Rèn luyện kỹ năng tránh sai lầm cơ bản cho học sinh lớp 12 khi giải bài tập chương iứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số chương quan trọng chương trình giải tích 12 Nó chiếm 23 tiết theo phân phối chương trình, gần phần ba thời lượng mơn giải tích lớp 12 Bài tập chương sử dụng nhiều kỳ thi THPT Quốc Gia Trong chương chủ yếu ta dùng giới hạn đạo hàm để xét số tính chất quan trọng hàm số đồ thị như: tính đơn điệu, cực trị, đường tiệm cận, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số; từ khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Học sinh cần có kỹ thành thạo xét tính chất hàm số cho trước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm đơn giản Tuy nhiên qua thực tế dạy học, chương với nhiều kiến thức mà học sinh khơng rèn luyện tốt dễ mắc phải sai lầm Với lý mong muốn có tài liệu với hệ thống tập nhằm rèn luyện cho em kỹ làm tránh sai lầm khơng đáng có tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “ Rèn luyện kỹ tránh sai lầm cho học sinh lớp 12 giải tập chươngI “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số”.” 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài “ Rèn luyện kỹ tránh sai lầm cho học sinh lớp 12 giải tập chươngI “ Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” với mục đích giúp học sinh lớp 12 rèn luyện cách thành thạo kỹ xét tính chất hàm số cho trước khảo sát vẽ đồ thị số hàm số đơn giản Qua rèn luyện cho em kỹ tư khoa học, chặt chẽ lơgic giải tốn nói riêng giải vấn đề nói chung sống 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài “ Rèn luyện kỹ tránh sai lầm cho học sinh lớp 12 giải tập chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” chủ yếu nghiên cứu vấn đề mà học sinh dễ mắc sai lầm thực tế giảng dạy Đó khái niệm, định lý, tính chất, tập mà học sinh hay sai Nghiên cứu nguyên nhân nguyên nhân sai lầm từ tổng kết rút kinh nghiệm để tránh sai lầm gặp phải 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận + Điều tra thực tế, thu thập thông tin + Thực nghiệm sư phạm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) * Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hàm số dựa định lí: Định lí: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I a Nếu f ' ( x ) > với ∀x ∈ I hàm số f đồng biến I b Nếu f ' ( x ) < với ∀x ∈ I hàm số f nghịch biến I c Nếu f '(x) = với ∀x ∈ I hàm số f khơng đổi I Nhận xét: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I Nếu f ' ( x ) ≥ 0∀x ∈ I ( f ' ( x ) ≤ 0∀x ∈ I ) f ' ( x ) = số hữu hạn điểm I hàm số f đồng biến ( nghịch biến) I * Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số dựa hai định lí sau: Định lý (Quy tắc I): Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0 ) (b; x0 ) Khi a Nếu f ' ( x ) < khoảng (a; x ) f ' ( x ) > khoảng (x ;b) hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 b Nếu f ' ( x ) > khoảng (a; x ) f ' ( x ) < khoảng (x ;b) hàm số f đạt cực đại điểm x0 Định lý (Quy tắc II): Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng (a; b) chứa điểm x0 , f ' ( x0 ) = f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a Nếu f ''(x0) > hàm số đạt cực tiểu điểm x0 b Nếu f ''(x0) < hàm