳng tập lồi Hình cầu đơn vị không gian Banach tập lồi Định lý 1.1 ([4, Theorem 2.1]) Giao họ tập lồi tập lồi Hệ 1.1 Cho bi ∈ Rn βi ∈ R với i ∈ I, I tập số tùy ý Khi tập C = {x ∈ Rn : x, bi ≤ βi , ∀i ∈ I} lồi Chứng minh Cho Ci = {x : x, bi ≤ βi }, Ci nửa không gian đóng Rn ∅ C = ∩i∈I Ci Nhận xét 1.2 Kết luận hệ dấu “ ≤ ” thay “ ≥ ”, “ > ”, “ < ” “ = ” Định lý 1.2 ([4, Theorem 2.2]) Giả sử tập A ⊂ Rn lồi x1 , x2 , , xm ∈ A Khi đó, A chứa tất tổ hợp lồi x1 , x2 , , xm Chứng minh Ta chứng minh quy nạp m = 2: Với λ1 , λ2 > 0, λ1 + λ2 = 1, x1 , x2 ∈ A, theo Định nghĩa 1.1, λ1 x1 + λ2 x2 ∈ A Giả sử kết luận với m ≤ k, ta chứng minh rằng: k+1 ∀x1 , , xk+1 ∈ A, ∀λi ≥ 0, (i = 1, , k + 1), λi = 1; i=1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa x = λ1 x1 + + λk xk + λk+1 xk+1 ∈ A Có thể xem λk+1 < 1, λk+1 = λ1 = λ2 = = λk = ta có x ∈ A Khi đó, − λk+1 = λ1 + + λk > 0; λi ≥ 0(i = 1, , k) − λk+1 k Vì i=1 λi 1−λk+1 = 1, nên theo giả thiết qui nạp ta có − λk+1 > 0, (1 − λk+1 ) + λk+1 = Do x = (1 − λk+1 )y + λk+1 xk+1 ∈ A Nhận xét 1.3 Nếu A, B tập lồi Rn , C lồi Rm , tập sau lồi: A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B} ; αA + βB := {x : x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} ; A × C := x ∈ Rm+n : x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C Định nghĩa 1.4 Giả sử X ⊂ Rn Giao tất tập lồi chứa X gọi bao lồi tập X Ký hiệu bao lồi X convX Định lý 1.3 Cho X ⊂ Rn , convX tập lồi nhỏ chứa X Chứng minh Các phần tử X thuộc convX, tổ hợp Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa inf f ∗ Do đó, {x : f (x) ≤ 0} {x∗ : f ∗ (x∗ ) ≤ 0} tập lồi đóng khác rỗng không chứa gốc Cho k hàm lồi dương sinh f Vì clk liên hợp với hàm {x∗ : f ∗ (x∗ ) ≤ 0} nó, nón lồi suy biến K clk bao đóng nón lồi sinh {x∗ : f ∗ (x∗ ) ≤ 0} cực Ta phải chứng minh K bao đóng nón lồi sinh {x : f (x) ≤ 0} Ta có (clk)O+ = clk từ tính dương, K = {x : (clk)(x) ≤ 0} từ định nghĩa Do K = cl {x : k(x) ≤ 0} = cl {x : k(x) < 0} điều kiện tập sau khác rỗng Bây k(x) cận f (λ)(x), λ > với x = Tuy nhiên, (f λ)(x) ≤ với λ dương λ−1 x ∈ {y : f (y) ≤ 0}, tương tự với ≤ thay < Vì inf f < 0, tập [{x : k(x) < 0} khác rỗng Nón lồi sinh {x : f (x) ≤ 0} nằm {x : k(x) < 0} {x : k(x) ≤ 0} bao đóng phải K Định lý 2.33 ([4, Theorem 14.4]) Cho f hàm lồi thường đóng Rn , cho K nón lồi sinh vectơ (1, x, µ) ∈ Rn+2 cho µ ≥ f (x) Cho K ∗ nón lồi sinh (1, x∗ , µ∗ ) ∈ Rn+2 cho µ∗ ≥ f ∗ (x∗ ) Khi clK ∗ = {(λ∗ , x∗ , µ∗ ) : (−µ∗ , x∗ , −λ∗ ) ∈ K } Cực tương ứng với nón lồi sinh từ cực tương 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa ứng với lớp tất tập lồi đóng chứa gốc Điều xem liên hợp cỡ hàm tập lồi thay cho hàm nón lồi Cỡ hàm hàm tập lồi khác rỗng trùng nhau, tất nhiên tập nón Cho C tập lồi khác rỗng Từ định nghĩa, cỡ hàm γ( |C) hàm lồi dương sinh f = δ( |C) + Bao đóng γ( |C) hàm tựa {x∗ : f ∗ (x∗ ) ≤ 0} Nhưng f ∗ = δ ∗ ( |C) − Do clγ( C) = δ ∗ ( C ) , Trong đó, C tập lồi đóng cho C = {x∗ : δ ∗ (x∗ |C) − ≤ 0} = {x∗ : ∀x ∈ C, x, x∗ ≤ 1} Tập C gọi cực C Chú ý C chứa gốc Cực C C 00 = {x : ∀x∗ ∈ C , x, x∗ ≤ 1} = {x : δ ∗ (x C ) ≤ 1} = {x : clγ(x |C) ≤ 1} Nếu C chứa gốc đóng tập sau Tổng quát C = D0 , D = cl(conv(C ∪ {0})), Bởi tập dạng {x : x, x∗ ≤ 1} chứa C chứa 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa D Vì D00 = D, sau C 00 = cl(conv(C ∪ {0})) 2.5 Điểm cực biên mặt tập lồi Cho tập lồi C Một mặt tập lồi C tập lồi C C cho đoạn thẳng (đóng) C với điểm tương đối C có hai điểm cuối C Tập rỗng tập C mặt C, mặt 0-chiều C gọi điểm cực C Do đó, điểm x điểm cực C x biểu diễn tổ hợp lồi (1 − λ)y + λz cho y ∈ C, z ∈ C < λ < 1, ngoại trừ cách lấy x = y = z Với nón lồi, khái niệm điểm cực không sử dụng nhiều, gốc điểm có khả điểm cực Một nghiên cứu tia cực nón thay thế, tia cực mặt mà nửa đường thẳng gốc Tổng quát, Nếu C mặt nửa đường tập lồi C, ta gọi hướng C hướng cực C Các tia cực nón lồi phép tương ứng 1-1 với hướng cực nón Định lý 2.34 ([4, Theorem 18.1]) Cho tập lồi C C mặt C Nếu D tập lồi C cho riD giao với C , D⊂C Chứng minh Cho z ∈ C ∩ riD Nếu x điểm D khác z, tồn y ∈ D cho z phần tương đối đoạn thẳng nối x y Vì C mặt, x y phải nằm C Do D ⊂ C 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa Hệ 2.9 Nếu C mặt tập lồi C, C = C ∩ clC Đặc biệt, C đóng C đóng Hệ 2.10 Cho C C mặt tập lồi C cho riC riC có điểm chung, C = C Hệ 2.11 Cho C tập lồi C mặt C khác C Khi C chứa hoàn toàn đường biên tương đối C, dimC < dimC Định lý 2.35 ([4, Theorem 18.2]) Cho C tập lồi khác rỗng cho U họ tất phần tương đối mặt khác rỗng C Khi U tách C, tức tập U rời hợp C Mọi tập lồi mở tương đối C chứa tập U tập mở tương đối lớn C Định lý 2.36 ([4, Theorem 18.5]) Cho C tập lồi đóng không chứa đường thẳng cho S tập tất điểm cực phương cực C Khi C = convS Chứng minh Định lý tầm thường dimC ≥ (trong trường hợp C ∅, điểm đơn, đoạn thẳng đóng nửa đường thẳng đóng) Ta dùng phương pháp qui nạp toán học Giả thiết Định lý với tất tập lồi đóng số chiều nhỏ từ m > C m-chiều Ta có C ⊃ convS, điểm S thuộc vào C hướng S hướng suy biến C Vì C không chứa đường thẳng không nửa đường thẳng, bao lồi phần bị chặn Do đó, để chứng minh C ⊃ convS, ta chứng minh điểm bị chặn C thuộc vào 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa convS Từ Định lý 2.35 điểm biên tương đố x chứa phần tương đối mặt C khác C C đóng có số chiều nhỏ từ C Định lý tầm thường với C từ quy nạp, C ∈ convS , S tập điểm cực phương cực C Vì S ⊂ S, ta có x ∈ convS Hệ 2.12 Một tập lồi đóng bị chặn bao lồi điểm cực Hệ 2.13 Cho K nón lồi đóng chứa điểm gốc không chứa đường thẳng Cho T tập vectơ K cho tia cực K sinh x ∈ T Khi K nón lồi sinh T Chứng minh Ta nói K nón lồi sinh T tứ nói K = convS, S gồm gốc hướng vectơ T Ỏ đây, gốc điểm cực K hướng vectơ k hướng cực K Hệ 2.14 Một tập lồi