Tôpô I-Adic trên vành Noether

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— TRẦN THỊ HỒNG MINH TÔPÔ I-ADIC TRÊN VÀNH NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: GS NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành môđun Noether 1.2 Giới hạn ngược hệ môđun 11 1.3 Vành môđun phân bậc 16 Topo I-adic vành Noether 19 2.1 Lọc môđun, vành phân bậc liên kết vành Rees 19 2.2 Định lí Artin-Rees hệ 23 2.3 Đầy đủ I-adic 26 2.4 Vành địa phương đầy đủ m-adic 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 17 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Tự Cường, Viện Toán học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên vượt qua khó khăn học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, khoa Giáo dục Trung học sở - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để hoàn thành tốt khóa học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho R vành giao hoán, I iđêan R Mục đích luận văn nghiên cứu tôpô I -adic xác định vành R iđêan I Đặc biệt, xem xét trường hợp vành R Noether địa phương Các nội dung trình bày luận văn dựa giảng GS.TSKH Nguyễn Tự Cường [1] hai tài liệu tham khảo tác giả M F Atiyal and I G Macdonald [4] D Northcott [3] Với mục đích tìm hiểu tôpô I -adic vành Noether, đặc biệt vành Noether địa phương tính chất đầy đủ I -adic Tôi lựa chọn đề tài "Tôpô I -adic vành Noether " làm luận văn tốt nghiệp thạc sỹ Luận văn gồm chương Trong chương 1, trình bày số kiến thức sở định nghĩa tính chất vành môđun Noether; Giới hạn ngược hệ môđun tính chất nó, đặc biệt tính chất khớp Định nghĩa tính chất vành môđun phân bậc đưa phần cuối chương Đây công cụ cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương chương luận văn Trong chương này, nghiên cứu tôpô I -adic vành Noether Phần đầu chương trình bày định nghĩa tính chất lọc môđun; Vành phân bậc liên kết vành Rees; Định lý Artin - Rees hệ Phần trình bày kết nghiên cứu tôpô I -adic vành Noether Chúng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn rằng: Đầy đủ I -adic vành Noether Noether Phần cuối ˆ chương trình bày số tính chất vành đầy đủ m-adic R vành Noether địa phương (R, m) Trong trình trình bày luận văn, tác giả cố gắng chứng minh chi tiết số vấn đề trình bày vắn tắt tài liệu Một số ví dụ tập minh họa tác giả luận văn đưa vào để làm sáng tỏ cho nội dung trình bày Vì điều kiện thời gian, lực kinh nghiệm thân hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý quý thầy cô bạn học viên độc giả quan tâm để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng 08 năm 2011 Tác giả TRẦN THỊ HỒNG MINH Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành môđun Noether Mục trình bày định nghĩa số tính chất vành môđun Noether Những vấn đề sở để nghiên cứu tôpô I - adic vành Noether mục sau Định lý 1.1.1 Cho M R-môđun Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) Mọi tập hợp khác rỗng môđun M có phần tử cực đại (ii) Mọi dãy tăng môđun M M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ dừng, nghĩa tồn m để Mk = Mm , ∀k ≥ m (iii) Mọi môđun M hữu hạn sinh Chứng minh (i)⇒(ii): Lấy tuỳ ý dãy tăng R-môđun môđun M M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Gọi F tập tất phần tử dãy Bởi (i), tập có phần tử cực đại Mm với m Khi ta có Mk = Mm với k ≥ m hay dãy dừng (ii)⇒(iii): Giả sử trái lại, tồn môđun N M không hữu hạn sinh Khi N tồn dãy vô hạn phần tử m Rxi Mj ⊂ Mj+1 với x1 , x2 , , xn , cho đặt Mm = i=1 j ≥ Ta nhận dãy tăng vô hạn mà không dừng M1 ⊆ M2 ⊆ ⊂ Mn ⊆ môđun M , mâu thuẫn với (ii) (iii)⇒(i): Giả sử S tập khác rỗng môđun M Vì S tập khác rỗng, nên ta chọn môđun M1 ∈ S Khi M1 phần tử cực đại S tồn M2 thực chứa M1 Lặp lại luận ta suy S phần tử cực đại, tồn dãy tăng vô hạn M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ không dừng môđun M Dễ thấy N = ∪ Mi i≥1 môđun M , nên N môđun hữu hạn sinh Giả sử {x1 , x2 , , xm } hệ sinh N Vì dãy môđun nhận dãy tăng nên tồn k để x1 , x2 , , xm ∈ Mk Khi m Rxi ⊆ Mk , N= i=1 Mk = N , dãy bị dừng bắt đầu vị trí thứ k (mâu thuẫn) Vậy S phải có phần tử cực đại Định nghĩa 1.1.2 Cho R vành giao hoán, có đơn vị Khi đó, R-môđun M gọi môđun Noether thoả mãn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điều kiện tương đương Định lý 1.1.1 Vành R vành Noether R-môđun Noether Từ Định nghĩa ta dễ dàng có nhận xét sau Nhận xét 1.1.3 Vì tập khác rỗng R R-môđun R-môđun R iđêan R, nên R vành Noether R thoả mãn ba điều kiện tương đương sau (i) Mọi tập hợp khác rỗng iđêan R có phần tử cực đại (ii) Mọi dãy tăng iđêan R I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ dừng, nghĩa tồn m để Ik = Im , ∀k ≥ m (iii) Mọi iđêan R hữu hạn sinh Ví dụ 1.1.4 (a) Vành số nguyên Z vành Noether, iđêan iđêan nên hữu hạn sinh Tổng quát, vành vành Noether (b) Một trường vành Noether có hữu hạn iđêan (c) Một không gian véctơ môđun Noether hữu hạn chiều (d) Vành đa thức vô hạn biến vành giao hoán R khác không, R [x1 , x2 , ] vành Noether, có dãy tăng vô hạn iđêan R [x1 , x2 , ] (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ ⊂ (x1 , x2 , , xn ) ⊂ Định lý 1.1.5 Cho R vành giao hoán có đơn vị dãy khớp ngắn R-môđun → M → M → M → Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi M môđun Noether M M môđun Noether Chứng minh Không làm tính tổng quát ta giả thiết thêm M R-môđun M M = M/M Giả sử M môđun Noether Vì xích tăng môđun M xích tăng M , nên M Noether Cho N1 ⊆ N2 ⊆ ⊆ Nn ⊆ dãy tăng môđun M Khi đó, tồn dãy tăng môđun M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ M cho Nn = Mn /M , ∀n Suy tồn k ∈ N để Mn = Mk , ∀n ≥ k , tức Nn = Nk , ∀n ≥ k M Noether Ngược lại, cho M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆ xích tăng tuỳ ý môđun M Khi ta nhận xích tăng môđun M1 ∩ M ⊆ M2 ∩ M ⊆ ⊆ Mn ∩ M ⊆ M (M1 + M ) /M ⊆ (M2 + M ) /M ⊆ ⊆ (Mn + M ) /M ⊆ M/M Theo giả thiết tồn số tự nhiên k cho Mn ∩ M = Mk + M (Mn + M ) /M = (Mk + M ) /M , ∀n ≥ k Từ ta dễ dàng suy Mn = Mk , ∀n ≥ k , tức M Noether Sau hệ suy trực tiếp từ Định lý 1.1.5 Hệ 1.1.6 Vành thương vành Noether Noether Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 1.1.7 Tổng trực tiếp họ hữu hạn R-môđun Noether R-môđun Noether Hệ nói lên mối quan hệ môđun hữu hạn sinh môđun Noether Hệ 1.1.8 Mỗi R-môđun hữu hạn sinh vành Noether R-môđun Noether Tính Noether môđun bảo tồn qua địa phương hoá, thể qua định lý sau Định lý 1.1.9 Nếu M R-môđun Noether S tập đóng nhân R S −1 M S −1 R-môđun Noether Trong trường hợp M = R, ta có kết sau Hệ 1.1.10 Nếu R vành Noether S tập đóng nhân R S −1 R vành Noether Sau kết đặc sắc Hilbert vành Noether Định lý 1.1.11 (Định lý sở Hilbert) Vành đa thức biến R [x] lấy hệ tử vành Noether R vành Noether Chứng minh Cho R vành Noether, để chứng minh R [x] vành Noether, ta iđêan khác không hữu hạn sinh Cho I iđêan khác không tuỳ ý R [x] Xét tập hợp R I0 = a ∈ R ∃f ∈ I : f = axm + a1 xm−1 + + am Nói cách khác I0 tập tất hệ số cao đa thức thuộc I Dễ dàng kiểm tra I0 iđêan R Vì R vành Noether nên I0 hữu hạn sinh Giả sử I0 = (a1 , , an ) , ∈ R, i = 1, , n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... dụ 1.1.4 (a) Vành số nguyên Z vành Noether, iđêan iđêan nên hữu hạn sinh Tổng quát, vành vành Noether (b) Một trường vành Noether có hữu hạn iđêan (c) Một không gian véctơ môđun Noether hữu hạn... Định lý 1.1.11 (Định lý sở Hilbert) Vành đa thức biến R [x] lấy hệ tử vành Noether R vành Noether Chứng minh Cho R vành Noether, để chứng minh R [x] vành Noether, ta iđêan khác không hữu hạn... Northcott [3] Với mục đích tìm hiểu tôpô I -adic vành Noether, đặc biệt vành Noether địa phương tính chất đầy đủ I -adic Tôi lựa chọn đề tài "Tôpô I -adic vành Noether " làm luận văn tốt nghiệp