số đạt cực đại điểm x0 * Về tiệm cận đồ thị hàm số Định nghĩa Đường thẳng y = y0 gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số f ( x ) = y0 lim f ( x ) = y0 y = f ( x ) xlim →+∞ x →−∞ Định nghĩa Đường thẳng x = x0 gọi tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x ) = +∞; lim− f ( x ) = +∞; lim+ f ( x ) = −∞; lim− f ( x ) = −∞; x → x0+ x → x0 x → x0 x → x0 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Bản thân năm học 2018-2019 trực tiếp giảng dạy mơn tốn hai lớp khối 12 Lớp 12A3 có chất lượng học tập mức độ khá, lớp 12A7 có chất lượng trung bình Ý thức sai lầm học sinh thường mắc phải chương học Ngay học song chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thông qua kiểm tra hết chương hai lớp thống kê mà học sinh giải sai nhận thấy có nhiều em giải sai khó, mức độ nắm không kỹ lý thuyết chưa rèn luyện tốt kỹ Hơn dạng có chứa đựng nội dung học sinh dễ mắc sai lầm Với thực trạng tiếp tục cho học sinh làm khảo sát với hệ thống tập có chứa đựng nội dung dễ sai thu kết khảo sát sau: Lớp Sĩ số Điểm từ 8.0- Điểm từ 6.5- Điểm từ 5.0- Điểm 10.0 8.0 6.5 5.0 SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 12A3 45 12A7 42 13,3% 2.4% 23 12 51,1% 28,4% 14 16 31,1% 38,1% 13 4.5% 30.1% Với kết tơi thấy với lớp có lực học khá, tỷ lệ đạt điểm giỏi 64,4% tới 35.6% đạt điểm trung bình trung bình Đặc biệt lớp có học lực trung bình, tỷ lệ đạt điểm giỏi chiếm 30.4%, có tới 68.2% học sinh đạt điểm trung bình trung bình Đây tỷ lệ chưa cao, chưa với thực lực học sinh Với thực trạng cần giải pháp để giúp em tránh sai lầm Làm để kết làm phản ánh lực em 2.3 Giải pháp giải vấn đề Xây dựng hệ thống tập có chứa đựng nội dung học sinh dễ mắc sai lầm, sai lầm học sinh dễ mắc phải từ giúp học sinh tránh sai lầm giải tốn 2.3.1 Chủ đề tính đơn điệu hàm số VD1 Xét tính đơn điệu hàm số y = 2x − x+3 A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞, −3) ∪ (−3; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −3) ∪ (−3; +∞) 2 C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; ) ∪ ( ; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −3) (3; +∞) Lời giải sai: Tính đạo hàm y ' = ( x + 3) > ∀x ∈ (−∞;3) ∪ (3; +∞) Chọn đáp án: B Phân tích sai lầm: Lấy phản ví dụ: Chọn x1 = −4; x2 = −2 ⇒ f ( x1 ) = 9; f ( x2 ) = −5 ; x1 < x2 f ( x1 ) > f ( x2 ) nên không thỏa mãn hàm đồng biến khoảng Lời giải đúng: Chọn đáp án: D đáp án D không mắc sai lầm B VD2 Tìm m để hàm số sau đồng biến khoảng xác định y= x−m 2x − A m ≤ B m ≥ C m < D m > Lời giải sai: + D = ( −∞; 2) ∪ (2; +∞); y ' = −4 + m ≥ 0∀x ∈ D ⇔ m ≤ Chọn: A (2x − 4) Phân tích sai lầm: + Theo Định lý: y ' = hữu hạn điểm miền D Nhưng thử lại m = ⇒ y ' = 0∀x ∈ D Vậy m = không thỏa mãn Lời giải đúng: + D = ( −∞; 2) ∪ (2; +∞); y ' = −4 + m ≥ 0∀x ∈ D ⇔ m ≤ (2x − 4) + Thử lại m = ⇒ y ' = 0∀x ∈ D Vậy m = không thỏa mãn + Chọn: C VD3 Tìm m để hàm số y = mx − đồng biến (−∞; 2) x−m A −3 < m < B −3 ≤ m ≤ C < m < D ≤ m < Lời giải sai: + TXĐ: D = (−∞; m) ∪ (m; +∞) ; y ' = − m2 + ≥ 0∀ ∈ (−∞; 2) ⇔ − m + ≥ ⇔ −3 ≤ m ≤ ( x − m) + Thử lại: m = ±3 ⇒ y ' = 0∀x nên khơng thỏa mãn Chọn: A Phân tích sai lầm: Tới học sinh tránh sai lầm VD2 lại