đóng khác rỗng, không chứa đường thẳng có điểm cực nhỏ 2.6 Tập lồi đóng Phần trình bày vài tính chất, tính chất cấu trúc tổng quát tập lồi đóng Rn Ta định nghĩa tia tập R điểm có dạng R = {v + τ u : τ ≥ 0}, 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa v u điểm cho trước Rn u = Ta nói R v theo phương u Bổ đề 2.2 Cho A ⊂ Rn tập lồi đóng chứa tia Khi tồn nón lồi đóng K ⊂ Rn gọi nón suy biến A, cho với điểm a ∈ A, hợp tất tia a chứa A phép tịnh tiến a + K Bổ đề 2.3 Cho A ⊂ Rn tập lồi đóng chứa đường thẳng, tồn không gian L ⊂ Rn cho với phép chiếu trực giao A A lên phần bù trực giao L⊥ L, ta có: A tập lồi đóng không chứa đường thẳng A = A + L Chứng minh Ta định nghĩa L không gian Rn cho với điểm a ∈ A, hợp tất đường thẳng qua a chứa A a + L Cho pr : Rn → L⊥ phép chiếu trực giao lên L⊥ cho A = pr(A) Do với x ∈ A ta có pr−1 (x) = x + L ⊂ A Rõ ràng, A tập lồi A = A + L Tuy nhiên, A không chứa đường thẳng l ⊂ A đường thẳng, l + L ⊂ A không gian affine có số chiều lớn L, mâu thuẫn với định nghĩa L Cuối cùng, A đóng, {xn } dãy A hội tụ tới điểm x, với u ∈ L, yn = xn + u dãy điểm A hội tụ tới x + u Vì A đóng, nên ta có x + u ∈ A x∈A Bổ đề bổ đề hữu ích 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa Bổ đề 2.4 Cho A ∈ Rn tập lồi đóng không chứa đường thẳng Khi đó, điểm x ∈ A viết dạng x = y + z, y tổ hợp lồi điểm cực A z điểm từ nón suy biến K A Chứng minh Ta tiến hành qui nạp theo n Với n = kết Giả sử n > 1, không tính tổng quát, giả sử A có phần khác rỗng Ta chọn đường thẳng L qua x Giao L ∩ A tia đóng a + τ u, τ ≥ với điểm cuối a ∈ ∂A đoạn [a, b] với a, b ∈ ∂A Trong trường hợp đầu tiên, ta chọn mặt F A chứa a Do đó, F < n từ giả thiết qui nạp, ta viết a = y + z , y tổ hợp lồi điểm cực F z nằm nón suy biến F Vì x = a + τ u nên ta có x = y + (z + τ u) Bây giờ, giả sử y tổ hợp lồi điểm cực A z = z + τ u nằm nón suy biến A Trong trường hợp thứ 2, ta chọn mặt F chứa a G chứa b Tương tự trên, ta viết a = y + z , y tổ hợp lồi điểm cực F z nằm nón suy biến A b = y + z , y tổ hợp lồi điểm cực G z nằm nón suy biến A 2.7 Tập lồi không bị chặn Đây phần quan trọng tập lồi Từ số cách tiếp cận, ta lựa chọn cách mà sử dụng ý tưởng điểm gần tính đơn giản Định lý ([3, Theorem 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa 1.9.1]) rằng, cho A tập lồi đóng khác rỗng điểm x Rn , có điểm a0 A mà gần x Ta bên dưới, A tập lồi điểm gần a0 A x với điểm a A, vectơ x − a0 a − a0 tạo thành góc không nhọn Định lý 2.37 ([3, Theorem 2.4.1]) Trong Rn cho A tập lồi đóng khác rỗng cho x điểm Khi tồn điểm a0 A cho x − a0 = inf{ x − z : z ∈ A} Hơn nữa, (x − a0 )(a − a0 ) ≤ 0, với a ∈ A Chứng minh Từ ([3, Theorem 1.9.1]), ∃a0 ∈ A cho x − a0 = inf { x − z : z ∈ A} Cho a ∈ A < λ ≤ Từ tính lồi A suy (1−λ)a0 +λa ∈ A Từ việc chọn a0 ta x − ((1 − λ)a0 + λa) = (x − a0 ) + λ(a0 − a) ≥ x − a0 Từ ([3, Theorem 1.6.1(iv))]), suy (x − a0 )(a − a0 ) ≤ Giả sử a1 ∈ A thỏa mãn phương trình x − a1 = inf{ x − z : z ∈ A} Khi đó, từ chứng minh trên, (x − a1 ) (a0 − a1 ) ≤ Vì a0 a1 đối xứng nên ta có (x − a1 )(a0 − a1 ) ≤ Cộng hai bất đẳng thức với nhau, 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa ta a1 − a0 = (a1 − a0 )(a1 − a0 ) ≤ 0, Suy a0 = a1 , điều chứng tỏ tính điểm gần a0 A x Hệ 2.15 Cho A tập lồi đóng khác rỗng Rn Nếu phép chiếu toán tử f : Rn → A A thỏa mãn điều kiện Lipschitz f (x) − f (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ Rn liên tục Hệ 2.16 Cho A tập lồi đóng khác rỗng Rn với phép chiếu toán tử f Khi đó, với x ∈ Rn λ ≥ 0, f (f (x) + λ(x − f (x))) = f (x) Khái niệm tách mà ta thảo luận đóng vai trò trung tâm nghiên cứu hàm lồi Nó dựa thực tế siêu phẳng Rn chia không gian thành nửa không gian Cho tập A B cho H siêu phẳng Rn Khi H tách A B A nằm nửa không gian đóng xác định H B không nằm đó; đó, H tách thực A B tách chúng A B nằm H Nếu A B nằm nửa không gian đối diện xác định H, H gọi tách ngặt A B Tiếp theo, từ tính lồi nửa không gian đó, siêu phẳng tách tập hợp, tách bao lồi chúng; với phần này, ta xét tách tập lồi Ta xét vài ví dụ đơn giản Tất nhiên, luôn tách tập lồi siêu phẳng Ví dụ, đường thẳng tách tập {0} đĩa tròn đơn vị 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa đóng (x, y) : x2 + y ≤ R2 Hai tập lồi tách ngặt chúng rỗng Các tập lồi {(x, y) : x ≤ 0} {(x, y) : x > 0, y > x1 } R2 tách ngặt, chúng tách thực trục y Một siêu phẳng Rn tách tập nó, không tách thực chúng Định lý 2.38 ([3, Theorem 2.4.6]) Cho A B hai tập lồi rời khác rỗng Rn với A đóng B compact Khi A B bị tách ngặt siêu phẳng Rn Chứng minh Cho a ∈ A, b ∈ B điểm gần A B Khi đó, siêu phẳng qua trung điểm đoạn thẳng nối a b với vectơ pháp tuyến a − b tách ngặt A B Cho a ∈ A b ∈ B cho a điểm gần A b b điểm gần B a Điều từ Định lý ([3, Theorem 1.9.4]) Vì A B dời nhau, a = b Cho x ∈ A, y ∈ B, từ Định lý 2.37, (b − a)(x − a) ≤ (a − b)(y − b) ≤ Do (a − b) x ≥ (a − b)a = ( a − b + a − b ) a 2− b > > ( a − b − a − b 2) = (a − b)b ≥ (a − b)y Viết c = a − b c0 = 21 ( a − b ) Khi đó, ta siêu phẳng cz0 = c0 tách ngặt A B Hệ 2.17 Trong Rn cho A tập lồi đóng cho b điểm 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa không nằm A Khi A {b} bị tách ngặt siêu phẳng Rn Hệ 2.18 Mỗi tập lồi đóng A Rn giao tất nửa không gian đóng Rn chứa A Bổ đề 2.5 Trong Rn cho A tập lồi khác rỗng, không chứa gốc Khi tồn siêu phẳng Rn không chứa A tách gốc A Định lý 2.39 ([3, Theorem 2.4.10]) Mỗi cặp tập lồi A B Rn khác rỗng rời tách thực siêu phẳng Rn Chứng minh Tập lồi A − B khác rỗng, không chứa gốc từ Bổ đề 2.5, tồn siêu phẳng Rn tách {0} A − B không chứa A − B Do tồn c ∈ Rn với c = c0 ∈ R, cho = c0 ≤ c0 c(a − b) ≥ c0 với a ∈ A, b ∈ B; tương tự, với a0 ∈ A, b0 ∈ B, ta có c(a0 − b0 ) > c0 ≥ (2.7.1) Với a ∈ A, b ∈ B ca ≥ cb + c0 ≥ cb Do vô hướng d thỏa mãn tính inf {ca : a ∈ A} ≥ d ≥ sup{cb : b ∈ B} Với a ∈ A, b ∈ B, ta có ca ≥ d ≥ cb , siêu phẳng H với phương trình cz = d tách A B Bây H chứa A B, 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa điều có nghĩa c(a0 − b0 ) = 0, mâu thuẫn với (2.7.1) Vậy H tách thực A B Hệ 2.19 Mỗi cặp tập lồi A B Rn khác rỗng, có phần tương đối rời có siêu phẳng tách chúng Một khái niệm có quan hệ chặt chẽ với việc tách tập siêu phẳng tựa tập hợp Trong Rn , siêu phẳng H gọi siêu phẳng tựa tập A H giao clA A nằm nửa không gian đóng xác định H Một siêu phẳng H gọi tựa A điểm mà H giao clA Một siêu phẳng H tựa tập A điểm A, hình cầu với tâm H giao với hai nửa không gian mở xác định H Một siêu phẳng Rn siêu phẳng tựa tầm thường tập khác rỗng Một siêu phẳng tựa tập Rn gọi siêu phẳng tựa không tầm thường tập không chứa tập Kết biểu diễn tính chất quan trọng tập lồi Định lý 2.40 ([3, Theorem 2.4.12]) Qua điểm biên tập lồi A Rn có siêu phẳng tựa A qua điểm biên tương đối A có siêu phẳng tựa không tầm thường A Chứng minh Đầu tiên, a điểm biên A, không điểm biên tương đối A Do A n-chiều chứa siêu phẳng H Rn Rõ ràng, H qua a siêu phẳng tựa A Tiếp theo, giả sử a điểm biên tương đối A, Định lý 2.39 chứng minh tồn siêu phẳng H tách thực a riA Vì 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa H chứa riA suy H chứa cl(riA) = clA a Từ định nghĩa tách a riA ta có a cl(riA) = clA thuộc vào nửa không gian đóng đối diện xác định H (vì a ∈ clA), suy a ∈ H Do H qua a siêu phẳng tựa không tầm thường A 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Xa Kết luận Trong khóa luận em trình bày vấn đề liên quan đến tập lồi tính chất đại số, tô pô tập lồi Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận tiện Do thời gian có hạn lần đầu nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân hạn chế nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Em hy vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Xa 47 Tài liệu tham khảo [1] Alexander Bavinok, A Course in Convexity, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, 2002 [2] Daniel Hug, Wolfgang Weil, A Course on Convex Geometry, University of Karlsruhe revised version 2009/2010, January 24, 2011 [3] Roger Webster, Convexity, Oxford University Press, Oxford New Youk Tokyo, 1994 [4] R Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1972 48 ... niệm tập lồi Chương 2: Một số tính chất đại số tô pô tập lồi Chương Khái niệm tập lồi Nội dung chương trình bày số định nghĩa ví dụ liên quan đến tập lồi Định nghĩa 1.1 Tập A ∈ Rn gọi tập lồi, ... niệm tập lồi Tính chất đại số tô pô tập lồi 2.1 Tính chất đại số 2.2 Phần tương đối bao đóng tập lồi 19 2.3 Bao lồi 26 2.4 Cực tập lồi. .. clAintA = bdA 2.3 Bao lồi Bao lồi convA tập A Rn giao tất tập lồi Rn chứa A Ta chứng minh convA tập lồi nhỏ A, tính chất giống với tính chất tập tất tổ hợp lồi điểm A Sử dụng tính chất này, ta chứng