rèn luyện kĩ năng giải toán ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sih lớp 12 hệ giáo dục thường xuyên tỉnh sơn la

Tuy nhiên, thực tiễn dạy học ở các các trung tâm giáo dục thường xuyên cho thấy việc dạy học toán còn chưa sát với thực tế, bởi việc rèn luyện kĩ năng giải toán của học sinh còn rất nhiề

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, môn toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu giáo dục Đây là môn học giúp cho học sinh phát triển nhân cách, kiến tạo tri thức và rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo Sơn La

là một tỉnh miền núi, do điều kiện kinh tế khó khăn, có những đặc điểm khác so với miền xuôi, khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh còn nhiều hạn chế, đặc biệt là học sinh Trung tâm giáo dục thường xuyên Chính vì vậy hoạt động dạy học môn toán cần hướng vào việc trang bị và củng cố tri thức, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Tuy nhiên, thực tiễn dạy học ở các các trung tâm giáo dục thường xuyên cho thấy việc dạy học toán còn chưa sát với thực tế, bởi việc rèn luyện kĩ năng giải toán của học sinh còn rất nhiều hạn chế cần phải khắc phục, bên cạnh đó một phần do giáo viên chưa trang bị đầy đủ các kĩ năng cần thiết cho học sinh, giáo viên phải hiểu học sinh và biết khả năng của từng lớp, từng đối tượng học sinh, sau đó dần trang bị cho học sinh kiến thức và kĩ năng cơ bản để học môn toán và các môn khác

Trong toán học việc giải bài tập toán có một vai trò rất quan trọng, thông qua việc giải bài tập toán tạo điều kiện cho học sinh hoạt động qua đó học sinh phải thực hiện một số hành độnh nhất định bao gồm: Nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp những hoạt động trí tuệ phổ biến như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa và những hoạt động ngôn ngữ khác Chính vì vậy rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề vô cùng quan trọng trong dạy học ở các trung tâm hiện nay phải được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống bền bỉ dựa vào trình độ học sinh

Một trong những nhiệm vụ của đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu hiện nay là lấy người học là trung tâm với phương châm “ Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động” Chính vì vậy rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS là một yêu cầu của đổi mới phương pháp dạy học hiện nay cần được quan tâm

Trong chương trình toán lớp 12, chương “Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số” có vai trò và vị trí quan trong không chỉ trong môn

toán mà còn trong các môn học khác Đây là một nội dung được các giáo viên Toán đặc biệt quan tâm, có mặt trong chương trình ôn thi tốt nghiệp, luyện thi Đại học hàng năm và cũng là một nội dung khó đối với học sinh hệ GDTX

Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán, đề tài nghiên cứu luận văn của được chọn là:

“ Rèn luyện kĩ năng giải toán ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 hệ giáo dục thường xuyên tỉnh Sơn La”

2 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học chương “Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” cho học sinh lớp 12 hệ giáo dục thường xuyên

3 Mục đích nghiên cứu

Đề ra các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh lớp 12 hệ giáo dục thường xuyên trong dạy học chương “Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ

đồ thị hàm số” góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về kĩ năng và kĩ năng giải bài tập toán

- Nghiên cứu thực tế dạy học và rèn luyện kĩ năng cho học sinh trong dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 hệ GDTX

- Xây dựng hệ thống bài toán và đề xuất các biện pháp rèn luyện kĩ năng cho học sinh trong dạy học Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 hệ GDTX

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của phương án dạy học đã đề xuất

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về lí luận dạy học môn toán, kĩ năng giải toán

+ Phương pháp điều tra, quan sát: Tiến hành tìm hiểu, điều tra thực tiễn dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của HS lớp 12 hệ

GDTX

+ Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một số giáo án tại một số Trung tâm GDTX nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

6 Giả thiết khoa học

Nếu khai thác được hệ thống bài toán và vận dụng được các biện pháp đã đề xuất trong luận văn vào dạy học ở lớp 12 hệ giáo dục thường xuyên thì học sinh sẽ

có kĩ năng tốt hơn để giải toán về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán

7 Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương I: Cơ sở lý luận

Chương II: Các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kĩ năng và kĩ năng giải toán

1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Có nhiều quan niệm khác nhau về kĩ năng

Theo giáo trình Tâm lí học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các

dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ

lí luận hay thực hành xác định” ([19], Tr.149)

Theo từ điển Tiếng Việt thì : “ Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thức tế Trong đó, khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì”.([23], Tr.462)

“ Kĩ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh hoạt sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau”[10]

Theo từ điển trên mạng Wikipedia: Kĩ năng là sự thành thạo, sự dễ dàng hoặc khéo léo có được thông qua đào tạo hoặc trải nghiệm Có ba thành tố cơ bản của kĩ năng là kết quả sự chắc chắn/ ổn định và hiệu quả

Từ những quan niệm trên có thể hiểu: Kĩ năng là sự thực hiện thành thạo và thực hiện có kết quả một hành động nào đó bằng cách vận dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện cụ thể

Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán

Do sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện cho HS những kĩ năng trên những bình diện khác nhau:

+) Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán

+) Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau

+) Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống

Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức Toán học Không thể hình dung một người hiểu những tri thức Toán học mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán

Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường và đòi hỏi người GV dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn

Kĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn Toán Nó cũng cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống

1.1.2 Kĩ năng giải toán

Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để giải các bài tập toán học ( tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh…)

Đối với HS trung học phổ thông, kĩ năng giải Toán thường thể hiện ở khả

năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các chương, các phân môn của toán học, các môn học khác trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra

Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: tri thức sự vật, tri thức giá trị, tri thức phương pháp HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình tập luyện, củng cố đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức toán học

Ví dụ 1.1 Cho hàm số: 3 2

y x  x  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến này đi qua điểm A 1; 9

Nhiều học sinh nhận xét: Vì điểm M thuộc đồ thị hàm số nên đã vận dụng phương pháp viết phương trình tiếp tuyến bởi công thức: yy0  y x' 0 xx0

Với x0  1 và y0  9, y'  1 13 Phương trình tiếp tuyến tìm được là

13 4

y x

Như vậy các đã hiểu sai bản chất của bài toán, mặc dù điểm M nằm trên đồ thị hàm số nhưng yếu cầu bài toán là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

đi qua điểm M chứ không phải là tiếp tuyến tại điểm M

Để giải quyết bài toán này yêu cầu các em phải có kĩ năng phân tích Muốn tìm phương trình tiếp tuyến rõ ràng là

phải tìm tiếp điểm? Ở đây điểm M

thuộc đồ thị chỉ gợi cho ta một tiếp

điểm, liệu còn tiếp điểm nào nữa

không?

Như vậy thầy giáo có thể mô tả

cho HS qua đồ thị hàm bậc 3 Lúc này

chúng ta lại phải yêu cầu các em có kĩ

năng đọc đồ thị, kĩ năng phân tích suy luận …

1.1.3 Các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

1.1.3.1 Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT

Dựa theo tài liệu của Nguyễn Bá Kim các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS dựa trên cơ sở lí luận và có những giải pháp sau:

a Cơ sở tâm lý, giáo dục

Quá trình học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy

và các hoạt động của học trò, do đó các biện pháp sư phạm phải thông qua hoạt động dạy tác động vào hoạt động học của HS, làm cho HS có động cơ hoàn thiện tri thức và kĩ năng Nhân cách của HS trong đó có kết quả học tập, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho xã hội Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập trung vào rèn luyện và phát triển các dạng hoạt động của HS, rèn luyện kĩ năng học tập của HS: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động, kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá “ Cơ sở tâm lý của kĩ năng là sự thông

y

x

0

Hình1

hiểu mối quan hệ qua lại giữa mục đích hoạt động, các điều kiện và cách thức hoạt động ấy ” [5]

b Cơ sở phương pháp dạy học bộ môn Toán

Phương pháp dạy học Toán ở trường THPT phải luôn gắn liền với việc truyền thụ tri thức, kĩ năng với việc phát triển các năng lực của HS Căn cứ vào nhiệm vụ của việc dạy học bộ môn, bên cạnh việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng thực hành Toán học, HS cần được rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học vào việc học tập bộ môn khác, vào thực tiễn cuộc sống Do đó cần thiết và có thể xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện các kĩ năng giải toán cho HS, góp phần thực hiện các nhiệm vụ bộ môn đồng thời đảm bảo tính liên môn trong dạy học