kiểm tra điều kiện hàm số phải xác định miền (−∞; 2) Lời giải đúng: − m2 + ≥ 0∀ ∈ (−∞; 2) ⇔ − m + ≥ ⇔ −3 ≤ m ≤ + TXĐ: D = (−∞; m) ∪ (m; +∞) ; y ' = ( x − m) + Thử lại: m = ±3 ⇒ y ' = 0∀x nên không thỏa mãn nên −3 < m < + Hàm số xác định (−∞; 2) ⇒ m ≥ Vậy: ≤ m < nên chọn: D VD4 Tìm m để hàm số y = x + m(s inx + cos x) đồng biến R A Không tồn m B m ≥ −1 C m ≤ −1 D − 1 ≤m≤ 2 Lời giải sai: + TXĐ: D = R + y ' = + m(cos x − sin x) ≥ 0∀x ∈ R ⇔ m(cos x − sinx) ≥ −1 ⇔ m ≥ −1 cos x − sin x Phân tích sai lầm: + Học sinh không xét dấu biểu thức cos x − sin x trước chia để cô lập m Lời giải đúng: Cách 1: Xét dấu biểu thức cos x − sin x cô lập m để lập bảng biến thiên giải tiếp Tuy nhiên cách dài không phù hợp thi trắc nghiệm Cách 2: + TXĐ: D = R + y ' = + m(cos x − sin x) ≥ 0∀x ∈ R ⇔ m(cos x − sinx) ≥ −1 ⇔ { m(cos x − sin x} ≥ −1 ⇔ − m ≥ −1 ⇔ m ≤ Chọn D VD5 Tìm m để đạo hàm bậc hàm số y = − x3 + 3x − 3mx − nhận giá trị âm với ∀x ∈ (0; +∞ ) A m < B m ≤ C m < D m ≤ Lời giải sai: 2 + y ' = −3x + 6x + 3m < 0∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m < x − 2x∀x ∈ ( 0; +∞ ) Đặt: f ( x) = x − 2x ⇒ f ' ( x ) = 2x − = ⇔ x = Bảng BT x +∞ + f '( x) f ( x) Từ bảng biến thiên suy ra: m < chọn: C Phân tích sai lầm: Đây dạng toán mà học sinh dễ sai khơng có kỹ kiểm tra dấu Học sinh hay suy từ m < x − 2x∀x ∈ ( 0; +∞ ) khơng có dấu nên m < khơng có dấu Tuy nhiên m = toán đúng, lý hàm số không đạt GTNN khoảng xét Lời giải đúng: 2 + y ' = −3x + 6x + 3m < 0∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m < x − 2x∀x ∈ ( 0; +∞ ) Đặt: f ( x) = x − 2x ⇒ f ' ( x ) = 2x − = ⇔ x = Bảng BT x +∞ + f '( x) f ( x) Từ bảng biến thiên suy ra: m ≤ chọn: D 2.3.2 Chủ đề cực trị hàm số VD1 Tìm cực trị hàm số y = ( x − ) A ( 2;0 ) B ( 1; ) C ( 0; ) D (−1;1) Lời giải sai: + y' = x−2 ( x − 2) =0⇒ x−2= 0⇔ x = + Với x = y ' khơng xác định nên y ' = vô nghiệm nên hàm số cực trị Phân tích sai lầm: + Sai lầm học sinh nắm không kiến thức với suy luận phương trình y ' = vơ nghiệm hàm số khơng có cực trị + Do TXĐ: D = R nên x = y ' không xác định x = ∈ D y ' đổi dấu qua điểm x = nên x = cực trị hàm số Lời giải đúng: + TXĐ: D = R + y' = x−2 ( x − 2) =0⇒ x−2= 0⇔ x = + Với x = ∈ D y ' không xác định + Xét dấu y ' suy cực trị ( 2;0 ) Chọn: A VD2 Cho hàm số y = f ( x ) có TXĐ: D Khẳng định sau sai? A Hàm số đạt cực trị điểm x0 f '( x0 ) = B Giá trị cực đại, cực tiểu hàm số nói chung khơng phải giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số C Hàm số đạt cực đại, cực tiểu nhiều điểm khác D Nếu hàm số đồng biến nghịch biến khơng đổi D khơng có cực trị D Lời giải sai: Dạng học sinh không chắn câu sai nên khoanh bừa Phân tích sai lầm: Học sinh khơng nắm kiến thức cực trị Tại cực trị hàm số có đạo hàm khơng có đạo hàm Nếu có đạo hàm đạo hàm khơng Vậy trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho hàm số có đạo hàm hay khơng có đạo hàm Lời giải đúng: Do đề chưa cho hàm số có đạo hàm x0 nên chọn đáp án là: A VD3 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm D đồ thị (C) Chọn khẳng định Sai khẳng định sau A Giá trị cực đại hàm số lớn giá trị cực tiểu hàm số B Nếu hàm số đạt cực trị x0 f ' ( x0 ) = C