1.1.3.2 Giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS

Để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho HS ta cần phải có một giải pháp đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:

a Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của

HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng

Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập là đảm bảo cho HS nắm một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thức quy định trong chương trình Căn cứ vào chương trình, người GV cần phải xác định và chọn lọc các kiến thức, kĩ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành, phát triển cho HS

Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi mới phương pháp dạy học, trong quá trình dạy học, người GV cần tổ chức các hoạt động học tập để HS tham gia, cụ thể là:

- Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học

- HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có sự giao lưu giữa HS với HS, giữa GV với HS

- GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: Giúp đỡ HS vượt qua những khó khăn bằng cách phân tách một hoạt động thành những phần đơn giản

hơn, hoặc cung cấp cho HS một số tri thức phương pháp và nói chung là điều chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ dựa vào sự phân bậc hoạt động

- GV giúp HS xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt động, đưa ra những bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức đó một cách sâu sắc, đầy đủ hơn

b Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho HS

Trước hết GV cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy định 4 bước của polya rồi từ đó hình thành kĩ năng giải toán theo quy trình này

Khi đã có một quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng với những tri thức phương pháp về những nội dung toán học cụ thể HS có thể tìm tòi, khám phá

để tìm đến lời giải bài toán

- Đối với những bài toán đã có thuật giải: GV cần căn cứ vào yêu cầu chung của chương trình cũng như tình hình thực tế để, hoặc thông báo tường minh thuật giải hoặc có thể cho HS thực hiện các hoạt động học tập ăn khớp với tri thức phương pháp đó

- Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: GV cần hướng

HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải Qua đó trang bị cho HS một số tri thức về phương pháp giải toán Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể mà dần dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật giải một lớp các bài toán có dạng quen thuộc Từ đó hình thành kĩ năng giải quyết loại bài toán đó

c Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập

Cấu tạo của SGK ở phổ thông theo nguyên tắc: Mỗi nội dung Toán học mới đều dựa vào những nội dung đã được học trước kia Vì vậy việc củng cố tri thức kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có ý nghĩa to lớn trong việc dạy học toán Củng cố cần được thực hiện không chỉ đối với tri thức mà còn đối với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ

Trong môn toán củng cố diễn ra dưới các hình thức: luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hoá và ôn

Luyện tập: trước hết nhằm mục tiêu rèn luyện kĩ năng kĩ xảo Luyện tập không phải chỉ đối với tính toán mà còn cả đối với việc dựng hình, vẽ đồ thị của hàm số, giải phương trình, bất phương trình, sử dụng thước, máy tính

Đào sâu: Đào sâu trước hết nhằm vào việc phát hiện và giải quyết những vấn

đề liên quan đến những phương diện khác nhau, những khía cạnh khác nhau của tri thức, bổ sung, mở rộng và hoàn chỉnh tri thức

Những cách đặt vấn đề điển hình để đào sâu tri thức là: nghiên cứu sự tồn tại

và duy nhất, xem xét những trường hợp mở rộng, những trường hợp đặc biệt hoặc suy biến, nghiên cứu những mối liên hệ và phụ thuộc, lật ngược vấn đề, thay đổi hình thức phát biểu

Ứng dụng: được hiểu là vận dụng những tri thức và kĩ năng được lĩnh hội vào việc giải quyết những vấn đề mới trong nội bộ môn toán cũng như trong thực tiễn Trong khâu ứng dụng cần rèn luyện cho HS năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, lựa chọn bộ phận tri thức và kĩ năng thích hợp, tìm kiếm con đường giải quyết, lí giải và trình bày lời giải, kiểm tra đánh giá kết quả và sắp xếp kiến thức đạt được vào hệ thống tri thức đã có

Hệ thống hoá: nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đã đạt được, nghiên cứu những điểm giống nhau và khác nhau, làm rõ những mối quan hệ giữa chúng Nhờ đó người học đạt được không chỉ những tri thức riêng lẻ mà còn cả hệ thống tri thức

Ôn: tức là nhắc lại tri thức, luyện lại kĩ năng đã có Ôn giữ một vị trí đặc biệt

so với bốn hình thức khác nhau của củng cố, bởi vì nó thường được kết hợp với các hình thức đó, thậm trí đan kết, hoà nhập vào các hình thức đó Ôn lại không phải chỉ

là những gì lĩnh hội được trong bài lý thuyết mà khi cần thiết có thể nhắc lại cả tri thức đã đạt được trong các khâu của củng cố

1.2 Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập toán

1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là giá mang hoạt động của HS Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định,

bao gồm cả nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ Vai trò của bài tập thể hiện trên 3 bình diện:

+) Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục đích Mặt khác những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau cụ thể:

- Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

+) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập đó trở thành một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng những tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ xung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

+) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở

đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội dung mới, củng cố kiến thức ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của HS, giúp

GV nắm bắt được thông tin hai chiều trong quá trình dạy và học

1.2.2 Những yêu cầu của một lời giải bài toán

Lời giải của một bài toán cần phải đúng và tốt Cụ thể hơn lời giải bài toán cần phải đáp ứng các yêu cầu sau:

- Kết quả đúng kể cả các bước trung gian: Lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi, lập luận,…

- Lập luận chặt chẽ: Cụ thể lời giải phải có luận đề nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp lôgic

- Lời giải đầy đủ: Không được thiếu trường hợp, thiếu nghiệm, một chi tiết cần thiết nào





 có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến  của (C) tại điểm có tung độ bằng 1

Ở bài toán này người thầy không những phải chỉ cho HS phương pháp giải, kĩ năng tính toán, kĩ năng trình bày lời giải mà cần cho học sinh biết mô tả tính chất của hàm số qua đồ thị Ngược lại qua đồ thị HS cũng nhìn nhận, phán đoán được cách giải

Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x y 0; 0 có dạng

  

yy  f x xx , để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0 ta phải biết được 1 trong 3 yếu tố x y0; 0;f ' x0 nếu biết 1 trong 3 yếu tố này ta sẽ dựa vào giả thiết để tìm các yếu tố còn lại

H.D giải: Gọi M x 0;1 , vì MC nên ta có 0

x

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1;1 có dạng:

1.2.3 Phương pháp chung để giải bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Phát biểu đề bài dưới những hình thức khác nhau (bằng lời, bằng kí tự, ) để hiểu rõ nội dung; phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Trả lời câu hỏi: đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Hãy vẽ hình và sử dụng điều kiện thích hợp? phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn các điều kiện đó thành công thức hay không

Bước 2: Tìm cách giải

Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó

có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan…

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được kết quả hợp lí nhất

Trả lời cho các câu hỏi hướng dẫn như: đã gặp bài toán này lần nào chưa? Xét

kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái chưa biết hay có cái cho biết tương tự? Có thể áp dụng một định lí nào đó? Có thể phát biểu bài toán

một cách khác hay không? Nếu không giải được hãy thử giải một bài toán liên quan

dễ hơn hay không? Hãy chọn một lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất…

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ 1.3 Tìm tham số m để hàm số 3 2

3

yx  x mx m đồng biến trên R

Bước 1: Tìm hiểu đề bài

(?) Bài toán đưa ra yêu cầu gì?

(!) Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến trên R

Bước 2: Tìm lời giải:

GV đưa ra các câu hỏi:

(?) Em đã gặp bài toán này bao giờ chưa? em có biết thuật giải của nó

không?

Vì HS mới chỉ được cách chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến khi hàm số không chứa tham số nên HS sẽ thấy rằng bài toán này chưa gặp bao giờ

và cũng không biết được thuật giải của nó

(?) Vậy làm thế nào để chứng minh được hàm số luôn đồng biến trên R khi

(?) Vì a  1 0 nên để hàm số luôn luôn đồng biến trên R thì y' phải thỏa mãn điều gì?