Tiếp tuyến (C) điểm cực trị song song trùng với trục ox D Tiếp tuyến (C) điểm cực trị có hệ số góc k=0 Lời giải sai: Dạng học sinh không chắn câu sai nên khoanh bừa Phân tích sai lầm: Học sinh không nắm kiến thức cực trị Tại cực trị hàm số có đạo hàm khơng có đạo hàm Nếu có đạo hàm đạo hàm khơng Vậy trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho hàm số có đạo hàm hay khơng có đạo hàm Lời giải đúng: Do đề cho hàm số có đạo hàm x0 nên khẳng định B; C D khẳng định Chọn A VD4 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 f ' ( x0 ) = Khẳng định sau sai? A Nếu f '' ( x0 ) = hàm số không đạt cực trị x0 B Nếu f '' ( x0 ) > hàm số đạt cực tiểu x0 C Nếu f '' ( x0 ) ≠ hàm số đạt cực trị x0 D Nếu f '' ( x0 ) < hàm số đạt cực đại x0 Lời giải sai: Dạng học sinh không chắn câu sai nên khoanh bừa Phân tích sai lầm: Học sinh khơng nắm định lý 2(quy tắc 2) cực trị Quy tắc áp dụng  f ' ( x0 ) = trường hợp khác không áp dụng Vậy  f '' ( x0 ) ≠ thỏa mãn  trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho có thỏa mãn điều kiện hay khơng áp dụng Lời giải đúng: Do đề cho hàm số có đạo hàm f ''( x0 ) = nên áp dụng quy tắc khẳng định hàm số khơng có cực trị x0 Chọn: A VD5 Chọn khẳng định khẳng định sau A Khi qua x0 đạo hàm hàm số f ( x ) đổi dấu x0 điểm cực trị hàm số B Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm số có đạo hàm x0 f ' ( x0 ) = x0 điểm cực trị hàm số C Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm đạt cực trị x0 f ' ( x0 ) = D Nếu x0 điểm cực trị hàm số f ' ( x0 ) = Lời giải sai: Dạng học sinh không chắn câu sai nên khoanh bừa Phân tích sai lầm: Học sinh khơng nắm kiến thức cực trị Tại cực trị hàm số có đạo hàm khơng có đạo hàm Nếu có đạo hàm đạo hàm khơng Vậy trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho hàm số có đạo hàm hay khơng có đạo hàm Lời giải đúng: Do đề cho hàm số có đạo hàm x0 nên chọn đáp án là: C 10 VD6 Với giá trị m hàm số sau khơng có cực trị? y = x − 3(2m + 1) x + (12m + 5) x + A − 1 Lời giải sai: + TH1: PT x − 2x + m = vô nghiệm ⇔ ∆ = − m < ⇔ m > ∆ ' = − m =  + TH2: PT x − 2x + m = có nghiệm kép x = ⇔  f =   ( ) m = ⇔ ⇔ m =1 m = Chọn: A Phân tích sai lầm: Do nắm không kiến thức nên không thử lại từ mắc sai lầm Lời giải đúng: + TH1: PT x − 2x + m = vô nghiệm ⇔ ∆ = − m < ⇔ m > ∆ ' = − m =  + TH2: PT x − 2x + m = có nghiệm kép x = ⇔  f =  ( )  m = ⇔ ⇔ m =1 m = y = ±∞ nên đồ thị có tiệm cận Thử lại: m = ⇒ xlim →( 1) ± Chọn: D VD4 Với giá trị m đồ thị hàm số y = A m = B m = ∨ m = C m = −1 x−m qua điểm E(2;1)? x − 3m + m D m = Lời giải sai: +Ta có: x − 3m + m2 = ⇔ x = 3m − m Suy tiệm cận đứng x = 3m − m2 m = Chọn: B m = 2 + Tiệm cận đứng qua E (2;1) nên = 3m − m ⇔  Phân tích sai lầm: Do không thử lại + Thử lại: m = ⇒ y = x −1 thỏa mãn x−2 14 + Thử lại: m = ⇒ y = x−2 không thỏa mãn x−2 Lời giải đúng: +Ta có: x − 3m + m2 = ⇔ x = 3m − m Suy tiệm cận đứng x = 3m − m2 m = m = 2 + Tiệm cận đứng qua E (2;1) nên = 3m − m ⇔  + Thử lại: m = ⇒ y = x −1 thỏa mãn x−2 + Thử lại: m = ⇒ y = x−2 không thỏa mãn x−2 Chọn: A 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Khi sáng kiến kinh nghiệm hoàn thành đưa vào áp dụng cách