(!)  'y' 0

(?) Vậy ta có tìm được m không?

(!) 9 3  m   0 m 3

Bước 3: Trình bày lời giải:

GV yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán hoàn chỉnh

Vậy m 3 hàm số luôn đồng biến trên R

Bước 4: Đào sâu, khai thác

GV yêu cầu HS kiểm tra kết quả, lời giải của mình, tìm ra sai lầm (nếu có) trong bài toán và hướng dẫn khắc phục

Trong ví dụ trên ta thấy yêu cầu đề ra là tìm giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên R Vì là hàm số bậc ba nên đạo hàm là hàm số bậc hai nên chủ yếu ta sử dụng định l í về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của y’ ta có:

       từ đó suy ra hàm số đồng biến Thông qua bài toán

GV có thể hướng dẫn cho học sinh cách chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến hoặc tìm điều kiện của tham số m để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến trên một

khoảng K cho trước

Sau đó GV có thể cho học sinh giải bài toán sau:

Bài toán: Cho hàm số 3   2

c Hàm số nghịch biến trên đoạn 1 1;

Giới thiệu các công cụ đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số thường gặp:

- Hàm đa thức (bậc ba, bậc bốn trùng phương)

- Hàm phân thức

Nêu cách giải một số bài toán đơn giản, liên quan đến khảo sát hàm số (sự tương giao và sự tiếp xúc của các đường, biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thi, )

1.3.1.2 Yêu cầu về kiến thức và kĩ năng

+) Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó

+) Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số

+) Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên trên một đoạn, một khoảng

+) Tìm được đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số +) Biết khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số 3 2  

+) Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số

1.3.2 Đặc điểm của học sinh hệ giáo dục thường xuyên

Như chúng đã, biết đối tượng học sinh của trung tâm GDTX bao gồm những học sinh không thi đỗ vào THPT, chuyển sang đăng kí học tại trung tâm GDTX, và những học sinh có hoàn cảnh khó khăn, dù hoàn cảnh khách quan hay chủ quan mà

lỡ nhịp học bình thường tại các trường THPT khác Đó có thể là những học sinh vùng sâu, vùng xa, dân tộc thiểu số, bộ độ xuất ngũ, cán bộ xã và cả giáo viên do chưa hoàn thiện chương trình học đến nay tiếp tục đăng kí tại trung tâm GDTX Với chương trình học tương đối nhẹ nhàng chỉ những môn cơ bản như: Toán, Lí, Hóa, Sinh, Văn, Sử, Địa thời gian học rút ngắn đối với lớp cán bộ thì một tháng học hai tuần, đối với lớp tự học có hướng dẫn thì một tháng chỉ học bốn buổi vào thứ 7 và chủ nhật, còn đối với lớp học sinh thì chỉ học từ thứ hai đến thứ sáu Chính vì vậy việc tiếp thu kiến thức của học sinh tương đối là ít so với các học sinh THPT, thực

tế dạy học cho thấy các em đều thiếu các kiến thức cơ bản về môn toán những phép tính cộng, trừ, nhân, chia hoặc đơn giản là giải phương trình bậc nhất còn yếu thậm chí khả năng đọc của các em cũng yếu Do đa số các em là người dân tộc thiểu số nên khả năng giao tiếp bằng tiến phổ thông chưa được sõi ở một số em, vì thế việc rèn luyện cho học sinh những kiến thức cơ bản là rất quan trọng

1.3.3 Thực tiễn dạy học giải bài tập toán cho học sinh hệ GDTX

Trả lời A có

B không

Câu hỏi 3: Theo Thầy cô chỉ rèn luyện kĩ năng khảo sát sự biến thiên và vẽ

đồ thị hàm số cho HS theo mức độ sách giáo khoa, sách bài tập thì HS có đủ

kĩ năng làm bài thi tốt nghiệp THPT và Đại học không?

Trả lời A Chưa đủ

B Đã đủ

Câu hỏi 4: Theo thầy cô với số tiết quy định trong chương trình thì HS của

thầy cô những dạng toán liên quan đến khảo sát ở mức độ nào?

Trả lời A Chưa biết

B Chỉ thành thạo những dạng toán đơn giản

C Bắt đầu biết tính toán những bài có trong đề

Trả lời A không xác định được lời giải

B Không tính toán được

C không vẽ được đồ thị

Trong câu hỏi 1 : 4,5% chọn đáp án A; 7,8% chọn đáp án B; 87,7% chọn đáp án

C vì: Thứ nhất giúp HS củng cố và khắc sâu kiến thức dễ dàng Thứ hai giúp HS có kĩ năng giải các bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số kì thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào Cao Đẳng và Đại Học

Trong câu hỏi 2: Phần lớn thầy cô trả lời có vì HS sinh không nắm vững các kiến thức cơ bản, chính vì vậy phải trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản đã học

Trong câu hỏi 3: phần lớn thầy cô trả lời đã đủ kĩ năng làm bài thi tốt nghiệp THPT và Đại học

Trong câu hỏi 4: Đa số thầy cô trả lời số tiết theo quy định trong chương trình thì những dạng toán liên quan đến khảo sát ở mức độ biết làm ít HS làm được bài một cách thành thạo

Trong câu hỏi 5: 48% chọn đáp án A, 32% chọn đáp án B, 25% chọn đáp án C

Trước tình hình thực tế như vậy, tôi nghĩ chúng ta nên xây dựng một hệ thống bài tập đa dạng, hợp lí theo từng chủ đề kiến thức để rèn luyện kĩ năng khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số cho HS lớp 12 hệ GDTX nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học

1.3.3.2 Điều tra đánh giá năng lực giải toán khảo sát sự biến thiến và vẽ đồ thị hàm số của HS

Để xây dựng hệ thống bài tập hợp lí tôi đã phát một để kiểm tra 45 phút đến

75 HS lớp 12A, 12B của Trung tâm GDTX Mai Sơn – Sơn La với nội dung phiếu

như sau:

Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3

yx  x

Bài 2: Cho hàm số 2

1

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm A 0; 2

Bài 3: Cho hàm số 3 2  

y f x mx  mx  m x , m là tham số Xác định các giá trị của m để hàm số y f x( ) có cực trị

Phân tích:

Bài toán 1: mức độ rất dễ HS chỉ cần áp dụng các bước khảo sát đồ thị hàm

số là có thể khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Hướng dẫn và lời giải

1 Tập xác định DR

2 Sự biến thiên

Ta có 2

' 3 3, ' 0 1 y  x  y    x Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1;, Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 Hàm số đạt đạt cực đại tại x 1;yC § 3, cực tiểu tại x1;y CT  1, * Giới hạn tại vô cực: lim   x f x    :      f x xlim

* Bảng biến thiên: x -∞ -1 1 +∞

y’ + 0 - 0 +

y 3 +∞

-∞ - 1

3 Đồ thị: * Điểm uốn: y''  6x, các điểm uốn là: U 0;1

* Giao điểm với trục Oy tại : U 0;1

2

-2 -1

1 2 x1

3

-1 -2

y

O

sự biến thiến và vẽ đồ thị hàm số rất quan trọng: đó là dạng bài tập trọng tâm của kì một chương trình lớp 12 THPT, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp

và thi tuyển sinh vào Cao Đẳng và Đại Học Thực tế đó cho thấy nhu cầu rất lớn cần phải rèn luyện cho HS kĩ năng khảo sát sự biến thiến và vẽ đồ thị hàm số

KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Trong chương I chúng tôi đã trình bày những nét chính về kĩ năng, kĩ năng toán học và kĩ năng giải toán có những nhận xét về tình hình dạy toán ở các Trung tâm GDTX tỉnh Sơn La và việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS cần trang bị cho