triển khai tới học sinh thông qua tiết học bồi dưỡng phát cho học sinh tự nghiên cứu nội dung giải pháp thực sáng kiến lớp chọn khảo sát thực trạng trước Đối với hai lớp tơi khảo sát trước áp dụng sáng kiến sau áp dụng sáng kiến kết khảo sát có khác biệt nhiều Khơng tượng mắc sai lầm Hầu hết em làm tốt phần tập gần em lấy trọn số điểm với lực em Kết cụ thể sau: Lớp Sĩ số 12A3 45 12A7 42 Điểm 10.0 SL 18 từ 8.0- Điểm 8.0 TL% SL 40.0% 21 19.0% 20 từ 6.5- Điểm 6.5 TL% SL 46.7% 47.6% 12 từ 5.0- Điểm 5.0 TL% SL TL% 13.3% 0% 28.6% 4.8% Như vậy: Loại giỏi tăng từ 15.7% lên 59.0% Loại trung bình giảm từ 34.5% xuống 4.8% Đây kết tốt có tác động tích cực hoạt động giáo dục 15 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm thân Trước hết sáng kiến kinh nghiệm tài liệu để trực tiếp dạy bồi dưỡng cho học sinh khóa Nó giúp tơi có ý thức việc dạy học tránh sai lầm cho học sinh giảng dạy phần kiến thức Với thân, hoàn thành nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm đưa vào áp dụng có hiệu tốt tơi vui Nó tạo động lực lớn kích thích ham mê nghiên cứu khoa học 2.4.3 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp nhà trường Với đồng nghiệp sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo giảng dạy Với nhà trường, sáng kiến kinh nghiệm triển khai góp phần nâng cao hiệu giáo dục, chất lượng học tập học sinh Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận + Qua thực nghiệm khảo sát thực tế sáng kiến kinh nghiệm hoàn thành với kết tương đối tốt Sáng kiến kinh nghiệm giải vấn đề khó khăn nêu khảo sát thực trạng + Qua kết nhận sáng kiến kinh nghiệm cho thấy công tác nghiên cứu đúc rút sáng kiến kinh nghiệm lao động sản xuất cần thiết Nó động lực thúc đẩy xuất chất lượng lao động, góp phần giải khó khăn gặp phải thực tế 3.2 Kiến nghị + Từ kết đạt sáng kiến kinh nghiệm tơi kiến nghị với nhà trường, đồng nghiệp đưa sáng kiến kinh nghiệm vào danh mục tài liệu tham khảo phục vụ công tác giảng dạy + Với Sở giáo dục kiến nghị sáng kiến kinh nghiệm chọn gứi Hội đồng chấm Sở sau chấm có phản hồi góp ý cho thân tơi để tơi rút kinh nghiệm hồn thiện cơng tác nghiên cứu viết sáng kiến kinh nghiệm sau 16 + Tuy cố gắng nhiều hạn chế lực, thời gian nên nội dung sáng kiến kinh nghiệm chắn thiếu xót Rất mong đóng góp bổ sung ý kiến bạn đọc để sáng kiến kinh nghiệm tơi ngày hồn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Hồng Đình Đức TÀI LIỆU THAM KHẢO SÁCH GIÁO KHOA GIẢI TÍCH NÂNG CAO 12- NHÀ XB GIÁO DỤC 17 ĐỀ THI THPTQG, THI THỬ THPTQG CÁC TRƯỜNG CÁC NĂM HỌC: 2015-2016; 2016-2017; 2017-2018 18 ... trị hàm số có đạo hàm khơng có đạo hàm Nếu có đạo hàm đạo hàm khơng Vậy trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho hàm số có đạo hàm hay khơng có đạo hàm Lời giải đúng:... hàm Nếu có đạo hàm đạo hàm khơng Vậy trước hết để tránh sai lầm, học sinh cần đọc kỹ đề xem giả thiết cho hàm số có đạo hàm hay khơng có đạo hàm Lời giải đúng: Do đề cho hàm số có đạo hàm x0 nên... phải chương học Ngay học song chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số thông qua kiểm tra hết chương hai lớp thống kê mà học sinh giải sai nhận thấy có nhiều em giải sai khơng phải