HS những kĩ năng cơ bản thông qua các ví dụ cụ thể cho HS giải toán Trong quá trình dạy học môn toán, ngoài việc yêu cầu học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, làm được tốt các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, học sinh còn được học hỏi, ôn lại các kiến thức đã học và tìm tòi khám phá các kiến thức khác Vẫn dựa trên các kiến thức cơ bản, song lí thuyết được giáo viên giảng kĩ hơn, học sinh được làm thử nhiều ví dụ, cho học sinh rèn luyện các kĩ năng giải toán đặc biệt hệ thống lại các kiến thức học sinh còn thiếu Phân tích tỉ mỉ từng khâu trong bước thực hành gắn liền với lí thuyết Từng động tác trong thực hành là biện pháp tốt nhất để học sinh hiểu lí thuyết và từ đó có cơ sở để rèn luyện kĩ năng Từ đó, ta có thể thấy rằng, việc cung cấp tri thức và cho người học luyện tập, chúng góp phần tích cực rèn luyện kĩ năng giải toán cho người học: thiếu tri thức thì không thể luyện tập được, còn nếu đã có tri thức mà không luyện tập thì cũng không thể có những kĩ năng tương ứng Từ đó chúng tôi đề xuất hệ thống các bài toán cụ thể và biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở chương sau

CHƯƠNG II

CÁC BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Để rèn luyện cho HS kĩ năng giải toán thường được tiến hành theo trình tự: kiến thức, PP giải toán, luyện tập, thành thạo cho nên chúng tôi đề xuất quy trình rèn luyện

kĩ năng giải toán ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bước 1: GV yêu cầu HS nhắc lại các kiến thức, công thức liên quan đến nội

dung dạy học

Bước 2: GV minh họa qua các VD, chỉ rõ từng bước thực hiện, những lưu ý

cần thiết để tránh những sai lầm

Bước 3: Cho HS luyện tập qua một hệ thống các bài toán từ dễ đến khó, đủ

các dạng, chú ý sửa các sai lầm HS có thể mắc phải

Bước 4: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận dụng

phối hợp, linh hoạt các thao tác giải Toán Các bài tập dạng này thường được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp HS hình thành và phát triển các kĩ năng ngày một tốt hơn

2.1 Rèn luyện cho học sinh các kĩ năng cơ bản của chương





Giải

+ Hàm số y2n f x  xác định với điều kiện f x 0

+ Hàm số ytanf x  xác định với điều kiện  

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng ( ; )a b và điểm x0(a;b) nếu

tồn tại giới hạn (hữu hạn):

0

0)()(lim

x f x f

x f x f y

x   x ; x    2 0 x 2; f x( ) không xác định khi x 2Bảng xét dấu:

x -∞ 1 2 +∞

1

x - 0 + + 2

Để xét dấu của các nhị thức bậc nhất ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Cho từng nhị thức bậc nhất bằng không để tìm nghiệm

Bước 2: Lập bảng xét dấu

Bước 3: Kết luận dựa vào bảng xét dấu

b Định lí về dấu của tam thức bậc hai

 

(Nghĩa là: a 0 thì f x 0; a 0 thì f x 0, f x 0 tại

2

b x a

  )

+ Nếu   0 thì f x  cùng dấu với hệ số a khi xx1 hoặc xx2 trái dấu với hệ số

a khi x1 x x2 trong đó x1x2 là hai nghiệm của f x 

Ví dụ 2.8 Xét dấu các tam thức :    2  2 

f x  x  x x  x Giải

2x  x 1 + 0 - - 0 + +

 

f x + 0 - 0 + 0 - 0 + Kết luận:

- Để xét dấu của các tam thức bậc hai ta làm theo các bước sau

Bước 1: Cho từng tam thức bậc hai bằng không để tìm nghiệm

Bước 2: Lập bảng xét dấu

Bước 3: Kết luận dựa vào bảng xét dấu

2.1.3 Kĩ năng tính giới hạn và tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2.1.3.1 Kĩ năng tính giới hạn của hàm số đa thức, phân thức

* Giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương

x x x x

  từ đó ta có

0

0lim k k

- Giới hạn của thương

0

( )lim( )

a, Kĩ năng tính giới hạn của hàm số đa thức

Ví dụ 2.9 Tính giới hạn của các hàm số sau:

b, Kĩ năng tính giới hạn của hàm số phân thức

Ví dụ 2.10 Tính giới hạn của các hàm số sau:

a, lim 2 3.

1

x

x x





2x 5 lim

lim0

x f

x x







) (lim

0

x f x x







) (lim

0

x f x x







) (

lim

0

x f x x

Vi dụ 2.11 Xác định các đường tiệm cận của các đồ thị hàm số sau

a,

2

x y

x



71

x y x





 Giải

11

x y

+ Vì

5 2

2 lim lim

2 55

x y

Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên K

a, Nếu f ' x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x  đồng biến trên K

b, Nếu f ' x 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x  nghịch biến trên K

Ví dụ 2.12 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 1 3 1 2

y x  x  x Giải

x - 0 2 +

y’ - 0 + 0 -

y + 6

2 -

Hàm số đồng biến trên khoảng  0; 2 và nghịch biến trên các khoảng ; 0

và 2;

Ví dụ 2.14 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 1 3 1 2

y x  x x Giải

Nhận xét: Hàm số đa thức bậc ba có dạng tổng quát là

  3 2

y f x  x bx  cx d với a 0Khi đó, nếu dùng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có:

Tập xác định DR

y  x  bx c y   x  bx c 

Bảng biến thiên: Dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của a (a 0 hay a 0) và dấu của 2

' b 3ac

      0, 0 do đó ta có bốn trường hợp biến thiên khác nhau

Ví dụ 2.15 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:  4 2 

Giải Tập xác định: DR

y + 3 +

2 2 Hàm số đồng biến trên các khoảng 1; 0và 2;, hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  0;1

Ví dụ 2.16 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 4 2

yx  x Tập xác định: DR

Ví dụ 2.17 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 2 16 3 4

16 2

3

y x x  x x Giải

x - - 4 -1 1 +

y’ + 0 - 0 + 0 -

y yC § yC §







Giải Tập xác định: DR\ 1

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 và  1; 

Ví dụ 2.19 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 3

x y x







Khi đó, nếu dùng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có:

 2 ' ad bc

Nếu Dadbc 0 suy ra hàm số đồng biến trên D

Nếu Dadbc 0 suy ra hàm số nghịch biến trên D

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính đạo hàm f ' x Tìm các điểm x i i 1, 2, ,n mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định

Bước 3: Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

2.1.5 Kĩ năng tìm cực trị của hàm số dựa vào đạo hàm cấp 1, cấp 2

Định nghĩa:

Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên khoảng (a;b)

(có thể a là  b là ) và điểm x0 a b;

a, Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x  f x 0 với mọi xx0 h x; 0h và x x0 thì

ta nói hàm số f x  đạt cực đại tại x0

b, Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x  f x 0 với mọi xx0h x; 0 h và xx0 thì

ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu tại x0

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Định lí 1:

Giải sử y f x  liên tục trên khoảng K x0h x; 0h và có đạo hàm trên

K hoặc trên K\ x0 , với h 0

a, Nếu f ' x 0 trên khoảng x0h x; 0 và f ' x 0 trên khoảng x x0; 0h

thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x 

b, Nếu f ' x 0 trên khoảng x0h x; 0 và f ' x 0 trên khoảng x x0; 0h

thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x 

Định lí 2:

Giải sử y f x  có đạo hàm cấp hai trong khoảng x0h x; 0h,

với h 0 Khi đó

a, Nếu f ' x 0, f '' x 0 thì x0 là một điểm cực tiểu

b, Nếu f ' x 0, f '' x 0 thì x0 là một điểm cực đại

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

x - 1 3 +

y’ + 0 - 0 +

y 7 +

-  3

Từ bảng biến thiên ta có x 1 là điểm cực đại của hàm số và và x 3

là điểm cực tiểu của hàm số

Ví dụ 2.21 Tìm các điểm cực trị của hàm số : 3

3

yx  x Giải

Tập xác định DR.

ta có: 2 2

1 ' 6 4 2, ' 0 6 4 2 0 3